Динамическая система, сохраняющая меру

Предмет исследования эргодической теории

В математике сохраняющая меру динамическая система является объектом исследования в абстрактной формулировке динамических систем и эргодической теории в частности. Системы, сохраняющие меру, подчиняются теореме возврата Пуанкаре и являются частным случаем консервативных систем . Они обеспечивают формальную математическую основу для широкого круга физических систем и, в частности, многих систем классической механики (в частности, большинства недиссипативных систем), а также систем, находящихся в термодинамическом равновесии .

Определение

Динамическая система, сохраняющая меру, определяется как вероятностное пространство и сохраняющее меру преобразование на нем. Если говорить более подробно, то это система.

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

со следующей структурой:

• ${\displaystyle X}$это набор,
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является σ-алгеброй над , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$является вероятностной мерой , так что , и , ${\displaystyle \mu (X)=1}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$– измеримое преобразование, сохраняющее меру , т. е. . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$

Обсуждение

Можно задаться вопросом, почему преобразование, сохраняющее меру, определяется в терминах обратного, а не прямого преобразования . Это можно понять интуитивно. ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$

Рассмотрим типичную меру на единичном интервале и карту . Это карта Бернулли . Теперь распределите ровный слой краски на единичном интервале , а затем нанесите краску вперед. Краска на половинке тонким слоем распределяется по всей поверхности , и краска на половинке тоже. Два слоя тонкой краски, наложенные друг на друга, воссоздают одинаковую толщину краски. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$

В более общем смысле, краска, которая поступает в subset, поступает из subset . Чтобы толщина краски оставалась неизменной (с сохранением меры), масса поступающей краски должна быть одинаковой: . ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$

Рассмотрим отображение наборов степеней : ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

Рассмотрим теперь специальный случай карт, которые сохраняют пересечения, объединения и дополнения (так что это карта борелевских множеств ), а также отправляют в (потому что мы хотим, чтобы оно было консервативным ). Каждое такое консервативное, сохраняющее Бореля отображение можно задать некоторым сюръективным отображением , написав . Конечно, можно было бы определить и , но этого недостаточно, чтобы указать все такие возможные карты . То есть консервативные, сохраняющие Бореля отображения , вообще говоря, не могут быть записаны в виде . ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$имеет форму толчка вперед , тогда как в общих чертах его называют откатом . Почти все свойства и поведение динамических систем определяются с точки зрения продвижения вперед. Например, оператор передачи определяется в терминах продвижения карты преобразования ; меру теперь можно понимать как инвариантную меру ; это просто собственный вектор Фробениуса–Перрона трансфер-оператора (напомним, что собственный вектор FP — это наибольший собственный вектор матрицы; в данном случае это собственный вектор, который имеет собственное значение: инвариантную меру.) ${\displaystyle \mu (T(A))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Представляют интерес две проблемы классификации. Один, обсуждаемый ниже, исправляет и задает вопросы о классах изоморфизма карты преобразования . Другой, обсуждаемый в операторе переноса , исправляет и и спрашивает о картах , похожих на меры. Подобные мерам, поскольку они сохраняют борелевские свойства, но больше не являются инвариантными; они, как правило, диссипативны и поэтому дают представление о диссипативных системах и пути к равновесию. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

С точки зрения физики, динамическая система, сохраняющая меру, часто описывает физическую систему, находящуюся в равновесии, например, термодинамическое равновесие . Можно спросить: как это получилось? Часто ответом является перемешивание, смешивание , турбулентность , термализация или другие подобные процессы. Если карта трансформации описывает это перемешивание, перемешивание и т. д., то система — это все, что остается после того, как все переходные режимы исчезли. Переходные режимы — это именно те собственные векторы передаточного оператора, собственное значение которых меньше единицы; инвариантная мера — это единственная мода, которая не затухает. Скорость затухания переходных режимов определяется (логарифмом) их собственных значений; собственное значение соответствует бесконечному периоду полураспада. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle \mu }$

Неофициальный пример

Микроканонический ансамбль физики представляет собой неформальный пример. Рассмотрим, например, жидкость, газ или плазму в ящике шириной, длины и высоты, состоящем из атомов. Один атом в этом ящике может находиться где угодно и иметь произвольную скорость; он был бы представлен одной точкой в ​​заданном наборе атомов, тогда это была бы одна точка где-то в пространстве. «Ансамбль» — это набор всех таких точек, то есть набор всех таких возможных ящиков (из которых существуют – несчетно-бесконечное число). Этот ансамбль всех возможных коробок и есть пространство наверху. ${\displaystyle w\times l\times h,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$ ${\displaystyle X}$

В случае идеального газа мера определяется распределением Максвелла-Больцмана . Это мера произведения : если - вероятность того, что атом имеет положение и скорость , то для атомов вероятность является произведением этих величин. Предполагается, что эта мера применима к ансамблю. Так, например, в одном из возможных ящиков ансамбля все атомы находятся на одной стороне ящика. Вероятность этого можно вычислить по мере Максвелла – Больцмана. Он будет чрезвычайно мал, порядка. Из всех возможных коробочек в ансамбле это смехотворно малая доля. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$

Единственная причина, по которой это «неформальный пример», заключается в том, что записать функцию перехода сложно, и, даже если она записана, с ней трудно выполнять практические вычисления. Трудности усугубляются, если взаимодействие не является взаимодействием типа бильярдного шара идеального газа, а представляет собой взаимодействие Ван-дер-Ваальса или какое-либо другое взаимодействие, подходящее для жидкости или плазмы; в таких случаях инвариантной мерой больше не является распределение Максвелла – Больцмана. Искусство физики находит разумные приближения. ${\displaystyle T}$

Эта система действительно демонстрирует одну ключевую идею классификации динамических систем, сохраняющих меру: два ансамбля, имеющие разные температуры, неэквивалентны. Энтропия данного канонического ансамбля зависит от его температуры; как физические системы, «очевидно», что когда температуры различаются, то и системы меняются. В общем случае это справедливо: системы с различной энтропией не изоморфны.

Примеры

Пример сохраняющего отображение ( мера Лебега ): T  : [0,1) → [0,1), ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1.}$

В отличие от неформального примера, приведенного выше, приведенные ниже примеры достаточно четко определены и понятны, что позволяет выполнять явные формальные вычисления.

• μ может быть нормализованной мерой угла dθ/2π на единичной окружности , а T — вращением. См. теорему о равнораспределении ;
• схема Бернулли ;
• преобразование интервального обмена ;
• с определением подходящей меры — подсдвиг конечного типа ;
• основной поток случайной динамической системы ;
• поток гамильтонова векторного поля на касательном расслоении замкнутого связного гладкого многообразия сохраняет меру (с использованием меры, индуцированной на борелевских множествах симплектической формой объема ) по теореме Лиувилля (гамильтониан) ; ^[1]
• для некоторых отображений и марковских процессов теорема Крылова –Боголюбова устанавливает существование подходящей меры для формирования сохраняющей меру динамической системы.

Обобщение на группы и моноиды

Определение динамической системы, сохраняющей меру, можно обобщить на случай, когда T не является единственным преобразованием, которое повторяется для получения динамики системы, а представляет собой моноид (или даже группу , и в этом случае мы имеем действие группы на заданное вероятностное пространство) преобразований T _s  : X → X , параметризованных s ∈ Z (или R , или N ∪ {0}, или [0, +∞)), где каждое преобразование T _s удовлетворяет условию те же требования, что и T выше. ^[1] В частности, преобразования подчиняются правилам:

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$, тождественная функция на X ;
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$, когда все термины четко определены ;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$, когда все термины четко определены.

Более ранний, более простой случай вписывается в эту структуру, определяя T _s = T ^s для s ∈ N .

Гомоморфизмы

Можно определить понятия гомоморфизма и изоморфизма .

Рассмотрим две динамические системы и . Тогда отображение ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

является гомоморфизмом динамических систем , если он удовлетворяет следующим трем свойствам:

1. Карта измерима .​ ${\displaystyle \varphi \ }$
2. Для каждого свой . ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$
3. Почти у всех есть . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$

Тогда система называется фактором . ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

Отображение является изоморфизмом динамических систем , если, кроме того, существует еще одно отображение ${\displaystyle \varphi \;}$

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

это также гомоморфизм, который удовлетворяет условию

1. ибо почти все есть ; ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$
2. ибо почти все есть . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$

Следовательно, можно образовать категорию динамических систем и их гомоморфизмов.

Общие точки

Точка x ∈ X называется точкой общего положения , если орбита точки распределена равномерно по мере.

Символические имена и генераторы

Рассмотрим динамическую систему , и пусть Q = { Q ₁ , ..., Q _k } — разбиение X на k измеримые попарно непересекающиеся множества. Учитывая точку x ∈ X , очевидно, что x принадлежит только одному из Q _i . Аналогично, итерируемая точка T ⁿ x также может принадлежать только одной из частей. Символическое имя x относительно раздела Q — это последовательность целых чисел { an } такая , _что ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

Набор символических имен относительно разбиения называется символической динамикой динамической системы. Разбиение Q называется образующим или порождающим разбиением , если µ-почти каждая точка x имеет уникальное символическое имя.

Операции над разделами

Учитывая разбиение Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и динамическую систему , определите T -обратный ответ Q как ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

Далее, учитывая два разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } и R = { R ₁ , ..., R _m }, определим их уточнение как

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

С помощью этих двух конструкций уточнение повторного отката определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

которая играет решающую роль в построении теоретико-мерной энтропии динамической системы.

Теоретико-мерная энтропия

Энтропия раздела определяется как [ 2 ^{] [3]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

Тогда теоретико-мерная энтропия динамической системы относительно разбиения Q = { Q ₁ , ..., Q _k } определяется как ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

Наконец, метрика Колмогорова – Синая или теоретико-мерная энтропия динамической системы определяется как ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

где верхняя грань берется по всем конечным измеримым разбиениям. Теорема Якова Синая 1959 года показывает, что верхняя грань фактически получается на разбиениях, которые являются образующими. Так, например, энтропия процесса Бернулли равна log 2, поскольку почти каждое действительное число имеет уникальное двоичное разложение . То есть можно разбить единичный интервал на интервалы [0, 1/2) и [1/2, 1]. Каждое действительное число x либо меньше 1/2, либо нет; а также дробная часть 2 ⁿ x .

Если пространство X компактно и наделено топологией или является метрическим пространством, то топологическая энтропия также может быть определена.

Если является эргодическим, кусочно расширяющимся, марковским на и абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, то мы имеем формулу Рохлина ^[4] (раздел 4.3 и раздел 12.3 ^[5] ): Это позволяет вычислить энтропию многих карты интервалов, такие как логистическая карта . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$

Эргодический означает, что подразумевается полная мера или нулевая мера. Кусочное расширение и Марков означает, что существует разбиение на конечное число открытых интервалов, такое, что для некоторых на каждом открытом интервале. Марков означает, что для каждого из этих открытых интервалов либо или . ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$

Классификационные и антиклассификационные теоремы

Одним из основных направлений изучения систем, сохраняющих меру, является их классификация по свойствам. То есть пусть — пространство с мерой, и пусть — множество всех систем, сохраняющих меру . Изоморфизм двух преобразований определяет отношение эквивалентности. Цель состоит в том, чтобы описать это отношение . Получен ряд классификационных теорем; но что весьма интересно, был также найден ряд антиклассификационных теорем. Теоремы об антиклассификации утверждают, что существует более чем счетное число классов изоморфизмов и что счетного количества информации недостаточно для классификации изоморфизмов. ^{[6] [7]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle S\sim T}$ ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Первая антиклассификационная теорема Хьёрта утверждает, что если множество наделено слабой топологией , то множество не является борелевским множеством . ^[8] Существует множество других антиклассификационных результатов. Например, заменив изоморфизм эквивалентностью Какутани , можно показать, что существует несчетное множество не-Какутани эквивалентных эргодических преобразований, сохраняющих меру каждого типа энтропии. ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Они противоречат классификационным теоремам. К ним относятся:

• Классифицированы эргодические преобразования, сохраняющие меру, с чисто точечным спектром. ^[10]
• Сдвиги Бернулли классифицируются по их метрической энтропии. ^{[11] [12] [13]} Дополнительную информацию см. в теории Орнштейна .

Теорема Кригера о конечном генераторе ^[14]  (Кригер 1970)  —  Дана динамическая система в пространстве Лебега меры 1, где обратимая, сохраняющая меру и эргодическая система. ${\textstyle T}$

Если для некоторого целого числа , то в системе имеется генератор размеров. ${\displaystyle h_{T}\leq \ln k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Если энтропия в точности равна , то такой генератор существует тогда и только тогда, когда система изоморфна сдвигу Бернулли на символах с равными мерами. ${\displaystyle \ln k}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Теорема Крылова–Боголюбова о существовании инвариантных мер.
• Теорема Пуанкаре о возврате  . Некоторые динамические системы в конечном итоге вернутся к своему исходному состоянию (или приблизится к нему).

Рекомендации

1. Уолтерс, Питер (2000). Введение в эргодическую теорию . Спрингер. ISBN 0-387-95152-0.
2. Синай, Я. Г. (1959). «О понятии энтропии динамической системы». Доклады Академии наук СССР . 124 : 768–771.
3. Синай, Я. Г. (2007). «Метрическая энтропия динамической системы» (PDF) .
4. Теорема Шеннона-Макмиллана-Бреймана
5. Полликотт, Марк; Юрий, Мичико (1998). Динамические системы и эргодическая теория. Тексты студентов Лондонского математического общества. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57294-1.
6. Форман, Мэтью; Вайс, Бенджамин (2019). «От одометров к круговым системам: теорема о глобальной структуре». Журнал современной динамики . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . дои : 10.3934/jmd.2019024. S2CID  119128525.
7. Форман, Мэтью; Вайс, Бенджамин (2022). «Диффеоморфизмы тора, сохраняющие меру, не поддаются классификации». Журнал Европейского математического общества . 24 (8): 2605–2690. arXiv : 1705.04414 . дои : 10.4171/JEMS/1151 .
8. Хьёрт, Г. (2001). «Об инвариантах преобразований, сохраняющих меру». Фонд. Математика . 169 (1): 51–84. дои : 10.4064/FM169-1-2 . S2CID  55619325.
9. Орнштейн, Д .; Рудольф, Д.; Вайс, Б. (1982). Эквивалентность преобразований, сохраняющих меру . Память Американское математическое соц. Том. 37. ИСБН 0-8218-2262-4.
10. Халмос, П.; фон Нейман, Дж. (1942). «Операторные методы в классической механике. II». Анналы математики . (2). 43 (2): 332–350. дои : 10.2307/1968872. JSTOR  1968872.
11. Синай, Я. (1962). «Слабый изоморфизм преобразований с инвариантной мерой». Доклады Академии наук СССР . 147 : 797–800.
12. Орнштейн, Д. (1970). «Сдвиги Бернулли с одинаковой энтропией изоморфны». Достижения в математике . 4 (3): 337–352. дои : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
13. Каток, А.; Хассельблатт, Б. (1995). «Введение в современную теорию динамических систем». Энциклопедия математики и ее приложений . Том. 54. Издательство Кембриджского университета.
14. Даунарович, Томаш (2011). Энтропия в динамических системах . Новые математические монографии. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 106. ИСБН 978-0-521-88885-1.

дальнейшее чтение

• Майкл С. Кин, «Эргодическая теория и сдвиги конечного типа», (1991), появляется в главе 2 в книге « Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства », Тим Бедфорд, Майкл Кин и Кэролайн Ряд, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (содержит пояснительное введение, упражнения и обширные ссылки.) 
• Лай-Санг Янг , «Энтропия в динамических системах» (pdf; ps), появляется в главе 16 в «Энтропии» , Андреас Гревен, Герхард Келлер и Джеральд Варнеке, ред. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси (2003). ISBN 0-691-11338-6 
• Т. Шюрманн и И. Хоффманн. Энтропия странных биллиардов внутри n-симплексов. Дж. Физ. A 28(17), стр. 5033, 1995. PDF-документ (дает более сложный пример динамической системы, сохраняющей меру).