Принцип суперпозиции

Фундаментальный принцип физики, утверждающий, что физические решения линейных систем линейны.

Суперпозиция почти плоских волн (диагональных линий) от удаленного источника и волн от следа уток . Линейность сохраняется в воде лишь приблизительно и только для волн с малыми амплитудами относительно их длин волн.

Вращающееся движение как суперпозиция двух движений. Движение колеса можно описать как комбинацию двух отдельных движений: поступательного движения без вращения и вращения без поступательного движения.

Принцип суперпозиции ^[1] , также известный как свойство суперпозиции , гласит, что для всех линейных систем чистая реакция, вызванная двумя или более стимулами, представляет собой сумму реакций, которые были бы вызваны каждым стимулом в отдельности. Таким образом, если вход A производит ответ X , а вход B создает ответ Y , то вход ( A + B ) производит ответ ( X + Y ).

Функция , удовлетворяющая принципу суперпозиции , называется линейной функцией . Суперпозицию можно определить двумя более простыми свойствами: аддитивностью. ${\displaystyle F(x)}$

$${\displaystyle F(x_{1}+x_{2})=F(x_{1})+F(x_{2})\,}$$

однородность

$${\displaystyle F(ax)=aF(x)\,}$$

скаляра а

Этот принцип имеет множество применений в физике и технике , поскольку многие физические системы можно моделировать как линейные системы. Например, балку можно смоделировать как линейную систему, где входным стимулом является нагрузка на балку, а выходным откликом является отклонение балки. Важность линейных систем состоит в том, что их легче анализировать математически; Существует большое количество применимых математических методов, методов линейного преобразования в частотной области , таких как преобразования Фурье и Лапласа , а также теории линейных операторов . Поскольку физические системы обычно линейны лишь приблизительно, принцип суперпозиции является лишь приближением истинного физического поведения.

Принцип суперпозиции применим к любой линейной системе, включая алгебраические уравнения , линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений этих форм. Стимулами и реакциями могут быть числа, функции, векторы, векторные поля , изменяющиеся во времени сигналы или любой другой объект, удовлетворяющий определенным аксиомам . Обратите внимание, что когда задействованы векторы или векторные поля, суперпозиция интерпретируется как векторная сумма . Если суперпозиция имеет место, то она автоматически выполняется и для всех линейных операций, применяемых к этим функциям (в силу определения), таких как градиенты, дифференциалы или интегралы (если они существуют).

Связь с анализом Фурье и подобными методами

Записывая очень общий стимул (в линейной системе) как суперпозицию стимулов конкретной и простой формы, часто становится легче вычислить реакцию.

Например, в анализе Фурье стимул записывается как суперпозиция бесконечного числа синусоидов . Благодаря принципу суперпозиции каждую из этих синусоид можно анализировать отдельно и вычислять ее индивидуальный отклик. (Ответ сам по себе представляет собой синусоиду с той же частотой, что и стимул, но, как правило, с другой амплитудой и фазой .) Согласно принципу суперпозиции, ответ на исходный стимул представляет собой сумму (или интеграл) всех отдельных синусоидальных ответов. .

Еще один распространенный пример: в функциональном анализе Грина стимул записывается как суперпозиция бесконечного множества импульсных функций , а реакция тогда представляет собой суперпозицию импульсных реакций .

Анализ Фурье особенно распространен для волн . Например, в теории электромагнетизма обычный свет описывается как суперпозиция плоских волн (волн фиксированной частоты , поляризации и направления). Пока сохраняется принцип суперпозиции (что часто, но не всегда; см. нелинейную оптику ), поведение любой световой волны можно понимать как суперпозицию поведения этих более простых плоских волн .

Волновая суперпозиция

Две волны, распространяющиеся в противоположных направлениях в одной и той же среде, объединяются линейно. В этой анимации обе волны имеют одинаковую длину, а сумма амплитуд приводит к образованию стоячей волны .

две волны проникают, не влияя друг на друга

Волны обычно описываются изменениями некоторых параметров в пространстве и времени, например, высотой водной волны, давлением звуковой волны или электромагнитным полем световой волны. Значение этого параметра называется амплитудой волны , а сама волна представляет собой функцию , задающую амплитуду в каждой точке.

В любой системе с волнами форма волны в данный момент времени является функцией источников ( т. е. внешних сил, если таковые имеются, которые создают волну или влияют на нее) и начальных условий системы. Во многих случаях (например, в классическом волновом уравнении ) уравнение, описывающее волну, является линейным. В этом случае можно применить принцип суперпозиции. Это означает, что чистая амплитуда, вызванная двумя или более волнами, пересекающими одно и то же пространство, представляет собой сумму амплитуд, которые были бы созданы отдельными волнами по отдельности. Например, две волны, движущиеся навстречу друг другу, пройдут сквозь друг друга без каких-либо искажений на другой стороне. (Смотрите изображение вверху.)

Дифракция волн против интерференции волн

Что касается суперпозиции волн, Ричард Фейнман писал: ^[2]

Никто никогда не мог удовлетворительно определить разницу между интерференцией и дифракцией. Это всего лишь вопрос использования, и между ними нет особой, важной физической разницы. Лучшее, что мы можем сделать, грубо говоря, это сказать, что когда интерферирующих источников всего несколько, скажем, два, то результат обычно называют интерференцией, но если их большое количество, кажется, что слово дифракция используется чаще.

Другие авторы уточняют: ^[3]

Разница заключается в удобстве и условности. Если волны, подлежащие наложению, исходят из нескольких когерентных источников, скажем, из двух, эффект называется интерференцией. С другой стороны, если волны, подлежащие наложению, возникают в результате разделения волнового фронта на бесконечно малые когерентные вейвлеты (источники), этот эффект называется дифракцией. То есть разница между этими двумя явлениями является [вопросом] только в степени, и, по сути, это два предельных случая эффектов суперпозиции.

Еще один источник согласен: ^[4]

Поскольку интерференционные полосы, наблюдаемые Янгом, представляли собой дифракционную картину двойной щели, эта глава [Дифракция Фраунгофера] является, следовательно, продолжением главы 8 [Интерференция]. С другой стороны, немногие оптики считают интерферометр Майкельсона примером дифракции. Некоторые из важных категорий дифракции относятся к интерференции, которая сопровождает разделение волнового фронта, поэтому наблюдение Фейнмана в некоторой степени отражает трудность, с которой мы можем столкнуться при различении разделения амплитуды и разделения волнового фронта.

Волновая интерференция

На этой идее основано явление интерференции волн. Когда две или более волны пересекают одно и то же пространство, чистая амплитуда в каждой точке представляет собой сумму амплитуд отдельных волн. В некоторых случаях, например, в наушниках с шумоподавлением , суммарное изменение имеет меньшую амплитуду , чем вариации компонентов; это называется деструктивным вмешательством . В других случаях, например, в линейном массиве , суммарное изменение будет иметь большую амплитуду, чем любой из компонентов по отдельности; это называется конструктивной интерференцией .

зеленая волна движется вправо, а синяя волна движется влево, чистая амплитуда красной волны в каждой точке представляет собой сумму амплитуд отдельных волн.

Отклонения от линейности

В большинстве реалистичных физических ситуаций уравнение, управляющее волной, является лишь приблизительно линейным. В таких ситуациях принцип суперпозиции справедлив лишь приблизительно. Как правило, точность аппроксимации имеет тенденцию к повышению по мере уменьшения амплитуды волны. Примеры явлений, возникающих, когда принцип суперпозиции не совсем соблюдается, см. в статьях нелинейная оптика и нелинейная акустика .

Квантовая суперпозиция

В квантовой механике основная задача — вычислить, как распространяется и ведет себя определенный тип волны. Волна описывается волновой функцией , а уравнение, определяющее ее поведение, называется уравнением Шредингера . Основной подход к вычислению поведения волновой функции состоит в том, чтобы записать ее как суперпозицию (называемую « квантовой суперпозицией ») (возможно, бесконечно многих) других волновых функций определенного типа — стационарных состояний , поведение которых особенно просто. Поскольку уравнение Шредингера линейно, поведение исходной волновой функции можно вычислить таким образом с помощью принципа суперпозиции. ^[5]

Проективная природа пространства квантово-механических состояний вызывает некоторую путаницу, поскольку квантово-механическое состояние — это луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . По словам Дирака : « если кет-вектор, соответствующий состоянию, умножить на любое комплексное число, кроме нуля, результирующий кет-вектор будет соответствовать тому же состоянию [курсив в оригинале]». ^[6] Однако сумма двух лучей, образующих суперпозиционный луч, не определена. В результате сам Дирак использует кет-векторные представления состояний для разложения или разделения, например, кет-вектора на суперпозицию компонентных кет-векторов следующим образом: ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\phi _{j}\rangle }$

$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle =\sum _{j}{C_{j}}|\phi _{j}\rangle ,}$$

^[7] ${\displaystyle C_{j}\in {\textbf {C}}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle C_{j}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Между суперпозицией, представленной в основном на этой странице, и квантовой суперпозицией существуют точные соответствия. Например, сфера Блоха , представляющая чистое состояние двухуровневой квантово-механической системы ( кубит ), также известна как сфера Пуанкаре , представляющая различные типы классических состояний чистой поляризации .

Тем не менее, по теме квантовой суперпозиции Крамерс пишет: «Принцип [квантовой] суперпозиции… не имеет аналогов в классической физике» ^{[ нужна цитата ]} . По мнению Дирака : « суперпозиция, возникающая в квантовой механике, имеет существенно иную природу, чем любая суперпозиция, возникающая в классической теории [курсив в оригинале]». ^[8] Хотя рассуждения Дирака включают атомарность наблюдения, что справедливо, что касается фазы, на самом деле они означают симметрию фазового перевода, полученную из симметрии перевода времени , которая также применима к классическим состояниям, как показано выше с классическими состояниями поляризации.

Краевые задачи

Распространенным типом краевой задачи является (говоря абстрактно) поиск функции y , удовлетворяющей некоторому уравнению.

$${\displaystyle F(y)=0}$$

$${\displaystyle G(y)=z}$$

уравнении Лапласаграничными условиями Дирихле FЛапласаRGyRzyР.

В случае, когда F и G являются линейными операторами, принцип суперпозиции гласит, что суперпозиция решений первого уравнения является другим решением первого уравнения:

$${\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\ \Rightarrow \ F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0}$$

$${\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2})}$$

Аддитивное разложение состояния

Рассмотрим простую линейную систему:

$${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),x(0)=x_{0}.}$$

По принципу суперпозиции систему можно разложить на

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1},&&x_{1}(0)=x_{0},\\{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2},&&x_{2}(0)=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Принцип суперпозиции доступен только для линейных систем. Однако аддитивная декомпозиция по состоянию может применяться как к линейным, так и к нелинейным системам. Далее рассмотрим нелинейную систему

$${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x\right),\qquad x(0)=x_{0}.}$$

${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),&&x_{1}(0)=x_{0},\\[1.5ex]{\dot {x}}_{2}&=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi \left(c^{\mathsf {T}}x_{1}+c^{\mathsf {T}}x_{2}\right)-\phi (y_{d}),&&x_{2}(0)=0.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$$

Такое разложение может помочь упростить конструкцию контроллера.

Другие примеры приложений

• В электротехнике в линейной цепи вход (приложенный изменяющийся во времени сигнал напряжения) связан с выходом (током или напряжением в любой точке цепи) посредством линейного преобразования. Таким образом, суперпозиция (т.е. сумма) входных сигналов даст суперпозицию ответов. Использование анализа Фурье на этой основе особенно распространено. Другой похожий метод анализа цепей см. в разделе «Теорема суперпозиции» .
• В физике уравнения Максвелла подразумевают , что (возможно, изменяющиеся во времени) распределения зарядов и токов связаны с электрическими и магнитными полями посредством линейного преобразования. Таким образом, принцип суперпозиции можно использовать для упрощения расчета полей, возникающих при заданном распределении заряда и тока. Этот принцип также применим к другим линейным дифференциальным уравнениям, возникающим в физике, например, к уравнению теплопроводности .
• В технике суперпозиция используется для расчета отклонений балок и конструкций от комбинированных нагрузок, когда эффекты линейны (т. е. каждая нагрузка не влияет на результаты других нагрузок, а воздействие каждой нагрузки существенно не меняет геометрию конструкции). структурная система). ^[9] Метод суперпозиции мод использует собственные частоты и формы мод для характеристики динамического отклика линейной конструкции. ^[10]
• В гидрогеологии принцип суперпозиции применяется к депрессии двух или более водяных скважин , закачивающих идеальный водоносный горизонт . Этот принцип используется в методе аналитических элементов для разработки аналитических элементов, которые можно объединить в единую модель.
• В управлении процессами принцип суперпозиции используется в модели прогнозирующего управления .
• Принцип суперпозиции может быть применен, когда небольшие отклонения от известного решения нелинейной системы анализируются путем линеаризации .
• В музыке теоретик Йозеф Шиллингер использовал форму принципа суперпозиции как основу своей теории ритма в своей «Системе музыкальной композиции Шиллингера» .
• В вычислениях суперпозицию нескольких путей кода, кода и данных или нескольких структур данных иногда можно увидеть в общей памяти , толстых двоичных файлах , а также перекрытие инструкций в высокооптимизированном самомодифицирующемся коде и исполняемом тексте .

История

По словам Леона Бриллюэна , принцип суперпозиции был впервые сформулирован Даниэлем Бернулли в 1753 году: «Общее движение колеблющейся системы задается суперпозицией ее собственных колебаний». Этот принцип был отвергнут Леонардом Эйлером , а затем Жозефом Лагранжем . Бернулли утверждал, что любое звучное тело может вибрировать в ряде простых режимов с четко определенной частотой колебаний. Как он ранее указывал, эти моды можно накладывать друг на друга, создавая более сложные вибрации. В своей реакции на мемуары Бернулли Эйлер хвалил своего коллегу за то, что он лучше всех разработал физическую часть проблемы о вибрирующих струнах, но отрицал общность и превосходство многомодового решения. ^[11]

Позже оно стало общепринятым, во многом благодаря работам Жозефа Фурье . ^[12]

Смотрите также

• Аддитивное разложение состояния
• Бит (акустика)
• Когерентность (физика)
• Свертка
• функция Грина
• Импульсивный ответ
• Помехи
• Квантовая суперпозиция

Рекомендации

1. Физический словарь Penguin, изд. Валери Иллингворт, 1991, Penguin Books, Лондон.
2. Лекции по физике, том 1, 1963, стр. 30-1, Издательство Addison Wesley Publishing Company, Ридинг, Массачусетс [1]
3. НК ВЕРМА, Физика для инженеров , PHI Learning Pvt. Ltd., 18 октября 2013 г., с. 361. [2]
4. Тим Фригард, Введение в физику волн , издательство Кембриджского университета, 8 ноября 2012 г. [3]
5. Квантовая механика, Крамерс, издательство HA, Дувр, 1957, с. 62 ISBN  978-0-486-66772-0
6. Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press, стр. 17.
7. Солем, JC; Биденхарн, LC (1993). «Понимание геометрических фаз в квантовой механике: элементарный пример». Основы физики . 23 (2): 185–195. Бибкод : 1993FoPh...23..185S. дои : 10.1007/BF01883623. S2CID  121930907.
8. Дирак, ПАМ (1958). Принципы квантовой механики , 4-е издание, Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press, стр. 14.
9. Проектирование машиностроения, Джозеф Эдвард Шигли, Чарльз Р. Мишке, Ричард Гордон Будинас, опубликовано в 2004 г., McGraw-Hill Professional, стр. 2004. 192 ISBN 0-07-252036-1 
10. Процедуры конечных элементов, Бат, К.Дж., Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, 1996, стр. 785 ISBN 0-13-301458-4 
11. Темы численных вычислений для распространения волн, Баскский центр прикладной математики, 2012, Испания, стр. 39
12. Бриллюэн, Л. (1946). Распространение волн в периодических структурах: электрические фильтры и кристаллические решетки , МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, с. 2.

дальнейшее чтение

• Хаберман, Ричард (2004). Прикладные уравнения в частных производных . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-065243-0.
• Суперпозиция звуковых волн

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с принципом суперпозиции, на Викискладе?
• Словарное определение вмешательства в Викисловаре