Линейная карта

Математическая функция в линейной алгебре

В математике , и, более конкретно, в линейной алгебре , линейное отображение (также называемое линейным отображением , линейным преобразованием , гомоморфизмом векторного пространства или, в некоторых контекстах, линейной функцией ) — это отображение между двумя векторными пространствами , которое сохраняет операции сложения векторов и скалярных операций. умножение . Те же имена и те же определения используются и для более общего случая модулей над кольцом ; см. Гомоморфизм модулей . ${\displaystyle V\to W}$

Если линейное отображение является биекцией , то оно называетсялинейный изоморфизм . В случае, когда линейное отображение называетсялинейным эндоморфизмом. Иногда этот термин ${\displaystyle V=W}$линейный оператор относится к этому случаю,^[1]но термин «линейный оператор» может иметь разные значения для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоиявляютсяреальнымивекторными пространствами (не обязательно с),^{[ нужна цитата ]}или его можно использовать, чтобы подчеркнуть, чтоэтофункциональное пространство, что является общепринятым соглашением вфункциональном анализе. ^[2]Иногда термин «линейная функция» имеет то же значение, что и«линейная карта», но ванализеэто не так. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle V}$

Линейное отображение от до всегда отображает начало координат в начало координат . Более того, он отображает линейные подпространства в на линейные подпространства в (возможно, меньшей размерности ); ^[3] например, он отображает плоскость , проходящую через начало координат в, либо в плоскость, проходящую через начало координат в , либо в линию, проходящую через начало координат в , либо просто в начало координат в . Линейные карты часто могут быть представлены в виде матриц , а простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

На языке теории категорий линейные карты — это морфизмы векторных пространств.

Определение и первые последствия

Пусть и — векторные пространства над одним и тем же полем . Функция называется линейным отображением , если для любых двух векторов и любого скаляра выполняются следующие два условия: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c\in K}$

• Аддитивность /операция сложения
  $${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• Однородность степени 1 / операция скалярного умножения
  $${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

Таким образом, линейное отображение называется сохраняющим операции . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейное отображение до (правые части приведенных выше примеров) или после (левые части примеров) операций сложения и скалярного умножения.

В силу ассоциативности операции сложения, обозначаемой знаком +, для любых векторов и скаляров справедливо равенство: ^{[4] [5]} ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$ ${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$

$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

линейные комбинации

Обозначая нулевые элементы векторных пространств и через и соответственно, получим Пусть и в уравнении однородности степени 1: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$ ${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$ ${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\textstyle \mathbf {v} \in V}$

$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

Линейное отображение , рассматриваемое как одномерное векторное пространство над собой, называется линейным функционалом . ^[6] ${\displaystyle V\to K}$ ${\displaystyle K}$

Эти утверждения распространяются на любой левый модуль над кольцом без изменений и на любой правый модуль после обращения скалярного умножения. ${\textstyle {}_{R}M}$ ${\displaystyle R}$

Примеры

• Прототипическим примером, дающим имя линейным картам, является функция , график которой представляет собой линию, проходящую через начало координат. ^[7] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• В более общем смысле, любая гомотетия с центром в начале векторного пространства представляет собой линейное отображение (здесь c — скаляр). ${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• Нулевая карта между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем ) линейна. ${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• Тождественное отображение любого модуля представляет собой линейный оператор.
• Для действительных чисел карта не является линейной. ${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• Для действительных чисел отображение не является линейным (но представляет собой аффинное преобразование ). ${\textstyle x\mapsto x+1}$
• Если действительная матрица , то определяет линейную карту от до , отправляя вектор-столбец в вектор-столбец . И наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. § Матрицы ниже. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• If — изометрия вещественных нормированных пространств такая, что then — линейное отображение. Этот результат не обязательно верен для комплексного нормированного пространства. ^[8] ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$
• Дифференцирование определяет линейное отображение пространства всех дифференцируемых функций в пространство всех функций. Он также определяет линейный оператор в пространстве всех гладких функций (линейный оператор — это линейный эндоморфизм , то есть линейное отображение с той же областью определения и кодомной областью ). Действительно,
  $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• Определенный интеграл по некоторому интервалу I представляет собой линейное отображение пространства всех вещественнозначных интегрируемых функций на I в . Действительно, ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  $${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• Неопределенный интеграл (или первообразная ) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение пространства всех вещественных интегрируемых функций на пространство всех вещественных дифференцируемых функций на . Без фиксированной отправной точки первообразная отображается в фактор-пространство дифференцируемых функций с помощью линейного пространства постоянных функций. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Если и являются конечномерными векторными пространствами над полем F размерностей m и n соответственно , то функция, которая отображает линейные отображения в матрицы размера n × m способом, описанным в § Матрицы (ниже), является линейным отображением, и даже линейный изоморфизм . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\textstyle f:V\to W}$
• Ожидаемое значение случайной величины (которая на самом деле является функцией и, как таковая, элементом векторного пространства) линейно, как и для случайных величин и у нас есть и , но дисперсия случайной величины не является линейной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$ ${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• 
  Функция с является линейным отображением. Эта функция масштабирует компонент вектора в коэффициенте . ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle 2}$
• 
  Функция аддитивна: не имеет значения, сначала складываются векторы, а затем отображаются, или они отображаются и наконец добавляются: ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  Функция однородна: не имеет значения, сначала масштабируется вектор, а затем отображается или сначала отображается, а затем масштабируется: ${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$ ${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Линейные расширения

Часто линейная карта создается путем определения ее на подмножестве векторного пространства, а затемраспространяющийся по линейности налинейную оболочкуобласти. Предположим, что и— векторные пространства, а—функция, определенная на некотором подмножестве. Тогда ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$линейное расширение to,если ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$оно существует, является линейным отображением, определенным нанем, котороерасширяет^{[примечание 1]}(это означает, чтодля всех) и принимает свои значения из кодомена^[9] . Когда подмножествоявляется векторным подпространством тогдаa (-значное ) линейное расширениена всегарантированно существует, если (и только если)является линейным отображением. ^[9]В частности, еслиимеет линейное расширение до, то оно имеет линейное расширение и на все ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(s)=f(s)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle X.}$

Карта может быть расширена до линейной карты тогда и только тогда, когда любое целое число, скаляры и векторы такие, что тогда обязательно ^[10] Если линейное расширение существует, то линейное расширение уникально и ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$ ${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$ ${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$

$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$

^[10] ${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$ ${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:S\to Y}$ ${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

Например, если и тогда присваивание и может быть линейно расширено от линейно независимого набора векторов до линейного отображения на. Уникальное линейное расширение — это отображение, которое отправляет ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)\to -1}$ ${\displaystyle (0,1)\to 2}$ ${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

Каждый (скалярнозначный) линейный функционал , определенный на векторном подпространстве вещественного или комплексного векторного пространства, имеет линейное расширение на все Действительно, теорема о доминируемом расширении Хана – Банаха даже гарантирует, что, когда этот линейный функционал доминирует некоторой заданной полунормой ( означает, что это справедливо для всех в области ), то существует линейное расширение, в котором также доминирует ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

Матрицы

Если и являются конечномерными векторными пространствами и для каждого векторного пространства определен базис , то каждое линейное отображение от до может быть представлено матрицей . ^[11] Это полезно, поскольку позволяет проводить конкретные расчеты. Матрицы дают примеры линейных карт: если это действительная матрица, то она описывает линейную карту (см. Евклидово пространство ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

Пусть будет основой для . Тогда каждый вектор однозначно определяется коэффициентами в поле : ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Если — линейное отображение, ${\textstyle f:V\to W}$

$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

откуда следует, что функция f полностью определяется векторами . Теперь пусть это будет основа для . Тогда мы можем представить каждый вектор как ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$

$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

Таким образом, функция полностью определяется значениями . Если мы поместим эти значения в матрицу , то мы сможем удобно использовать ее для вычисления векторного вывода для любого вектора из . Чтобы получить , каждый столбец является вектором ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$

$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$ ${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$ ${\displaystyle j}$

Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:

1. Матрица относительно : ${\textstyle T}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle A}$
2. Матрица относительно : ${\textstyle T}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle A'}$
3. Матрица перехода от к : ${\textstyle B'}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle P}$
4. Матрица перехода от к : ${\textstyle B}$ ${\textstyle B'}$ ${\textstyle P^{-1}}$

Связь между матрицами при линейном преобразовании

Таким образом, начиная с нижнего левого угла и ища нижний правый угол , можно было бы умножить влево, то есть . Эквивалентным методом будет «более длинный» метод, идущий по часовой стрелке от той же точки, такой, который умножается слева на или . ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$ ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$ ${\textstyle P^{-1}AP}$ ${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

Примеры в двух измерениях

В двумерном пространстве R2 линейные отображения описываются матрицами ^{размера} 2×2 . Вот несколько примеров:

• вращение
  • на 90 градусов против часовой стрелки:
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • на угол θ против часовой стрелки:
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• отражение
  • через ось х :
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • через ось Y :
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • через линию, составляющую угол θ с началом координат:
    $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• масштабирование на 2 во всех направлениях:
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• отображение горизонтального сдвига :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• перекос оси y на угол θ :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• сжатие картографии :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• проекция на ось Y :
  $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

Если линейная карта состоит только из вращения, отражения и/или равномерного масштабирования, то линейная карта представляет собой конформное линейное преобразование .

Векторное пространство линейных карт

Состав линейных карт линеен: если и линейны, то линейен и их состав . Отсюда следует, что класс всех векторных пространств над данным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию . ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

Инверсия линейной карты, если она определена, снова является линейной картой .

Если и линейны, то линейна и их поточечная сумма , которая определяется . ${\textstyle f_{1}:V\to W}$ ${\textstyle f_{2}:V\to W}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$ ${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

Если линейно и является элементом основного поля , то карта , определяемая , также является линейной. ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \alpha f}$ ${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

Таким образом, набор линейных отображений из в себя образует векторное пространство над , ^[12] иногда обозначаемое . ^[13] Кроме того, в случае, когда это векторное пространство, обозначенное , является ассоциативной алгеброй относительно композиции карт , поскольку композиция двух линейных карт снова является линейной картой, а композиция карт всегда ассоциативна. Более подробно этот случай обсуждается ниже. ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\textstyle V=W}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Снова учитывая конечномерный случай, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , сложение линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений на скаляры соответствует умножению матрицы со скалярами.

Эндоморфизмы и автоморфизмы

Линейное преобразование является эндоморфизмом ; набор всех таких эндоморфизмов вместе со сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем (и, в частности, кольцом ). Мультипликативный тождественный элемент этой алгебры — тождественное отображение . ${\textstyle f:V\to V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

Эндоморфизм этого также является изоморфизмом , называется автоморфизмом . Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, а множество всех автоморфизмов образует группу , группа автоморфизмов которой обозначается или . Поскольку автоморфизмы — это именно те эндоморфизмы , которые обладают обратными относительно композиции, — группа единиц в кольце . ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

Если имеет конечную размерность , то изоморфна ассоциативной алгебре всех матриц с элементами в . Группа автоморфизмов изоморфна общей линейной группе всех обратимых матриц с элементами в . ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \operatorname {End} (V)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle K}$

Ядро, образ и теорема о ранге-нулевости

Если линейно, мы определяем ядро ​​и образ или диапазон с помощью ${\textstyle f:V\to W}$ ${\textstyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$является подпространством и является подпространством . Следующая формула размерности известна как теорема о ранге – недействительности : ^[14] ${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {im} (f)}$ ${\textstyle W}$

$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

Число также называется рангом и пишется как , а иногда и ; ^{[15] [16]} число называется нулевым и записывается как или . ^{[15] [16]} Если и конечномерны, базы выбраны и представлены матрицей , то ранг и недействительность матрицы равны соответственно рангу и недействительности матрицы . ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$ ${\textstyle \rho (f)}$ ${\textstyle \dim(\ker(f))}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \operatorname {null} (f)}$ ${\textstyle \nu (f)}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A}$

Кокернел

Более тонким инвариантом линейного преобразования является со- ядро , которое определяется как ${\textstyle f:V\to W}$

$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

Это двойственное понятие по отношению к ядру: точно так же, как ядро ​​является подпространством предметной области, со-ядро является фактор - пространством цели . Формально имеем точную последовательность

$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

Их можно интерпретировать следующим образом: если нужно решить линейное уравнение f ( v ) = w ,

• ядро — пространство решений однородного уравнения f ( v ) = 0, а его размерность — число степеней свободы в пространстве решений, если оно не пусто;
• коядро — это пространство ограничений, которым должны удовлетворять решения, а его размерность — максимальное количество независимых ограничений.

Размерность совместного ядра и размерность изображения (ранг) в сумме дают размерность целевого пространства. Для конечных размеров это означает, что размерность фактор-пространства W / f ( V ) равна размерности целевого пространства минус размерность изображения.

В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R2 → R2 , заданное формулой f ( x , y ) ⁼ (0, y ) ^. Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решения равно ( x , b ) или, что эквивалентно, ( 0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство ( x , 0) < V : значение x является свободой в решении, тогда как коядро может быть выражено через отображение W → R , : с учетом вектора ( a , b ), значение a является препятствием для нахождения решения. ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

Примером, иллюстрирующим бесконечномерный случай, является отображение f : R ^∞ → R ^∞ , где b ₁ = 0 и bn _{+ 1} = a _n для n > 0. _Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, таким образом, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, хотя его ядро ​​имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его ко-ядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются. к той же сумме , что и ранг и размерность коядра ( ), но в бесконечномерном случае нельзя сделать вывод, что ядро ​​и коядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 ≠ 1). Обратная ситуация имеет место для отображения h : R ^∞ → R ^∞ , где c _n = an _{+ 1} . Его изображение — это все целевое пространство, и, следовательно, его коядро имеет размерность 0, но поскольку он отображает все последовательности, в которых только первый элемент ненулевой, в нулевую последовательность, его ядро ​​имеет размерность 1. ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$ ${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$ ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

Индекс

Для линейного оператора с конечномерным ядром и ко-ядром индекс можно определить как:

$${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разница dim( V ) − dim( W ) по рангу-нулевой. Это дает представление о том, сколько решений или сколько ограничений имеется: при отображении большего пространства в меньшее карта может быть включена и, следовательно, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, если отображать меньшее пространство в большее, карта не может быть включена, и, следовательно, будут иметься ограничения даже без степеней свободы.

Индекс оператора - это в точности эйлерова характеристика 2-членного комплекса 0 → V → W → 0. В теории операторов индекс операторов Фредгольма является объектом исследования, основным результатом которого является теорема об индексе Атьи – Зингера. . ^[17]

Алгебраические классификации линейных преобразований

Никакая классификация линейных карт не может быть исчерпывающей. В следующем неполном списке перечислены некоторые важные классификации, которые не требуют какой-либо дополнительной структуры векторного пространства.

Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F и пусть T : V → W — линейное отображение.

Мономорфизм

T называется инъективным или мономорфизмом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. T взаимно однозначно как карта множеств .
2. кер Т = {0 _В }
3. dim(ker T ) = 0
4. T является унитарным или сокращаемым слева, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : U → V и S : U → V из уравнения TR = TS следует R = S .
5. T обратимо слева , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что ST является тождественным отображением на V.

Эпиморфизм

T называется сюръективным или эпиморфизмом , если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. T представляет собой карту множеств.
2. кокс T = {0 _Вт }
3. T эпическое или правосократимое, то есть для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : W → U и S : W → U уравнение RT = ST влечет за собой R = S .
4. T обратимо справа , то есть существует линейное отображение S : W → V такое, что TS — тождественное отображение на W.

изоморфизм

T называется изоморфизмом, если он обратим как слева, так и справа. Это эквивалентно тому, что T является одновременно взаимно однозначным и на ( биекция множеств), или также тому, что T одновременно является эпическим и моническим и, таким образом, является биморфизмом .

Если T : V → V — эндоморфизм, то:

• Если для некоторого положительного целого числа n n -я итерация T , Tn , ^равна тождественному нулю, то T называется нильпотентным .
• Если T ² = T , то T называется идемпотентным.
• Если T = kI , где k — некоторый скаляр, то T называется масштабирующим преобразованием или отображением скалярного умножения; см. скалярную матрицу .

Изменение базы

Учитывая линейное отображение, которое является эндоморфизмом , матрица которого равна A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются с обратным преобразованием B (векторы контравариантны ), его обратное преобразование равно [v] = B [v'].

Подставив это в первое выражение

$${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$

$${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

Следовательно, матрица в новом базисе равна A′ = B ⁻¹ AB , поскольку B — матрица данного базиса.

Поэтому линейные карты называются 1-ко-1-контравариантными объектами или тензорами типа (1, 1) .

Непрерывность

Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами , например, нормированными пространствами , может быть непрерывным . Если его область определения и область определения совпадают, то это будет непрерывный линейный оператор . Линейный оператор в нормированном линейном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , например, когда область определения конечномерна. ^[18] Бесконечномерная область может иметь разрывные линейные операторы .

Примером неограниченного, а значит, и разрывного, линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженных супремум-нормой (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, а производная от 0 равна 0). В конкретном примере sin( nx )/ n сходится к 0, а его производная cos( nx ) — нет, поэтому дифференцирование не является непрерывным в точке 0 (и, если изменить этот аргумент, оно не является непрерывным нигде).

Приложения

Конкретным применением линейных карт являются геометрические преобразования , например, выполняемые в компьютерной графике , где перемещение, вращение и масштабирование 2D- или 3D-объектов выполняются с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются как механизм описания изменений: например, в исчислении они соответствуют производным; или в теории относительности используется как устройство для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.

Другое применение этих преобразований — оптимизация компилятора кода с вложенными циклами и распараллеливание методов компилятора .

Смотрите также

• Аддитивное отображение  - гомоморфизм Z-модуля
• Антилинейная карта  - Сопряженная однородная аддитивная карта.
• Бент-функция  – специальный тип логической функции.
• Ограниченный оператор  - линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
• Функциональное уравнение Коши  – Функциональное уравнение
• Непрерывный линейный оператор
• Линейный функционал  - линейное отображение векторного пространства в его поле скаляров.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейная изометрия  – математическое преобразование, сохраняющее расстояниеPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. «Линейные преобразования V в V часто называют линейными операторами на V ». Рудин 1976, с. 207
2. Пусть V и W — два вещественных векторных пространства. Отображение a из V в W называется «линейным отображением» или «линейным преобразованием» или «линейным оператором» [...] из V в W , если для всех , для всех и всех вещественных λ . Бронштейн и Семендяев 2004, с. 316
   ${\textstyle a(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=a\mathbf {u} +a\mathbf {v} }$ ${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$
   ${\textstyle a(\lambda \mathbf {u} )=\lambda a\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in V}$
3. Рудин 1991, с. 14
   Вот некоторые свойства линейных отображений, доказательства которых настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что и : ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle A\subset X}$ ${\textstyle B\subset Y}$
   1. ${\textstyle \Lambda 0=0.}$
   2. Если А — подпространство (или выпуклое множество , или сбалансированное множество ), то же самое верно и для ${\textstyle \Lambda (A)}$
   3. Если B — подпространство (или выпуклое множество, или сбалансированное множество), то же самое верно и для ${\textstyle \Lambda ^{-1}(B)}$
   4. В частности, набор:
      $${\displaystyle \Lambda ^{-1}(\{0\})=\{\mathbf {x} \in X:\Lambda \mathbf {x} =0\}={N}(\Lambda )}$$
      является подпространством X , называемым нулевым пространством . ${\textstyle \Lambda }$
4. Рудин 1991, с. 14. Предположим теперь, что X и Y — векторные пространства над одним и тем же скалярным полем . Отображение называется линейным , если для всех и всех скаляров и . Обратите внимание, что часто пишут , а не , когда линейно. ${\textstyle \Lambda :X\to Y}$ ${\textstyle \Lambda (\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha \Lambda \mathbf {x} +\beta \Lambda \mathbf {y} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X}$ ${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} }$ ${\textstyle \Lambda (\mathbf {x} )}$ ${\textstyle \Lambda }$
5. Рудин 1976, с. 206. Отображение A векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием, если: для всех и всех скаляров c . Обратите внимание, что вместо этого часто пишут «если А линейно». ${\textstyle A\left(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}\right)=A\mathbf {x} _{1}+A\mathbf {x} _{2},\ A(c\mathbf {x} )=cA\mathbf {x} }$ ${\textstyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\in X}$ ${\textstyle A\mathbf {x} }$ ${\textstyle A(\mathbf {x} )}$
6. Рудин 1991, с. 14. Линейные отображения X на его скалярное поле называются линейными функционалами .
7. «Терминология - Что означает слово «линейный» в линейной алгебре?». Математический обмен стеками . Проверено 17 февраля 2021 г.
8. Виланский 2013, стр. 21–26.
9. Кубруслый 2001, с. 57.
10. Шехтер 1996, стр. 277–280.
11. Рудин 1976, с. 210 Пусть и являются базами векторных пространств X и Y соответственно. Тогда каждый определяет набор чисел такой, что ${\textstyle \left\{\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\right\}}$ ${\textstyle \left\{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\right\}}$ ${\textstyle A\in L(X,Y)}$ ${\textstyle a_{i,j}}$
    $${\displaystyle A\mathbf {x} _{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{i,j}\mathbf {y} _{i}\quad (1\leq j\leq n).}$$
    Эти числа удобно представить в виде прямоугольного массива из m строк и n столбцов, называемого матрицей размером m на n :
    $${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{bmatrix}}}$$
    Обратите внимание, что координаты вектора (относительно базиса ) появляются в j ^-м столбце . Поэтому векторы иногда называют векторами - столбцами . С этой терминологией диапазон A охватывается векторами- столбцами . ${\textstyle a_{i,j}}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle \{\mathbf {y} _{1},\ldots ,\mathbf {y} _{m}\}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle A\mathbf {x} _{j}}$ ${\textstyle [A]}$ ${\textstyle [A]}$
12. Экслер (2015) с. 52, § 3.3
13. Ту (2011), с. 19, § 3.1
14. Horn & Johnson 2013, 0.2.3 Векторные пространства, связанные с матрицей или линейным преобразованием, с. 6
15. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 52, § 2.5.1
16. Халмош (1974) с. 90, § 50
17. Нистор, Виктор (2001) [1994], «Теория индекса», Энциклопедия математики , EMS Press: «Основной вопрос теории индексов состоит в том, чтобы предоставить формулы индекса для классов операторов Фредгольма... Теория индексов стала самостоятельным предметом только после того, как М. Ф. Атья и И. Сингер опубликовали свои теоремы об индексах»
18. Рудин 1991, с. 15 1.18 Теорема Пусть – линейный функционал в топологическом векторном пространстве X . Предположим, для некоторых . Тогда каждое из следующих четырех свойств подразумевает остальные три: ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda \mathbf {x} \neq 0}$ ${\textstyle \mathbf {x} \in X}$
    1. ${\textstyle \Lambda }$является непрерывным
    2. Нулевое пространство закрыто. ${\textstyle N(\Lambda )}$
    3. ${\textstyle N(\Lambda )}$не плотно в X .
    4. ${\textstyle \Lambda }$ограничен в некоторой окрестности V нуля.

1. Говорят, что одна карта расширяет другую карту, если когда она определена в какой-то точке, то так и есть , и ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F(s)=f(s).}$

Библиография

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Бронштейн И.Н.; Семендяев К.А. (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-90093-4.
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (Второе изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-83940-2.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Кубрусли, Карлос (2001). Элементы теории операторов . Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC  754555941.
• Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра (Третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-96412-6
• Рудин, Уолтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа. Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. ОСЛК  21163277.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК  840278135.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. ОСЛК  175294365.
• Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. ОСЛК  24909067.
• Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Спрингер . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. ОСЛК  849801114.