Повторяющаяся десятичная дробь

Десятичное представление числа, цифры которого являются периодическими.

Повторяющаяся десятичная дробь или повторяющаяся десятичная дробь — это десятичное представление числа, цифры которого являются периодическими (повторяются его значения через равные промежутки времени), а бесконечно повторяющаяся часть не равна нулю . Можно показать, что число является рациональным тогда и только тогда, когда его десятичное представление повторяется или заканчивается (т.е. все цифры, кроме конечного числа, равны нулю). Например, десятичное представление1/3становится периодическим сразу после десятичной точки , постоянно повторяя одну цифру «3», т. е. 0,333.... Более сложный пример:3227/555, десятичная дробь которого становится периодической на второй цифре после запятой, а затем навсегда повторяет последовательность «144», т. е. 5,8144144144.... В настоящее время не существует единого общепринятого обозначения или формулировки для повторяющихся десятичных дробей. Другим примером этого является593/53, который становится периодическим после десятичной точки, вечно повторяя 13-значный шаблон «1886792452830», т.е. 11,18867924528301886792452830....

Бесконечно повторяющаяся последовательность цифр называется повторением или reptend . Если повторение представляет собой ноль, это десятичное представление называется завершающей десятичной дробью , а не повторяющейся десятичной дробью, поскольку нули можно опустить, и десятичная дробь заканчивается перед этими нулями. ^[1] Каждое конечное десятичное представление можно записать в виде десятичной дроби , дроби, знаменатель которой равен степени 10 (например, 1,585 =1585 г./1000); его также можно записать как отношение видак/2 ^н ·5 ^м(например, 1,585 =317/2 ³ ·5 ²). Однако каждое число с конечным десятичным представлением также тривиально имеет второе альтернативное представление в виде повторяющейся десятичной дроби, повторением которой является цифра 9 . Это получается путем уменьшения последней (самой правой) ненулевой цифры на единицу и добавления повторения 9. Два примера: 1,000... = 0,999... и 1,585000... = 1,584999... . (Этот тип повторяющейся десятичной дроби можно получить путем деления столбиком, если использовать модифицированную форму обычного алгоритма деления . ^[2] ).

Любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел , называется иррациональным . Их десятичное представление не заканчивается и не повторяется бесконечно, а продолжается вечно без повторений (см. § Каждое рациональное число является либо конечным, либо повторяющимся десятичным числом). Примерами таких иррациональных чисел являются √ 2 и π . ^[3]

Фон

Обозначения

Существует несколько условных обозначений для представления повторяющихся десятичных дробей. Ни один из них не принят повсеместно.

• Винкулум : в США , Канаде , Индии , Франции , Германии , Италии , Швейцарии , Чехии , Словакии , Словении и Турции принято проводить горизонтальную линию (винкулум) над повторением. ^{[ нужна цитата ]}
• Точки : в некоторых исламских странах, таких как Малайзия , Марокко , Пакистан , Тунис , Иран , Алжир и Египет , а также в Великобритании , Новой Зеландии , Австралии , Южной Африке , Японии , Таиланде , Индии, Южной Корее , Сингапуре и В Китайской Народной Республике принято ставить точки над крайними цифрами повторения. ^{[ нужна цитата ]}
• В скобках : В некоторых частях Европы , в т.ч. В Австрии , Дании , Финляндии , Нидерландах , Норвегии , Польше , России и Украине , а также во Вьетнаме и Израиле повторение следует заключать в круглые скобки. Это может привести к путанице с обозначением стандартной неопределенности . ^{[ нужна цитата ]}
• Дуга : в Испании и некоторых странах Латинской Америки , таких как Аргентина , Бразилия , Чили и Мексика , обозначение дуги над повторением также используется в качестве альтернативы обозначению винкулума и точек. ^{[ нужна цитата ]}
• Многоточие : неофициально повторяющиеся десятичные дроби часто обозначаются многоточием (три точки, 0,333...), особенно когда предыдущие правила записи впервые изучаются в школе. Это обозначение вносит неопределенность относительно того, какие цифры должны повторяться и даже происходит ли повторение вообще, поскольку такие эллипсы также используются для иррациональных чисел ; π , например, можно представить как 3,14159.... ^{[ нужна ссылка ]}

В английском языке существуют различные способы чтения вслух повторяющихся десятичных знаков. Например, 1.2 34 можно прочитать: «одна точка два повторяются три четыре», «одна точка два повторяются три четыре», «одна точка два повторяются три четыре», «одна точка два повторяются три четыре» или «одна точка два повторяются до бесконечности». три четыре". Аналогично, 11. 1886792452830 может быть прочитано как «одиннадцать точек, повторяющихся один двойной восемь, шесть, семь, девять, два, четыре, пять, два восемь три ноль», «одиннадцать очков, повторяющихся один двойной, восемь, шесть, семь, девять, два, четыре, пять, два, восемь, три ноль», «одиннадцать, повторяющихся точек». один двойной восемь шесть семь девять два четыре пять два восемь три ноль» «одиннадцать очков повторяют один двойной восемь шесть семь девять два четыре пять два восемь три ноль» или «одиннадцать очков в бесконечность один двойной восемь шесть семь девять два четыре пять два восемь три нуль".

Десятичное расширение и рекуррентная последовательность

Чтобы преобразовать рациональное число , представленное в виде дроби, в десятичную форму, можно использовать деление столбиком . Например, рассмотрим рациональное число5/74:

  0,0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

и т. д. Заметьте, что на каждом шаге имеется остаток; последовательные остатки, показанные выше, составляют 56, 42, 50. Когда мы получаем остаток 50 и опускаем «0», мы обнаруживаем, что делим 500 на 74, и это та же проблема, с которой мы начали. Следовательно, десятичная дробь повторяется: 0,0675 675 675 ....

Для любой целой дроби A/B остаток на шаге k для любого натурального числа k равен A × 10 ^k (по модулю B).

Каждое рациональное число представляет собой либо конечную, либо повторяющуюся десятичную дробь.

Для любого данного делителя может возникнуть только конечное число различных остатков. В приведенном выше примере 74 возможных остатка — это 0, 1, 2, ..., 73. Если в какой-либо точке деления остаток равен 0, расширение завершается в этой точке. Тогда длина повторения, также называемая «периодом», определяется как 0.

Если 0 никогда не встречается в остатке, то процесс деления продолжается вечно, и в конечном итоге должен появиться остаток, который возник раньше. Следующий шаг деления даст ту же новую цифру частного и тот же новый остаток, что и в предыдущий раз, остаток был тем же самым. Следовательно, следующее деление повторит те же результаты. Повторяющаяся последовательность цифр называется «повторением» и имеет определенную длину больше 0, также называемую «периодом». ^[4]

В десятичной системе счисления дробь имеет повторяющуюся десятичную дробь тогда и только тогда, когда в наименьших терминах ее знаменатель имеет любые простые множители, кроме 2 или 5, или, другими словами, не может быть выражен как 2 ^m  5 ⁿ , где m и n не являются отрицательные целые числа.

Каждая повторяющаяся или конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Каждое повторяющееся десятичное число удовлетворяет линейному уравнению с целыми коэффициентами, а его единственным решением является рациональное число. В приведенном выше примере α = 5,8144144144... удовлетворяет уравнению

Процесс нахождения этих целочисленных коэффициентов описан ниже.

Формальное доказательство

Учитывая повторяющуюся десятичную дробь, где , , и группы цифр, пусть , количество цифр . Умножение на разделяет повторяющиеся и завершающие группы: ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}.}$

Если десятичные дроби оканчиваются ( ), доказательство завершено. ^[5] Для цифр пусть где — конечная группа цифр. Затем, ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x=y.{\bar {c}}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}}$

где обозначает i- ю цифру , а ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.}$

Поскольку , ^[6] ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}}$

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.}$

Так как является суммой целого ( ) и рационального числа ( ), оно также является рациональным. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y-c}$ ${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$ ${\displaystyle x}$

Таблица значений

Таким образом, дробь является единичной дробью. 1/ни ℓ ₁₀ — длина (десятичного) повторения.

Длины ℓ ₁₀ ( n ) десятичных повторений1/н, n = 1, 2, 3, ..., равны:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0. .. (последовательность A051626 в OEIS ).

Для сравнения длины ℓ ₂ ( n ) двоичных повторений дробей1/н, n = 1, 2, 3, ..., равны:

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (=A007733[ n ], если n не степень 2, иначе =0).

Десятичная дробь повторяет1/н, n = 1, 2, 3, ..., равны:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 043 4782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, 032258064516129, 0, 03, 2941176470588235, 285714... (последовательность A036275 в OEIS ).

Десятичные длины повторения1/п, p = 2, 3, 5, ... ( n -е простое число), равны:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79... (последовательность A002371 в OEIS ) .

Наименьшее простое число p, для которого1/пимеет десятичную длину повторения n , n = 1, 2, 3, ..., являются:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001, 2028119, 909090909090909091, 900900900900990990990991, 16763 21, 83, 127, 173... (последовательность A007138 в OEIS ) .

Наименьшее простое число p, для которогок/пимеет n различных циклов ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., являются:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 10 1, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931... (последовательность A054471 в OEIS ).

Цитаты

1. Курант Р. и Роббинс Х. Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам, 2-е изд. Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета, 1996: стр. 67.
2. Бесвик, Ким (2004), «Почему 0,999... = 1?: Вечный вопрос и чувство числа», австралийский учитель математики , 60 (4): 7–9
3. «Оригинальное доказательство Ламберта, что $\pi$ иррационально». Математический обмен стеками . Проверено 19 декабря 2023 г.
4. Для базы b и делителя n с точки зрения теории групп эта длина делит

   ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}}$

   (с модульной арифметикой ≡ 1 mod n ), которая делит функцию Кармайкла

   ${\displaystyle \lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}}$

   которая снова делит функцию Эйлера φ ( n ).
5. Вуоринен, Аапели. «Рациональные числа имеют повторяющиеся десятичные расширения». Аапели Вуоринен . Проверено 23 декабря 2023 г.
6. «Наборы повторяющихся десятичных дробей». www.sjsu.edu . Архивировано из оригинала 23 декабря 2023 года . Проверено 23 декабря 2023 г.
7. РоРи (01 марта 2016 г.). «Докажите, что каждая повторяющаяся десятичная дробь представляет собой рациональное число». Спотыкающийся робот . Архивировано из оригинала 23 декабря 2023 года . Проверено 23 декабря 2023 г.

Дроби с простыми знаменателями

Дробь в наименьших выражениях с простым знаменателем, отличным от 2 или 5 (т. е . взаимно простым с 10), всегда дает повторяющуюся десятичную дробь. Длина повторения (период повторяющегося десятичного отрезка)1/правен порядку 10 по модулю p . Если 10 — примитивный корень по модулю p , то длина повторения равна p  — 1; если нет, то длина повторения кратна p  − 1. Этот результат можно вывести из маленькой теоремы Ферма , которая утверждает, что 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

Цифровой корень по основанию 10 повторения обратного числа любого простого числа больше 5 равен 9. ^[1]

Если повторяющаяся длина1/песли простое число p равно p  − 1, то повторение, выраженное как целое число, называется циклическим числом .

Циклические числа

Примерами фракций, принадлежащих к этой группе, являются:

• 1/7= 0.142857 , 6 повторяющихся цифр
• 1/17= 0.0588235294117647 , 16 повторяющихся цифр
• 1/19= 0.052631578947368421 , 18 повторяющихся цифр
• 1/23= 0.0434782608695652173913 , 22 повторяющиеся цифры
• 1/29= 0.0344827586206896551724137931 , 28 повторяющихся цифр
• 1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 повторяющихся цифр
• 1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 повторяющихся цифр
• 1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 повторяющихся цифр
• 1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 повторяющихся цифр

Список можно продолжить, включив в него дроби1/109,1/113,1/131,1/149,1/167,1/179,1/181,1/193,1/223,1/229и т. д. (последовательность A001913 в OEIS ).

Каждое правильное кратное циклическому числу (то есть кратное, имеющее одинаковое количество цифр) является вращением:

• 1/7= 1 × 0,142857 = 0,142857
• 2/7= 2 × 0,142857 = 0,285714
• 3/7= 3 × 0,142857 = 0,428571
• 4/7= 4 × 0,142857 = 0,571428
• 5/7= 5 × 0,142857 = 0,714285
• 6/7= 6 × 0,142857 = 0,857142

Причина циклического поведения очевидна из арифметического упражнения на деление числа в столбик.1/7: последовательные остатки представляют собой циклическую последовательность {1, 3, 2, 6, 4, 5} . См. также статью 142 857 , чтобы узнать больше о свойствах этого циклического числа.

Таким образом, циклическая дробь имеет повторяющуюся десятичную дробь четной длины, которая делится на две последовательности в форме дополнения девяток . Например1/7начинается с «142», за которым следует «857», а6/7(поочередно) начинается с «857», за которым следует дополнение девяток «142».

Вращение повторения циклического числа всегда происходит таким образом, что каждое последующее повторение является числом большим, чем предыдущее. Например, в приведенной выше последовательности мы видим, что 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142.... Это для циклических дробей с длинными повторениями: позволяет нам легко предсказать, каким будет результат умножения дроби на любое натуральное число n, если известно повторение.

Правильное простое число - это простое число p , которое заканчивается цифрой 1 по основанию 10 и обратное число которого по основанию 10 имеет повторение с длиной p  - 1. В таких простых числах каждая цифра 0, 1,..., 9 появляется в повторяющихся числах. последовательность того же количества раз, что и каждая другая цифра (а именно,п  - 1/10раз). Их: ^{[2] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571. , 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (последовательность A073761 в OEIS ).

Простое число является правильным простым тогда и только тогда, когда оно является полным повторяющимся простым числом и соответствует 1 по модулю 10.

Если простое число p одновременно является полным повторным простым и безопасным простым , то1/псоздаст поток из p  - 1 псевдослучайных цифр . Эти простые числа

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (последовательность A000353 в OEIS ) .

Другие обратные простым числам

Некоторые обратные простым числам, которые не генерируют циклические числа:

• 1/3= 0. 3 , который имеет период (длину повторения) 1.
• 1/11= 0,09 , период которого равен двум.
• 1/13= 0,076923 , период которого равен шести.
• 1/31= 0. 032258064516129 , период которого равен 15.
• 1/37= 0,027 , период которого равен трем.
• 1/41= 0.02439 , период которого равен пяти.
• 1/43= 0. 023255813953488372093 , период которого равен 21.
• 1/53= 0.0188679245283 , период которого равен 13.
• 1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , период которого равен 33.
• 1/71= 0. 01408450704225352112676058338028169 , период которого равен 35.
• 1/73= 0.01369863 , период которого равен восьми.
• 1/79= 0.0126582278481 , период которого равен 13.
• 1/83= 0. 01204819277108433734939759036144578313253 , период которого равен 41.
• 1/89= 0. 01123595505617977528089887640449438202247191 , период которого равен 44.

(последовательность A006559 в OEIS )

Причина в том, что 3 — делитель 9, 11 — делитель 99, 41 — делитель 99999 и т. д. Чтобы найти период1/п, мы можем проверить, делит ли простое число p некоторое число 999...999, в котором количество цифр делит p  − 1. Поскольку период никогда не превышает p  − 1, мы можем получить это, вычислив10 ^{р −1} − 1/п. Например, для 11 получим

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

а затем путем проверки найдите повтор 09 и период 2.

Эти числа, обратные простым числам, могут быть связаны с несколькими последовательностями повторяющихся десятичных дробей. Например, кратные1/13можно разделить на два набора с разными повторениями. Первый набор это:

• 1/13= 0,076923...
• 10/13= 0,769230...
• 9/13= 0,692307...
• 12/13= 0,923076...
• 3/13= 0,230769...
• 4/13= 0,307692...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перестановку 076923. Второй набор:

• 2/13= 0,153846...
• 7/13= 0,538461...
• 5/13= 0,384615...
• 11/13= 0,846153...
• 6/13= 0,461538...
• 8/13= 0,615384...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перестановку 153846.

В общем, набор правильных кратных чисел, обратных простому числу p, состоит из n подмножеств, каждое из которых имеет длину повторения  k , где nk  =  p  − 1.

Тотентное правило

Для произвольного целого числа n длина L ( n ) десятичного повторения1/нделит φ ( n ), где φ — функция тотента . Длина равна φ ( n ) тогда и только тогда, когда 10 является примитивным корнем по модулю n . ^[3]

В частности, отсюда следует, что L ( p ) = p − 1 тогда и только тогда, когда p — простое число, а 10 — примитивный корень по модулю p . Тогда десятичные разложениян/пдля n = 1, 2, ..., p  − 1 все они имеют период p  − 1 и отличаются только циклической перестановкой. Такие числа p называются полными повторяющимися простыми числами .

Обратные числа составных целых чисел, взаимно простых с 10.

Если p — простое число, отличное от 2 или 5, десятичное представление дроби1/п ²повторяет:

1/49= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Период (длина повторения) L (49) должен быть коэффициентом λ (49) = 42, где λ ( n ) известна как функция Кармайкла . Это следует из теоремы Кармайкла , которая утверждает, что если n — положительное целое число, то λ ( n ) — наименьшее целое число m такое, что

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

для каждого целого числа a , взаимно простого с n .

Период1/п ²обычно представляет собой pT _p , где T _p — период1/п. Есть три известных простых числа, для которых это неверно, и для них период1/п ²совпадает с периодом1/ппотому что p ² делит 10 ^{p −1} −1. Эти три простых числа — 3, 487 и 56598313 (последовательность A045616 в OEIS ). ^[4]

Аналогично, период1/пк ^_обычно составляет p ^{k –1} T _p

Если p и q — простые числа, отличные от 2 или 5, десятичное представление дроби1/пкповторяется. Примером является1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = НОК ( λ (7), λ (17)) = НОК(6, 16) = 48,

где НОК обозначает наименьшее общее кратное .

Период Т _1/пкявляется фактором λ ( pq ), и в этом случае он равен 48:

1/119= 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Период Т _1/пкLCM( T _p ,  T _q ), где T _p — период1/пT _q – период1/д.

Если p , q , r и т. д. — простые числа, отличные от 2 или 5, а k , ℓ , m и т. д. — положительные целые числа, то

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

представляет собой повторяющуюся десятичную дробь с периодом

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

где T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... соответственно период повторяющихся десятичных знаков1/пк ^_,1/д ^ℓ,1/р ^м,... как определено выше.

Обратные целые числа, не взаимно простые с 10

Целое число, которое не является взаимно простым с 10, но имеет простой делитель, отличный от 2 или 5, имеет обратную величину, которая в конечном итоге является периодической, но с неповторяющейся последовательностью цифр, предшествующей повторяющейся части. Взаимное отношение может быть выражено как:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

где a и b не равны нулю.

Эту дробь можно также выразить как:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

если a > b или как

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

если b > a или как

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

если а = б .

Десятичная дробь имеет:

• Начальный переходный процесс из max( a ,  b ) цифр после десятичной точки. Некоторые или все цифры переходного процесса могут быть нулями.
• Последующее повторение, такое же, как и для дроби1/п ^k q ^ℓ ⋯.

Например1/28= 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0, а остальные факторы p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• есть 2 начальные неповторяющиеся цифры, 03; и
• 6 повторяющихся цифр, 571428, столько же, сколько1/7имеет.

Преобразование повторяющихся десятичных дробей в дроби

Учитывая повторяющуюся десятичную дробь, можно вычислить дробь, из которой она образуется. Например:

Другой пример:

Ярлык

Приведенную ниже процедуру можно применить, в частности, если повторение имеет n цифр, все из которых равны 0, кроме последней, равной 1. Например, для n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Таким образом, эта конкретная повторяющаяся десятичная дробь соответствует дроби1/10 ^н  - 1, где знаменатель — это число, записанное как n 9s. Зная именно это, обычную повторяющуюся десятичную дробь можно выразить в виде дроби, не решая уравнения. Например, можно было бы рассуждать так:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

Можно получить общую формулу, выражающую повторяющуюся десятичную дробь с периодом из n цифр (длиной повторения), начинающуюся сразу после десятичной точки, в виде дроби:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Более явно можно получить следующие случаи:

Если повторяющаяся десятичная дробь находится в диапазоне от 0 до 1, а повторяющийся блок имеет длину n цифр и впервые встречается сразу после десятичной точки, то дробь (не обязательно уменьшенная) будет целым числом, представленным блоком из n цифр, разделенным на один представлен n 9s. Например,

• 0,444444... =4/9поскольку повторяющийся блок равен 4 (блок из 1 цифры),
• 0,565656... =56/99поскольку повторяющийся блок равен 56 (2-значный блок),
• 0,012012... =12/999поскольку повторяющийся блок — 012 (3-значный блок); это еще больше сводится к4/333.
• 0,999999... =9/9= 1, поскольку повторяющийся блок равен 9 (также однозначный блок)

Если повторяющаяся десятичная дробь такая же, как указано выше, за исключением того, что между десятичной запятой и повторяющимся блоком из n цифр есть k (дополнительных) цифр 0 , то можно просто добавить k цифр 0 после n цифр 9 знаменателя (и, как раньше дробь впоследствии может быть упрощена). Например,

• 0,000444... =4/9000поскольку повторяющийся блок равен 4 и этому блоку предшествуют 3 нуля,
• 0,005656... =56/9900поскольку повторяющийся блок имеет номер 56 и ему предшествуют 2 нуля,
• 0,00012012... =12/99900"="1/8325поскольку повторяющийся блок — 012, и ему предшествуют 2 нуля.

Любую повторяющуюся десятичную дробь, отличную от описанной выше формы, можно записать как сумму завершающей десятичной дроби и повторяющейся десятичной дроби одного из двух вышеуказанных типов (на самом деле достаточно первого типа, но для этого может потребоваться, чтобы конечная десятичная дробь была отрицательной). Например,

• 1,23444... = 1,23 + 0,00444... =123/100+4/900"="1107/900+4/900"="1111/900
  • или альтернативно 1,23444... = 0,79 + 0,44444... =79/100+4/9"="711/900+400/900"="1111/900
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... =3/10+789/9990"="2997 г./9990+789/9990"="3786/9990"="631/1665 г.
  • или альтернативно 0,3789789... = -0,6 + 0,9789789... = -6/10+ 978/999 = −5994/9990+9780/9990"="3786/9990"="631/1665 г.

Еще более быстрый метод — полностью игнорировать десятичную точку и действовать следующим образом.

• 1,23444... =1234 − 123/900"="1111/900(в знаменателе одна девятка и два нуля, потому что одна цифра повторяется, а после десятичной точки есть две неповторяющиеся цифры)
• 0,3789789... =3789 − 3/9990"="3786/9990(в знаменателе есть три девятки и один 0, потому что три цифры повторяются, а после десятичной точки есть одна неповторяющаяся цифра)

Отсюда следует, что любую повторяющуюся десятичную дробь с периодом n и k цифрами после запятой, не принадлежащими повторяющейся части, можно записать как (не обязательно уменьшенную) дробь, знаменатель которой равен (10 ⁿ  - 1)10 ^k .

И наоборот, период повторяющейся десятичной дробис/дбудет (не более) наименьшим числом n таким, что 10 ⁿ  − 1 делится на d .

Например, дробь2/7имеет d = 7, а наименьшее k , при котором 10 ^k  − 1 делится на 7, равно k = 6, поскольку 999999 = 7 × 142857. Период дроби2/7следовательно, 6.

В сжатом виде

На следующем рисунке показано сжатие приведенного выше ярлыка. Тем самым представляет собой цифры целой части десятичного числа (слева от десятичной точки), составляет строку цифр предпериода и его длину и представляет собой строку повторяющихся цифр (периода) с длиной, равной ненулевой. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$



Правило формирования

В сгенерированной дроби цифра будет повторяться раз, а цифра будет повторяться раз. ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$

Обратите внимание, что при отсутствии целой части в десятичной дроби она будет представлена ​​нулем, который находится слева от остальных цифр, не повлияет на конечный результат и может быть опущен при вычислении производящей функции. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Примеры:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

Символ в приведенных выше примерах обозначает отсутствие цифр десятичной дроби, а следовательно, и соответствующее отсутствие в образующейся дроби. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$

Повторение десятичных дробей в виде бесконечной серии

Повторяющуюся десятичную дробь можно также выразить в виде бесконечной серии . То есть повторяющуюся десятичную дробь можно рассматривать как сумму бесконечного числа рациональных чисел. Если взять самый простой пример,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

Вышеупомянутый ряд представляет собой геометрический ряд с первым членом как1/10и общий фактор1/10. Поскольку абсолютное значение общего множителя меньше 1, мы можем сказать, что геометрическая прогрессия сходится , и найти точное значение в виде дроби, используя следующую формулу, где a — первый член ряда, а r — Общий делитель.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

Сходным образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Умножение и циклическая перестановка

Циклическое поведение повторяющихся десятичных дробей при умножении также приводит к построению целых чисел, которые циклически переставляются при умножении на определенные числа. Например, 102564 × 4 = 410256 . 102564 — это повторение4/39и 410256 повторение16/39.

Другие свойства длины повторения

Различные свойства повторяющихся длин (периодов) даны Митчеллом ^[5] и Диксоном. ^[6]

• Период1/кдля целого числа k всегда ≤  k  − 1.
• Если p простое число, период1/пделится без остатка на p  − 1.
• Если k составное, период1/кстрого меньше k  − 1.
• Периодс/к, для c , взаимно простого с k , равен периоду1/к.
• Если k  = 2 ^a · 5 ^b n , где n  > 1 и n не делится на 2 или 5, то длина переходного процесса1/кis max( a ,  b ), а период равен r , где r — порядок мультипликативного числа 10 по модулю n, то есть наименьшее целое число такое, что 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
• Если p , p′ , p″ ,... — различные простые числа, то период1/п п′ п″ ⋯равно наименьшему общему кратному периодов1/п,1/п',1/п",....
• Если k и k' не имеют общих простых делителей, кроме 2 или 5, то период1/кк'равно наименьшему общему кратному периодов1/ки1/к'.
• Для простого числа p , если

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

для некоторых м , но

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

тогда для c  ≥ 0 имеем

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Если p — правильное простое число , оканчивающееся на 1, то есть если повторение1/п— циклическое число длины p  − 1 и p = 10 h  + 1 для некоторого h , то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении ровно h = п  - 1/10раз.

Некоторые другие свойства повторений см. также. ^[7]

Расширение на другие базы

Различные особенности повторяющихся десятичных дробей распространяются на представление чисел во всех других целочисленных системах счисления, а не только в системе 10:

• Каждое действительное число может быть представлено как целая часть, за которой следует точка системы счисления (обобщение десятичной точки на недесятичные системы), за которой следует конечное или бесконечное количество цифр .
• Если основанием является целое число, завершающая последовательность, очевидно, представляет собой рациональное число.
• Рациональное число имеет конечную последовательность, если все простые делители знаменателя полностью приведенной дробной формы являются также делителями основания. Эти числа составляют плотное множество в Q и R.
• Если позиционная система счисления стандартная, то есть имеет основание

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

в сочетании с последовательным набором цифр

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

с р  := | б | , d _r  := d ₁ + r − 1 и 0 ∈ D , то завершающая последовательность, очевидно, эквивалентна той же последовательности с незавершающей повторяющейся частью, состоящей из цифры 0. Если основание положительно, то существует порядок гомоморфизм из лексикографического порядка правосторонних бесконечных строк над алфавитом D в некоторый замкнутый интервал действительных чисел, который отображает _строки 0. A ₁ A ₂ ... And _d b и 0. A ₁ A ₂ .. .( An ₊₁ ) d ₁ с A _i ∈ D и An ≠ d _{b до одного и того же действительного числа} – и нет других повторяющихся изображений. В десятичной системе, например, 0, 9  = 1, 0  = 1; в сбалансированной тройной системе 0. 1  = 1. T  = 1/2.

• Рациональное число имеет бесконечно повторяющуюся последовательность конечной длины l , если знаменатель приведенной дроби содержит простой множитель, не являющийся делителем основания. Если q — максимальный множитель приведенного знаменателя, который взаимно прост с основанием, l — наименьший показатель степени, такой что q делит b ^ℓ − 1 . Это мультипликативный порядок ord _q ( b ) класса вычетов b mod q , который является делителем функции Кармайкла λ ( q ) , которая, в свою очередь, меньше q . Повторяющейся последовательности предшествует переходный процесс конечной длины, если сокращенная дробь также имеет общий простой множитель с основанием. Повторяющаяся последовательность

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

представляет дробь

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.}$

• Иррациональное число имеет представление бесконечной длины, которое ни в какой точке не является бесконечно повторяющейся последовательностью конечной длины.

Например, в двенадцатеричной системе счисления ,1/2= 0,6,1/3= 0,4,1/4= 0,3 и1/6= 0,2 все прекращается;1/5= 0,2497 повторений с длиной периода 4, в отличие от эквивалентного десятичного расширения 0,2;1/7= 0. 186A35 имеет период 6 в двенадцатеричной системе счисления, как и в десятичной системе счисления.

Если b — целочисленное основание, а k — целое число, то

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.}$

Например, 1/7 в двенадцатеричной системе счисления:

$${\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}$$

что равно 0.186A35 _base12 . 10 _{по основанию} 12 = 12 _{по основанию 10} , 10 ² _{по основанию 12} = 144 _{по основанию 10} , 21 _{по основанию 12} = 25 _{по основанию 10} , A5 _{по основанию 12} = 125 _{по основанию 10} .

Алгоритм для положительных оснований

Для рационального 0 <п/д< 1 (и основание b ∈ N _>1 ), существует следующий алгоритм, создающий повтор вместе с его длиной:

функция b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 <p <q цифр = «0123...» ; // до цифры со значением b–1 Begin s = "" ; // строка цифр pos = 0 ; // все места находятся справа от точки счисления , пока они не определены ( происходит [ p ]) do происходит [ p ] = pos ; // позиция места с остатком p bp = b * p ; z = пол ( bp / q ) ; // индекс z цифры внутри: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q , если p = 0 , то L = 0 ; если не z = 0 , то s = s . подстрока ( цифры , z , 1 ) заканчивается , если return ( s ) ; конец , если s = s . подстрока ( цифры , z , 1 ) ; // добавляем символ цифры pos += 1 ; конец , пока L = pos - происходит [ p ] ; // длина повторения (< q) // отмечаем цифры повторения винкулом: для i от встречается [ p ] до pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , я , 1 )) ; конец для возврата ( ов ) ; конец                                                                                                      функция

Первая выделенная строка вычисляет цифру z .

Следующая строка вычисляет новый остаток p' от деления по модулю знаменателя q . Как следствие функции пола floor имеем

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

таким образом

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

и

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Поскольку все эти остатки p являются неотрицательными целыми числами, меньшими q , их может быть только конечное число, в результате чего они должны повторяться в цикле while. Такое повторение обнаруживается ассоциативным массивом occurs . Новая цифра z формируется на желтой линии, где p — единственная непостоянная величина. Длина повторения L равна количеству остатков (см. также раздел «Каждое рациональное число является либо конечным, либо повторяющимся десятичным числом»).

Приложения к криптографии

Повторяющиеся десятичные дроби (также называемые десятичными последовательностями) нашли применение в криптографии и кодировании с коррекцией ошибок. ^[8] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби по основанию 2, что приводит к образованию двоичных последовательностей. Максимальная длина двоичной последовательности для1/п(когда 2 является примитивным корнем p ) определяется следующим образом: ^[9]

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}}$

Эти последовательности периода p  - 1 имеют автокорреляционную функцию с отрицательным пиком -1 для сдвигап  - 1/2. Случайность этих последовательностей была проверена с помощью жестких тестов . ^[10]

Смотрите также

• Десятичное представление
• Полный повторный премьер
• Теорема Миди
• Паразитное число
• Завершающий ноль
• Уникальный премьер
• 0,999... , повторяющаяся десятичная дробь, равная единице.
• Принцип «ячейки»

Ссылки и замечания

1. Грей, Александр Дж. (март 2000 г.). «Цифровые корни и обратные простым числам». Математический вестник . 84 (499): 86. дои : 10.2307/3621484. JSTOR  3621484. S2CID  125834304. Для простых чисел больше 5 все цифровые корни имеют одинаковое значение 9. Мы можем подтвердить это, если...
2. Диксон, Л. Е., История теории чисел , Том 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
3. Уильям Э. Хил. Некоторые свойства повторов. Анналы математики, Vol. 3, № 4 (август 1887 г.), стр. 97–103.
4. Альберт Х. Бейлер, Отдых в теории чисел , с. 79
5. Митчелл, Дуглас В., «Нелинейный генератор случайных чисел с известной длинной длиной цикла», Cryptologia 17, январь 1993 г., стр. 55–62.
6. Диксон, Леонард Э. , История теории чисел , Том. Я , издательство «Челси». Co., 1952 (исходник: 1918), стр. 164–173.
7. Армстронг, Нью-Джерси, и Армстронг, Р.Дж., «Некоторые свойства повторений», Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., стр. 437–443.
8. Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». Транзакции IEEE по теории информации , том. IT-27, стр. 647–652, сентябрь 1981 г.
9. Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с использованием d-последовательностей». Транзакции IEEE на компьютерах , том. C-34, стр. 803–809, 1985.
10. Беллами, Дж. «Случайность последовательностей D посредством жесткого тестирования». 2013. arXiv : 1312.3618.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Повторяющаяся десятичная дробь». Математический мир .