Повторяющаяся десятичная дробь

Десятичное представление числа, цифры которого являются периодическими

Периодическая десятичная дробь — это десятичное представление числа, цифры которого в конечном итоге являются периодическими (то есть после некоторого места одна и та же последовательность цифр повторяется вечно); если эта последовательность состоит только из нулей (то есть если имеется только конечное число ненулевых цифр), то десятичная дробь называется конечной и не считается повторяющейся.

Можно показать, что число является рациональным тогда и только тогда, когда его десятичное представление является повторяющимся или конечным. Например, десятичное представление ⁠1/3⁠ становится периодическим сразу после десятичной точки , повторяя одну цифру «3» вечно, т. е. 0,333.... Более сложный пример: ⁠3227/555⁠ , десятичная дробь которой становится периодической на второй цифре после запятой, а затем повторяет последовательность «144» вечно, т. е. 5,8144144144.... Другим примером этого является ⁠593/53⁠ , который становится периодическим после десятичной точки, повторяя 13-значный шаблон «1886792452830» вечно, т. е. 11.18867924528301886792452830....

Бесконечно повторяющаяся последовательность цифр называется повторением или повторением . Если повторение равно нулю, это десятичное представление называется конечной десятичной дробью, а не повторяющейся десятичной дробью, поскольку нули могут быть опущены, а десятичная дробь заканчивается перед этими нулями. ^[1] Каждое конечное десятичное представление может быть записано в виде десятичной дроби , знаменатель которой является степенью 10 (например, 1,585 = ⁠1585/1000⁠ ); его также можно записать в виде соотношения вида ⁠к/2 ^н ·5 ^м⁠ (например, 1,585 = ⁠317/2 ³ ·5 ²⁠ ). Однако каждое число с конечным десятичным представлением также тривиально имеет второе, альтернативное представление в виде повторяющейся десятичной дроби, повторением которой является цифра 9 . Это получается путем уменьшения последней (самой правой) ненулевой цифры на единицу и добавления повторения 9. Два примера этого: 1,000... = 0,999... и 1,585000... = 1,584999... . (Этот тип повторяющейся десятичной дроби можно получить путем деления в столбик, если использовать модифицированную форму обычного алгоритма деления . ^[2] )

Любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел , называется иррациональным . Их десятичное представление не заканчивается и не повторяется бесконечно, но продолжается вечно без повторений (см. § Каждое рациональное число является либо конечной, либо периодической десятичной дробью). Примерами таких иррациональных чисел являются √ 2 и π . ^[3]

Фон

Обозначение

Существует несколько условных обозначений для представления повторяющихся десятичных дробей. Ни одно из них не является общепринятым.

• Винкулум : В Соединенных Штатах , Канаде , Индии , Франции , Германии , Италии , Швейцарии , Чешской Республике , Словакии , Словении , Чили и Турции принято рисовать горизонтальную линию (винкулум) над повторением. ^[4]
• Точки : В некоторых исламских странах, таких как Малайзия , Марокко , Пакистан , Тунис , Иран , Алжир и Египет , а также в Великобритании , Новой Зеландии , Австралии , Южной Африке , Японии , Таиланде , Индии, Южной Корее , Сингапуре и Китайской Народной Республике , принято размещать точки над крайними цифрами повторяющегося числа. ^{[ требуется ссылка ]}
• Скобки : В некоторых частях Европы , включая Австрию , Данию , Финляндию , Нидерланды , Норвегию , Польшу , Россию и Украину , а также Вьетнам и Израиль , принято заключать повторы в скобки. Это может вызвать путаницу с обозначением стандартной неопределенности . ^{[ требуется ссылка ]}
• Дуга : В Испании и некоторых странах Латинской Америки , таких как Аргентина , Бразилия и Мексика , обозначение дуги над повтором также используется как альтернатива обозначению винкулума и точек. ^{[ необходима ссылка ]}
• Многоточие : Неформально повторяющиеся десятичные дроби часто представляются многоточием (три точки, 0,333...), особенно когда предыдущие соглашения об обозначениях впервые изучаются в школе. Эта нотация вносит неопределенность относительно того, какие цифры должны повторяться и даже происходит ли повторение вообще, поскольку такие многоточия также используются для иррациональных чисел ; π , например, можно представить как 3,14159.... ^{[ необходима цитата ]}

В английском языке существуют различные способы чтения вслух повторяющихся десятичных дробей. Например, 1.2 34 можно прочитать как "one point two repeating three four", "one point two repeated three four", "one point two recurring three four", "one point two repetend three four" или "one point two into infinity three four". Аналогично, 11. 1886792452830 можно прочитать как "eleven point repeating one double eight six seven nine two four five two eight three zero", "eleven point repeating one double eight six seven nine two four five two eight three zero", "eleven point recurring one double eight six seven nine two four five two eight three zero", "eleven point recurring one double eight six seven nine two four five two eight three zero" "eleven point repetend one double eight six seven nine two four five two eight three zero" или "eleven point into infinity one double eight six seven nine two four five two eight three zero".

Разложение десятичной дроби и рекуррентная последовательность

Чтобы преобразовать рациональное число, представленное в виде дроби, в десятичную форму, можно использовать длинное деление . Например, рассмотрим рациональное число ⁠5/74⁠ :

  0.0 675 74) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

и т. д. Обратите внимание, что на каждом шаге у нас есть остаток; последовательные остатки, показанные выше, это 56, 42, 50. Когда мы приходим к 50 как остатку и опускаем "0", мы обнаруживаем, что делим 500 на 74, что является той же проблемой, с которой мы начали. Таким образом, десятичная дробь повторяется: 0,0675 675 675 ....

Для любой целой дроби ⁠А/Б⁠ , остаток на шаге k для любого положительного целого числа k равен A × 10 ^k (по модулю B ).

Каждое рациональное число является либо конечной, либо периодической десятичной дробью.

Для любого данного делителя может возникнуть только конечное число различных остатков. В приведенном выше примере 74 возможных остатка — это 0, 1, 2, ..., 73. Если в какой-либо точке деления остаток равен 0, расширение заканчивается в этой точке. Тогда длина повторения, также называемая «периодом», определяется как 0.

Если 0 никогда не встречается в качестве остатка, то процесс деления продолжается вечно, и в конечном итоге должен возникнуть остаток, который уже встречался ранее. Следующий шаг деления даст ту же новую цифру в частном и тот же новый остаток, что и в предыдущий раз, когда остаток был таким же. Поэтому следующее деление повторит те же результаты. Повторяющаяся последовательность цифр называется «repetend», которая имеет определенную длину больше 0, также называемую «period». ^[5]

В десятичной системе счисления дробь имеет периодическую десятичную дробь тогда и только тогда, когда в наименьшем выражении ее знаменатель имеет какие-либо простые множители, кроме 2 или 5, или, другими словами, не может быть выражен как 2 ^m  5 ⁿ , где m и n — неотрицательные целые числа.

Каждая повторяющаяся или конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Каждое повторяющееся десятичное число удовлетворяет линейному уравнению с целыми коэффициентами, и его единственным решением является рациональное число. В приведенном выше примере α = 5,8144144144... удовлетворяет уравнению

Процесс нахождения этих целочисленных коэффициентов описан ниже.

Формальное доказательство

Дана периодическая десятичная дробь , где , , и — группы цифр, пусть , количество цифр в . Умножение на разделяет повторяющиеся и конечные группы: ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}.}$

Если десятичные дроби заканчиваются ( ), доказательство завершено. ^[6] Для с цифрами пусть где — конечная группа цифр. Тогда, ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x=y.{\bar {c}}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}}$

где обозначает i- ю цифру , а ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.}$

Так как , ^[7] ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}}$

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.}$

Так как является суммой целого числа ( ) и рационального числа ( ), то также является рациональным. ^[8] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y-c}$ ${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$ ${\displaystyle x}$

Таблица значений

Таким образом, дробь является дробью единицы ⁠1/н⁠ и ℓ ₁₀ — длина (десятичного) повторения.

Длины ℓ ₁₀ ( n ) десятичных повторений ⁠1/н⁠ , n = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0... (последовательность A051626 в OEIS ).

Для сравнения, длины ℓ ₂ ( n ) двоичных повторений дробей ⁠1/н⁠ , n = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (=A007733[ n ], если n не является степенью 2, иначе =0).

Десятичные повторения ⁠1/н⁠ , n = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 34782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, 032258064516129, 0, 03, 2941176470588235, 285714... (последовательность A036275 в OEIS ).

Десятичные повторяющиеся длины ⁠1/п⁠ , p = 2, 3, 5, ... ( n - простое число), являются:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79... (последовательность A002371 в OEIS ).

Наименьшие простые числа p, для которых ⁠1/п⁠ имеет десятичную повторяющуюся длину n , n = 1, 2, 3, ..., являются:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001, 2028119, 90909090909090909091, 90090090090099090990991, 1676321, 83, 127, 173... (последовательность A007138 в OEIS ).

Наименьшие простые числа p, для которых ⁠к/п⁠ имеет n различных циклов ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., являются:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931... (последовательность A054471 в OEIS ).

Дроби с простыми знаменателями

Дробь в наименьших членах с простым знаменателем, отличным от 2 или 5 (т.е. взаимно простым с 10), всегда дает повторяющуюся десятичную дробь. Длина повторяющегося десятичного сегмента (период повторяющегося десятичного сегмента) ⁠1/п⁠ равен порядку 10 по модулю p . Если 10 является примитивным корнем по модулю p , то длина повторения равна p  − 1; если нет, то длина повторения является множителем p  − 1. Этот результат можно вывести из малой теоремы Ферма , которая гласит, что 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

Десятичный цифровой корень повторения обратной величины любого простого числа больше 5 равен 9. ^[9]

Если повторяющаяся длина ⁠1/п⁠ для простого числа p равно p  − 1, то повторяющееся число, выраженное целым числом, называется циклическим числом .

Циклические числа

Примерами дробей, принадлежащих этой группе, являются:

• ⁠1/7⁠ = 0. 142857 , 6 повторяющихся цифр
• ⁠1/17⁠ = 0. 0588235294117647 , 16 повторяющихся цифр
• ⁠1/19⁠ = 0. 052631578947368421 , 18 повторяющихся цифр
• ⁠1/23⁠ = 0. 0434782608695652173913 , 22 повторяющиеся цифры
• ⁠1/29⁠ = 0. 0344827586206896551724137931 , 28 повторяющихся цифр
• ⁠1/47⁠ = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 повторяющихся цифр
• ⁠1/59⁠ = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 повторяющихся цифр
• ⁠1/61⁠ = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 повторяющихся цифр
• ⁠1/97⁠ = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 повторяющихся цифр

Список можно продолжить, включив дроби ⁠1/109⁠ , ⁠1/113⁠ , ⁠1/131⁠ , ⁠1/149⁠ , ⁠1/167⁠ , ⁠1/179⁠ , ⁠1/181⁠ , ⁠1/193⁠ , ⁠1/223⁠ , ⁠1/229⁠ и т. д. (последовательность A001913 в OEIS ).

Каждое собственное кратное циклического числа (то есть кратное, имеющее одинаковое количество цифр) является поворотом:

• ⁠1/7⁠ = 1 × 0,142857 = 0,142857
• ⁠2/7⁠ = 2 × 0,142857 = 0,285714
• ⁠3/7⁠ = 3 × 0,142857 = 0,428571
• ⁠4/7⁠ = 4 × 0,142857 = 0,571428
• ⁠5/7⁠ = 5 × 0,142857 = 0,714285
• ⁠6/7⁠ = 6 × 0,142857 = 0,857142

Причина циклического поведения очевидна из арифметического упражнения по делению в столбик числа ⁠1/7⁠ : последовательные остатки представляют собой циклическую последовательность {1, 3, 2, 6, 4, 5} . См. также статью 142,857 для получения дополнительных свойств этого циклического числа.

Циклическая дробь, таким образом, имеет повторяющуюся десятичную дробь четной длины, которая делится на две последовательности в форме дополнения до девяти . Например ⁠1/7⁠ начинается с «142», за которым следует «857», в то время как ⁠6/7⁠ (поочередно) начинается с «857», за которым следует дополнение по девяткам «142».

Вращение повторения циклического числа всегда происходит таким образом, что каждое последующее повторение является большим числом, чем предыдущее. В последовательности выше, например, мы видим, что 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142.... Это, для циклических дробей с длинными повторениями, позволяет нам легко предсказать, каким будет результат умножения дроби на любое натуральное число n, если известно повторение.

Правильное простое число — это простое число p , которое в десятичной системе счисления оканчивается на цифру 1, и обратное ему число в десятичной системе счисления имеет повторяющуюся длину p  − 1. В таких простых числах каждая цифра 0, 1,..., 9 появляется в повторяющейся последовательности столько же раз, сколько и каждая другая цифра (а именно, ⁠п  − 1/10⁠ раз). Они: ^{[10] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (последовательность A073761 в OEIS ).

Простое число является собственным простым числом тогда и только тогда, когда оно является полным обратным простым числом и сравнимо с 1 по модулю 10.

Если простое число p является одновременно полным простым числом-рептендом и безопасным простым числом , то ⁠1/п⁠ создаст поток из p  − 1 псевдослучайных цифр . Эти простые числа

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (последовательность A000353 в OEIS ).

Другие обратные величины простых чисел

Вот некоторые обратные величины простых чисел, которые не генерируют циклические числа:

• ⁠1/3⁠ = 0. 3 , период (длина повторения) которого равна 1.
• ⁠1/11⁠ = 0,09 , период которого равен двум.
• ⁠1/13⁠ = 0,076923 , период которого равен шести.
• ⁠1/31⁠ = 0. 032258064516129 , период которого равен 15.
• ⁠1/37⁠ = 0,027 , период которого равен трем.
• ⁠1/41⁠ = 0,02439 , период которого равен пяти.
• ⁠1/43⁠ = 0. 023255813953488372093 , период которого равен 21.
• ⁠1/53⁠ = 0. 0188679245283 , период которого равен 13.
• ⁠1/67⁠ = 0. 014925373134328358208955223880597 , период которого равен 33.
• ⁠1/71⁠ = 0. 01408450704225352112676058338028169 , период которого равен 35.
• ⁠1/73⁠ = 0. 01369863 , период которого равен восьми.
• ⁠1/79⁠ = 0. 0126582278481 , период которого равен 13.
• ⁠1/83⁠ = 0. 01204819277108433734939759036144578313253 , период которого равен 41.
• ⁠1/89⁠ = 0. 01123595505617977528089887640449438202247191 , период которого равен 44.

(последовательность A006559 в OEIS )

Причина в том, что 3 является делителем 9, 11 является делителем 99, 41 является делителем 99999 и т. д. Чтобы найти период ⁠1/п⁠ , мы можем проверить, делит ли простое число p некоторое число 999...999, в котором количество цифр делит p  − 1. Поскольку период никогда не превышает p  − 1, мы можем получить это, вычислив ⁠10 ^{п −1} − 1/п⁠ . Например, для 11 получаем

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

а затем путем проверки найдите повторяющееся число 09 и период 2.

Эти обратные простые числа могут быть связаны с несколькими последовательностями повторяющихся десятичных дробей. Например, кратные ⁠1/13⁠ можно разделить на два набора, с разными повторениями. Первый набор:

• ⁠1/13⁠ = 0,076923...
• ⁠10/13⁠ = 0,769230...
• ⁠9/13⁠ = 0,692307...
• ⁠12/13⁠ = 0,923076...
• ⁠3/13⁠ = 0,230769...
• ⁠4/13⁠ = 0,307692...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перестановку 076923. Второй набор:

• ⁠2/13⁠ = 0,153846...
• ⁠7/13⁠ = 0,538461...
• ⁠5/13⁠ = 0,384615...
• ⁠11/13⁠ = 0,846153...
• ⁠6/13⁠ = 0,461538...
• ⁠8/13⁠ = 0,615384...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перестановку 153846.

В общем случае множество собственных кратных чисел, обратных простому числу p, состоит из n подмножеств, каждое из которых имеет повторяющуюся длину  k , где nk  =  p  − 1.

Правило Тотиента

Для произвольного целого числа n длина L ( n ) десятичной дроби числа ⁠1/н⁠ делит φ ( n ), где φ — функция тотиента . Длина равна φ ( n ) тогда и только тогда, когда 10 — примитивный корень по модулю n . ^[11]

В частности, отсюда следует, что L ( p ) = p − 1 тогда и только тогда, когда p — простое число, а 10 — примитивный корень по модулю p . Тогда десятичные разложения ⁠н/п⁠ для n = 1, 2, ..., p  − 1 все имеют период p  − 1 и отличаются только циклической перестановкой. Такие числа p называются полными повторяющимися простыми числами .

Обратные числа составных целых чисел, взаимно простые с 10

Если p — простое число, отличное от 2 или 5, то десятичное представление дроби ⁠1/стр ²⁠ повторяет:

⁠1/49⁠ = 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Период (повторяющаяся длина) L (49) должен быть множителем λ (49) = 42, где λ ( n ) известна как функция Кармайкла . Это следует из теоремы Кармайкла , которая гласит, что если n — положительное целое число, то λ ( n ) — наименьшее целое число m, такое что

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

для каждого целого числа a, которое взаимно просто с n .

Период ⁠1/стр ²⁠ обычно pT _p , где T _p — период ⁠1/п⁠ . Известно три простых числа, для которых это неверно, и для них период ⁠1/стр ²⁠ такой же, как период ⁠1/п⁠ потому что p ² делит 10 ^{p −1} −1. Эти три простых числа — 3, 487 и 56598313 (последовательность A045616 в OEIS ). ^[12]

Аналогично, период ⁠1/п ^к⁠ обычно p ^{k –1} T _p

Если p и q — простые числа, отличные от 2 или 5, то десятичное представление дроби ⁠1/пк⁠ повторяется. Пример ⁠1/119⁠ :

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = НОК ( λ (7), λ (17)) = НОК(6, 16) = 48,

где НОК обозначает наименьшее общее кратное .

Период T ⁠​1/пк⁠ — это фактор λ ( pq ), и в данном случае он равен 48:

⁠1/119⁠ = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Период T ⁠​1/пк⁠ — НОК( T _p ,  T _q ), где T _p — период ⁠1/п⁠ и T _q — период ⁠1/д⁠ .

Если p , q , r и т. д. — простые числа, отличные от 2 или 5, а k , ℓ , m и т. д. — положительные целые числа, то

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

представляет собой повторяющуюся десятичную дробь с периодом

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

где T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... — соответственно период повторяющихся десятичных знаков ⁠1/п ^к⁠ , ⁠1/q ^л⁠ , ⁠1/р ^м⁠ ,... как определено выше.

Обратные числа целых чисел, не взаимно простые с 10

Целое число, которое не является взаимно простым с 10, но имеет простой множитель, отличный от 2 или 5, имеет обратное число, которое в конечном счете является периодическим, но с неповторяющейся последовательностью цифр, которые предшествуют повторяющейся части. Обратное число можно выразить как:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

где a и b не оба равны нулю.

Эту дробь можно также выразить как:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

если a > b , или как

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

если b > a , или как

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

если а = б .

Десятичная дробь имеет:

• Начальный переходный процесс из max( a ,  b ) цифр после десятичной точки. Некоторые или все цифры в переходном процессе могут быть нулями.
• Последующее повторение, которое является таким же, как и для дроби ⁠1/п ^к q ^ℓ ⋯⁠ .

Например ⁠1/28⁠ = 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0, а остальные множители p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• есть 2 начальные неповторяющиеся цифры, 03; и
• есть 6 повторяющихся цифр, 571428, столько же, сколько ⁠1/7⁠ имеет.

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в обыкновенные дроби

Учитывая периодическую десятичную дробь, можно вычислить дробь, которая ее производит. Например:

Другой пример:

Короткий путь

Описанную ниже процедуру можно применять, в частности, если повторяющееся число содержит n цифр, все из которых равны 0, за исключением последней, которая равна 1. Например, для n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Таким образом, эта конкретная повторяющаяся десятичная дробь соответствует дроби ⁠1/10 ^н  − 1⁠ , где знаменатель — это число, записанное как n 9s. Зная только это, общую повторяющуюся десятичную дробь можно выразить как дробь без необходимости решать уравнение. Например, можно рассуждать так:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

Можно получить общую формулу, выражающую повторяющуюся десятичную дробь с n -значным периодом (повторяющейся длиной), начинающуюся сразу после десятичной точки, в виде дроби:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Более конкретно, возможны следующие случаи:

Если повторяющаяся десятичная дробь находится между 0 и 1, а повторяющийся блок состоит из n цифр, которые впервые встречаются сразу после десятичной точки, то дробь (не обязательно сокращенная) будет целым числом, представленным n -значным блоком, деленным на число, представленное n девятками. Например,

• 0,444444... = ⁠4/9⁠ поскольку повторяющийся блок равен 4 (блок из 1 цифры),
• 0,565656... = ⁠56/99⁠ поскольку повторяющийся блок равен 56 (двузначный блок),
• 0,012012... = ⁠12/999⁠ поскольку повторяющийся блок — это 012 (блок из 3 цифр); это далее сокращается до ⁠4/333⁠ .
• 0,999999... = ⁠9/9⁠ = 1, так как повторяющийся блок равен 9 (также 1-значный блок)

Если повторяющаяся десятичная дробь такая же, как и выше, за исключением того, что между десятичной точкой и повторяющимся n -значным блоком есть k (дополнительных) цифр 0 , то можно просто добавить k цифр 0 после n цифр 9 знаменателя (и, как и прежде, дробь впоследствии может быть упрощена). Например,

• 0,000444... = ⁠4/9000⁠ поскольку повторяющийся блок равен 4 и этому блоку предшествуют 3 нуля,
• 0,005656... = ⁠56/9900⁠ поскольку повторяющийся блок равен 56 и ему предшествуют 2 нуля,
• 0,00012012... = ⁠12/99900⁠ = ⁠1/8325⁠ поскольку повторяющийся блок — 012 и ему предшествуют 2 нуля.

Любая периодическая десятичная дробь, не имеющая описанной выше формы, может быть записана как сумма конечной десятичной дроби и периодической десятичной дроби одного из двух вышеуказанных типов (на самом деле достаточно первого типа, но для этого может потребоваться, чтобы конечная десятичная дробь была отрицательной). Например,

• 1,23444... = 1,23 + 0,00444... = ⁠123/100⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1107/900⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1111/900⁠
  • или альтернативно 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = ⁠79/100⁠ + ⁠4/9⁠ = ⁠711/900⁠ + ⁠400/900⁠ = ⁠1111/900⁠
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = ⁠3/10⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠2997/9990⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠
  • или альтернативно 0,3789789... = −0,6 + 0,9789789... = − ⁠6/10⁠ + 978/999 = − ⁠5994/9990⁠ + ⁠9780/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠

Еще более быстрый метод — полностью игнорировать десятичную точку и действовать следующим образом:

• 1,23444... = ⁠1234 − 123/900⁠ = ⁠1111/900⁠ (знаменатель имеет одну 9 и два 0, потому что одна цифра повторяется, а после десятичной точки есть две неповторяющиеся цифры)
• 0,3789789... = ⁠3789 − 3/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ (знаменатель содержит три девятки и один ноль, поскольку три цифры повторяются, а после десятичной точки стоит одна неповторяющаяся цифра)

Отсюда следует, что любая периодическая десятичная дробь с периодом n и k цифрами после запятой, не принадлежащими повторяющейся части, может быть записана в виде (не обязательно сокращенной) дроби, знаменатель которой равен (10 ⁿ  − 1)10 ^k .

Наоборот, период периодической десятичной дроби ⁠с/г⁠ будет (максимум) наименьшим числом n , таким что 10 ⁿ  − 1 делится на d .

Например, дробь ⁠2/7⁠ имеет d = 7, а наименьшее k , при котором 10 ^k  − 1 делится на 7, равно k = 6, потому что 999999 = 7 × 142857. Период дроби ⁠2/7⁠ следовательно, 6.

В сжатом виде

Следующая картинка предлагает своего рода сжатие вышеуказанного сокращения. Таким образом, представляет цифры целой части десятичного числа (слева от десятичной точки), составляет строку цифр предпериода и ее длину, а являясь строкой повторяющихся цифр (периодом) с длиной , которая не равна нулю. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$

Правило формирования

В сгенерированной дроби цифра будет повторяться раз, а цифра будет повторяться раз. ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$

Обратите внимание, что при отсутствии целой части в десятичной дроби она будет представлена ​​нулем, который, находясь слева от других цифр, не повлияет на конечный результат и может быть опущен при вычислении производящей функции. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Примеры:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

Символ в приведенных выше примерах обозначает отсутствие цифр в десятичной дроби, а следовательно , и соответствующее отсутствие в полученной дроби. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$

Повторяющиеся десятичные дроби как бесконечный ряд

Периодическая десятичная дробь может быть также выражена как бесконечный ряд . То есть, периодическая десятичная дробь может рассматриваться как сумма бесконечного числа рациональных чисел. Возьмем простейший пример,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

Приведенный выше ряд представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом ⁠1/10⁠ и общий множитель ⁠1/10⁠ . Поскольку абсолютное значение общего множителя меньше 1, мы можем сказать, что геометрическая прогрессия сходится , и найти точное значение в виде дроби, используя следующую формулу, где a — первый член ряда, а r — общий множитель.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

Сходным образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Умножение и циклическая перестановка

Циклическое поведение повторяющихся десятичных дробей при умножении также приводит к построению целых чисел, которые циклически переставляются при умножении на определенные числа. Например, 102564 × 4 = 410256. 102564 — это повторение ⁠4/39⁠ и 410256 повторение ⁠16/39⁠ .

Другие свойства повторяющихся длин

Различные свойства повторяющихся длин (периодов) приведены Митчеллом ^[13] и Диксоном. ^[14]

• Период ⁠1/к⁠ для целого числа k всегда ≤  k  − 1.
• Если p — простое число, то период ⁠1/п⁠ делится нацело на p  − 1.
• Если k является составным, период ⁠1/к⁠ строго меньше k  − 1.
• Период ⁠с/к⁠ , для c, взаимно простого с k , равно периоду ⁠1/к⁠ .
• Если k  = 2a ^· 5b ⁿ , где n  > 1 и n не делится на 2 или 5, то длина переходного процесса ⁠1/к⁠ равен max( a ,  b ), а период равен r , где r — мультипликативный порядок 10 mod n, то есть наименьшее целое число, такое что 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
• Если p , p′ , p″ ,... — различные простые числа, то период ⁠1/п п′ п″ ⋯⁠ равно наименьшему общему кратному периодов ⁠1/п⁠ , ⁠1/р′⁠ , ⁠1/р″⁠ ,....
• Если k и k′ не имеют общих простых множителей, кроме 2 или 5, то период ⁠1/кк′⁠ равно наименьшему общему кратному периодов ⁠1/к⁠ и ⁠1/к′⁠ .
• Для простого числа p , если

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

для некоторых m , но

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

тогда для c  ≥ 0 имеем

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Если p — правильное простое число, оканчивающееся на 1, то есть если повтор ⁠1/п⁠ — циклическое число длины p  − 1 и p = 10 h  + 1 для некоторого h , то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении ровно h =  ⁠п  − 1/10⁠ раз.

О некоторых других свойствах повторов см. также ^{[15] .}

Расширение на другие базы

Различные особенности повторяющихся десятичных дробей распространяются на представление чисел во всех других целочисленных системах счисления, а не только на основе 10:

• Каждое действительное число можно представить в виде целой части, за которой следует точка (обобщение десятичной точки на недесятичные системы), за которой следует конечное или бесконечное число цифр .
• Если основание — целое число, то конечная последовательность, очевидно, представляет собой рациональное число.
• Рациональное число имеет конечную последовательность , если все простые множители знаменателя полностью сокращенной дробной формы являются также множителями основания. Эти числа составляют плотное множество в Q и R.
• Если позиционная система счисления является стандартной, то есть она имеет основание

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

в сочетании с последовательным набором цифр

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

с r  := | b | , d _r  := d ₁ + r − 1 и 0 ∈ D , то конечная последовательность, очевидно, эквивалентна той же последовательности с неконцевой повторяющейся частью, состоящей из цифры 0. Если основание положительно, то существует порядковый гомоморфизм из лексикографического порядка правосторонних бесконечных строк над алфавитом D в некоторый замкнутый интервал действительных чисел, который отображает строки 0. A ₁ A ₂ ... A _n d _b и 0. A ₁ A ₂ ...( A _n +1) d ₁ с A _i ∈ D и A _n ≠ d _b в одно и то же действительное число – и нет других повторяющихся изображений. Например, в десятичной системе есть 0. 9  = 1. 0  = 1; в сбалансированной троичной системе есть 0. 1  = 1. T  =  ⁠1/2⁠ .

• Рациональное число имеет бесконечно повторяющуюся последовательность конечной длины l , если знаменатель сокращенной дроби содержит простой множитель, который не является множителем основания. Если q — максимальный множитель сокращенного знаменателя, который взаимно прост с основанием, l — наименьшая экспонента, такая, что q делит b ^ℓ − 1 . Это мультипликативный порядок ord _q ( b ) класса вычетов b mod q , который является делителем функции Кармайкла λ ( q ), которая, в свою очередь, меньше q . Повторяющейся последовательности предшествует переходный процесс конечной длины, если сокращенная дробь также разделяет простой множитель с основанием. Повторяющаяся последовательность

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

представляет собой дробь

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.}$

• Иррациональное число имеет представление бесконечной длины, которое ни с какой точки не является бесконечно повторяющейся последовательностью конечной длины.

Например, в двенадцатеричной системе , ⁠1/2⁠ = 0,6, ⁠1/3⁠ = 0,4, ⁠1/4⁠ = 0,3 и ⁠1/6⁠ = 0,2 все прекращаются; ⁠1/5⁠ = 0. 2497 повторений с длиной периода 4, в отличие от эквивалентного десятичного расширения 0,2; ⁠1/7⁠ = 0. 186A35 имеет период 6 в двенадцатеричной системе, как и в десятичной.

Если b — целое число, а k — целое число, то

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.}$

Например, 1/7 в двенадцатеричной системе: $${\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}$$

что равно 0. 186A35 _{с основанием} 12. 10 _{с основанием} 12 равно 12 _{с основанием} 10 , 10 ² _{с основанием} 12 равно 144 _{с основанием} 10 , 21 _{с основанием 12} равно 25 _{с основанием} 10 , A5 _{с основанием 12} равно 125 _{с основанием} 10 .

Алгоритм для положительных оснований

Для рационального 0 < ⁠п/д⁠ < 1 (и основание b ∈ N _>1 ) существует следующий алгоритм, производящий повтор вместе с его длиной:

function b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q digits = "0123..." ; // до цифры со значением b–1 begin s = "" ; // строка цифр pos = 0 ; // все места справа от запятой while not defined ( message [ p ]) domessage [ p ] = pos ; // позиция места с остатком p bp = b * p ; z = floor ( bp / q ) ; // индекс z цифры в пределах: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q if p = 0 then L = 0 ; if not z = 0 then s = s . substring ( digits , z , 1 ) end if return ( s ) ; end if s = s . substring ( digits , z , 1 ) ; // добавить символ цифры pos += 1 ; end while L = pos - comes [ p ] ; // длина повторяющейся части (будучи < q) // пометить цифры повторяющейся части чертой: for i from comes [ p ] to pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , i , 1 )) ; end for return ( s ) ; end                                                                                                      функция

Первая выделенная строка вычисляет цифру z .

Следующая строка вычисляет новый остаток p′ деления по модулю знаменателя q . Как следствие функции пола floor мы имеем

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

таким образом

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

и

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Поскольку все эти остатки p являются неотрицательными целыми числами, меньшими q , их может быть только конечное число, и, следовательно, они должны повторяться в whileцикле. Такое повторение обнаруживается ассоциативным массивом occurs . Новая цифра z формируется в желтой строке, где p — единственная непостоянная величина. Длина L повторения равна количеству остатков (см. также раздел Каждое рациональное число является либо конечной, либо периодической десятичной дробью).

Приложения к криптографии

Повторяющиеся десятичные дроби (также называемые десятичными последовательностями) нашли применение в криптографическом кодировании и кодировании с исправлением ошибок. ^[16] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби с основанием 2, что приводит к появлению двоичных последовательностей. Максимальная длина двоичной последовательности для ⁠1/п⁠ (когда 2 является примитивным корнем p ) определяется по формуле: ^[17]

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}}$

Эти последовательности периода p  − 1 имеют автокорреляционную функцию, которая имеет отрицательный пик −1 для сдвига ⁠п  − 1/2⁠ . Случайность этих последовательностей была проверена с помощью жестких тестов . ^[18]

Смотрите также

• Десятичное представление
• Полный репертенд премьер
• Теорема Миди
• Паразитарное число
• Конечный ноль
• Уникальный премьер
• 0,999... , периодическая десятичная дробь, равная единице
• Принцип ящика

Примечания

1. Курант, Р. и Роббинс, Х. Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам, 2-е изд. Оксфорд, Англия: Oxford University Press, 1996: стр. 67.
2. Бесвик, Ким (2004), «Почему 0,999... = 1?: Вечный вопрос и чувство числа», Australian Mathematics Teacher , 60 (4): 7–9
3. "Оригинальное доказательство Ламберта того, что $\pi$ иррационально". Mathematics Stack Exchange . Получено 2023-12-19 .
4. Conférence Intercantonale de l'Instruction Publique de la Suisse Romande et du Tessin (2011). Памятная записка . Математика 9-10-11. ЛЭП. стр. 20–21.
5. Для основания b и делителя n , в терминах теории групп эта длина делит

   ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}}$

   (с модульной арифметикой ≡ 1 mod n ), которая делит функцию Кармайкла

   ${\displaystyle \lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}}$

   что снова делит общую функцию Эйлера φ ( n ).
6. Вуоринен, Аапели. «Рациональные числа имеют повторяющиеся десятичные расширения». Аапели Вуоринен . Проверено 23 декабря 2023 г.
7. "Наборы повторяющихся десятичных знаков". www.sjsu.edu . Архивировано из оригинала 23 декабря 2023 г. Получено 23 декабря 2023 г.
8. RoRi (2016-03-01). "Докажите, что каждая повторяющаяся десятичная дробь представляет рациональное число". Stumbling Robot . Архивировано из оригинала 23 декабря 2023 года . Получено 2023-12-23 .
9. Gray, Alexander J. (март 2000 г.). «Цифровые корни и обратные числа простых чисел». Mathematical Gazette . 84 (499): 86. doi :10.2307/3621484. JSTOR  3621484. S2CID  125834304. Для простых чисел больше 5 все цифровые корни, по-видимому, имеют одинаковое значение, 9. Мы можем подтвердить это, если...
10. Диксон, Л. Э., История теории чисел , том 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
11. Уильям Э. Хил. Некоторые свойства повторений. Annals of Mathematics, т. 3, № 4 (август 1887 г.), стр. 97–103.
12. Альберт Х. Бейлер, Развлечения в теории чисел , стр. 79
13. Митчелл, Дуглас В., «Нелинейный генератор случайных чисел с известной длинной длиной цикла», Cryptologia 17, январь 1993 г., стр. 55–62.
14. Диксон, Леонард Э. , История теории чисел , т. I , Chelsea Publ. Co., 1952 (ориг. 1918), стр. 164–173.
15. Армстронг, Н. Дж. и Армстронг, Р. Дж., «Некоторые свойства повторений», Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., стр. 437–443.
16. Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». Труды IEEE по теории информации , т. IT-27, стр. 647–652, сентябрь 1981 г.
17. Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с использованием d-последовательностей». IEEE Transactios on Computers , т. C-34, стр. 803–809, 1985.
18. Беллами, Дж. «Случайность последовательностей D с помощью жесткого тестирования». 2013. arXiv :1312.3618

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Повторяющаяся десятичная дробь». MathWorld .