Эллиптические функции Якоби

Математическая функция

В математике эллиптические функции Якоби представляют собой набор основных эллиптических функций . Они встречаются при описании движения маятника ( см. также маятник (математика) ), а также при проектировании электронных эллиптических фильтров . В то время как тригонометрические функции определяются со ссылкой на круг, эллиптические функции Якоби являются обобщением, которое относится к другим коническим сечениям , в частности к эллипсу. Связь с тригонометрическими функциями содержится в обозначениях, например, совпадающих обозначениях для . Эллиптические функции Якоби чаще используются в практических задачах, чем эллиптические функции Вейерштрасса, поскольку они не требуют определения и/или понимания понятий комплексного анализа. Их представил Карл Густав Якоб Якоби  (1829 г.). Карл Фридрих Гаусс уже изучал специальные эллиптические функции Якоби в 1797 году, в частности лемнискатные эллиптические функции ^[1] , но его работа была опубликована значительно позже. ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \sin }$

Обзор

Основной прямоугольник в комплексной плоскости ${\displaystyle u}$

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби, обозначаемых , где и – любые буквы , , , и . (Функции формы тривиально устанавливаются в единицу для полноты обозначений.) — аргумент и — параметр, оба из которых могут быть комплексными. В действительности эллиптические функции Якоби мероморфны как по , так и по . ^[2] Распределение нулей и полюсов на -плоскости хорошо известно. Однако вопросы распределения нулей и полюсов в -плоскости еще предстоит исследовать. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

В комплексной плоскости аргумента двенадцать функций образуют повторяющуюся решетку простых полюсов и нулей . ^[3] В зависимости от функции один повторяющийся параллелограмм или элементарная ячейка будет иметь стороны длины либо на действительной оси, либо на мнимой оси, где и известны как четверти периода и являются эллиптическим интегралом первого добрый. Природу элементарной ячейки можно определить, исследуя «вспомогательный прямоугольник» (обычно параллелограмм), который представляет собой прямоугольник, образованный началом координат в одном углу и диагонально противоположным углом. Как и на диаграмме, четыре угла вспомогательного прямоугольника называются , , , и , идущие против часовой стрелки от начала координат. Функция будет иметь ноль в углу и полюс в углу. Двенадцать функций соответствуют двенадцати способам расположения полюсов и нулей в углах прямоугольника. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 2K'}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K=K(m)}$ ${\displaystyle K'=K(1-m)}$ ${\displaystyle K(\cdot )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (K,K')}$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$

Когда аргумент и параметр действительны, при , и будут вещественными, а вспомогательный параллелограмм фактически будет прямоугольником, и все эллиптические функции Якоби будут иметь вещественные значения на действительной прямой. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$

Поскольку эллиптические функции Якоби являются дважды периодическими по , они факторизуются через тор – по сути, их областью определения можно считать тор, так же, как косинус и синус фактически определены на окружности. Вместо одного круга теперь у нас есть произведение двух кругов: реального и воображаемого. Комплексную плоскость можно заменить комплексным тором . Окружность первого круга равна и второй , где и – четверти периода . Каждая функция имеет два нуля и два полюса в противоположных положениях тора. Среди точек , , , имеется один нуль и один полюс. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 4K}$ ${\displaystyle 4K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K+iK'}$ ${\displaystyle iK'}$

Эллиптические функции Якоби тогда являются двоякопериодическими мероморфными функциями, удовлетворяющими следующим свойствам:

• В углу есть простой ноль и в углу простой полюс  . ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$
• Комплексное число равно половине периода функции ; то есть функция периодична в направлении с периодом . Функция также является периодической в ​​двух других направлениях и с такими периодами, что и являются четвертными периодами. ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} }$ ${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$ ${\displaystyle \operatorname {pq} u}$ ${\displaystyle \mathrm {pp} '}$ ${\displaystyle \mathrm {pq} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$ ${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

Графики четырех эллиптических функций Якоби на комплексной плоскости , иллюстрирующие их двойное периодическое поведение. Изображения, созданные с использованием версии метода окраски домена . ^[4] Все они имеют значения, равные . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle k={\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle 0.8}$

Обозначения

Эллиптические функции могут быть заданы в различных обозначениях, что может излишне запутать предмет. Эллиптические функции — это функции двух переменных. Первая переменная может быть задана в терминах амплитуды или , чаще, в терминах, приведенных ниже. Вторая переменная может быть задана через параметр или как эллиптический модуль , где , или через модульный угол , где . Дополнения и определяются как и . Эти четыре термина используются ниже без комментариев для упрощения различных выражений. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'=1-m}$ ${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

Двенадцать эллиптических функций Якоби обычно записываются как где и представляют собой любую из букв , , , и . Функции вида тривиально приравниваются к единице для полноты обозначений. «Основными» функциями обычно считаются , из которых могут быть выведены все остальные функции, и выражения часто пишутся исключительно через эти три функции, однако различные симметрии и обобщения часто удобнее всего выражать с использованием полного набора. (Эти обозначения принадлежат Гудерману и Глейшеру и не являются оригинальными обозначениями Якоби.) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {p} }$ ${\displaystyle \mathrm {q} }$ ${\displaystyle \mathrm {c} }$ ${\displaystyle \mathrm {s} }$ ${\displaystyle \mathrm {n} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} }$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

На протяжении всей этой статьи . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

Функции условно связаны друг с другом правилом умножения: (аргументы подавлены)

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

из которых могут быть получены другие часто используемые отношения:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

Правило умножения следует непосредственно из отождествления эллиптических функций с тэта-функциями Невилла ^[5]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Также обратите внимание, что:

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

Определение в терминах обратных эллиптических интегралов

Модель амплитуды Якоби (измеренной вдоль вертикальной оси) как функция независимых переменных u и модуля k

Существует определение, связывающее эллиптические функции с обратными к неполному эллиптическому интегралу первого рода. Эти функции принимают параметры и в качестве входных данных. То , что удовлетворяет ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

называется амплитудой Якоби :

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

В этой схеме эллиптический синус sn  u (лат. sinus amplitudinis ) определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

а эллиптический косинус cn  u (лат. cosinus amplitudinis ) определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

и дельта-амплитуда dn  u (лат. delta amplitudinis ) ^{[примечание 1]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

В приведенном выше примере значение представляет собой свободный параметр, обычно принимаемый за вещественное значение, такое, что , и поэтому эллиптические функции можно рассматривать как заданные двумя переменными и параметром  . Остальные девять эллиптических функций легко построить из трех вышеуказанных ( , , ) и приведены в разделе ниже. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \operatorname {cn} }$ ${\displaystyle \operatorname {dn} }$

В самом общем случае – это многозначная функция (в ) с бесконечным числом логарифмических точек ветвления (ветви различаются целыми кратными ), а именно точками и где . ^[6] Эту многозначную функцию можно сделать однозначной, разрезав комплексную плоскость по отрезкам, соединяющим эти точки ветвления (разрезание можно производить неэквивалентными способами, давая неэквивалентные однозначные функции), сделав таким образом аналитические везде, кроме срезов ветвей . Напротив, и другие эллиптические функции не имеют точек ветвления, дают согласованные значения для каждой ветви и мероморфны во всей комплексной плоскости. Поскольку каждая эллиптическая функция мероморфна во всей комплексной плоскости (по определению), (если рассматривать ее как однозначную функцию) не является эллиптической функцией. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$ ${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

Однако приведенное выше интегральное обращение определяет уникальную однозначную вещественно-аналитическую функцию в реальной окрестности точки, если действительно. Существует единственное аналитическое продолжение этой функции из этой окрестности в . Аналитическое продолжение этой функции периодично тогда и только тогда, когда (с минимальным периодом ), и в оставшейся части статьи оно обозначается . ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle 4K(1/m)/{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

Якоби также ввел коамплитудную функцию:

${\displaystyle \operatorname {coam} (u,m)=\operatorname {am} (K(m)-u,m)}$.

Эпсилон -функцию Якоби можно определить как ^[7]

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t}$

и связывает неполный эллиптический интеграл первого рода с неполным эллиптическим интегралом второго рода (с параметром ): ${\displaystyle m}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

Эпсилон-функция Якоби не является эллиптической функцией. Однако в отличие от амплитуды и коамплитуды Якоби эпсилон-функция Якоби мероморфна во всей комплексной плоскости (как по , так и по ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

Функция Якоби zn определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)=\int _{0}^{u}\left(\operatorname {dn} (t,m)^{2}-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\,\mathrm {d} t.}$

Это однопериодическая функция, мероморфная по . Его минимальный период составляет . Это связано с дзета-функцией Якоби соотношением ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle 2K(m)}$ ${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

Обратите внимание, что когда это будет равно квартальному периоду . ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$ ${\displaystyle u}$  ${\displaystyle K}$

Определение как тригонометрия: эллипс Якоби.

График эллипса Якоби ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  вещественный) и двенадцати эллиптических функций Якоби pq ( u , m ) для конкретных значений угла φ и параметра  b . Сплошная кривая представляет собой эллипс с m  = 1 − 1/ b ² и u  =  F ( φ , m ), где F (·,·) – эллиптический интеграл первого рода (с параметром ). Пунктирная кривая представляет собой единичный круг. Касательные линии круга и эллипса в точке x  = cd, пересекающие ось x в точке dc, показаны светло-серым цветом. ${\displaystyle m=k^{2}}$

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$определяются на единичной окружности с радиусом r  = 1 и длиной угловой дуги единичной окружности, отсчитываемой от положительной оси x . Аналогично, эллиптические функции Якоби определяются на единичном эллипсе ^{[ нужна ссылка ]} с a  = 1. Пусть ${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

затем:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Для каждого угла параметр ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

(неполный эллиптический интеграл первого рода). На единичном круге ( ) будет длина дуги. Величина связана с неполным эллиптическим интегралом второго рода (с модулем ) соотношением ^[8] ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u[\varphi ,k]=u(\varphi ,k^{2})}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle u[\varphi ,k]={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}}}}\left({\frac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}\operatorname {E} \left(\varphi +\arctan \left({\sqrt {1-k^{2}}}\tan \varphi \right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-\operatorname {E} (\varphi ,k)+{\frac {k^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right),}$

и, следовательно, связана с длиной дуги эллипса . Пусть это точка на эллипсе, и пусть это точка, в которой единичная окружность пересекает линию между и начало координат . Тогда знакомые соотношения из единичного круга: ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

прочитайте эллипс:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

Итак, проекции точки пересечения прямой с единичной окружностью на оси x и y представляют собой просто и . Эти проекции можно интерпретировать как «определение как тригонометрию». Суммируя: ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

Для значения и точки с параметром и мы получаем после вставки отношения: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

в: что: ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

Последние соотношения для координат x- и y -точек единичного эллипса можно рассматривать как обобщение соотношений для координат точек единичного круга. ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

В следующей таблице суммированы выражения для всех эллиптических функций Якоби pq(u,m) в переменных ( x , y , r ) и ( φ ,dn) с ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Определение в терминах тэта-функций Якоби

Описание тета-функции Якоби

Эквивалентно, эллиптические функции Якоби могут быть определены через его тэта-функции . Если мы сокращаем как и соответственно как ( тэта-константы ), то эллиптический модуль тэта-функции k равен . Мы определяем ном по отношению к соотношению периодов. У нас есть ${\displaystyle \vartheta _{00}(0;q)}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}(q)}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}(0;q),\vartheta _{10}(0;q),\vartheta _{11}(0;q)}$ ${\displaystyle \vartheta _{01}(q),\vartheta _{10}(q),\vartheta _{11}(q)}$ ${\displaystyle k={\biggl \{}{\vartheta _{10}[q(k)] \over \vartheta _{00}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}}$ ${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u;k)&=-{\frac {\vartheta _{00}[q(k)]\,\vartheta _{11}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{10}[q(k)]\,\vartheta _{01}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}\\[7pt]\operatorname {cn} (u;k)&={\frac {\vartheta _{01}[q(k)]\,\vartheta _{10}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{10}[q(k)]\,\vartheta _{01}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}\\[7pt]\operatorname {dn} (u;k)&={\frac {\vartheta _{01}[q(k)]\,\vartheta _{00}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{00}[q(k)]\,\vartheta _{01}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}\end{aligned}}}$

где и . ${\displaystyle {\bar {K}}(k)={\frac {2}{\pi }}\,K(k)}$ ${\displaystyle q=\exp[-\pi \,K'(k)/K(k)]}$

Эдмунд Уиттакер и Джордж Уотсон определили тэта-функции Якоби таким образом в своем учебнике «Курс современного анализа» : ^[9]

${\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(v;w)=2w^{1/4}\cos v\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]}$

${\displaystyle \vartheta _{11}(v;w)=-2w^{1/4}\sin v\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1-2\cos(2v)w^{2n}+w^{4n}]}$

Функция Якоби zn

Функция Якоби zn также может быть выражена через тэта-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u;k)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{01}'[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{01}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{00}'[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{00}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}+k^{2}{\frac {\operatorname {sn} (u;k)\operatorname {cn} (u;k)}{\operatorname {dn} (u;k)}}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{10}'[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{10}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}+{\frac {\operatorname {dn} (u;k)\operatorname {sn} (u;k)}{\operatorname {cn} (u;k)}}\\[6pt]&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\vartheta _{11}'[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}{\vartheta _{11}[u\div {\bar {K}}(k);\,q(k)]}}-{\frac {\operatorname {cn} (u;k)\operatorname {dn} (u;k)}{\operatorname {sn} (u;k)}}\end{aligned}}}$

где обозначает частную производную относительно записи в левой скобке: ${\displaystyle '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta '_{00}(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{00}(v;w)\\[6pt]&\vartheta '_{01}(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{01}(v;w)\end{aligned}}}$

и так далее.

Следующее определение функции Якоби zn идентично уже упомянутым формулам:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

Последовательно амплитуду синуса sn можно сгенерировать следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)={\frac {2{\bigl \{}{\operatorname {zn} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}u;k{\bigr )}+{\operatorname {zn} }{\bigl [}K(k)-{\tfrac {1}{2}}u;k{\bigr ]}{\bigr \}}}{k^{2}+{\bigl \{}{\operatorname {zn} }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}u;k{\bigr )}+{\operatorname {zn} }{\bigl [}K(k)-{\tfrac {1}{2}}u;k{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}}}}$

Сравнение сумм и произведений

Приведенный эллиптический интеграл первого рода снова определяется следующим образом:

${\displaystyle {\bar {K}}(\varepsilon )={\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon )}$

А сокращенное эллиптическое имя должно определяться по следующему шаблону:

${\displaystyle {\bar {q}}(\varepsilon )={\sqrt[{4}]{\varepsilon ^{-2}q(\varepsilon )}}}$

Братья Питер и Джонатан Борвейн также дали эти две следующие формулы для амплитудного синуса в своей работе π и AGM на странице 60 и далее:

Эта определяющая формула, являющаяся результатом внутренней подстановки , аналогично применяется к функции cd: ${\displaystyle z\rightarrow K(k)-z}$

Эти формулы основаны на определении тета-функций ненулевого значения, предложенном Уиттакером и Уотсоном .

Эти формулы ^[10] применимы к амплитуде косинуса:

Согласно формулам произведения Уиттекера-Ватсона, эта формула также применима к функции дельта-амплитуда:

${\displaystyle \operatorname {dn} (u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

С помощью гиперболической секущей суммы возможно определение ^[11] для Delta Amplitudinis:

${\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\pi }{2K{\bigl (}{\sqrt {1-k^{2}}}{\bigr )}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\bigl \{}\pi K{\bigl (}{\sqrt {1-k^{2}}}{\bigr )}^{-1}{\bigl [}K(k)n+{\tfrac {1}{2}}z{\bigr ]}{\bigr \}}}$

Эллиптический ном и его серия

Эллиптический интеграл и эллиптический ном.

Поскольку функции Якоби определяются через эллиптический модуль , нам нужно инвертировать его и найти через . Начнем с дополнительного модуля . В качестве функции от него ${\displaystyle k(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle k'(\tau )={\sqrt {1-k^{2}}}={\biggl \{}{\vartheta _{01}[q(k)] \over \vartheta _{00}[q(k)]}{\biggr \}}^{2}}$

Определим эллиптический ном и полный эллиптический интеграл первого рода :

${\displaystyle q(k)=\exp {\biggl [}-\pi {\frac {K{\bigl (}{\sqrt {1-k^{2}}}{\bigr )}}{K(k)}}{\biggr ]}}$

Это два одинаковых определения полного эллиптического интеграла первого рода:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\partial \varphi }$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}}$

Идентичное определение функции nome можно получить, используя ряд. Следующая функция имеет эту идентичность:

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}={\frac {\vartheta _{00}[q(k)]-\vartheta _{01}[q(k)]}{\vartheta _{00}[q(k)]+\vartheta _{01}[q(k)]}}={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{(2n-1)^{2}}{\biggr ]}{\biggl [}1+\sum _{n=1}^{\infty }2\,q(k)^{4n^{2}}{\biggr ]}^{-1}}$

Поскольку мы можем свести к случаю, когда мнимая часть больше или равна (см. Модульная группа ), мы можем предположить, что абсолютное значение меньше или равно ; для таких малых значений приведенный выше ряд сходится очень быстро и легко позволяет нам найти подходящее значение для . Решая эту функцию после q, мы получаем следующий результат ^{[12] [13] [14]} : ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)\approx 0.0658}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=k^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

В этой таблице точно показаны номера целочисленной последовательности Шварца A002103:

Целочисленная последовательность Кнезера

Немецкий математик Адольф Кнезер исследовал целочисленную последовательность отношения эллиптических периодов в своем эссе Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen и показал, что производящая функция этой последовательности является эллиптической функцией. Другой математик по имени Роберт Фрике проанализировал эту целочисленную последовательность в своем эссе « Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen» и описал точные методы вычислений с использованием этой упомянутой последовательности. Целочисленную последовательность Кнезера Kn(n) можно построить следующим образом:

Реализованные примеры:

Последовательность Кнезера появляется в ряду Тейлора отношения периодов (отношения половин периодов):

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ln \left({\frac {16}{x^{2}}}\right)-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}}$

Целочисленная последовательность Шеллбаха-Шварца

Математик Карл Генрих Шелбах открыл последовательность целых чисел, которая появляется в ряду МакЛорена функции эллиптического нома . Этот учёный ^[15] подробно построил эту последовательность A002103 в своей работе Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen . Тем более на странице 60 этой работы в его работе записан маршрут синтеза этой последовательности. Также силезский немецкий математик Герман Амандус Шварц в своей работе «Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen» в главе « Berechnung der Grösse k» на страницах 54–56 написал, что последовательность целых чисел идет вниз. Эта числовая последовательность Шеллбаха-Шварца Sc(n) (OEIS: A002103) также анализировалась математиками Карлом Теодором Вильгельмом Вейерштрассом и Луи Мелвиллом Милн-Томсоном в 20 веке. Математик Адольф Кнезер определил метод синтеза этой последовательности, основываясь на следующей схеме:

${\displaystyle {\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)}$

Последовательность Шеллбаха-Шварца Sc(n) введена в онлайн-энциклопедию числовых последовательностей под номером A002103, а последовательность Кнезера Kn(n) - под номером A227503. Адольф Кнезер исследовал эту целочисленную последовательность в своем эссе Neue Untersuruchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen и показал, что производящая функция этой последовательности является эллиптической функцией. Также Роберт Фрике проанализировал эту целочисленную последовательность в своем эссе Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen и описал точные методы вычислений с использованием этой последовательности. Следующая таблица ^{[16] [17]} содержит числа Кнезера и числа Шеллбаха-Шварца:

Далее в качестве примера будет показано, как последовательно строятся числа Шеллбаха-Шварца. Для этого используются примеры с номерами Sc(4) = 150, Sc(5) = 1707 и Sc(6) = 20910:

${\displaystyle \mathrm {Sc} (4)={\tfrac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\tfrac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\tfrac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (5)={\tfrac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\tfrac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\tfrac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}}$

${\displaystyle \mathrm {Sc} (6)={\tfrac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\tfrac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}}$

${\displaystyle {\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\tfrac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}}$

И эта последовательность создает серию Маклорена эллиптического нома именно таким образом, как указано выше:

${\displaystyle q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}}$

Определение в терминах тэта-функций Невилла

Эллиптические функции Якоби можно очень просто определить с помощью тета-функций Невилла : ^[18]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

Упрощение сложных произведений эллиптических функций Якоби часто упрощается с использованием этих тождеств.

Преобразования Якоби

Мнимые преобразования Якоби

График вырожденной кривой Якоби ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b  = ∞) и двенадцати эллиптических функций Якоби pq( u ,1) для конкретного значения угла  φ . Сплошная кривая представляет собой вырожденный эллипс ( x ²  = 1) с m  = 1 и u  =  F ( φ ,1), где F (·,·) – эллиптический интеграл первого рода. Пунктирная кривая представляет собой единичный круг. Поскольку это функции Якоби при m  = 0 (круговые тригонометрические функции), но с мнимыми аргументами, они соответствуют шести гиперболическим тригонометрическим функциям.

Мнимые преобразования Якоби связывают различные функции мнимой переменной iu или, что то же самое, отношения между различными значениями параметра m . По основным функциям: ^{[19] : 506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

Используя правило умножения, все остальные функции можно выразить через три вышеуказанные. Преобразования обычно можно записать как . В следующей таблице приведены значения для указанного pq( u,m ). ^[18] (Аргументы скрыты) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$ ${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

Поскольку гиперболические тригонометрические функции пропорциональны круговым тригонометрическим функциям с мнимыми аргументами, отсюда следует, что функции Якоби дадут гиперболические функции при m = 1. ^{[5] : 249} На рисунке кривая Якоби выродилась в две вертикальные линии при x  = 1 и x  = −1.

Настоящие трансформации Якоби

Действительные преобразования Якоби ^{[5] : 308} дают выражения для эллиптических функций через альтернативные значения m . Преобразования обычно можно записать как . В следующей таблице приведены значения для указанного pq( u,m ). ^[18] (Аргументы скрыты) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$ ${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

Другие преобразования Якоби

Действительные и мнимые преобразования Якоби можно комбинировать различными способами, чтобы получить еще три простых преобразования. ^{[5] : 214} Действительные и мнимые преобразования — это два преобразования в группе ( D 3 или ангармоническая группа ) из шести преобразований. Если

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

— преобразование параметра m в реальном преобразовании, а

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

является преобразованием m в мнимом преобразовании, то другие преобразования могут быть построены путем последовательного применения этих двух основных преобразований, что дает еще только три возможности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

Эти пять преобразований вместе с тождественным преобразованием ( µ _U ( m ) =  m ) дают группу из шести элементов. Что касается эллиптических функций Якоби, то общее преобразование можно выразить с помощью всего трех функций:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

где i = U, I, IR, R, RI или RIR, обозначающие преобразование, γ _i — коэффициент умножения, общий для этих трех функций, а штрих указывает преобразованную функцию. Остальные девять преобразованных функций могут быть построены из трех вышеперечисленных. Причина, по которой функции cs, ns, ds были выбраны для представления преобразования, заключается в том, что другие функции будут отношениями этих трех (за исключением их обратных), и коэффициенты умножения будут сокращаться.

В следующей таблице перечислены коэффициенты умножения для трех функций ps, преобразованных m и имена преобразованных функций для каждого из шести преобразований. ^{[5] : 214} (Как обычно, k ²  =  m , 1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′ и аргументы ( ) опускаются) ${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

Так, например, мы можем построить следующую таблицу для преобразования RIR. ^[18] Преобразование в общем записывается (аргументы скрыты) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$ ${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

Ценность преобразований Якоби состоит в том, что любой набор эллиптических функций Якоби с любым комплексным параметром m можно преобразовать в другой набор, для которого 0 ≤  m  ≤ 1, и для действительных значений u значения функции будут вещественными. ^{[5] : с. 215}

Гипербола Якоби

График гиперболы Якоби ( x ²  +  y ² / b ²  = 1, b мнимый) и двенадцати эллиптических функций Якоби pq( u , m ) для конкретных значений угла φ и параметра b . Сплошная кривая представляет собой гиперболу с m  = 1 − 1/ b ² и u  =  F ( φ , m ), где F (·,·) – эллиптический интеграл первого рода. Пунктирная кривая представляет собой единичный круг. Для треугольника ds-dc σ  =  sin φ  cos φ .

Вводя комплексные числа, нашему эллипсу соответствует гипербола:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

от применения мнимого преобразования Якоби ^[18] к эллиптическим функциям в приведенном выше уравнении для x и  y .

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

Отсюда следует, что мы можем положить . Итак, наш эллипс представляет собой двойной эллипс, в котором m заменено на 1-m. Это приводит к комплексному тору, упомянутому во введении. ^[20] Обычно m может быть комплексным числом, но когда m вещественное и m<0, кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении x. При m=0 кривая представляет собой круг, а при 0<m<1 кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении y. При m  = 1 кривая вырождается в две вертикальные линии при x  = ±1. При m  > 1 кривая представляет собой гиперболу. Когда m комплексное, но не действительное, x или y или оба являются комплексными, и кривую невозможно описать на реальной диаграмме x - y . ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

Второстепенные функции

Изменение порядка двух букв в имени функции на противоположный приводит к получению обратных значений трех вышеприведенных функций:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

Аналогично, отношения трех основных функций соответствуют первой букве числителя, за которой следует первая буква знаменателя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

Более компактно мы имеем

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

где p и q — любые буквы s, c, d.

Периодичность, полюса и вычеты

Графики фазы для двенадцати эллиптических функций Якоби pq(u,m) как комплексного аргумента функции u с указанными полюсами и нулями. Графики составляют один полный цикл в реальном и мнимом направлениях, при этом цветная часть указывает фазу в соответствии с цветовым кругом в правом нижнем углу (которая заменяет тривиальную функцию dd). Регионы с абсолютным значением ниже 1/3 окрашены в черный цвет, что примерно указывает на расположение нуля, а регионы с абсолютным значением выше 3 окрашены в белый цвет, что примерно указывает на положение полюса. На всех графиках используется m  = 2/3, где K  =  K ( m ), K ′ =  K (1 −  m ), K (·) — полный эллиптический интеграл первого рода. Стрелки на полюсах указывают в направлении нулевой фазы. Стрелки вправо и влево означают положительные и отрицательные действительные остатки соответственно. Стрелки вверх и вниз означают положительные и отрицательные мнимые остатки соответственно.

В комплексной плоскости аргумента u эллиптические функции Якоби образуют повторяющийся узор из полюсов (и нулей). Все остатки полюсов имеют одинаковую абсолютную величину, различаясь только знаком. Каждая функция pq( u , m ) имеет «обратную функцию» (в мультипликативном смысле) qp( u , m ), в которой меняются местами полюса и нули. Периоды повторения вообще различны в действительном и мнимом направлениях, отсюда и использование термина «двоякопериодические» для их описания.

Амплитуда Якоби и эпсилон-функция Якоби квазипериодичны:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E}$

где – полный эллиптический интеграл второго рода с параметром . ${\displaystyle E(m)}$ ${\displaystyle m}$

Также

${\displaystyle \operatorname {zn} (u+2iK',m)=\operatorname {zn} (u,m)-{\frac {\pi i}{K}}}$.

Двойную периодичность эллиптических функций Якоби можно выразить как:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

где α и β — любая пара целых чисел. K (·) — полный эллиптический интеграл первого рода, также известный как четверть периода . Степень отрицательной единицы ( γ ) приведена в следующей таблице:

Когда коэффициент (−1) ^γ равен −1, уравнение выражает квазипериодичность. Когда он равен единице, это выражает полную периодичность. Можно видеть, например, что для записей, содержащих только α, когда α четно, полная периодичность выражается приведенным выше уравнением, и функция имеет полные периоды 4 K ( m ) и 2 iK (1 −  m ). Аналогично, функции с элементами, содержащими только β , имеют полные периоды 2K(m) и 4 iK (1 −  m ), тогда как функции с элементами α + β имеют полные периоды 4 K ( m ) и 4 iK (1 −  m ).

На диаграмме справа, на которой для каждой функции изображена одна повторяющаяся единица с указанием фазы вместе с расположением полюсов и нулей, можно отметить ряд закономерностей: Обратная функция каждой функции расположена напротив диагонали и имеет одинаковый размер. элементарная ячейка с поменянными местами полюсами и нулями. Расположение полюсов и нулей во вспомогательном прямоугольнике, образованном (0,0), ( K ,0), (0, K ') и ( K , K '), соответствует описанию размещения полюсов и нулей, описанному в разделе введение выше. Кроме того, размер белых овалов, обозначающих полюса, является грубой мерой абсолютного значения остатка для этого полюса. Остатки полюсов, ближайших к началу координат на рисунке (т.е. во вспомогательном прямоугольнике), приведены в следующей таблице:

Когда это применимо, полюса, смещенные вверх на 2 К или смещенные вправо на 2 К ', имеют одинаковое значение, но с обратными знаками, в то время как полюса, расположенные напротив по диагонали, имеют одинаковое значение. Обратите внимание, что полюса и нули на левом и нижнем краях считаются частью элементарной ячейки, а полюса на верхнем и правом краях — нет.

Особые значения

Лемнискатические значения

Значения вместе с модулем называются лемнискатическими значениями: ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}=\lambda ^{*}(1)}$

Значения третей интеграла K:

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{12}}+1)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}({\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{3}}-{\sqrt {2}}){\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}}}$

Значения квинт интеграла K:

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\tan {\tfrac {1}{5}}\pi }+1-{\sqrt {2\tan {\tfrac {3}{20}}\pi }}\,{\Bigr )}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\tan {\tfrac {1}{5}}\pi }-1+{\sqrt {2\cot {\tfrac {3}{20}}\pi }}\,{\Bigr )}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\cot {\tfrac {1}{10}}\pi }-1-{\sqrt {2\tan {\tfrac {1}{20}}\pi }}\,{\Bigr )}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\cot {\tfrac {1}{10}}\pi }+1-{\sqrt {2\cot {\tfrac {1}{20}}\pi }}\,{\Bigr )}}$

Для соответствующих пифагорейских противоположностей справедливы эти формулы:

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}\,{\sqrt {\sin {\tfrac {3}{20}}\pi \,\cos {\tfrac {1}{20}}\pi }}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=2{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-2}}\,{\sqrt {\sin {\tfrac {1}{20}}\pi \,\cos {\tfrac {3}{20}}\pi }}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2\tan {\tfrac {1}{20}}\pi }}\,\left({\sqrt {\cot {\tfrac {1}{10}}\pi +1}}-{\sqrt {\cot {\tfrac {1}{10}}\pi -3}}\,\right)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2\cot {\tfrac {1}{20}}\pi }}\,\left({\sqrt {\cot {\tfrac {1}{10}}\pi +3}}-{\sqrt {\cot {\tfrac {1}{10}}\pi -1}}\,\right)}$

Значения седьмых частей интеграла К:

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{7}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=\tanh {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \,\cot {\tfrac {3}{28}}\pi }}+\sin {\tfrac {1}{14}}\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {4}{7}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=\tanh {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos {\tfrac {1}{14}}\pi \,\tan {\tfrac {5}{28}}\pi }}+\sin {\tfrac {3}{14}}\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {6}{7}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=\tanh {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos {\tfrac {3}{14}}\pi \,\cot {\tfrac {1}{28}}\pi }}+\cos {\tfrac {1}{7}}\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}}$

Для соответствующих пифагорейских противоположностей справедливы эти формулы:

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{7}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=\operatorname {sech} {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\sin {\tfrac {1}{7}}\pi \,\cot {\tfrac {3}{28}}\pi }}+\sin {\tfrac {1}{14}}\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{7}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=\operatorname {sech} {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos {\tfrac {1}{14}}\pi \,\tan {\tfrac {5}{28}}\pi }}+\sin {\tfrac {3}{14}}\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {6}{7}}K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr ]}=\operatorname {sech} {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcoth} {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\cos {\tfrac {3}{14}}\pi \,\cot {\tfrac {1}{28}}\pi }}+\cos {\tfrac {1}{7}}\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}}$

Важные личности:

Установка дает эллиптические функции лемнискаты и таким образом: ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} (u)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\operatorname {sd} {\bigl (}{\sqrt {2}}\,u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\frac {\operatorname {sn} {\bigl (}{\sqrt {2}}\,u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )}}{\operatorname {dn} {\bigl (}{\sqrt {2}}\,u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )}}},\quad \operatorname {cl} (u)=\operatorname {cn} {\bigl (}{\sqrt {2}}\,u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\bigr )}.}$

Установка дает лемнискате эллиптические функции следующим образом : ${\displaystyle k=i}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} (u)=\operatorname {sn} (u;i),\quad \operatorname {cl} (u)=\operatorname {cd} (u;i)={\frac {\operatorname {cn} (u;i)}{\operatorname {dn} (u;i)}}.}$

Эквиангармонические значения

Значения вместе с модулем называются эквиангармоническими значениями или также значениями эквиангармонического случая : ${\displaystyle k=\sin {\tfrac {1}{12}}\pi =\lambda ^{*}(3)}$ ${\displaystyle k=\cos {\tfrac {1}{12}}\pi =\lambda ^{*}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\bigr )}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K{\bigl (}\sin {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr )};\,\sin {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}=\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt[{3}]{10}}\tan {\tfrac {1}{10}}\pi +{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr )}-{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K{\bigl (}\sin {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr )};\,\sin {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}=\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt[{3}]{10}}\tan {\tfrac {1}{10}}\pi -{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr )}+{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K{\bigl (}\cos {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr )};\,\cos {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}=\cot {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt[{3}]{10}}\cot {\tfrac {1}{5}}\pi +{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr )}-{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K{\bigl (}\cos {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr )};\,\cos {\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}=\cot {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt[{3}]{10}}\cot {\tfrac {1}{5}}\pi -{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}({\sqrt[{3}]{10}}-1){\bigr )}+{\tfrac {1}{12}}\pi {\bigr ]}}$

Цветком отмечена эллиптическая лямбда-звезда !

Элементарные функции

При или эллиптические функции Якоби сводятся к неэллиптическим функциям: ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$

Для амплитуды Якоби, а где – функция Гудермана . ${\displaystyle \operatorname {am} (u;0)=u}$ ${\displaystyle \operatorname {am} (u;1)=\operatorname {gd} u}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} }$

В общем, если ни один из p, q не является d, то . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u;1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u);0)}$

Личности

Теоремы сложения

Функции удовлетворяют двум квадратичным соотношениям в зависимости от модуля в форме Лежандра: ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u;k)+\operatorname {sn} ^{2}(u;k)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u;k)+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(u;k)=1.\,}$$

Отсюда мы видим, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическую кривую , которая является пересечением двух квадрик , определенных двумя приведенными выше уравнениями. Теперь мы можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью формул сложения функций Якоби ^{[3] [21]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (x+y;k)&={\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k)\operatorname {dn} (y;k)+\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {dn} (x;k) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}},\\[8pt]\operatorname {cn} (x+y;k)&={\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k)-\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)\operatorname {dn} (y;k) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y;k)&={\operatorname {dn} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}.\end{aligned}}}$$

Рассматривая только функции sn и cd, можно установить следующую пару теорем сложения, в которых эти две теоремы антисимметричны друг другу:

Эпсилон Якоби и функции zn удовлетворяют теореме квазисложения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y;k)&={\mathcal {E}}(x;k)+{\mathcal {E}}(y;k)-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {sn} (x+y;k),\\\operatorname {zn} (x+y;k)&=\operatorname {zn} (x;k)+\operatorname {zn} (y;k)-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)\operatorname {sn} (x+y;k).\end{aligned}}}$$

Формулы двойного угла можно легко вывести из приведенных выше уравнений, установив x  =  y . ^[3] Все формулы половинного угла ^{[18] [3] имеют вид:}

$${\displaystyle \operatorname {pq} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}u;k{\bigr )}^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

где:

$${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u;k)+\operatorname {dn} (u;k)}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u;k)}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u;k)}$$

$${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u;k))-m(1-\operatorname {cn} (u;k))}$$

Формула половинного угла

Эти три формулы описывают теорему деления пополам:

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\tfrac {1}{2}}u;k\right)^{2}={\frac {1-\operatorname {cn} (u;k)}{1+\operatorname {dn} (u;k)}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\tfrac {1}{2}}u;k\right)^{2}={\frac {\operatorname {cn} (u;k)+\operatorname {dn} (u;k)}{1+\operatorname {dn} (u;k)}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left({\tfrac {1}{2}}u;k\right)^{2}={\frac {1-k^{2}+\operatorname {dn} (u;k)+k^{2}\operatorname {cn} (u;k)}{1+\operatorname {dn} (u;k)}}}$$

А теорема о среднем арифметическом описывается такой формулой:

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}y;k{\bigr )}^{2}={\frac {1+\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)-\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k)}{1+k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)+\operatorname {dn} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)}}}$

K- формулы

Формула половины К

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

Третья формула К

Также это уравнение ^[21] приводит к sn-значению трети K :

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}}$

Эти уравнения приводят к другим значениям функций Якоби:

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=1-\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=1/\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1}$

На основе упомянутого сейчас уравнения четвертой степени мы можем получить упрощенную формулу, используя алгоритм решения для общего случая уравнения четвертой степени. Эта параметризованная формула может быть сгенерирована следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl \{}{\tfrac {1}{3}}K{\bigl [}\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arctan x^{3}{\bigr )}{\bigr ]};\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arctan x^{3}{\bigr )}{\bigr \}}=\tanh {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\ln {\Bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$

Пифагорейская противоположность дает эту формулу последовательно:

${\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl \{}{\tfrac {1}{3}}K{\bigl [}\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arctan x^{3}{\bigr )};\tan {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\arctan x^{3}{\bigr )}{\bigr \}}=\operatorname {sech} {\Bigl [}{\tfrac {1}{2}}\ln {\Bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}{\Bigr )}{\Bigr ]}}$

Эти две теперь упомянутые формулы справедливы для всех действительных значений x , критерий выполняется в обоих уравнениях. ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Чтобы получить x , мы берем тангенс удвоенного арктангенса модуля, а затем извлекаем кубический корень , чтобы появился x .

А затем мы вставляем сгенерированное значение x в правую часть баланса показанных параметризованных уравнений.

В отношении этого алгоритма расчета ниже приведены три примера:

Пятая формула К

Следующее уравнение имеет следующее решение:

${\displaystyle 4k^{2}t^{6}+8k^{2}t^{5}+2(1-k^{2})^{2}t-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle t={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}={\frac {\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}-\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}^{2}}{2\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}}}}$

Чтобы получить значения sn, мы помещаем решение x в следующие выражения:

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-t-t^{2}){\bigl (}t^{2}+1-t{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-t-t^{2}){\bigl (}t^{2}+1+t{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}}}}$

Решение t между нулем и половиной — это решение, которое необходимо использовать для этих выражений.

Что касается уже упомянутого алгоритма расчета, ниже приведен важный пример:

Согласно теореме Абеля-Руффини , совершенно невозможно составить элементарные выражения для значений амплитудного синуса квинт полного эллиптического интеграла первого рода для регулярного случая эллиптического модуля.

Отношения между квадратами функций

Отношения между квадратами функций могут быть получены из двух основных отношений (аргументы ( u , m ) подавлены):

$${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

m + m' nq

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

При q  =  d они тригонометрически соответствуют уравнениям для единичного круга ( ) и единичного эллипса ( ), с x  =  cd , y  =  sd и r  =  nd . Используя правило умножения, можно получить и другие соотношения. Например: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}={m\operatorname {sn} ^{2}}{}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}={m\operatorname {cd} ^{2}}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}={\operatorname {dc} ^{2}}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}={\operatorname {ns} ^{2}}-m}$$

Представления значений функций через тета-функции

Приведены определения произведений тета-функций Нулверта Якоби , как их установили математики Эдмунд Тейлор Уиттакер и Джордж Невилл Уотсон ^{[22] [23] [24] :}

${\displaystyle \vartheta _{00}(w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})(1+w^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})(1-w^{2n-1})^{2}}$

Тождества третей интеграла : ${\displaystyle K}$

С помощью так называемых тета-функций нулевого значения эллиптического существительного модуля можно представить многие значения функции Якобиана:

${\displaystyle \operatorname {sc} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\,\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\,\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\,\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\,\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\,\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\,\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}}$

Тождества пятых интеграла : ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {cn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}}$

Элементарных комбинаций тета-функций с нулевым значением и эллиптического нома недостаточно для представления значений функции Якоби в левых скобках за пределами рационально сломанных K-интегралов. Для этого требуются ненулевые тэта-функции описанного выше шаблона.

Эллиптические функции Якоби как решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Производные трех основных эллиптических функций Якоби :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

Их можно использовать для получения производных всех других функций, как показано в таблице ниже (аргументы (u,m) скрыты):

Таким образом, с учетом приведенных выше теорем сложения и для данного m с 0 <  m  <1 основные функции являются решениями следующих нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений :

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$решает дифференциальные уравнения и ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$ ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

Амплитуда Якоби представляет собой нетривиальное решение дифференциального уравнения, описывающего точное движение простого маятника . В частности,

${\displaystyle \theta =2\operatorname {am} \left({\frac {t{\sqrt {2c}}}{2}},2\right)\rightarrow {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0.}$

Функция, которая решает приведенное выше дифференциальное уравнение маятника с начальным углом, равна ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle \theta =2\arcsin(k\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,k^{2})),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$

Разложение ряда Ламберта по ному

Пусть имя будет , , и пусть . Тогда функции разлагаются в ряд Ламберта ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv)}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

когда . ${\displaystyle q\exp(2\left|\operatorname {Im} (v)\right|)<1}$

Для амплитуды Якоби

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv)}$

где и . ${\displaystyle 0<m<1}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$

Разложение двумерного степенного ряда было опубликовано Шеттом. ^[25]

Быстрое вычисление

Отношения тета-функции обеспечивают эффективный способ вычисления эллиптических функций Якоби. Существует альтернативный метод, основанный на среднем арифметико-геометрическом и преобразованиях Ландена : ^[6]

Инициализировать

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},c_{0}={\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}$

где . Определять ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

где . Затем определите ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

для и фиксированного . Если ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

тогда _ ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0}}$

как . Это примечательно своей быстрой конвергенцией. Тогда тривиально вычислить все эллиптические функции Якоби по амплитуде Якоби на действительной прямой. ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle \operatorname {am} }$

В сочетании с теоремами сложения для эллиптических функций (которые в целом справедливы для комплексных чисел) и преобразованиями Якоби описанный выше метод вычислений можно использовать для вычисления всех эллиптических функций Якоби во всей комплексной плоскости.

Другой метод быстрого вычисления эллиптических функций Якоби с помощью среднего арифметико-геометрического, позволяющий избежать вычисления амплитуды Якоби, принадлежит Герберту Э. Зальцеру: ^[26]

Позволять

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

Набор

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\&\,\,\,\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

как . ${\displaystyle N\to \infty }$

Приближение гиперболическими функциями

Эллиптические функции Якоби можно разложить с помощью гиперболических функций. Когда близко к единице, так что и высшими степенями можно пренебречь, имеем: ^{[27] [28]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'^{2}}$ ${\displaystyle m'}$

• sn( ты ):
  $${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• сп( ты ):
  $${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• дн( ты ):
  $${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

Для амплитуды Якоби

$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

Непрерывные дроби

Предполагая действительные числа с и номом , с эллиптическим модулем . Если , где – полный эллиптический интеграл первого рода , то имеет место следующее разложение цепной дроби ^[29] ${\displaystyle a,p}$ ${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$ ${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$ ${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

Известные цепные дроби с эллиптическим модулем и с эллиптическим модулем: ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$ ${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$ ${\displaystyle k}$

Для , : ^[30] стр. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Для , : ^[30] стр. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Для , : ^[31] стр. 220 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Для , : ^[30] стр. 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

Для , : ^[30] стр. 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

Обратные функции

Обратные к эллиптическим функциям Якоби можно определить аналогично обратным тригонометрическим функциям ; если , . Их можно представить в виде эллиптических интегралов, ^{[32] [33] [34]} и были найдены представления степенных рядов. ^{[35] [3]} ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$ ${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

Картографическая проекция

Квинкунциальная проекция Пирса — это картографическая проекция , основанная на эллиптических функциях Якоби.

Смотрите также

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца – Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Тета-функция Якоби
• Тета-функция Рамануджана
• Эллиптические функции Диксона
• Эллиптические функции Абеля
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Лемнискатные эллиптические функции

Примечания

1. Если и ограничено , то также можно записать как ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$ ${\displaystyle {\sqrt {1-m\sin ^{2}\operatorname {am} (u,m)}}.}$

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 16». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 569. ИСБН 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МР  0167642. LCCN  65-12253.
• Джонатан М. Борвейн, Питер Б. Борвейн: Пи и годовое общее собрание. Исследование по аналитической теории чисел и сложности вычислений. Джон Уайли и сыновья, 1987.
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций (1970) Москва, переведено на английский как AMS Переводы математических монографий, том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• А. С. Диксон. Элементарные свойства эллиптических функций с примерами (Макмиллан, 1894 г.)
• Альфред Джордж Гринхилл. Приложения эллиптических функций (Лондон, Нью-Йорк, Макмиллан, 1892 г.)
• Эдмунд Т. Уиттакер, Джордж Невилл Уотсон: курс современного анализа . 4-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1990. стр. 469–470.
• Лекции Х. Хэнкока по теории эллиптических функций (Нью-Йорк, J. Wiley & Sons, 1910)
• Якоби, CGJ (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг, ISBN 978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Рейнхардт, Уильям П.; Уокер, Питер Л. (2010), «Якобиевые эллиптические функции», в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
• (на французском языке) П. Аппель и Э. Лакур Принципы теории эллиптических функций и приложений (Париж, Готье Виллар, 1897)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (том 1) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (том 2) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs application (том 3) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том I, Введение. Вычислить дифференциал. Ire party (Париж: Готье-Виллар и дети, 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том II, Дифференциальный расчет. IIe party (Париж: Готье-Виллар и дети, 1893)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том III, Исчисление интегралов. Ire party, Théorèmes généraux. Инверсия (Париж: Готье-Виллар и др., 1893 г.)
• (на французском языке) Дж. Таннери и Дж. Молк Элементы теории эллиптических функций. Том IV, Исчисление интегралов. IIe party, Applications (Париж: Готье-Виллар и др., 1893)
• (на французском языке) К. Брио и Ж.К. Буке Теория эллиптических функций (Париж: Готье-Виллар, 1875 г.)
• Тосио Фукусима: быстрое вычисление полных эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби . 2012, Национальная астрономическая обсерватория Японии (国立天文台)
• Лоуэн, Бланш и Хоренштейн: Об обращении q-ряда, связанного с эллиптическими функциями Якобиана . Бык. амер. Математика. Соц. 48, 1942 г.
• Х. Фергюсон, Д. Е. Нильсен, Г. Кук: Формула разделения целых коэффициентов тета-функции nome . Математика вычислений, том 29, номер 131, июль 1975 г.
• Дж. Д. Фентон и Р. С. Гардинер-Гарден: Быстро сходящиеся методы вычисления эллиптических интегралов, а также тета- и эллиптических функций . Дж. Аустрал. Математика. Соц. (Серия Б) 24, 1982, с. 57
• Адольф Кнезер: Neue Untersuruchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen . Дж. Рейн ты. ангью. Математика. 157, 1927. страницы 209–218.

Внешние ссылки

• «Эллиптические функции Якоби», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические функции Якоби». Математический мир .

1. Армитидж, СП; Эберлейн, ВФ (2006). Эллиптические функции (Первое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78078-0.п. 48
2. Уокер, Питер (2003). «Аналитичность функций Якобиана по параметру k». Труды Королевского общества . 459 (2038): 2569–2574. Бибкод : 2003RSPSA.459.2569W. дои : 10.1098/rspa.2003.1157. JSTOR  3560143. S2CID  121368966.
3. Олвер, FWJ; и др., ред. (22 декабря 2017 г.). «Цифровая библиотека математических функций NIST (выпуск 1.0.17)». Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 26 февраля 2018 г.
4. «cplot, пакет Python для построения графиков комплексных функций» . Гитхаб .
5. Невилл, Эрик Гарольд (1944). Эллиптические функции Якобиана. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
6. Сала, Кеннет Л. (ноябрь 1989 г.). «Преобразования амплитудной функции Якобиана и ее расчет через среднее арифметико-геометрическое». SIAM Journal по математическому анализу . 20 (6): 1514–1528. дои : 10.1137/0520100.
7. Рейнхардт, WP; Уокер, П.Л. (2010), «Эллиптические функции Якобиана», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
8. Карлсон, Британская Колумбия (2010), «Эллиптические интегралы», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
9. Уиттакер и Уотсон (1990), стр. 469–470.
10. Альваро Х. Салас, Лоренцо Дж. Х. Мартинес, Дэвид Л. Р. Окампо Р. (11 октября 2021 г.), «Приближение эллиптических функций с помощью тригонометрических функций с приложениями», Математические проблемы в технике , том. 2021, стр. e5546666, doi : 10.1155/2021/5546666 , ISSN  1024-123X.{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
11. "Таблица бесконечных произведений. Бесконечные суммы. Бесконечная серия. Эллиптическая тэта" . Проверено 31 августа 2021 г.
12. "A002103 - OEIS" . Проверено 28 мая 2023 г.
13. «Расширение серии EllipticNomeQ отличается от старой версии Mathematica» . Проверено 28 мая 2023 г.
14. Р.Б. Кинг, Э.Р. Кэнфилд (1992-08-01), "Икосаэдральная симметрия и уравнение пятой степени", Computers & Mathematics with Applications , vol. 24, нет. 3, стр. 13–28, doi : 10.1016/0898-1221(92)90210-9 , ISSN  0898-1221.
15. Карл Генрих Шеллбах (1864), Die Lehre von den Elliptischen Integralen und den ThetaFunctionen, Г. Реймер , получено 11 июня 2023 г.
16. Адольф Кнезер (1927), "Neue Untersuruchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen.", Journal für die reine und angewandte Mathematik , vol. 158, стр. 209–218, ISSN  0075-4102 , получено 11 июня 2023 г.
17. Д.К. Ли (1989-03-01), Применение тета-функций для численного вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода, Национальная лаборатория Ок-Риджа. (ORNL), Ок-Ридж, Теннесси (США), номер номера : 10.2172/6137964, OSTI  6137964 , получено 11 июня 2023 г.
18. «Введение в эллиптические функции Якоби». Сайт функций Wolfram . Вольфрам Рисерч, Инк. 2018 . Проверено 7 января 2018 г.
19. Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1940). Курс современного анализа. Нью-Йорк, США: ISBN компании MacMillan Co. 978-0-521-58807-2.
20. «Эллиптические функции: комплексные переменные».
21. Виктор Прасолов и Юрий Соловьев (1997), «Эллиптические функции и эллиптические интегралы» (PDF) , arXiv: Общая математика , получено 24 июня 2023 г.
22. Вайсштейн, Эрик В. «Тэта-функции Якоби». Математический мир .
23. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1998). Пи и AGM: исследование по аналитической теории чисел и сложности вычислений (PDF) . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0471315155.
24. «DLMF: 20.5 бесконечных продуктов и связанные результаты» . Проверено 13 августа 2022 г.
25. Шетт, Алоис (1976). «Свойства коэффициентов разложения в ряд Тейлора эллиптических функций Якоби». Математика. Комп . 30 (133): 143–147. дои : 10.1090/S0025-5718-1976-0391477-3. MR  0391477. S2CID  120666361.
26. Зальцер, Герберт Э. (июль 1962 г.). «Быстрый расчет эллиптических функций Якоби». Коммуникации АКМ . 5 (7): 399. дои : 10.1145/368273.368573 . S2CID  44953400.
27. Рейнхардт, WP; Уокер, П.Л. (2010), «Эллиптические функции Якобиана», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
28. Рейнхардт, WP; Уокер, П.Л. (2010), «Эллиптические функции Якобиана», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
29. Н.Багис.(2020). «Оценки рядов, связанных с эллиптическими функциями Якоби». препринт https://www.researchgate.net/publication/331370071_Evaluations_of_Series_Related_to_Jacobi_Elliptic_Functions
30. HS Стена. (1948). «Аналитическая теория цепных дробей», Ван Ностранд, Нью-Йорк.
31. Перрон, О. (1957). "Die Lehre von den Kettenbruchen", Группа II, Б. Г. Тойбнер, Штутгарт.
32. Рейнхардт, WP; Уокер, PL (2010), «§22.15 Обратные функции», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
33. Эрхардт, Вольфганг. «Специальные функции AMath и DAMath: Справочное руководство и замечания по реализации» (PDF) . п. 42. Архивировано из оригинала (PDF) 31 июля 2016 года . Проверено 17 июля 2013 г.
34. Берд, ПФ; Фридман, доктор медицины (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag.
35. Карлсон, Британская Колумбия (2008). «Степеньевой ряд для обратных эллиптических функций Якоби» (PDF) . Математика вычислений . 77 (263): 1615–1621. Бибкод : 2008MaCom..77.1615C. дои : 10.1090/s0025-5718-07-02049-2 . Проверено 17 июля 2013 г.