Обозначение Эйнштейна

Сокращенное обозначение тензорных операций

В математике , особенно при использовании линейной алгебры в математической физике и дифференциальной геометрии , нотация Эйнштейна (также известная как соглашение о суммировании Эйнштейна или нотация суммирования Эйнштейна ) представляет собой соглашение о нотации, которое подразумевает суммирование по набору индексированных членов в формуле, таким образом достигая краткость. Как часть математики, это обозначение подмножества исчисления Риччи ; однако он часто используется в физических приложениях, которые не различают касательные и котангенсные пространства . Он был введен в физику Альбертом Эйнштейном в 1916 году. ^[1]

Введение

Заявление о конвенции

Согласно этому соглашению, когда индексная переменная появляется дважды в одном термине и не определена иным образом (см. Свободные и связанные переменные ), это подразумевает суммирование этого термина по всем значениям индекса. Итак, где индексы могут варьироваться в пределах набора {1, 2, 3} ,

$${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}}$$

$${\displaystyle y=c_{i}x^{i}}$$

Верхние индексы не являются экспонентами , а являются индексами координат, коэффициентов или базисных векторов . То есть в этом контексте x ² следует понимать как второй компонент x , а не как квадрат x (иногда это может приводить к двусмысленности). Верхняя позиция индекса в x ⁱ обусловлена ​​тем, что, как правило, индекс встречается один раз в верхней (надстрочный индекс) и один раз в нижней (индексной) позиции в термине (см. § Применение ниже). Обычно ( x ¹ x ² x ³ ) эквивалентно традиционному ( x y z ) .

В общей теории относительности принято считать, что

• греческий алфавит используется для компонентов пространства и времени, где индексы принимают значения 0, 1, 2 или 3 (часто используемые буквы — μ , ν , ... ),
• латиница используется только для пространственных компонентов, где индексы принимают значения 1, 2 или 3 (часто используемые буквы — i , j , ... ),

В общем, индексы могут располагаться в любом наборе индексации , включая бесконечный набор . Это не следует путать с типографически похожим соглашением, используемым для различения нотации тензорного индекса и тесно связанной, но отличной, независимой от базиса абстрактной нотации индекса .

Индекс, по которому суммируется, является индексом суммирования , в данном случае « i  ». Его еще называют фиктивным индексом , поскольку любой символ может заменить « i  » без изменения смысла выражения (при условии, что он не конфликтует с другими индексными символами в том же термине).

Индекс, по которому не суммируется, является свободным индексом и должен появляться только один раз за термин. Если такой индекс действительно появляется, он обычно также появляется в любом другом члене уравнения. Примером свободного индекса является буква « i  » в уравнении , которая эквивалентна уравнению . ${\displaystyle v_{i}=a_{i}b_{j}x^{j}}$ ${\textstyle v_{i}=\sum _{j}(a_{i}b_{j}x^{j})}$

Приложение

Обозначения Эйнштейна можно применять несколько по-разному. Обычно каждый индекс встречается один раз в верхней (надстрочный индекс) и один раз в нижней (нижний индекс) позиции термина; однако это соглашение можно применять в более общем плане к любым повторяющимся индексам в пределах термина. ^[2] При работе с ковариантными и контравариантными векторами, где положение индекса также указывает на тип вектора, обычно применяется первый случай; ковариантный вектор можно сжать только с контравариантным вектором, соответствующим суммированию произведений коэффициентов. С другой стороны, когда существует фиксированный базис координат (или если не учитывать координатные векторы), можно использовать только индексы; см. § Верхние и нижние индексы по сравнению только с нижними индексами ниже.

Векторные представления

Верхние и нижние индексы по сравнению только с нижними индексами

С точки зрения ковариации и контравариантности векторов ,

• верхние индексы представляют собой компоненты контравариантных векторов ( векторов ),
• нижние индексы представляют собой компоненты ковариантных векторов ( ковекторов ).

Они преобразуются контравариантно или ковариантно соответственно по отношению к изменению базиса .

В знак признания этого факта в следующих обозначениях используется один и тот же символ как для вектора или ковектора, так и для его компонентов , например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\\w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

где v — вектор, а vi — ^его компоненты (не i- й ковектор v ), w — ковектор, а w _i — его компоненты. Элементами базисного вектора являются каждый вектор-столбец, а базисными элементами ковектора являются каждый ковектор-строка. (См. также § Абстрактное описание; двойственность , ниже и примеры ) ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e^{i}}$

При наличии невырожденной формы ( изоморфизма V → V ^∗ , например римановой метрики или метрики Минковского ) можно повышать и понижать индексы .

Базис дает такую ​​форму (через двойственный базис ), следовательно, при работе с R ⁿ с евклидовой метрикой и фиксированным ортонормированным базисом можно работать только с индексами.

Однако если кто-то меняет координаты, то, как изменяются коэффициенты, зависит от дисперсии объекта, и игнорировать это различие нельзя; см. Ковариантность и контравариантность векторов .

Мнемоника

В приведенном выше примере векторы представлены как матрицы n × 1 (векторы-столбцы), а ковекторы представлены как матрицы 1 × n (ковекторы-строки).

При использовании соглашения о векторе-столбце:

• « Верхние индексы идут вверх вниз; нижние индексы идут слева направо».
• « Тензоры вариантов Co — это векторы- строки , индексы которых находятся ниже ( co-row-below )».
• Ковекторы — это векторы-строки:
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.}$$
  Следовательно, нижний индекс указывает, в каком столбце вы находитесь.
• Контравариантные векторы — это векторы-столбцы:
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}}$$
  Следовательно, верхний индекс указывает, в какой строке вы находитесь.

Абстрактное описание

Достоинство обозначений Эйнштейна состоит в том, что они представляют инвариантные величины простыми обозначениями.

В физике скаляр инвариантен относительно преобразований базиса. В частности, скаляр Лоренца инвариантен относительно преобразования Лоренца . Отдельные члены в сумме отсутствуют. При изменении базиса компоненты вектора изменяются посредством линейного преобразования, описываемого матрицей. Это побудило Эйнштейна предложить соглашение, согласно которому повторяющиеся индексы подразумевают необходимость суммирования.

Что касается ковекторов, то они изменяются по обратной матрице . Это сделано для того, чтобы гарантировать, что линейная функция, связанная с ковектором, сумма, указанная выше, одинакова независимо от базиса.

Ценность соглашения Эйнштейна в том, что оно применимо к другим векторным пространствам , построенным из V с использованием тензорного произведения и двойственности . Например, V ⊗  V , тензорное произведение V на самого себя, имеет базис, состоящий из тензоров вида e _ij = e _i ⊗ e _j . Любой тензор T в V ⊗  V можно записать как:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}.}$$

V  * , двойственный V , имеет базис e ¹ , e ² , ..., en ^, который подчиняется правилу

$${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.}$$

δдельта Кронекера

$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$$

Общие операции в этой записи

В нотации Эйнштейна обычная ссылка на элемент для -й строки и -го столбца матрицы становится . Затем мы можем записать следующие операции в обозначениях Эйнштейна следующим образом. ${\displaystyle A_{mn}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {A^{m}}_{n}}$

Внутренний продукт

Используя ортогональный базис , внутренний продукт ( векторное скалярное произведение ) представляет собой сумму соответствующих компонентов, умноженных вместе:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{j}v^{j}}$$

Это также можно вычислить, умножив ковектор на вектор.

Векторное векторное произведение

Опять же, используя ортогональный базис (в трех измерениях), векторное произведение по своей сути включает в себя суммирование по перестановкам компонентов:

$${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\varepsilon ^{i}}_{jk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}}$$

$${\displaystyle {\varepsilon ^{i}}_{jk}=\delta ^{il}\varepsilon _{ljk}}$$

ε _ijk — символ Леви-Чивита , а δ ^il — обобщенная дельта Кронекера . Основываясь на этом определении ε , нет никакой разницы между ε ⁱ _jk и ε _ijk , кроме положения индексов.

Матричное-векторное умножение

Произведение матрицы A _ij на вектор-столбец v _j равно:

$${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}}$$

$${\displaystyle u^{i}={A^{i}}_{j}v^{j}}$$

Это частный случай умножения матриц.

Умножение матрицы

Матричное произведение двух матриц A _ij и B _jk равно:

$${\displaystyle \mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}}$$

эквивалентно

$${\displaystyle {C^{i}}_{k}={A^{i}}_{j}{B^{j}}_{k}}$$

След

Для квадратной матрицы A ⁱ _j след представляет собой сумму диагональных элементов, следовательно, сумму по общему индексу A ⁱ _i .

Внешний продукт

Внешнее произведение вектора-столбца u ⁱ на вектор-строку v _j дает матрицу A размера m  ×  n :

$${\displaystyle {A^{i}}_{j}=u^{i}v_{j}={(uv)^{i}}_{j}}$$

Поскольку i и j представляют два разных индекса, суммирование не производится, и индексы не исключаются при умножении.

Повышение и понижение индексов

Учитывая тензор , можно повысить или понизить индекс, сжимая тензор с метрическим тензором g _µν . Например, взяв тензор T ^α _β , можно понизить индекс:

$${\displaystyle g_{\mu \sigma }{T^{\sigma }}_{\beta }=T_{\mu \beta }}$$

Или можно поднять индекс:

$${\displaystyle g^{\mu \sigma }{T_{\sigma }}^{\alpha }=T^{\mu \alpha }}$$

Смотрите также

• Тензор
• Обозначение абстрактного индекса
• Обозначение Бра-кета
• Графические обозначения Пенроуза
• Символ Леви-Чивита
• Обозначение ДеВитта

Примечания

1. Это касается только числовых индексов. Для абстрактных индексов ситуация противоположная . Затем сами векторы несут верхние абстрактные индексы, а ковекторы — нижние абстрактные индексы, как показано в примере во введении к этой статье. Элементы базиса векторов могут иметь нижний числовой индекс и верхний абстрактный индекс.

Рекомендации

1. Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности». Аннален дер Физик . 354 (7): 769. Бибкод : 1916АнП...354..769Е. дои : 10.1002/andp.19163540702. Архивировано из оригинала ( PDF ) 29 августа 2006 г. . Проверено 3 сентября 2006 г.
2. «Суммирование Эйнштейна». Вольфрам Математический мир . Проверено 13 апреля 2011 г.

Библиография

• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Правило Эйнштейна», Математическая энциклопедия , EMS Press.

Внешние ссылки

• Роулингс, Стив (1 февраля 2007 г.). «Лекция 10 - Соглашение о суммировании Эйнштейна и векторные тождества». Оксфордский университет. Архивировано из оригинала 06 января 2017 г. Проверено 2 июля 2008 г.
• «Понимание einsum NumPy». Переполнение стека .