Полное внутреннее отражение

Отражение волны от границы двух сред (а не преломление)

Рис. 1 :  Подводные растения в аквариуме и их перевернутые изображения (вверху), образованные полным внутренним отражением от поверхности воды и воздуха.

В физике полное внутреннее отражение ( ПВО ) — явление, при котором волны , приходящие на границу раздела (границы) из одной среды в другую (например, из воды в воздух), не преломляются во вторую («внешнюю») среду, а полностью отражается обратно в первую («внутреннюю») среду. Это происходит, когда вторая среда имеет более высокую скорость волны (т. е. меньший показатель преломления ), чем первая, и волны падают на границу раздела под достаточно наклонным углом. Например, поверхность вода-воздух в типичном аквариуме, если смотреть под углом снизу, отражает подводную сцену как зеркало без потери яркости (рис. 1).

TIR возникает не только с электромагнитными волнами , такими как свет и микроволны , но и с другими типами волн, включая звуковые и водные волны . Если волны способны образовывать узкий луч (рис. 2), отражение, как правило, описывается в терминах « лучей », а не волн; в среде, свойства которой не зависят от направления, например в воздухе, воде или стекле , «лучи» перпендикулярны соответствующим волновым фронтам .

Рис. 2 :  Повторное полное внутреннее отражение лазерного луча с длиной волны 405 нм между передней и задней поверхностями стеклянного стекла. Цвет самого лазерного света темно-фиолетовый; но его длина волны достаточно коротка, чтобы вызвать флуоресценцию в стекле, которое повторно излучает зеленоватый свет во всех направлениях, делая зигзагообразный луч видимым.

Преломление обычно сопровождается частичным отражением. Когда волны преломляются от среды с меньшей скоростью распространения (более высокий показатель преломления ) к среде с более высокой скоростью распространения (меньший показатель преломления) — например, от воды к воздуху — угол преломления (между выходящим лучом и нормалью к поверхности ) больше угла падения (между входящим лучом и нормалью). Когда угол падения приближается к определенному порогу, называемому критическим углом , угол преломления приближается к 90°, при котором преломленный луч становится параллельным граничной поверхности. Когда угол падения превышает критический угол, условия преломления перестают удовлетворяться, поэтому преломленный луч отсутствует, и частичное отражение становится полным. Для видимого света критический угол составляет около 49° для падения из воды в воздух и около 42° для падения из обычного стекла в воздух.

Детали механизма МДП порождают более тонкие явления. Хотя полное отражение по определению не предполагает непрерывного потока энергии через границу раздела двух сред, внешняя среда несет так называемую затухающую волну , которая распространяется вдоль границы раздела с амплитудой, которая экспоненциально падает с расстоянием от границы раздела. «Полное» отражение действительно является полным, если внешняя среда без потерь (совершенно прозрачна), непрерывна и имеет бесконечную протяженность, но может быть заметно меньше полного, если затухающая волна поглощается внешней средой с потерями (« ослабленное полное отражение ») . ), или отклоняется внешней границей внешней среды или объектами, встроенными в эту среду («разочарованный» МДП). В отличие от частичного отражения между прозрачными средами, полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным фазовым сдвигом (а не только нулевым или 180°) для каждой компоненты поляризации ( перпендикулярной или параллельной плоскости падения ), причем сдвиги изменяются в зависимости от угла заболеваемости. Объяснение этого эффекта, сделанное Огюстеном-Жаном Френелем в 1823 году, усилило доказательства в пользу волновой теории света .

Фазовые сдвиги используются в изобретении Френеля, ромбе Френеля , для изменения поляризации. Эффективность полного внутреннего отражения используется в оптических волокнах (используемых в телекоммуникационных кабелях и в фиброскопах , формирующих изображение ), а также в отражающих призмах , таких как формирующие изображение призмы Порро / крыши для монокуляров и биноклей .

Оптическое описание

Рис. 3. Полное  внутреннее отражение света в полукруглом акриловом блоке.

Хотя полное внутреннее отражение может происходить с любым типом волн, о которых можно сказать, что они падают под наклоном, включая (например) микроволны ^[1] и звуковые волны, ^[2]  оно наиболее распространено в случае световых волн.

Полное внутреннее отражение света можно продемонстрировать с помощью полукругло-цилиндрического блока из обычного стекла или акрилового стекла. На рис. 3 «лучевой ящик» проецирует узкий пучок света (« луч ») радиально внутрь. Полукруглое поперечное сечение стекла позволяет входящему лучу оставаться перпендикулярным изогнутой части поверхности воздух/стекло, а затем, следовательно, продолжаться по прямой линии к плоской части поверхности, хотя его угол с плоской частью варьируется.

Там, где луч встречается с плоской границей раздела стекло-воздух, угол между лучом и нормалью (перпендикуляром) к границе раздела называется углом падения . ^[3] Если этот угол достаточно мал, луч частично отражается, но в основном проходит, а прошедшая часть преломляется от нормали, так что угол преломления (между преломленным лучом и нормалью к границе раздела) больше чем угол падения. На данный момент давайте назовем угол падения θ _i и угол преломления θ _t (где t означает проходящий свет , оставляя r для отраженного света ). Когда θ _i увеличивается и приближается к определенному «критическому углу», обозначаемому θ _c (или иногда θ _cr ), угол преломления приближается к 90 ° (то есть преломленный луч приближается к касательной к границе раздела), а преломленный луч становится слабее, а отраженный луч становится ярче. ^[4] Когда θ _i превышает θ _c , преломленный луч исчезает и остается только отраженный луч, так что вся энергия падающего луча отражается; это полное внутреннее отражение (TIR). Вкратце:

• Если θ _i < θ _c ‍, ‍ падающий луч расщепляется, частично отражаясь и частично преломляясь; 
• Если θ _i > θ _c ‍, ‍ падающий луч испытывает полное внутреннее отражение (TIR); ничего из этого не передается. 

Критический угол

Критический угол — это наименьший угол падения, при котором происходит полное отражение, или, что то же самое, наибольший угол, при котором существует преломленный луч. ^[5] Для световых волн, падающих из «внутренней» среды с одним показателем преломления n ₁  , ‍ во «внешнюю» среду с одним показателем преломления n ₂  ​​, ‍ критический угол определяется как ‍ и определяется, если ‍ n ₂ ≤ п ₁ . Для некоторых других типов волн удобнее мыслить в терминах скоростей распространения, а не показателей преломления. Объяснение критического угла через скорости является более общим и поэтому будет обсуждаться сначала. ${\displaystyle \theta _{{\text{c}}\!}=\arcsin(n_{2}/n_{1})\,,}$  

Рис. 4 :  Преломление волнового фронта (красный) от среды 1 с более низкой нормальной скоростью v ₁ к среде 2 с более высокой нормальной скоростью v ₂ . Падающий и преломленный сегменты волнового фронта встречаются в общей линии L (видимой «с торца»), которая движется вдоль границы раздела со скоростью u .

Когда волновой фронт преломляется от одной среды к другой, падающая (входящая) и преломленная (выходящая) части волнового фронта встречаются на общей линии на преломляющей поверхности (границе). Пусть эта линия, обозначенная L , движется со скоростью u по поверхности, ^{[6] [7]} где u измеряется перпендикулярно  L ‍ ( рис. 4). Пусть падающий и преломленный волновые фронты распространяются с нормальными скоростями и (соответственно) и составляют двугранные углы θ ₁ и θ ₂ (соответственно) с границей раздела. Из геометрии ‍ — это составляющая u в направлении, нормальном к падающей волне, так что ‍ Аналогично , ‍ Решая каждое уравнение для 1/ u и приравнивая результаты, получаем общий закон преломления волн: ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{1\!}=u\sin \theta _{1}\,.}$ ${\displaystyle v_{2}=u\sin \theta _{2}\,.}$

Но двугранный угол между двумя плоскостями является также углом между их нормалями. Итак, θ ₁ представляет собой угол между нормалью к падающему волновому фронту и нормалью к границе раздела, а θ ₂ представляет собой угол между нормалью к преломленному волновому фронту и нормалью к границе раздела; и уравнение. ( 1 ) говорит нам, что синусы этих углов находятся в том же соотношении, что и соответствующие скорости. ^[8]

Этот результат имеет форму « закона Снеллиуса », за исключением того, что мы еще не сказали, что отношение скоростей постоянно, и не отождествили θ ₁ и θ ₂ с углами падения и преломления (названными выше θ _i и θ _t ). Однако если теперь предположить, что свойства сред изотропны ( не зависят от направления), следуют еще два вывода: во-первых, две скорости, а следовательно, и их отношение, не зависят от их направлений; и, во-вторых, направления нормали волны совпадают с направлениями лучей , так что θ ₁ и θ ₂ совпадают с углами падения и преломления, как определено выше. ^{[Примечание 1]}

Рис. 5. Поведение  луча, падающего из среды с более высоким показателем преломления n ₁ в среду с более низким показателем преломления n ₂ ​​,  при увеличении углов падения ^{[Примечание 2]}

Рис. 6 :  Угол преломления при скользящем падении света из воздуха в воду является критическим углом падения света из воды в воздух.

Очевидно, что угол преломления не может превышать 90°. В предельном случае в уравнении (2) положим ‍ θ ₂ = 90° и ‍ θ ₁ = θ _c ‍. ( 1 ) и найдите критический угол:  

При получении этого результата мы сохраняем предположение об изотропности сред, чтобы отождествить θ ₁ и θ ₂ с углами падения и преломления. ^{[Заметка 3]}

Для электромагнитных волн , и особенно для света, принято выражать приведенные выше результаты через показатели преломления . Показатель преломления среды с нормальной скоростью определяется как ‍, где c — скорость света в вакууме. ^[9] Следовательно ‍ Аналогично , ‍ Сделав эти замены в уравнениях. ( 1 ) и ( 2 ), получаем ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle n_{1\!}=c/v_{1}\,,}$  ${\displaystyle v_{1\!}=c/n_{1}\,.}$  ${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}\,.}$   

и

уравнение ( 3 ) — закон преломления для обычных сред, выраженный в показателях преломления, при условии, что θ ₁ и θ ₂ взяты в качестве двугранных углов; но если среды изотропны , то n ₁ и n ₂ становятся независимыми от направления, а θ ₁ и θ ₂ можно принять как углы падения и преломления лучей, и уравнение ( 4 ) следует. Итак, для изотропных сред уравнения ( 3 )  и  ( 4 ) вместе описывают поведение на рис. 5.

Согласно уравнению ( 4 ), для падения из воды ( n ₁ ≈ 1,333 ) ‍ в воздух ( n ₂ ≈ 1 ), ‍ имеем ‍ θ _c ≈ 48,6° , ‍ тогда как для падения из обычного стекла или акрила ( n ₁ ≈ 1,50 ) к воздуху ( n ₂ ≈ 1 ), ‍ имеем ‍ θ _c ≈ 41,8° .

Функция arcsin, дающая θ _c, определена только в том случае, если ‍ n ₂ ≤ n _1. Следовательно, для изотропных сред полное внутреннее отражение не может произойти, если вторая среда имеет более высокий показатель преломления (более низкую нормальную скорость), чем первая. Например, не может быть МДП для падения груза из воздуха в воду; скорее, критический угол падения света из воды в воздух - это угол преломления при скользящем падении света из воздуха в воду (рис. 6). ^[10]  ${\displaystyle (v_{2}\geq v_{1})\,.}$ 

Среду с более высоким показателем преломления обычно называют оптически более плотной , а с более низким показателем преломления — оптически более редкой . ^[11] Следовательно, говорят, что полное внутреннее отражение возможно для падения от «плотного к редкому», но не для падения «от редкого к плотному».

Примеры из повседневной жизни

Рис. 7 :  Полное внутреннее отражение от поверхности воды на мелководье бассейна. Широкое пузыреподобное явление между пловчихой и ее отражением — всего лишь нарушение отражающей поверхности. Часть пространства над уровнем воды можно увидеть через « окно Снелла » в верхней части кадра.

Стоя возле аквариума и опустив глаза ниже уровня воды, можно увидеть отраженных в водно-воздушной поверхности рыб или подводные предметы (рис. 1). Яркость отраженного изображения – такая же яркая, как и «прямой» взгляд – может поразить.

Подобный эффект можно наблюдать, открыв глаза во время плавания чуть ниже поверхности воды. Если вода спокойна, поверхность за пределами критического угла (измеренного от вертикали) выглядит зеркальной, отражая предметы, находящиеся внизу. Область над водой нельзя увидеть, кроме как над головой, где полусферическое поле зрения сжато в коническое поле, известное как окно Снеллиуса , угловой диаметр которого в два раза превышает критический угол (см. рис. 6). ^[12]  Поле зрения над водой теоретически составляет 180°, но кажется меньшим, потому что, когда мы смотрим ближе к горизонту, вертикальное измерение сильнее сжимается из-за рефракции; например, по уравнению ( 3 ), для углов падения воздух-вода 90°, 80° и 70° соответствующие углы преломления составляют 48,6° ( _θcr на рис. 6), 47,6° и 44,8°, что указывает на то, что изображение точки, расположенной на высоте 20° над горизонтом, находится на расстоянии 3,8° от края окна Снелла, а изображение точки, находящейся на высоте 10° над горизонтом, находится всего на расстоянии 1° от края. ^[13]

На рис. 7, например, представлена ​​фотография, сделанная на дне мелководного бассейна. То, что выглядит как широкая горизонтальная полоса на правой стене, состоит из нижних краев ряда оранжевых плиток и их отражений; это отмечает уровень воды, который затем можно отследить по другой стене. Пловчиха потревожила поверхность над собой, повредив нижнюю половину своего отражения и исказив отражение лестницы (справа). Но большая часть поверхности все еще спокойна, что дает четкое отражение выложенного плиткой дна бассейна. Пространство над водой не видно, за исключением верхней части кадра, где ручки лестницы едва различимы над краем окна Снелла – внутри которого отражение дна бассейна лишь частичное, но все же заметное в фотограф. Можно даже различить цветную окантовку края окна Снелла из-за изменения показателя преломления, а следовательно, и критического угла, в зависимости от длины волны (см. Дисперсия ).

Рис. 8. Круглый  бриллиант огранки «бриллиант» .

Критический угол влияет на углы огранки драгоценных камней . Например, круглая « бриллиантовая » огранка предназначена для преломления света, падающего на передние грани, двукратного отражения его на TIR от задних граней и пропускания его снова через передние грани, так что камень выглядит ярким. Алмаз (рис. 8) особенно подходит для такой обработки, поскольку его высокий показатель преломления (около 2,42) и, следовательно, небольшой критический угол (около 24,5°) обеспечивают желаемое поведение в широком диапазоне углов наблюдения. ^[14] Более дешевые материалы, которые аналогичным образом поддаются этой обработке, включают кубический цирконий (индекс ≈ 2,15) и муассанит (неизотропный, следовательно, дважды преломляющий , с показателем от 2,65 до 2,69, ^{[Примечание 4]} в зависимости от направления и поляризации. ); поэтому оба они популярны как имитаторы алмазов .

Исчезающая волна

Математически волны описываются в терминах изменяющихся во времени полей , причем «поле» является функцией местоположения в пространстве. Распространяющаяся волна требует поля «усилия» и поля «потока», причем последнее является вектором ( если мы работаем в двух или трех измерениях). Продукт усилия и потока связан с мощностью (см. Эквивалентность системы ). Например, для звуковых волн в невязкой жидкости мы могли бы принять поле усилий как давление (скаляр), а поле потока как скорость жидкости (вектор). Произведением этих двух величин является интенсивность (мощность на единицу площади). [ ^{15] [Примечание 5]} Для электромагнитных волн мы примем поле усилий как электрическое поле   E  , а поле потока как намагничивающее поле   H. Оба они являются векторами, и их векторное произведение снова является интенсивностью (см. Вектор Пойнтинга ). ^[16]

Когда волна, скажем, в среде 1, отражается от границы раздела между средами 1 и средой 2, поле течения в среде 1 представляет собой векторную сумму полей течения, обусловленных падающей и отраженной волнами. ^{[Примечание 6]}  Если отражение наклонное, падающее и отраженное поля не направлены в противоположные стороны и, следовательно, не могут компенсироваться на границе раздела; даже если отражение полное, либо нормальная составляющая, либо тангенциальная составляющая объединенного поля (как функция местоположения и времени) должна быть ненулевой вблизи границы раздела. Более того, физические законы, управляющие полями, обычно подразумевают, что один из двух компонентов непрерывен на границе раздела (то есть он не меняется внезапно при пересечении границы раздела); например, для электромагнитных волн одним из условий интерфейса является то, что тангенциальная составляющая H непрерывна, если нет поверхностного тока. ^[17] Следовательно, даже если отражение полное, должно быть некоторое проникновение поля потока в среду 2; и это, в сочетании с законами, связывающими поля усилия и потока, подразумевает, что будет также некоторое проникновение в поле усилия. Из этого же условия непрерывности следует, что изменение («волнистость») поля в среде 2 будет синхронизировано с изменением падающих и отраженных волн в среде 1.

Рис. 9 :  Изображение падающей синусоидальной плоской волны (внизу) и связанной с ней затухающей волны (вверху) в условиях полного внутреннего отражения. Отраженная волна не показана.

Но если отражение полное, пространственное проникновение полей в среду 2 должно быть каким-то образом ограничено, иначе общая протяженность и, следовательно, общая энергия этих полей будут продолжать увеличиваться, истощая энергию из среды 1. Полное отражение Продолжающаяся волновая последовательность позволяет сохранять некоторую энергию в среде 2, но не позволяет осуществлять непрерывную передачу мощности из среды 1 в среду 2.

Таким образом, используя преимущественно качественные рассуждения, можно заключить, что полное внутреннее отражение должно сопровождаться волнообразным полем во «внешней» среде, распространяющимся вдоль границы раздела синхронно с падающей и отраженной волнами, но с каким-то ограниченным пространственным проникновением в «внешняя» среда; такое поле можно назвать затухающей волной .

На рис. 9 показана основная идея. Падающая волна предполагается плоской и синусоидальной . Отраженная волна для простоты не показана. Затухающая волна движется вправо синхронно с падающей и отраженной волнами, но ее амплитуда падает по мере удаления от границы раздела.

(Две особенности затухающей волны на рис. 9 будут объяснены позже: во-первых, гребни затухающей волны перпендикулярны границе раздела; и во-вторых, затухающая волна немного опережает падающую волну.)

FTIR (нарушенное полное внутреннее отражение)

Чтобы внутреннее отражение было полным, не должно быть отклонения затухающей волны. Предположим, например, что электромагнитные волны, падающие из стекла (с более высоким показателем преломления) в воздух (с более низким показателем преломления) под определенным углом падения, подвергаются ПВО. И предположим, что у нас есть третья среда (часто идентичная первой), показатель преломления которой достаточно высок, и если бы третья среда заменила вторую, мы получили бы стандартную передаваемую волновую последовательность для того же угла падения. Затем, если третью среду перенести на расстояние нескольких длин волн от поверхности первой среды, где затухающая волна имеет значительную амплитуду во второй среде, то затухающая волна эффективно преломляется в третью среду, что приводит к нулевое пропускание в третью среду и, следовательно, меньшее, чем полное отражение обратно в первую среду. ^[18] Поскольку амплитуда затухающей волны затухает в воздушном зазоре, передаваемые волны ослабляются , так что передача меньше и, следовательно, больше отражений, чем было бы без зазора; но пока существует некоторая передача, отражение не является полным. Это явление называется нарушенным полным внутренним отражением (где «неудовлетворенное» отрицает «полное»), сокращенно «неудачное полное внутреннее отражение» или «FTIR».

Рис. 10 :  Бестелесные отпечатки пальцев, видимые изнутри стакана с водой, из-за нарушенного полного внутреннего отражения. Наблюдаемые отпечатки пальцев окружены белыми областями, где происходит полное внутреннее отражение.

Расстроенный ПИД можно наблюдать, глядя на верх стакана с водой, который он держит в руке (рис. 10). Если стекло держать слабо, контакт может быть недостаточно тесным и широким, чтобы произвести заметный эффект. Но если держать его крепче, гребни отпечатков пальцев сильно взаимодействуют с мимолетными волнами, позволяя гребням быть видимыми сквозь полностью отражающую поверхность стекла и воздуха. ^[19]

Тот же эффект можно продемонстрировать с помощью микроволн, используя парафин в качестве «внутренней» среды (где существуют падающие и отраженные волны). В этом случае допустимая ширина зазора может составлять, например, 1 см или несколько см, что легко отслеживать и регулировать. ^{[1] [20]}

Термин «неудачное ПВО» также применяется к случаю, когда затухающая волна рассеивается объектом , достаточно близким к отражающей границе. Этот эффект вместе с сильной зависимостью количества рассеянного света от расстояния от границы раздела используется в микроскопии полного внутреннего отражения . ^[21]

Механизм FTIR называется связью затухающих волн и является хорошим аналогом для визуализации квантового туннелирования . ^[22] Из-за волновой природы материи электрон имеет ненулевую вероятность «туннелировать» через барьер, даже если классическая механика говорит, что его энергии недостаточно. ^{[18] [19]} Точно так же из-за волновой природы света фотон имеет ненулевую вероятность пересечения зазора, даже если лучевая оптика сказала бы, что его подход слишком наклонен.

Другая причина, по которой внутреннее отражение может быть меньше полного, даже за критическим углом, заключается в том, что внешняя среда может быть «потерянной» (менее совершенно прозрачной), и в этом случае внешняя среда будет поглощать энергию затухающей волны, так что поддержание затухающей волны будет поглощать энергию падающей волны. Последующее неполное отражение называется ослабленным полным отражением (ATR). Этот эффект, а особенно частотная зависимость поглощения, может быть использован для изучения состава неизвестной внешней среды. ^[23]

Вывод затухающей волны

В однородной плоской синусоидальной электромагнитной волне электрическое поле  E имеет вид

где E _k — (постоянный) комплексный вектор амплитуды,  i — мнимая единица измерения ,  k — волновой вектор (величина которого k — угловое волновое число ),  r — вектор положения ,  ω — угловая частота ,  t — время, и подразумевается, что реальной частью выражения является физическое поле. ^{[Примечание 7]} Намагничивающее поле  H имеет ту же форму при тех же k и ω . Значение выражения не меняется, если положение r изменяется в направлении, нормальном к k ; следовательно, k нормально к волновым фронтам .

Если ℓ является компонентом r в направлении k ‍ , ‍ можно записать поле ( 5 ).   Если аргумент должен быть постоянным,  ℓ  должно увеличиваться со скоростью ‍, известной как фазовая скорость . ^[24] Это, в свою очередь, равно где c — фазовая скорость в эталонной среде (принимаемой за вакуум), а n — локальный показатель преломления относительно эталонной среды. Решение для k дает ‍ т.е. ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(k\ell -\omega t)}\,.}$ ${\displaystyle e^{i(\cdots )}}$ ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$ ${\displaystyle c/n\,,\,}$ ${\displaystyle k=n\omega /c\,,\,}$

где - волновое число в вакууме. ^{[25] [Примечание 8]} ${\displaystyle \,k_{0}=\omega /c\,}$

Из ( 5 ) электрическое поле во «внешней» среде имеет вид

где k _t — волновой вектор прошедшей волны (мы предполагаем, что среда изотропна, но прошедшая волна еще не считается затухающей).

Рис. 11 _: Падающие  , отраженные и прошедшие волновые векторы ( k _i ‍ , k _r ‍ и k _t  ) для падения из среды с более высоким показателем преломления n 1 в среду с более низким показателем преломления n ₂ ​​. Красные стрелки перпендикулярны волновым векторам и, следовательно, параллельны соответствующим волновым фронтам.

В декартовых координатах ( x ,  y , ‍ z ) пусть область ‍ y < 0 ‍ имеет показатель преломления n ₁ ‍ , ‍ и пусть область ‍ y > 0 ‍ имеет показатель преломления n ₂ ​​. Тогда плоскость xz является границей раздела, а ось y нормальна границе раздела (рис. 11). Пусть i и j (жирным прямым шрифтом ) — единичные векторы в направлениях x и y соответственно. Пусть плоскость падения (содержащая нормаль к падающей волне и нормаль к границе раздела) будет плоскостью xy (плоскостью страницы), с углом падения θ _i, измеренным от j к i . Пусть угол преломления, измеренный в том же смысле, равен θt ( t _для проходящего , оставляя r для отраженного ).  

Из ( 6 ) передаваемый волновой вектор k _t имеет величину n ₂ k ₀ . Следовательно, из геометрии,

$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}=n_{2}k_{0}(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})=k_{0}(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,}$$

скалярное произведение

$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =k_{0}(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,,}$$

7

_В случае ПВО угла θt в обычном смысле не существует. Но мы все равно можем интерпретировать ( 8 ) для прошедшей (затухающей) волны, допуская, что cos θ _t является комплексным . Это становится необходимым, когда мы записываем cos θ _t через sin θ _t ‍ , ‍ и затем через sin θ _i, используя закон Снеллиуса:    

$${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{\text{t}}}}={\sqrt {1-(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}}\,.}$$

θ _i^[26]

Чтобы определить, какой знак применим, подставим ( 9 ) в ( 8 ), получив

где неопределенный знак противоположен знаку в ( 9 ). Для затухающей передаваемой волны – то есть такой, амплитуда которой затухает по мере увеличения y – неопределенный знак в ( 10 ) должен быть минусом , поэтому неопределенный знак в ( 9 ) должен быть плюсом . ^{[Примечание 9]}

При правильном знаке результат ( 10 ) можно сократить

где

а k ₀ — волновое число в вакууме, т.е.  ${\displaystyle \,\omega /c\,.}$

Таким образом, затухающая волна представляет собой плоскую синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении x , с амплитудой, которая экспоненциально затухает в направлении y (см. рис. 9). Очевидно, что энергия, запасенная в этой волне, также распространяется в направлении x и не пересекает границу раздела. Следовательно, вектор Пойнтинга обычно имеет компонент в направлении x , но его компонент y в среднем равен нулю (хотя его мгновенный компонент y не равен нулю ). ^{[27] [28]}

Рис.  12 :  Глубина проникновения затухающей волны (в длинах волн) в зависимости от угла падения для различных значений относительного показателя преломления (внутреннего по отношению к внешнему).

уравнение ( 11 ) указывает на то, что амплитуда затухающей волны падает в е раз по мере увеличения координаты y (измеренной от границы раздела) на расстояние, обычно называемое «глубиной проникновения» затухающей волны. ^[29] Взяв обратные значения первому уравнению ( 12 ), мы находим, что глубина проникновения равна ^[28] ${\displaystyle d=1/\kappa \,,\,}$

$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \,{\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}\,-\,n_{2}^{2}}}}}~,}$$

λ ₀^[30]n ₂ ${\displaystyle \,2\pi /k_{0}\,.}$ 

$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{2}}{2\pi \,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}\,-\,1}}}}~,}$$

dλ ₂θid увеличивается без ограничений – как и _{следовалоθi} становитсякритическогоθ _id ${\displaystyle \,\lambda _{2}=\lambda _{0}/n_{2}\,}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2\,}}$  

$${\displaystyle d_{\text{min}}={\frac {\lambda _{2}}{2\pi \,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}-1}}}}~.}$$

d _min λ ₂/2 π dde ^-4,64,6 ‍ d

Фазовые сдвиги

Между 1817 и 1823 годами Огюстен-Жан Френель обнаружил, что полное внутреннее отражение сопровождается нетривиальным фазовым сдвигом (то есть фазовым сдвигом, который не ограничивается 0° или 180°), поскольку коэффициент отражения Френеля приобретает нестандартное значение. -нулевая мнимая часть . ^[31] Теперь мы объясним этот эффект для электромагнитных волн в случае линейных , однородных , изотропных, немагнитных сред. Фазовый сдвиг оказывается опережением , которое растет по мере увеличения угла падения сверх критического угла, но зависит от поляризации падающей волны.

В уравнениях ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) и ( 11 ) мы сдвигаем фазу на угол φ , если заменим ωt на ωt+φ  (то есть, если мы заменим −ωt на − ωt−φ ),  в результате чего (комплексное) поле умножается на e ^−iφ . Таким образом, сдвиг фазы эквивалентен умножению на комплексную константу с отрицательным аргументом . Это становится более очевидным, когда (например) поле ( 5 ) факторизуется так, что последний фактор содержит зависимость от времени. ^{[Примечание 10]} ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }e^{-i\omega t},\,}$

Чтобы представить поляризацию падающей, отраженной или прошедшей волны, электрическое поле, прилегающее к границе раздела, можно разложить на две перпендикулярные компоненты, известные как компоненты s  и  p , которые параллельны поверхности и плоскости падения соответственно. ; другими словами, компоненты s  и  p соответственно квадратны и параллельны плоскости падения. ^{[Примечание 11]}

Для каждого компонента поляризации падающее, отраженное или прошедшее электрическое поле ( E в уравнении ( 5 ) ) имеет определенное направление и может быть представлено его (комплексной) скалярной составляющей в этом направлении. Коэффициент отражения или пропускания затем можно определить как соотношение комплексных компонентов в одной и той же точке или в бесконечно малых точках на противоположных сторонах границы раздела. Но, чтобы зафиксировать знаки коэффициентов, мы должны выбрать для «направлений» положительные смыслы. Для s- компоненты очевидным выбором будет сказать, что положительные направления падающего, отраженного и прошедшего полей одинаковы (например, направление z на рис. 11). Для p- компонент в этой статье принято соглашение, согласно которому положительные направления падающего, отраженного и прошедшего полей наклонены к одной и той же среде (то есть к одной и той же стороне границы раздела, например, как красные стрелки на рис. 11). ). ^{[Примечание 12]}  Но читатель должен быть предупрежден, что в некоторых книгах используются другие соглашения для компонентов p , что приводит к другому знаку в результирующей формуле для коэффициента отражения. ^[32]

Для s - поляризации пусть коэффициенты отражения и прохождения равны r _s и t _s соответственно. Для p - поляризации пусть соответствующие коэффициенты будут r _p и t _p  . Тогда для линейных , однородных , изотропных, немагнитных сред коэффициенты определяются по формуле: ^[33]

(Вывод вышеизложенного см. в разделе «  Уравнения Френеля § Теория ».)

Теперь мы предполагаем, что передаваемая волна мимолетна. При правильном знаке (+) замена ( 9 ) на ( 13 ) дает

$${\displaystyle r_{s}=\,{\frac {n\cos \theta _{\text{i}}-i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{n\cos \theta _{\text{i}}+i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}}\,,}$$

$${\displaystyle n=n_{1}/n_{2}\,;}$$

n^{[Примечание 13]} r _sаргумент r _s

$${\displaystyle -2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}}\,,}$$

сдвиг‍ [ ^34]

Сделав ту же замену в ( 14 ), мы находим, что t _s имеет тот же знаменатель, что и r _s , с положительным действительным числителем (вместо комплексно-сопряженного числителя) и, следовательно, имеет половину аргумента r _s ‍ , ‍, так что фаза продвижение затухающей волны вдвое меньше, чем отраженной волны .

При том же выборе знака ^{[примечание 14]} подстановка ( 9 ) в ( 15 ) дает

$${\displaystyle r_{p}=\,{\frac {\cos \theta _{\text{i}}-in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}+in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}}\,,}$$

$${\displaystyle -2\arctan {\frac {\,n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}\,,}$$

сдвиг‍ [ ^34]

Сделав ту же замену в ( 16 ), мы снова находим, что набег по фазе затухающей волны вдвое меньше, чем у отраженной волны.

Уравнения ( 17 ) и ( ₁₈ ) применяются, когда ‍ θc _≤ θi _< 90°, где θi — угол падения, а θc — критический угол ‍ arcsin (1 _/ n ) . Эти уравнения показывают, что  

• каждое опережение фазы равно нулю при критическом угле (для которого числитель равен нулю);
• продвижение каждой фазы приближается к 180° при ‍ θ _i → 90° ; и
• δ _p > δ _s ‍ при промежуточных значениях θ _i ( поскольку множитель n стоит в числителе ( 18 ) и знаменателе ( 17 ) ) . ^[35]

Для θ _i ≤ θ _c ‍, ‍ коэффициенты отражения определяются уравнениями ( 13 ) и ( 15 ) и являются действительными , так что фазовый сдвиг составляет либо 0° (если коэффициент положительный), либо 180° (если коэффициент отрицательный).

В ( 13 ), если мы поставим ‍ ( закон Снеллиуса) и умножим числитель и знаменатель на ${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$ 1/№ ₁ sin θ _t  ‍ , ‍ получаем  ^{[36] [37]}

который положителен для всех углов падения прошедшего луча (поскольку ‍ θ _t > θ _i ), что дает фазовый сдвиг δ _s, равный нулю.

Если мы проделаем то же самое с ( 15 ), легко показать, что результат эквивалентен  ^{[38] [39]}

который отрицателен для малых углов (т. е. при почти нормальном падении), но меняет знак при угле Брюстера , где  θ _i и θ _t дополняют друг друга. Таким образом _, фазовый сдвиг δp составляет 180° для малых _θi , но переключается на 0° под углом Брюстера. Сочетание дополнительности с законом Снелла дает ‍ θ _i = arctan (1/ n ) ‍ как угол Брюстера для падения от плотного к редкому. ^{[Примечание 15]}

( Уравнения ( 19 ) и ( 20 ) известны как закон синуса Френеля и закон тангенса Френеля . ^[40] Оба сводятся к 0/0 при нормальном падении, но дают правильные результаты в пределе, когда ‍ θ i _→ 0. То, что они имеют противоположные знаки по мере приближения к нормальной заболеваемости, что является очевидным недостатком соглашения о знаках, используемого в этой статье; соответствующее преимущество состоит в том, что они имеют одинаковые знаки при постепенной заболеваемости. )

Рис.  13 :  Сдвиг фазы при «внутренних» отражениях для показателей преломления 1,55, 1,5 и 1,45 («внутренний» относительно «внешнего»). За пределами критического угла поляризации p  (красная) и s  (синяя) претерпевают неравные фазовые сдвиги при полном внутреннем отражении; макроскопически наблюдаемая разница между этими сдвигами показана черным цветом.

Это завершает информацию, необходимую для построения графиков δ _s и δ _p для всех углов падения. Это сделано на рис. 13, ^[34] с δ _p красным цветом и δ _s синим цветом для трех показателей преломления. На шкале углов падения (горизонтальная ось) угол Брюстера — это место, где δ _p (красный) падает со 180 ° до 0 °, а критический угол — это место, где оба δ _p и δ _s (красный и синий) начинают расти. снова. Слева от критического угла находится область частичного отражения, где оба коэффициента отражения действительны (фаза 0° или 180°) с величинами меньше 1. Справа от критического угла находится область полного отражения , где оба коэффициента отражения действительны (фаза 0° или 180°). коэффициенты отражения являются комплексными с величинами, равными 1. В этой области черные кривые показывают набег фазы p-  компоненты относительно s-  компоненты: ^[41]

$${\displaystyle \delta =\delta _{p\!}-\delta _{s}\,.}$$

Этот относительный сдвиг на 45° используется в изобретении Френеля, теперь известном как ромб Френеля, в котором углы падения выбираются так, что два внутренних отражения вызывают общий относительный сдвиг фазы на 90° между двумя поляризациями падающей волны. Это устройство выполняет ту же функцию, что и двулучепреломляющая четвертьволновая пластинка , но является более ахроматическим (то есть фазовый сдвиг ромба менее чувствителен к длине волны ). Любое устройство можно использовать, например, для преобразования линейной поляризации в круговую поляризацию (которую также открыл Френель) и наоборот.

На рис. 13  δ вычисляется путем окончательного вычитания; но есть и другие способы выразить это. Сам Френель в 1823 году ^[42] дал формулу для  cos δ  .  Борн и Вольф (1970, стр. 50) выводят выражение для ‍ tan ( δ /2) и аналитически находят его максимум.

Для ПВО луча конечной ширины изменение фазового сдвига с углом падения приводит к эффекту Гуса–Хенхена , который представляет собой боковой сдвиг отраженного луча внутри плоскости падения. ^{[28] [43]} Этот эффект применяется к линейной поляризации в направлении s или p . Эффект Имберта -Федорова является аналогичным эффектом для круговой или эллиптической поляризации и вызывает сдвиг, перпендикулярный плоскости падения. ^[44]

Приложения

Оптические волокна используют полное внутреннее отражение для передачи сигналов на большие расстояния с небольшим затуханием. ^[45] Они используются в телекоммуникационных кабелях и в фиброскопах, формирующих изображение, таких как колоноскопы . ^[46]

В катадиоптрической линзе Френеля , изобретенной Огюстеном-Жаном Френелем для использования в маяках , внешние призмы используют ПВО для отклонения света от лампы на больший угол, чем это было бы возможно с чисто преломляющими призмами, но с меньшим поглощением света (и меньшим риск потускнения), чем при использовании обычных зеркал. ^[47]

 Рис . 14.  Призмы Порро (обозначены 2 и 3) в бинокле.

Другие отражающие призмы , использующие TIR, включают следующие (с некоторым дублированием категорий): ^[48]

• К призмам , формирующим изображение для биноклей и зрительных труб , относятся парные призмы Порро 45°-90°-45°(рис. 14), призма Порро-Аббе , линейные призмы Кенига ^[49] и Аббе-Кенига , а также компактные линейные призмы Шмидта. – Призма Печана . (Последний состоит из двух компонентов, один из которых представляет собой своего рода призму Бауэрнфайнда , для которой требуется отражающее покрытие на одной из двух отражающих граней из-за докритического угла падения.) Эти призмы имеют дополнительную функцию складывания. оптический путь от объектива до главного фокуса , уменьшающий общую длину для данного первичного фокусного расстояния .
• Призматическая звездная диагональ для астрономического телескопа может состоять из одной призмы Порро (сконфигурированной для одного отражения, дающей зеркально перевернутое изображение) или призмы крыши Амичи (которая дает неперевернутое изображение).
• Крышеобразные призмы используют TIR на двух гранях, встречающихся под острым углом 90°. В эту категорию входят типы Кенига, Аббе-Кенига, Шмидта-Пехана и Амичи (уже упоминавшиеся), а также пентапризма крыши, используемая в зеркальных фотоаппаратах ; последний из них требует наличия отражающего покрытия на одной стороне, не соответствующей требованиям МДП .
• Призматический угловой отражатель использует три полных внутренних отражения , чтобы изменить направление падающего света.
• Призма Dove обеспечивает линейное изображение с зеркальным переворотом.

Поляризационные призмы : хотя ромб Френеля, который преобразует линейную и эллиптическую поляризацию, не является двойным лучепреломлением (двойным преломлением), существуют другие виды призм, которые сочетают двойное лучепреломление с ПВО таким образом, что свет определенной поляризации полностью отражается, в то время как свет ортогональной поляризации передается, по крайней мере, частично. Примеры включают призму Николя , ^[50] призму Глана-Томпсона , призму Глана-Фуко (или «призму Фуко»), ^{[51] [52]} и призму Глана-Тейлора . ^[53]

Рефрактометры , измеряющие показатели преломления, часто используют критический угол. ^{[54] [55]}

Датчики дождя для автоматических стеклоочистителей/лобового стекла были реализованы с использованием принципа, согласно которому полное внутреннее отражение будет направлять инфракрасный луч от источника к детектору, если внешняя поверхность ветрового стекла сухая, но любые капли воды на поверхности будут отвлекать часть свет. ^[56]

Светодиодные панели с боковой подсветкой , используемые (например) для подсветки компьютерных ЖК- мониторов, используют TIR для ограничения светодиодного света акриловым стеклом, за исключением того, что некоторая часть света рассеивается гравировкой на одной стороне стекла, что дает примерно равномерный световой поток . ^[57]

Рис.  15 :  Работа «трансгеометрического» флуоресцентного микроскопа TIR: (1) объектив, (2) эмиссионный луч [сигнал], (3) иммерсионное масло, (4) покровное стекло, (5) образец, (6) диапазон затухающих волн, 7 – пучок возбуждения, 8 – кварцевая призма.

Микроскопия полного внутреннего отражения (TIRM) использует затухающую волну для освещения небольших объектов, близких к отражающей границе. Последующее рассеяние затухающей волны (разновидность нарушенного ПВО) делает объекты яркими, если смотреть с «внешней» стороны. ^[21] В флуоресцентном микроскопе полного внутреннего отражения (TIRFM) вместо того, чтобы полагаться на простое рассеяние, мы выбираем затухающую длину волны, достаточно короткую, чтобы вызвать флуоресценцию (рис. 15). ^[58] Высокая чувствительность освещения к расстоянию от границы раздела позволяет измерять чрезвычайно малые смещения и силы. ^[59]

Куб -делитель луча использует неудовлетворительное TIR для разделения мощности входящего луча между переданным и отраженным лучами. ^[18] Ширина воздушного зазора (или зазора с низким показателем преломления) между двумя призмами может быть регулируемой, обеспечивая более высокое пропускание и более низкое отражение для более узкого зазора или более высокое отражение и более низкое пропускание для более широкого зазора. ^[60]

Оптическая модуляция может быть осуществлена ​​с помощью разочарованного ПВО с быстропеременным зазором. ^[61] Поскольку коэффициент передачи очень чувствителен к ширине зазора (функция приблизительно экспоненциальна до тех пор, пока зазор почти не закроется), этот метод позволяет достичь большого динамического диапазона .

Оптические устройства для снятия отпечатков пальцев используют несостоявшийся метод МДП для записи изображений отпечатков пальцев людей без использования чернил (см. рис. 11). ^[62]

Анализ походки можно выполнить с помощью системы МДП с высокоскоростной камерой для захвата и анализа следов. ^[63]

Гониоскоп , используемый в оптометрии и офтальмологии для диагностики глаукомы , подавляет ПВО, чтобы заглянуть в угол между радужкой и роговицей . Этот обзор обычно блокируется TIR на границе раздела роговица-воздух. Гониоскоп заменяет воздух средой с более высоким индексом, обеспечивая передачу при наклонном падении, обычно с последующим отражением в «зеркале», что само по себе может быть реализовано с использованием TIR. ^{[64] [65]}

Некоторые интерактивные столы и доски с поддержкой мультитач используют FTIR для обнаружения пальцев, касающихся экрана. За поверхностью экрана расположена инфракрасная камера, подсвеченная по краям инфракрасными светодиодами; при касании поверхности FTIR заставляет часть инфракрасного света выходить за пределы плоскости экрана, и камера воспринимает это как яркие области. Затем используется программное обеспечение компьютерного зрения , чтобы преобразовать это в ряд координат и жестов.

История

Открытие

Удивительно полные и во многом правильные объяснения радуги Теодорихом Фрейбергским ( написанными между 1304 и 1310 гг.) ^[66] и Камал ад-Дином аль-Фариси (завершенным к 1309 г.), ^[67] хотя иногда упоминаются в связи с полным внутренним отражением (TIR), имеют сомнительную актуальность, поскольку внутреннее отражение солнечного света в сферической капле дождя не является полным. ^{[Примечание 16]} Но, согласно Карлу Бенджамину Бойеру , трактат Теодориха о радуге также классифицировал оптические явления по пяти причинам, последней из которых было «полное отражение на границе двух прозрачных сред». ^[68] Работа Теодориха была забыта, пока ее не открыл заново Джованни Баттиста Вентури в 1814 году ^{. [69]}

Иоганн Кеплер (1571–1630)

Поскольку Теодорих впал в безвестность, открытие ПВО обычно приписывалось Иоганну Кеплеру , который опубликовал свои открытия в своей книге «Диоптрика» в 1611 году. Хотя Кеплеру не удалось найти истинный закон преломления, он экспериментально показал, что для падения воздуха на стекло падающие и преломленные лучи вращались в одном и том же направлении вокруг точки падения, и что, когда угол падения изменялся в пределах ±90°, угол преломления (как мы его теперь называем) изменялся в пределах ±42°. Он также знал, что падающие и преломленные лучи взаимозаменяемы. Но эти наблюдения не охватывали случай луча, падающего из стекла в воздух под углом более 42°, и Кеплер сразу пришел к выводу, что такой луч может только отражаться . ^[70]

Рене Декарт заново открыл закон преломления и опубликовал его в своей книге «Диоптрика » 1637 года. В той же работе он упомянул ощущения вращения падающих и преломленных лучей и состояние ПВО. Но он пренебрег рассмотрением предельного случая и, следовательно, не смог дать выражение для критического угла, хотя легко мог бы это сделать. ^[71]

Гюйгенс и Ньютон: противоположные объяснения

Христиан Гюйгенс в своем «Трактате о свете» (1690) уделил большое внимание порогу, при котором падающий луч «не может проникнуть в другое прозрачное вещество». ^[72] Хотя он не дал ни названия, ни алгебраического выражения для критического угла, он привел числовые примеры для падения стекла на воздух и воду на воздух, отметил большое изменение угла преломления при небольшом изменении угол падения вблизи критического угла и назвал это причиной быстрого увеличения яркости отраженного луча по мере приближения преломленного луча к касательной к границе раздела. ^[73] Прозрение Гюйгенса подтверждается современной теорией: в уравнениях. ( 13 ) и ( 15 ) выше, нельзя сказать, что коэффициенты отражения исключительно круто возрастают по мере приближения θ _t к 90°, за исключением того, что, согласно закону Снелла, θ _t  само по себе является все более крутой функцией θ _i . 

Христиан Гюйгенс (1629–1695)

Гюйгенс предложил объяснение ПВО в тех же рамках, что и его объяснения законов прямолинейного распространения, отражения, обычного преломления и даже необычайного преломления « исландского кристалла » (кальцита). Эта концепция основывалась на двух предпосылках: во-первых, каждая точка, пересекаемая распространяющимся волновым фронтом, становится источником вторичных волновых фронтов («принцип Гюйгенса»); и, во-вторых, при заданном исходном волновом фронте любое последующее положение волнового фронта является огибающей ( общей касательной поверхностью) всех вторичных волновых фронтов, излучаемых из исходного положения. Все случаи отражения или преломления от поверхности затем объясняются просто путем рассмотрения вторичных волн, излучаемых этой поверхностью. При преломлении от среды с более медленным распространением к среде с более быстрым распространением существует некоторый наклон падения, за пределами которого невозможно, чтобы вторичные волновые фронты образовали общую касательную во второй среде; ^[74] это то, что мы теперь называем критическим углом. Когда падающий волновой фронт приближается к этому критическому наклону, преломленный волновой фронт концентрируется на преломляющей поверхности, усиливая вторичные волны, которые вызывают отражение обратно в первую среду. ^[75]

Система Гюйгенса даже учитывала частичное отражение на границе раздела различных сред, хотя и неясно, по аналогии с законами столкновений частиц разных размеров. ^[76] Однако, пока волновая теория продолжала предполагать продольные волны , у нее не было шансов учесть поляризацию, а следовательно, и никаких шансов объяснить поляризационную зависимость необыкновенного преломления ^[77] или коэффициента частичного отражения, или фазовый сдвиг в TIR.

Исаак Ньютон (1642/3–1726/7)

Исаак Ньютон отверг волновое объяснение прямолинейного распространения, полагая, что, если бы свет состоял из волн, он бы «изгибался и распространялся во всех направлениях» в тени. ^[78] Его корпускулярная теория света объясняла прямолинейное распространение более просто и объясняла обычные законы преломления и отражения, включая ПВО, на основе гипотезы о том, что на корпускулы света действует сила, действующая перпендикулярно границе раздела. ^[79] В этой модели, при падении от плотного к редкому, сила представляла собой притяжение обратно к более плотной среде, а критический угол был углом падения, при котором нормальная скорость приближающейся корпускулы была достаточной, чтобы достичь дальняя сторона силового поля; при более наклонном падении тельце будет повернуто назад. ^[80] Ньютон дал формулу критического угла, хотя и на словах: «Как синусы измеряют преломление, так и синус падения, при котором начинается полное отражение, равен радиусу круга». ^[81]

Ньютон превзошел Гюйгенса в двух отношениях. Во-первых, что неудивительно, Ньютон указал на взаимосвязь между ПВО и дисперсией : когда луч белого света приближается к границе раздела стекло-воздух под возрастающим углом, наиболее сильно преломленные лучи (фиолетовые) первыми «выносятся наружу». «Полное отражение», за которым следуют менее преломленные лучи. ^[82] Во-вторых, он заметил, что полное отражение можно нарушить (как мы теперь говорим), сложив вместе две призмы, одну плоскую, а другую слегка выпуклую; и он объяснил это просто тем, что заметил, что корпускулы будут притягиваться не только к первой призме, но и ко второй. ^[83]

Однако в двух других отношениях система Ньютона была менее последовательной. Во-первых, его объяснение частичного отражения зависело не только от предполагаемых сил притяжения между корпускулами и средой, но также и от более туманной гипотезы «приступов легкой рефлексии» и «припадков легкой передачи». ^[84] Во-вторых, хотя его корпускулы предположительно могли иметь «стороны» или «полюса», чья ориентация могла предположительно определять, подвергаются ли корпускулы обычному или необыкновенному преломлению в «Островном-Кристалле», ^[85] его геометрическое описание необычайного преломления ^{[ 84] 86]} было теоретически необоснованным ^[87] и эмпирически неточным. ^[88]

Лаплас, Малюс и ослабленное полное отражение (ATR)

Уильям Хайд Волластон в первой из пары статей, прочитанных Лондонскому королевскому обществу в 1802 году, ^[55] сообщил о своем изобретении рефрактометра, основанного на критическом угле падения внутренней среды с известной «преломляющей силой» (рефрактометр индекс) к внешней среде, индекс которой нужно было измерить. ^[89] С помощью этого устройства Волластон измерил «преломляющую силу» многочисленных материалов, некоторые из которых были слишком непрозрачными, чтобы можно было напрямую измерить угол преломления. Переводы его статей были опубликованы во Франции в 1803 году и, по-видимому, привлекли внимание Пьера-Симона Лапласа . ^[90]

Пьер-Симон Лаплас (1749–1827)

Согласно разработке Лапласом теории преломления Ньютона, корпускула, падающая на плоскую границу раздела двух однородных изотропных сред, подвергалась воздействию силового поля, симметричного относительно границы раздела. Если бы обе среды были прозрачными, полное отражение произошло бы, если корпускулу повернуть назад до того, как она выйдет из поля второй среды. Но если бы вторая среда была непрозрачной, отражение не было бы полным, если бы корпускула не была повернута назад до того, как она покинула первую среду; это требовало большего критического угла, чем тот, который дается законом Снелла, и, следовательно, ставило под сомнение применимость метода Волластона для непрозрачных сред. ^[91] Лаплас объединил два случая в одну формулу для относительного показателя преломления через критический угол (минимальный угол падения для ПВО). Формула содержала параметр, который принимал одно значение для прозрачной внешней среды и другое значение для непрозрачной внешней среды. Теория Лапласа далее предсказала взаимосвязь между показателем преломления и плотностью данного вещества. ^[92]

Этьен-Луи Малюс (1775–1812)

В 1807 году теория Лапласа была экспериментально проверена его протеже Этьеном-Луи Малюсом . Взяв формулу Лапласа для показателя преломления как заданную и используя ее для измерения показателя преломления пчелиного воска в жидком (прозрачном) и твердом (непрозрачном) состоянии при различных температурах (следовательно, и при различных плотностях), Малюс проверил соотношение Лапласа между показатель преломления и плотность. ^{[93] [94]}

Но теория Лапласа подразумевала, что если угол падения превышает модифицированный критический угол, отражение будет полным, даже если внешняя среда будет поглощающей. Очевидно, что это было неправильно: в уравнениях. ( 12 ) выше, не существует порогового значения угла θ _i , за которым κ становится бесконечным; поэтому глубина проникновения затухающей волны (1/ κ ) всегда отлична от нуля, и внешняя среда, если она вообще имеет потери, будет ослаблять отражение. Что касается того, почему Малюс, по-видимому, наблюдал такой угол для непрозрачного воска, мы должны сделать вывод, что существовал определенный угол, за которым затухание отражения было настолько малым, что ATR было визуально неотличимо от TIR. ^[95]

Френель и фазовый сдвиг

Френель пришел к изучению полного внутреннего отражения благодаря своим исследованиям поляризации. В 1811 году Франсуа Араго обнаружил, что поляризованный свет, по-видимому, «деполяризуется» зависимым от ориентации и цвета образом, когда проходит через кусочек кристалла с двойным преломлением: возникающий свет демонстрирует цвета, если смотреть через анализатор (второй поляризатор). Хроматическая поляризация , как стали называть это явление, была более тщательно исследована в 1812 году Жаном-Батистом Био . В 1813 году Био установил, что один случай, изученный Араго, а именно кварц , ограненный перпендикулярно его оптической оси , на самом деле представлял собой постепенное вращение плоскости поляризации с расстоянием. ^[96]

Огюстен-Жан Френель (1788–1827)

В 1816 году Френель предложил свою первую попытку создать волновую теорию хроматической поляризации. Без (пока) явного обращения к поперечным волнам , его теория рассматривала свет как состоящий из двух перпендикулярно поляризованных компонентов. ^[97] В 1817 году он заметил, что плоскополяризованный свет, по-видимому, частично деполяризуется за счет полного внутреннего отражения, если изначально поляризован под острым углом к ​​плоскости падения. ^[98] Включив полное внутреннее отражение в эксперимент по хроматической поляризации, он обнаружил, что очевидно деполяризованный свет представляет собой смесь компонентов, поляризованных параллельно и перпендикулярно плоскости падения, и что полное отражение создает разность фаз между ними. ^[99] Выбор подходящего угла падения (еще не точно указанного) дал разность фаз 1/8 цикла. Два таких отражения от «параллельных граней» «двух связанных призм» дали разность фаз 1/4 периода. В этом случае, если свет первоначально был поляризован под углом 45° к плоскости падения и отражения, после двух отражений он оказался полностью деполяризованным. Об этих результатах сообщалось в мемуарах, представленных и прочитанных Французской академии наук в ноябре 1817 года. ^[100]

В 1821 году Френель вывел формулы, эквивалентные его законам синуса и тангенса ( уравнения ( 19 ) и ( 20 ) выше )  , моделируя световые волны как поперечные упругие волны с колебаниями, перпендикулярными тому, что ранее называлось плоскостью поляризации . ^{[101] [Примечание 17]} Используя старые экспериментальные данные, он быстро подтвердил, что уравнения правильно предсказывают направление поляризации отраженного луча, когда падающий луч был поляризован под углом 45 ° к плоскости падения, для света, падающего из воздуха на стекло. или вода. ^[102] Об экспериментальном подтверждении было сообщено в «постскриптуме» к работе, в которой Френель изложил свою зрелую теорию хроматической поляризации, введя поперечные волны. ^[103] Подробности вывода были даны позже, в мемуарах, прочитанных академии в январе 1823 года. ^[104] Вывод сочетал сохранение энергии с непрерывностью тангенциальной вибрации на границе раздела, но не учитывал какие-либо условия на границе раздела. нормальная составляющая вибрации. ^[105]

Между тем, в мемуарах, представленных в декабре 1822 года, ^[106] Френель ввел термины « линейная поляризация» , «круговая поляризация » и «эллиптическая поляризация» . ^[107] Для круговой поляризации две перпендикулярные компоненты сдвинуты по фазе на четверть цикла (±90°).

Новая терминология оказалась полезной в мемуарах от января 1823 года ^[104] , содержащих подробные выводы законов синуса и тангенса: в том же мемуаре Френель обнаружил, что для углов падения, больших критического угла, результирующие коэффициенты отражения были комплексными. с единичной величиной. Отметив, что величина, как обычно, представляет собой отношение амплитуд, он предположил, что аргумент представляет собой фазовый сдвиг, и подтвердил гипотезу экспериментальным путем. ^[108] Проверка включала

• расчет угла падения, при котором общая разность фаз между компонентами s и p составит 90 ° , для различного количества полных внутренних отражений под этим углом (обычно было два решения),
• подвергание света такому количеству полных внутренних отражений под этим углом падения с начальной линейной поляризацией под углом 45° к плоскости падения, и
• проверяя, чтобы конечная поляризация была круговой. ^[109]

Эта процедура была необходима, потому что с помощью технологий того времени нельзя было напрямую измерить фазовые сдвиги s  и  p , а также нельзя было измерить произвольную степень эллиптичности поляризации, например, которая могла быть вызвана разницей между фазами. сдвиги. Но можно было убедиться, что поляризация была круговой , поскольку яркость света тогда была нечувствительна к ориентации анализатора.

Для стекла с показателем преломления 1,51 Френель рассчитал, что разность фаз между двумя коэффициентами отражения в 45 ° (следовательно, разница в 90 ° после двух отражений) требует угла падения 48 ° 37 'или 54 ° 37'. Он разрезал ромб до последнего угла и обнаружил, что он работает так, как ожидалось. ^[110] Таким образом, спецификация ромба Френеля была завершена. Точно так же Френель рассчитал и проверил угол падения, который дал бы разность фаз 90 ° после трех отражений под одним и тем же углом и четырех отражений под одним и тем же углом. В каждом случае было два решения, и в каждом случае он сообщил, что больший угол падения дает точную круговую поляризацию (для начальной линейной поляризации под углом 45 ° к плоскости отражения). Для случая трех отражений он также проверил меньший угол, но обнаружил, что он дает некоторую окраску из-за близости критического угла и его небольшой зависимости от длины волны. (Сравните рис. 13 выше, который показывает, что разность фаз δ более чувствительна к показателю преломления при меньших углах падения.)

Для большей уверенности Френель предсказал и подтвердил, что четыре полных внутренних отражения под углом 68°27' дадут точную круговую поляризацию, если в двух отражениях в качестве внешней среды используется вода, а в двух других — воздух, но не в том случае, если все отражающие поверхности были бы мокрые или все сухие. ^[111]

Считается, что вывод Френеля о фазовом сдвиге в TIR был первым случаем, когда аргументу комплексного числа был придан физический смысл. Хотя это рассуждение применялось без знания того, что световые волны являются электромагнитными, оно выдержало экспериментальную проверку и сохранилось в целости и сохранности после того, как Джеймс Клерк Максвелл изменил предполагаемую природу волн. ^[112] Между тем, успех Френеля вдохновил Джеймса МакКалла и Огюстена-Луи Коши , начиная с 1836 года, анализировать отражение от металлов с помощью уравнений Френеля со сложным показателем преломления . ^[113] Мнимая часть комплексного индекса представляет собой поглощение. ^[114]

Термин «критический угол» , использованный для удобства в приведенном выше повествовании, является анахронизмом: он, по-видимому, датируется 1873 годом. ^[115]

В 20 веке квантовая электродинамика по-новому интерпретировала амплитуду электромагнитной волны с точки зрения вероятности обнаружения фотона. ^[116] В этой концепции частичное пропускание и нарушенное ПВО касаются вероятности пересечения фотоном границы, а ослабленное полное отражение касается вероятности поглощения фотона на другой стороне.

Исследования более тонких аспектов фазового сдвига в ПВО, включая эффекты Гуса-Хенхена и Имберта-Федорова и их квантовые интерпретации, продолжаются и в 21 веке. ^[44]

Галерея

• 
  Индийский спинорог и его полное отражение в поверхности воды
• 
  Полное отражение кисти от поверхности воды и воздуха в стакане.
• 
  Полное внутреннее отражение зеленого лазера в ножке бокала.

Смотрите также

• Пониженное полное отражение
• Исчезающее поле
• фиброскоп
• Уравнения Френеля
• линза Френеля
• ромб Френеля
• Эффект Гуса – Хенхена
• Эффект Имберта – Федорова
• Оптоволокно
• Поляризация (волны)
• окно Снелла
• Флуоресцентный микроскоп TIR
• TIR-микроскопия
• Полное внешнее отражение

Примечания

1. Двулучепреломляющие среды, такие как кальцит , неизотропны (анизотропны). Когда мы говорим, что необыкновенное преломление кристалла кальцита «нарушает закон Снеллиуса», мы имеем в виду, что закон Снеллиуса не применим к необыкновенному лучу , поскольку направление этого луча внутри кристалла обычно отличается от направления соответствующей волновой нормали ( Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 65, ст. 24), а также потому, что нормальная скорость волны сама по себе зависит от направления. (Обратите внимание, что цитируемый отрывок содержит ошибку перевода: во фразе «сопряжены относительно диаметров, которые не лежат на прямой AB», слово «не» не поддерживается оригинальным французским языком Гюйгенса и является геометрически неверным.)
2. Согласно уравнениям. ( 13 )  и  ( 15 ), отражение является полным при падении под критическим углом. Исходя из этого, на рис. 5 должен быть показан полностью отраженный луч, а не тангенциальный луч для падения под _углом θc . Но из-за дифракции падающий луч конечной ширины не может иметь единого угла падения; должно быть некоторое расхождение луча. Более того, график зависимости коэффициента отражения от угла падения становится вертикальным при θ _c (Jenkins & White, 1976, стр. 527), так что небольшое расхождение луча приводит к большим потерям отражения. Аналогично, вблизи критического угла небольшое расхождение угла падения вызывает большое расхождение угла преломления (ср. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 41); поэтому тангенциальный преломленный луч следует рассматривать лишь как предельный случай.
3. Для неизотропных сред уравнение. ( 1 ) по-прежнему описывает закон преломления в терминах нормальных к волнам направлений и скоростей, но область применимости этого закона определяется ограничениями на направления лучей (см. Бухвальд, 1989, стр. 29).
4. Указанный диапазон варьируется в зависимости от политипов кристаллов .
5. Мощность «на единицу площади» подходит для полей в трех измерениях. В двух измерениях мы могли бы захотеть, чтобы произведение усилия и потока было мощностью на единицу длины . В одном измерении или в модели с сосредоточенными элементами мы могли бы захотеть, чтобы это была просто мощность.
6. Мы предполагаем, что уравнения, описывающие поля, линейны .
7. Вышеуказанная форма ( 5 ) обычно используется физиками. Инженеры-электрики обычно предпочитают такую ​​форму , то есть они не только используют j вместо i для мнимой единицы, но и меняют знак показателя степени, в результате чего все выражение заменяется его комплексно-сопряженным , оставляя действительную часть неизменной. . Форма инженеров-электриков и выведенные из нее формулы могут быть преобразованы в общепринятую физику путем замены j на −i (Stratton, 1941, стр. vii–viii). ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{j(\omega t-\mathbf {k\cdot r} )};}$
8. доплеровские сдвиги отсутствуют , поэтому ω не меняется на границах раздела сред.
9. Если мы правильно преобразуем это в электротехническое соглашение, мы получим -j ‍ √ ⋯  в правой части ( 9 ), что не является главным квадратным корнем. Поэтому априори неверно предполагать, что то, что математики называют « главным квадратным корнем », является физически применимым.
10. В соответствии с электротехническими правилами коэффициент, зависящий от времени, равен e ^{‍ jωt} , так что сдвиг фазы соответствует умножению на комплексную константу с положительным аргументом. Однако в этой статье используется физическое соглашение с зависящим от времени коэффициентом e ^−iωt .
11. Первоначально буква s происходит от немецкого senkrecht , что означает «перпендикулярно» (к плоскости падения). Альтернативные мнемоники в тексте, возможно, больше подходят для носителей английского языка.
12. Другими словами, для обеих поляризаций в этой статье используется соглашение, согласно которому положительные направления падающего, отраженного и прошедшего полей одинаковы для любого поля, нормального к плоскости падения; это поле E для s- поляризации и поле H для p- поляризации.
13. Эта номенклатура соответствует Jenkins & White, 1976, стр. 526–9. Некоторые авторы, однако, используют обратный показатель преломления и поэтому получают разные формы для наших уравнений. ( 17 ) и ( 18 ). Примеры включают Born & Wolf [1970, с. 49, уравнения. (60)] ‍ и Стрэттон [1941, с. 499, экв. (43)]. Более того, Борн и Вольф определяют δ _⊥ и δ _∥ как аргументы, а не фазовые сдвиги, вызывающие смену знака.
14. Это просто случайность, что главный квадратный корень оказывается правильным в данной ситуации, и только потому, что мы используем зависящий от времени множитель e ^−iωt .  Если бы вместо этого мы использовали зависящий от времени коэффициент инженеров-электриков e ^{‍ jωt} ,  выбор главного квадратного корня дал бы тот же аргумент для коэффициента отражения, но это было бы интерпретировано как противоположный фазовый сдвиг, что было бы неправильно. Но если мы выберем квадратный корень так, чтобы передаваемое поле было мимолетным, мы получим правильный фазовый сдвиг с любым коэффициентом, зависящим от времени.
15. Более знакомая формула  arctan n  ‍ предназначена для случаев от редкой до плотной. В обоих случаях n — показатель преломления более плотной среды относительно более редкой среды.
16. Для внешнего луча, падающего на сферическую каплю дождя, преломленный луч находится в плоскости падающего луча и центре капли, а угол преломления меньше критического угла падения вода-воздух; но этот угол преломления в силу сферической симметрии является также углом падения внутреннего отражения, которое, следовательно, меньше полного. Более того, если бы это отражение было полным, все последующие внутренние отражения имели бы одинаковый угол падения (из-за симметрии) и также были бы полными, так что свет никогда не ускользал бы, образуя видимую дугу.
17. Следовательно, где Френель говорит, что после полного внутреннего отражения при соответствующем падении волна, поляризованная параллельно плоскости падения, «отстает» на 1/8 цикла (цитируется Бухвальдом, 1989, стр. 381), он ссылается на к волне, плоскость поляризации которой параллельна плоскости падения, т. е. к волне, вибрация которой перпендикулярна этой плоскости, т. е. к тому, что мы теперь называем s- компонентой.

Рекомендации

1. Р.П. Фейнман, Р.Б. Лейтон и М. Сэндс, 1963–2013, Фейнмановские лекции по физике , Калифорнийский технологический институт, Том  II ,  § 33-6.
2. Антич, Питер П.; Андерсон, Джон А.; Эшман, Ричард Б.; Дауди, Джеймс Э.; Гонсалес, Джером; Марри, Роберт С.; Зервех, Джозеф Э.; Пак, Чарльз Ю.К. (2009). «Измерение механических свойств костного материала in vitro методом отражения ультразвука: Методика и сравнение с пропусканием ультразвука». Журнал исследований костей и минералов . 6 (4): 417–426. дои : 10.1002/jbmr.5650060414. PMID  1858525. S2CID  6914223..
3. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 11.
4. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 527. (Преломленный луч становится слабее с точки зрения общей мощности, но не обязательно с точки зрения видимости, потому что луч также становится более узким, поскольку он становится почти тангенциальным.)
5. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 26.
6. См.  Томас Янг в « Ежеквартальном обзоре» , апрель 1814 г., перепечатано в Т. Янге (под ред. Г. Пикока), «Разные произведения покойного Томаса Янга» , Лондон: Дж. Мюррей, 1855, том.  1, на с. 263.
7. См. Борн и Вольф, 1970, стр. 12–13.
8. См.  Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, с. 38.
9. Борн и Вольф, 1970, с. 13; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 9–10. В этом определении в качестве «эталонной среды» используется вакуум. В принципе, в качестве эталона можно выбрать любую изотропную среду. Для некоторых целей удобно выбирать воздух, в котором скорость света примерно на 0,03% ниже, чем в вакууме (ср. Руттен и ван Венрой, 2002, стр. 10, 352). Однако в настоящей статье предпочтение отдается вакууму.
10. См. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 25.
11. Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 10, 25.
12. См.  Д.К. Линч (1 февраля 2015 г.), «Окно Снелла в волнистой воде», Applied Optics , 54  (4): B8–B11, doi : 10.1364/AO.54.0000B8.
13. Гюйгенс (1690, тр. Томпсон, стр. 41) для падения стекла на воздух отметил, что если наклон падающего луча всего на 1 ° меньше критического, преломленный луч отклоняется более чем на 11 ° от касательной. . NB:  Определение Гюйгенса «угла падения» является дополнением современного определения.
14. Дж. Р. Грэм, «Можете ли вы огранить драгоценный камень, чтобы добиться яркости наклона?», Международное общество драгоценных камней, по состоянию на 21 марта 2019 г.; в архиве 14 декабря 2018 г.
15. «PJS» (автор), «Звуковое давление, звуковая мощность и интенсивность звука: в чем разница?» Сообщество Siemens PLM , по состоянию на 10 апреля 2019 г.; в архиве 10 апреля 2019 г.
16. Страттон, 1941, стр. 131–7.
17. Страттон, 1941, с. 37.
18. См.  Демонстрации лекций Гарвардского университета по естественным наукам, «Разочарованное полное внутреннее отражение», по состоянию на 9 апреля 2019 г.; в архиве 2 августа 2018 г.
19. Р. Эрлих, 1997, Почему тосты приземляются желеобразной стороной вниз: дзен и демонстрация искусства физики , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02891-0 , стр. 182, по состоянию на 26 марта 2019 г. 
20. Р. Боули, 2009, «Полное внутреннее отражение» (4-минутное видео), « Шестьдесят символов» , Брэди Харан для Ноттингемского университета , с 1:25.
21. EJ Ambrose (24 ноября 1956 г.), «Поверхностный контактный микроскоп для изучения движений клеток», Nature , 178 (4543): 1194, Бибкод : 1956Natur.178.1194A, doi : 10.1038/1781194a0 , PMID  13387666, S2CID  4290898.
22. Ван Розум, Аерноут; Ван Ден Берг, Эд (май 2021 г.). «Использование нарушенного внутреннего отражения как аналога квантового туннелирования». Физический журнал: серия конференций . 1929 (1): 012050. Бибкод : 2021JPhCS1929a2050V. дои : 10.1088/1742-6596/1929/1/012050 . S2CID  235591328.
23. Thermo Fisher Scientific, «Методы выборки FTIR: ослабленное полное отражение (ATR)», по состоянию на 9 апреля 2019 г.
24. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 228.
25. Born & Wolf, 1970, стр. 16–17, уравнения. (20), (21).
26. Борн и Вольф, 1970, с. 47, экв. (54), где их n — наше ( не наше ). ${\displaystyle n_{2}/n_{1}}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2}}$
27. Страттон, 1941, с. 499; Борн и Вольф, 1970, с. 48.
28. Лаборатория холодных атомов вблизи поверхностей (Ягеллонский университет), «Свойства затухающих волн», по состоянию на 11 апреля 2019 г.; заархивировано 28 апреля 2018 г. ( Примечание: на этой странице используется z для координаты, нормальной к интерфейсу, а верхние индексы ⊥ и ∥ для поляризаций s («TE») и p соответственно. На страницах на этом сайте используется коэффициент, зависящий от времени. e ^{+ iωt} — то есть зависящий от времени коэффициент инженеров-электриков с символом физиков для мнимой единицы.)
29. Хехт, 2017, с. 136.
30. Борн и Вольф, 1970, с. 16.
31. Уиттакер, 1910, стр. 132, 135–6.
32. Один известный авторитет, который использует «другое» соглашение (но не заходя слишком далеко), - это «Фейнмановские лекции по физике» , том  I , ур. (33.8) (для Б ) и том  II , рис. 33-6 и 33-7.
33. Борн и Вольф, 1970, с. 40, экв. (20), (21), где индекс ⊥ соответствует s , а ∥ – p .
34. См. Дженкинс и Уайт, 1976, с. 529.
35. «Фаза поляризации, в которой магнитное поле параллельно границе раздела, опережает фазу другой поляризации». - Фитцпатрик, 2013, с. 140; Фитцпатрик, 2013a; акцент добавлен.
36. Френель, 1866, стр. 773, 789n.
37. Борн и Вольф, 1970, с. 40, экв. (21а); Хехт, 2017, с. 125, экв. (4,42); Дженкинс и Уайт, 1976, с. 524, экв. (25а).
38. Френель, 1866, стр. 757, 789n.
39. Борн и Вольф, 1970, с. 40, экв. (21а); Хехт, 2017, с. 125, экв. (4,43); Дженкинс и Уайт, 1976, с. 524, экв. (25а).
40. Уиттакер, 1910, с. 134; Дарригол, 2012, с. ‍ 213 .
41. Страттон, 1941, с. 500, экв. (44). Соответствующее выражение у Борна и Вольфа (1970, стр. 50) является обратным, поскольку термины представляют собой аргументы, а не фазовые сдвиги.
42. Бухвальд, 1989, стр. 394, ‍ 453 ; Френель, 1866, стр. 759,  786–7,  790.
43. PR Berman, 2012, «Эффект Гуса-Хенхена», Scholarpedia 7  (3): 11584,  § 2.1, особенно уравнения. (1)–(3). Обратите внимание, что n Бермана является обратным n в настоящей статье.
44. Блиох, Кентукки; Айелло, А. (2013). «Сдвиг лучей Гуса – Хэнхена и Имберта – Федорова: обзор». Журнал оптики . 15 (1): 014001. arXiv : 1210.8236 . Бибкод : 2013JOpt...15a4001B. дои : 10.1088/2040-8978/15/1/014001. S2CID  118380597.
45. Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 40–42.
46. Радд, WW (1971). «Фиброоптическая колоноскопия: значительный прогресс в хирургии толстой кишки». Канадский семейный врач . 17 (12): 42–45. ПМК 2370306 . ПМИД  20468707. 
47. Левитт, 2013, стр. 79–80.
48. Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 26–7 (Порро, Дав, 90 ° Амичи, угловой отражатель, Люммер-Бродхун);  Born & Wolf, 1970, стр. 240–41 (Порро, Кениг), 243–4 (Голубь).
49. Борн и Вольф, 1970, с. 241.
50. Борн и Вольф, 1970, стр. 690–91.
51. Р. Нейв, «Призмы для поляризации» (Никол, Глан – Фуко), Университет штата Джорджия, по состоянию на 27 марта 2019 г.; в архиве 25 марта 2019 г.
52. Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 510–11 (Никол, Глан-Томпсон, «Фуко»).
53. Дж. Ф. Арчард; А. М. Тейлор (декабрь 1948 г.), «Улучшенная призма Глана-Фуко», Journal of Scientific Instruments , 25 (12): 407–9, Бибкод : 1948JScI...25..407A, doi : 10.1088/0950-7671/25/ 12/304.
54. Бухвальд, 1989, стр. 19–21; Дженкинс и Уайт, 1976, стр. 27–8.
55. «XII. Метод исследования преломляющей и дисперсионной способности методом призматического отражения». Философские труды Лондонского королевского общества . 92 : 365–380. 1802. дои : 10.1098/rstl.1802.0014. S2CID  110328209.
56. HELLA GmbH & Co.  KGaA, «Тестирование датчика дождя и датчика фар – инструкции по ремонту и диагностика неисправностей», по состоянию на 9 апреля 2019 г.; в архиве 8 апреля 2019 г.
57. Дж. Гурли, «Заставить свет работать – источники света для современных требований к освещению», LED Professional , по состоянию на 29 марта 2019 г.; архивировано 12 апреля 2016 г.
58. Д. Аксельрод (апрель 1981 г.), «Контакты клетка-субстрат, освещенные флуоресценцией полного внутреннего отражения», Journal of Cell Biology , 89 (1): 141–5, doi : 10.1083/jcb.89.1.141, PMC 2111781 , PMID  7014571 .
59. Д. Аксельрод (ноябрь 2001 г.), «Флуоресцентная микроскопия полного внутреннего отражения в клеточной биологии» (PDF) , Traffic , 2 (11): 764–74, doi : 10.1034/j.1600-0854.2001.21104.x, hdl : 2027.42/72779 , PMID  11733042, S2CID  15202097.
60. Хехт, 2017, с. 138.
61. Р.В. Астеймер; Г. Фальбель; С. Минковиц (январь 1966 г.), «Инфракрасная модуляция посредством нарушенного полного внутреннего отражения», Applied Optics , 5 (1): 87–91, Bibcode : 1966ApOpt...5...87A, doi : 10.1364/AO. 5.000087, PMID  20048791.
62. Нью-Джерси Харрик (1962-3), «Отпечатки пальцев посредством полного внутреннего отражения» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} , Philips Технический обзор , 24  (9): 271–4; в архиве январь 2024 г.
63. Noldus Information Technology, «CatWalk™ XT», по состоянию на 29 марта 2019 г.; в архиве 25 марта 2019 г.
64. Э. Брюс, Р. Бендур, С. Крейн и Н. Лайтхайзер, «Увеличение гониоскопии», Обзор оптометрии , 21 сентября 2016 г.
65. Glaucoma Associates of Texas, «Гониоскопия», по состоянию на 29 марта 2019 г.; в архиве 22 августа 2018 г.
66. Бойер, 1959, с. 110.
67. Камаль ад-Дин аль-Фариси, Танких аль-Маназир (рукопись с автографом, 708  г. хиджры / 1309  г. н. э. ), Коллекция Адилнора.
68. Boyer, 1959, стр. 113, 114, 335. Бойер цитирует издание Дж. Вюршмидта книги Теодориха De iride et radiusibus Impressionibus в Beiträge zur Geschichte der Philosophie des Mittelalters , vol. 12, нет. 5–6 (1914), с. 47.
69. Бойер, 1959, стр. 307, 335.
70. Э. Мах (тр. ‍ Дж . С. Андерсон и АФА Янг), Принципы физической оптики: историческое и философское рассмотрение (Лондон: Methuen & Co, 1926), перепечатано Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 2003, стр. 30–32. .  
71. А.И. Сабра, Теории света: от Декарта до Ньютона (Лондон: Oldbourne Book Co., 1967), перепечатано Cambridge University Press, 1981, стр. 111–12.
72. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, с. 39.
73. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 40–41. Обратите внимание, что определение Гюйгенса «угла падения» является дополнением современного определения.
74. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 39–40.
75. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 40–41.
76. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 16, 42.
77. Гюйгенс, 1690, тр. Томпсон, стр. 92–4.
78. Ньютон, 1730, с. 362.
79. Дарригол, 2012, стр. 93–4, 103.
80. Ньютон, 1730, стр. 370–71.
81. Ньютон, 1730, с. 246. Обратите внимание, что «синус» означал длину стороны для определенного «радиуса» (гипотенузы), тогда как в настоящее время мы принимаем радиус за единицу или выражаем синус как отношение.
82. Ньютон, 1730, стр. 56–62, 264.
83. Ньютон, 1730, стр. 371–2.
84. Ньютон, 1730, с. 281.
85. Ньютон, 1730, с. 373.
86. Ньютон, 1730, с. 356.
87. Бухвальд, 1980, стр. 327, 331–2.
88. Бухвальд, 1980, стр. 335–6, 364; Бухвальд, 1989, стр. 9–10, 13.
89. Бухвальд, 1989, стр. 19–21.
90. Бухвальд, 1989, с. 28.
91. Дарригол, 2012, стр. 187–8.
92. Бухвальд, 1989, с. 30.
93. Бухвальд, 1980, стр. 29–31.
94. Э. Франкель (май 1976 г.), «Корпускулярная оптика и волновая теория света: наука и политика революции в физике», Social Studies of Science , 6  (2): 141–84, стр. 145.
95. См. Бухвальд, 1989, с. 30 (цитирую Малуса)
96. Дарригол, 2012, стр. 193–6,  290.
97. Дарригол, 2012, с. 206.
98. Этот эффект был ранее обнаружен Брюстером , но еще не описан должным образом. См.: «О новом виде подвижной поляризации», [Ежеквартальный] Журнал науки и искусства , вып. 2, нет. 3, 1817, с. 213;  Т. Янг , «Хроматика», Дополнение к четвертому, пятому и шестому изданиям Британской энциклопедии , том. 3 (первая половина, выпущено в феврале 1818 г.), стр. 141–63, на стр. 157; Ллойд, 1834, с. 368.
99. Дарригол, 2012, с. 207.
100. А. Френель, «Мемуар о модификациях que la réflexion imprime à la lumière Polarisée» («Мемуары об изменениях, которые отражение оказывает на поляризованный свет»), подписано и отправлено 10 ноября 1817 г., прочитано 24 ноября 1817 г.; напечатано во Френеле, 1866, стр. 441–85, в том числе стр. 452 (повторное открытие деполяризации путем полного внутреннего отражения), 455 (два отражения, «связанные призмы», «параллелепипед в стекле»), 467–8 (разность фаз на отражение); см. также стр. 487, примечание 1, на дату прочтения.
101. Дарригол, 2012, с. 212.
102. Бухвальд, 1989, стр. 390–91; Френель, 1866, стр. 646–8.
103. А. Френель, «Примечание к расчётам мышц, которые развиваются в кристаллических пластинках» и далее, Annales de Chimie et de Physique , Ser. 2, том. 17, стр. 102–11 (май 1821 г.), 167–96 (июнь 1821 г.), 312–15 («Постскриптум», июль 1821 г.); перепечатано Френелем, 1866 г., стр. 609–48; переведено как «О расчете оттенков, возникающих в кристаллических пластинках, и постскриптум», Зенодо :  4058004 , 2021.
104. А. Френель, «Mémoire sur la loi des модификаций que la réflexion imprime à la lumière Polarisée» («Мемуары о законе модификаций, которые отражение производит в поляризованном свете»), прочитано 7 января 1823 года; переиздано Френелем, 1866 г., стр. 767–99 (полный текст, опубликован в 1831 г.), стр. 753–62 (отрывок, опубликован в 1823 г.). См. особенно стр. 773 (синусоидальный закон), 757 (тангенциальный закон), 760–61 и 792–6 (углы полного внутреннего отражения для заданных разностей фаз).
105. Бухвальд, 1989, стр. 391–3; Дарригол, 2012, стр. 212–13; Уиттакер, 1910, стр. 133–5.
106. А. Френель, «Mémoire sur la double refraction que les lumineux éprouvent en traversant les aiguilles de cristal de roche suivant les parts parallèles à l'axe», прочитано 9 декабря 1822 года; напечатано во Френеле, 1866 г., стр. 731–51 (полный текст), стр. 719–29 ( дополнительно , впервые опубликовано в Bulletin de la Société philomathique за 1822 г., стр. 191–8); полный текст переведен как «Воспоминания о двойном преломлении, которому подвергаются световые лучи при прохождении кварцевых игл в направлениях, параллельных оси», Зенодо :  4745976 , 2021.
107. Бухвальд, 1989, стр. 230–31; Френель, 1866, с. 744.
108. Ллойд, 1834, стр. 369–70; Бухвальд, 1989, стр. 393–4,  453; Френель, 1866, стр. 781–96.
109. Френель, 1866, стр.  760–61,  792–6; Уэвелл, 1857, с. 359.
110. Френель, 1866, стр. 760–61, 792–3.
111. Френель, 1866, стр. 761,  793–6; Уэвелл, 1857, с. 359.
112. Бохнер, 1963, стр. 198–200.
113. Уиттакер, 1910, стр.  177–9.
114. Бохнер, 1963, с. 200; Борн и Вольф, 1970, с. 613.
115. Merriam-Webster, Inc., «Критический угол», по состоянию на 21 апреля 2019 г. (Первоисточник не указан.)
116. Р.П. Фейнман, 1985 (седьмое издание, 1988), QED: Странная теория света и материи , Princeton University Press, особенно. стр. 33, 109–10.

Библиография

• С. Бохнер (июнь 1963 г.), «Значение некоторых основных математических концепций для физики», Isis , 54  (2): 179–205; JSTOR  228537.
• М. Борн и Э. Вольф, 1970, Принципы оптики , 4-е изд., Оксфорд: Pergamon Press.
• CB Boyer, 1959, Радуга: от мифа к математике , Нью-Йорк: Томас Йоселофф.
• Дж. З. Бухвальд (декабрь 1980 г.), «Экспериментальные исследования двойного лучепреломления от Гюйгенса до Малуса», Архив истории точных наук , 21  (4): 311–373.
• Дж. З. Бухвальд, 1989, Развитие волновой теории света: оптическая теория и эксперимент в начале девятнадцатого века , University of Chicago Press, ISBN 0-226-07886-8 . 
• О. Дарригол, 2012, История оптики: от греческой древности до девятнадцатого века , Оксфорд, ISBN 978-0-19-964437-7 . 
• Р. Фитцпатрик, 2013, Колебания и волны: Введение , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-4665-6608-8 . 
• Р. Фицпатрик, 2013a, «Тотальное внутреннее отражение», Техасский университет в Остине, по состоянию на 14 марта 2018 г.
• А. Френель, 1866 (изд.  Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), том. 1 (1866 г.).
• Э. Хехт, 2017, Оптика , 5-е изд., Pearson Education, ISBN 978-1-292-09693-3 . 
• К. Гюйгенс, 1690, Traité de la Lumière (Лейден: Ван дер Аа), переведенный С. П. Томпсоном как «Трактат о свете» , University of Chicago Press, 1912; Project Gutenberg, 2005. (Номера цитируемых страниц соответствуют изданию 1912 года и HTML-изданию Гутенберга.)
• Ф.А. Дженкинс и Х.Э. Уайт, 1976, Основы оптики , 4-е изд., Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• TH Levitt, 2013, Короткая яркая вспышка: Огюстен Френель и рождение современного маяка , Нью-Йорк: WW Norton, ISBN 978-0-393-35089-0 . 
• Х. Ллойд, 1834 г., «Отчет о прогрессе и современном состоянии физической оптики», Отчет четвертого собрания Британской ассоциации содействия развитию науки (состоявшегося в Эдинбурге в 1834 г.), Лондон: Дж. Мюррей, 1835 г., стр. 295–413.
• И. Ньютон, 1730, Оптика: или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибах и цветах света, 4-е изд. (Лондон: Уильям Иннис, 1730; Проект Гутенберг, 2010); переиздано с предисловием А. Эйнштейна и введением Э. Т. Уиттакера (Лондон: George Bell & Sons, 1931); переиздано с дополнительным предисловием И.Б. Коэна и аналитическим оглавлением DHD Roller, Минеола, Нью-Йорк: Дувр, 1952, 1979 (с исправленным предисловием), 2012. (Номера цитируемых страниц соответствуют HTML-изданию Gutenberg и изданиям Dover.)
• HGJ Rutten и MAM  van Venrooij, 1988 (пятое издание, 2002 г.), Оптика телескопа: Всестороннее руководство для астрономов-любителей , Ричмонд, Вирджиния: Willmann-Bell, ISBN 978-0-943396-18-7 . 
• Дж. А. Стрэттон, 1941, Электромагнитная теория , Нью-Йорк: McGraw-Hill.
• У. Уэвелл, 1857, История индуктивных наук: от древнейших времен до наших дней , 3-е изд., Лондон: JW Parker & Son, vol. 2.
• ET Whittaker , 1910, [https://archive.org/details/historyoftheorie00whitrich История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века , Лондон: Longmans, Green, & Co.

Внешние ссылки

• Г-н Мангиакапре, «Флуоресценция в жидкости» (видео, 1 мин ‍ 28 с ), загружено 13 марта 2012 г.  (Флуоресценция и ПВО фиолетового лазерного луча в хининовой воде.)
• PhysicsatUVM, «Frustrated Total Internal Reflection» (видео, 37 секунд), загружено 21 ноября 2011 г.  («Лазерный луч подвергается полному внутреннему отражению в запотевшем куске оргстекла...»)
• SMUPhysics, «Внутреннее отражение» (видео, 12 с), загружено 20 мая 2010 г.  (Переход от преломления через критический угол к TIR в призме 45 °-90 °-45 °.)