Редукционная группа

Понятие в математике

В математике редуктивная группа — это тип линейной алгебраической группы над полем . Одно из определений состоит в том, что связная линейная алгебраическая группа G над совершенным полем является редуктивной, если она имеет представление , которое имеет конечное ядро ​​и является прямой суммой неприводимых представлений . Редуктивные группы включают некоторые из наиболее важных групп в математике, такие как общая линейная группа GL ( n ) обратимых матриц , специальная ортогональная группа SO ( n ) и симплектическая группа Sp (2n ) . Простые алгебраические группы и (в более общем случае) полупростые алгебраические группы являются редуктивными.

Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одинакова над любым алгебраически замкнутым полем . В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина , как в теории компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли . Редуктивные группы над произвольным полем сложнее классифицировать, но для многих полей, таких как действительные числа R или числовое поле , классификация хорошо понятна. Классификация конечных простых групп гласит, что большинство конечных простых групп возникают как группа G ( k ) k - рациональных точек простой алгебраической группы G над конечным полем k или как второстепенные варианты этой конструкции.

Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучать представления редуктивной группы G над полем k как алгебраической группы, которые являются действиями G на k -векторных пространствах. Но также можно изучать комплексные представления группы G ( k ), когда k - конечное поле, или бесконечномерные унитарные представления вещественной редуктивной группы, или автоморфные представления адельной алгебраической группы . Структурная теория редуктивных групп используется во всех этих областях.

Определения

Линейная алгебраическая группа над полем k определяется как гладкая замкнутая схема подгрупп GL ( n ) над k для некоторого положительного целого числа n . Эквивалентно, линейная алгебраическая группа над k является гладкой аффинной схемой групп над k .

С унипотентным радикалом

Связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется полупростой , если каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа из тривиальна. В более общем смысле, связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной , если наибольшая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа из тривиальна. ^[1] Эта нормальная подгруппа называется унипотентным радикалом и обозначается . (Некоторые авторы не требуют, чтобы редуктивные группы были связными.) Группа над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если замена базы полупроста или редуктивна, где — алгебраическое замыкание k . (Это эквивалентно определению редуктивных групп во введении, когда k совершенно. ^[2] ) Любой тор над k , такой как мультипликативная группа G _m , является редуктивным. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{u}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

С теорией представлений

Над полями нулевой характеристики другое эквивалентное определение редуктивной группы — это связная группа, допускающая точное полупростое представление, которое остается полупростым над своим алгебраическим замыканием ^{[3] стр. 424} . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k^{al}}$

Простые редуктивные группы

Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k - простой ), если она полупроста, нетривиальна и каждая гладкая связная нормальная подгруппа группы G над k тривиальна или равна G . ^[4] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простой».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не менее 2 и любого поля k группа SL ( n ) над k является простой, а ее центром является групповая схема μ _n корней из единицы n-й степени.

Центральная изогения редуктивных групп — это сюръективный гомоморфизм с ядром — конечной центральной подгрупповой схемой. Каждая редуктивная группа над полем допускает центральную изогению из произведения тора и некоторых простых групп. Например, над любым полем k ,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Немного неловко, что определение редуктивной группы над полем включает переход к алгебраическому замыканию. Для совершенного поля k этого можно избежать: линейная алгебраическая группа G над k является редуктивной тогда и только тогда, когда каждая гладкая связная унипотентная нормальная k -подгруппа G тривиальна. Для произвольного поля последнее свойство определяет псевдоредуктивную группу , которая является несколько более общей.

Раздельно-редуктивные группы

Редуктивная группа G над полем k называется расщепленной , если она содержит расщепленный максимальный тор T над k (то есть расщепленный тор в G, изменение базы которого на является максимальным тором в ). Это эквивалентно утверждению, что T является расщепленным тором в G , который является максимальным среди всех k -торов в G . ^[5] Такие виды групп полезны, поскольку их классификация может быть описана с помощью комбинаторных данных, называемых корневыми данными. ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Примеры

ГЛни СЛн

Фундаментальным примером редуктивной группы является общая линейная группа обратимых матриц n × n над полем k для натурального числа n . В частности, мультипликативная группа G _m является группой GL (1), и поэтому ее группа G _m ( k ) k -рациональных точек является группой k * ненулевых элементов k при умножении. Другая редуктивная группа является специальной линейная группа SL ( n ) над полем k , подгруппой матриц с определителем 1. Фактически, SL ( n ) является простой алгебраической группой для n не менее 2. ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$

О(н), ТАК(н), и Sp(н)

Важной простой группой является симплектическая группа Sp (2 n ) над полем k , подгруппа GL (2 n ), которая сохраняет невырожденную знакопеременную билинейную форму на векторном пространстве k ^{2 n} . Аналогично, ортогональная группа O ( q ) является подгруппой общей линейной группы, которая сохраняет невырожденную квадратичную форму q на векторном пространстве над полем k . Алгебраическая группа O ( q ) имеет две связные компоненты , и ее единичная компонента SO ( q ) является редуктивной, фактически простой для q размерности n не менее 3. (Для k характеристики 2 и нечетного n групповая схема O ( q ) фактически связна, но не гладка над k . Простую группу SO ( q ) всегда можно определить как максимальную гладкую связную подгруппу O ( q ) над k .) Когда k алгебраически замкнуто, любые две (невырожденные) квадратичные формы одной и той же размерности изоморфны, и поэтому разумно назвать эту группу SO ( n ). Для общего поля k различные квадратичные формы размерности n могут давать неизоморфные простые группы SO ( q ) над k , хотя все они имеют одну и ту же замену базы на алгебраическое замыкание . ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Тори

Группа и ее продукты называются алгебраическими торами . Они являются примерами редуктивных групп, поскольку они вкладываются в через диагональ, и из этого представления их унипотентный радикал тривиален. Например, вкладывается в из отображения ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{2}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}.}$

Не примеры

• Любая унипотентная группа не является редукционной, поскольку ее унипотентный радикал — это она сама. Это касается и аддитивной группы . ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$
• Группа Бореля имеет нетривиальный унипотентный радикал верхнетреугольных матриц с на диагонали. Это пример нередуктивной группы, которая не является унипотентной . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$

Ассоциированная редуктивная группа

Обратите внимание, что нормальность унипотентного радикала подразумевает, что фактор-группа является редуктивной. Например, ${\displaystyle R_{u}(G)}$ ${\displaystyle G/R_{u}(G)}$

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}.}$

Другие характеристики редуктивных групп

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию , которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция дает взаимно однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. Для компактной группы Ли K с комплексификацией G включение из K в комплексную редуктивную группу G ( C ) является гомотопической эквивалентностью относительно классической топологии на G ( C ). Например, включение из унитарной группы U ( n ) в GL ( n , C ) является гомотопической эквивалентностью.

Для редуктивной группы G над полем нулевой характеристики все конечномерные представления G (как алгебраической группы) полностью приводимы , то есть являются прямыми суммами неприводимых представлений. ^[6] Отсюда и название «редуктивный». Однако следует отметить, что полная приводимость невозможна для редуктивных групп в положительной характеристике (за исключением торов). Более подробно: аффинная групповая схема G конечного типа над полем k называется линейно редуктивной, если ее конечномерные представления полностью приводимы. Для k нулевой характеристики G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда единичный компонент G ^o группы G является редуктивным. ^[7] Однако для k характеристики p >0 Масаёси Нагата показал, что G линейно редуктивна тогда и только тогда, когда G ^o имеет мультипликативный тип и G / G ^o имеет порядок, простой с p . ^[8]

Корни

Классификация редуктивных алгебраических групп осуществляется в терминах ассоциированной корневой системы , как в теориях комплексных полупростых алгебр Ли или компактных групп Ли. Вот как появляются корни для редуктивных групп.

Пусть G — расщепляемая редуктивная группа над полем k , и пусть T — расщепляемый максимальный тор в G ; так что T изоморфен ( G m ) n для некоторого n, где n называется рангом G. Каждое представление T (как алгебраической группы) является прямой суммой одномерных представлений. [9] Вес для G означает _класс изоморфизма ^{одномерных} представлений T или , что эквивалентно , гомоморфизм T → ^G m . Веса образуют группу X ( T ) _{относительно} тензорного произведения представлений , причем X ( T ) изоморфен произведению n копий целых чисел , Z ⁿ .

Присоединенное представление — это действие G сопряжением на ее алгебре Ли . Корень G означает ненулевой вес, который появляется в действии T ⊂ G на . Подпространство , соответствующее каждому корню , является одномерным, а подпространство , фиксированное T, является в точности алгеброй Ли T . [ ^10] Следовательно, алгебра Ли G распадается на вместе с одномерными подпространствами, индексированными множеством Φ корней: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, когда G — группа GL ( n ), ее алгебра Ли — векторное пространство всех матриц размера n × n над k . Пусть T — подгруппа диагональных матриц в G . Тогда разложение корневого пространства выражается как прямая сумма диагональных матриц и одномерных подпространств, индексированных недиагональными позициями ( i , j ). Записывая L ₁ ,..., L _n для стандартного базиса для весовой решетки X ( T ) ≅ Z ⁿ , корни — это элементы L _i − L _j для всех i ≠ j от 1 до n . ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$ ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Корни полупростой группы образуют корневую систему ; это комбинаторная структура, которая может быть полностью классифицирована. В более общем смысле корни редуктивной группы образуют корневой элемент , небольшое изменение. ^[11] Группа Вейля редуктивной группы G означает фактор - группу нормализатора максимального тора по тору, W = N _G ( T )/ T . Группа Вейля на самом деле является конечной группой, порожденной отражениями. Например, для группы GL ( n ) (или SL ( n )) группа Вейля является симметрической группой S _n .

Существует конечное число подгрупп Бореля , содержащих заданный максимальный тор, и они просто транзитивно переставляются группой Вейля (действующей сопряжением ). ^[12] Выбор подгруппы Бореля определяет множество положительных корней Φ ⁺ ⊂ Φ, со свойством, что Φ является несвязным объединением Φ ⁺ и −Φ ⁺ . Явно, алгебра Ли B является прямой суммой алгебры Ли T и положительных корневых пространств:

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Например, если B — подгруппа Бореля верхнетреугольных матриц в GL ( n ), то это очевидное разложение подпространства верхнетреугольных матриц в . Положительные корни — это L _i − L _j для 1 ≤ i < j ≤ n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Простой корень означает положительный корень, который не является суммой двух других положительных корней. Запишите Δ для множества простых корней. Число r простых корней равно рангу коммутанта подгруппы G , называемому полупростым рангом G ( который является просто рангом G, если G полупроста). Например, простые корни для GL ( n ) (или SL ( n )) равны L _i − L _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Корневые системы классифицируются соответствующей диаграммой Дынкина , которая является конечным графом (с некоторыми направленными или множественными ребрами). Множество вершин диаграммы Дынкина является множеством простых корней. Короче говоря, диаграмма Дынкина описывает углы между простыми корнями и их относительные длины относительно инвариантного относительно группы Вейля скалярного произведения на весовой решетке. Связанные диаграммы Дынкина (соответствующие простым группам) изображены ниже.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k важным моментом является то, что корень α определяет не только одномерное подпространство алгебры Ли группы G , но и копию аддитивной группы G _a в G с заданной алгеброй Ли, называемую корневой подгруппой U _α . Корневая подгруппа является единственной копией аддитивной группы в G , которая нормализуется T и имеет заданную алгебру Ли. ^[10] Вся группа G порождается (как алгебраическая группа) T и корневыми подгруппами, в то время как подгруппа Бореля B порождается T и положительными корневыми подгруппами. Фактически, расщепляемая полупростая группа G порождается только корневыми подгруппами.

Параболические подгруппы

Для расщепимой редуктивной группы G над полем k гладкие связные подгруппы группы G , содержащие заданную борелевскую подгруппу B группы G, находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами множества Δ простых корней (или, что эквивалентно, подмножествами множества вершин диаграммы Дынкина). Пусть r — порядок Δ, полупростой ранг группы G . Каждая параболическая подгруппа группы G сопряжена с подгруппой, содержащей B , некоторым элементом группы G ( k ). В результате в группе G имеется ровно 2 ^r классов сопряженности параболических подгрупп над k . ^[13] Явно, параболическая подгруппа, соответствующая заданному подмножеству S группы Δ, — это группа, порожденная B вместе с корневыми подгруппами U _−α для α в S . Например, параболические подгруппы GL ( n ), содержащие подгруппу Бореля B, указанную выше, представляют собой группы обратимых матриц с нулевыми элементами под заданным набором квадратов вдоль диагонали, например:

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

По определению параболическая подгруппа P редуктивной группы G над полем k является гладкой k -подгруппой, такой что фактор-многообразие G / P является собственным над k или, что эквивалентно, проективным над k . Таким образом, классификация параболических подгрупп сводится к классификации проективных однородных многообразий для G (с гладкой группой стабилизатора; это не является ограничением для k нулевой характеристики). Для GL ( n ) это многообразия флагов , параметризующие последовательности линейных подпространств заданных размерностей a ₁ ,..., a _{i ,} содержащихся в фиксированном векторном пространстве V размерности n :

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

Для ортогональной группы или симплектической группы проективные однородные многообразия имеют похожее описание как многообразия изотропных флагов относительно заданной квадратичной формы или симплектической формы. Для любой редуктивной группы G с подгруппой Бореля B , G / B называется многообразием флагов или многообразием флагов группы G .

Классификация расщепленных редуктивных групп

Связанные диаграммы Дынкина

Шевалле показал в 1958 году, что редуктивные группы над любым алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до изоморфизма по корневым данным. ^[14] В частности, полупростые группы над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до центральных изогений по их диаграмме Дынкина, а простые группы соответствуют связным диаграммам. Таким образом, существуют простые группы типов A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Этот результат по существу идентичен классификациям компактных групп Ли или комплексных полупростых алгебр Ли, проведенным Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах. В частности, размерности, центры и другие свойства простых алгебраических групп можно прочитать из списка простых групп Ли . Примечательно, что классификация редуктивных групп не зависит от характеристики. Для сравнения, простых алгебр Ли в положительной характеристике гораздо больше, чем в нулевой характеристике.

Исключительные группы G типа G ₂ и E ₆ были построены ранее, по крайней мере в форме абстрактной группы G ( k ), Л. Э. Диксоном . Например, группа G ₂ является группой автоморфизмов алгебры октонионов над k . Напротив, группы Шевалле типа F ₄ , E ₇ , E ₈ над полем положительной характеристики были совершенно новыми.

В более общем смысле классификация расщепляемых редуктивных групп одинакова над любым полем. ^[15] Полупростая группа G над полем k называется односвязной, если каждая центральная изогения из полупростой группы в G является изоморфизмом. (Для G, полупростой над комплексными числами , односвязность в этом смысле эквивалентна односвязности G ( C ) в классической топологии.) Классификация Шевалле показывает, что над любым полем k существует единственная односвязная расщепляемая полупростая группа G с заданной диаграммой Дынкина, с простыми группами, соответствующими связным диаграммам. С другой стороны, полупростая группа имеет присоединенный тип , если ее центр тривиален. Расщепляемые полупростые группы над k с заданной диаграммой Дынкина — это в точности группы G / A , где G — односвязная группа, а A — k -подгрупповая схема центра группы G .

Например, односвязные расщепляемые простые группы над полем k, соответствующие «классическим» диаграммам Дынкина, имеют следующий вид:

• A _n : SL ( n +1) над k ;
• B _n : группа спинов Spin(2 n +1), связанная с квадратичной формой размерности 2 n +1 над k с индексом Витта n , например, форма

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}+x_{2n+1}^{2};}$

• C _n : симплектическая группа Sp (2 n ) над k ;
• D _n : спиновая группа Spin(2 n ), связанная с квадратичной формой размерности 2 n над k с индексом Витта n , которую можно записать как:

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n}.}$

Группа внешних автоморфизмов расщепляемой редуктивной группы G над полем k изоморфна группе автоморфизмов корневого элемента группы G. Более того, группа автоморфизмов группы G расщепляется как полупрямое произведение :

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

где Z — центр G. ^[16] Для расщепляемой полупростой односвязной группы G над полем внешняя группа автоморфизмов G имеет более простое описание: это группа автоморфизмов диаграммы Дынкина группы G.

Схемы редуктивных групп

Групповая схема G над схемой S называется редуктивной, если морфизм G → S является гладким и аффинным, а каждое геометрическое волокно является редуктивным. (Для точки p в S соответствующее геометрическое волокно означает базовую замену G на алгебраическое замыкание поля вычетов p .) Расширяя работу Шевалле, Мишель Демазюр и Гротендик показали, что расщепляемые редуктивные групповые схемы над любой непустой схемой S классифицируются по корневым данным. ^[17] Это утверждение включает существование групп Шевалле как групповых схем над Z , и оно говорит, что каждая расщепляемая редуктивная группа над схемой S изоморфна базовой замене группы Шевалле с Z на S . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Действительные редуктивные группы

В контексте групп Ли , а не алгебраических групп, действительная редуктивная группа — это группа Ли G, такая, что существует линейная алгебраическая группа L над R, чья компонента тождества (в топологии Зарисского ) является редуктивной, и гомоморфизм G → L ( R ), ядро ​​которого конечно, а образ открыт в L ( R ) (в классической топологии). Также стандартно предполагать, что образ присоединенного представления Ad( G ) содержится в Int( g _C ) = Ad( L ⁰ ( C )) (что автоматически для связной G ). ^[18]

В частности, каждая связная полупростая группа Ли (имеется в виду, что ее алгебра Ли полупроста) является редуктивной. Также группа Ли R является редуктивной в этом смысле, поскольку ее можно рассматривать как компонент тождества GL (1, R ) ≅ R *. Проблема классификации действительных редуктивных групп в значительной степени сводится к классификации простых групп Ли. Они классифицируются по их диаграмме Сатаке ; или можно просто сослаться на список простых групп Ли (с точностью до конечных покрытий).

Полезные теории допустимых представлений и унитарных представлений были разработаны для вещественных редуктивных групп в этой общности. Основные различия между этим определением и определением редуктивной алгебраической группы связаны с тем фактом, что алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G ( R ) не связна, и аналогично для односвязных групп.

Например, проективная линейная группа PGL (2) связна как алгебраическая группа над любым полем, но ее группа действительных точек PGL (2, R ) имеет две связные компоненты. Компонента тождества PGL (2, R ) (иногда называемая PSL (2, R )) является действительной редуктивной группой, которая не может рассматриваться как алгебраическая группа. Аналогично, SL (2) просто связна как алгебраическая группа над любым полем, но группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z , и поэтому SL (2, R ) имеет нетривиальные накрывающие пространства . По определению все конечные накрытия SL (2, R ) (такие как метаплектическая группа ) являются действительными редуктивными группами. С другой стороны, универсальное покрытие SL ( 2, R ) не является действительной редуктивной группой, хотя ее алгебра Ли редуктивна , то есть является произведением полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли.

Для связной действительной редуктивной группы G фактормногообразие G / K группы G по максимальной компактной подгруппе K является симметрическим пространством некомпактного типа. Фактически, каждое симметрическое пространство некомпактного типа возникает таким образом. Это центральные примеры в римановой геометрии многообразий с неположительной секционной кривизной . Например, SL (2, R )/ SO (2) является гиперболической плоскостью , а SL (2, C )/ SU (2) является гиперболическим 3-пространством.

Для редуктивной группы G над полем k , полным относительно дискретного оценивания (например, p-адических чисел Q _p ), аффинное построение X группы G играет роль симметричного пространства. А именно, X является симплициальным комплексом с действием G ( k ), а G ( k ) сохраняет метрику CAT(0) на X , аналог метрики с неположительной кривизной. Размерность аффинного построения — это k -ранг группы G . Например, построение SL (2, Q _p ) является деревом .

Представления редуктивных групп

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k неприводимые представления G (как алгебраической группы) параметризуются доминирующими весами , которые определяются как пересечение весовой решетки X ( T ) ≅ Z ⁿ с выпуклым конусом (камерой Вейля ) в R ⁿ . В частности, эта параметризация не зависит от характеристики k . Более подробно, зафиксируем расщепляемый максимальный тор и подгруппу Бореля, T ⊂ B ⊂ G . Тогда B является полупрямым произведением T с гладкой связной унипотентной подгруппой U . Определим вектор старшего веса в представлении V группы G над k как ненулевой вектор v такой, что B отображает прямую, натянутую на v, в себя. Тогда B действует на этой прямой через ее фактор-группу T , некоторым элементом λ весовой решетки X ( T ). Шевалле показал, что каждое неприводимое представление G имеет единственный вектор старшего веса с точностью до скаляров; соответствующий «наивысший вес» λ является доминирующим; и каждый доминирующий вес λ является наивысшим весом единственного неприводимого представления L (λ) группы G , с точностью до изоморфизма. ^[19]

Остается проблема описания неприводимого представления с заданным наибольшим весом. Для k нулевой характеристики существуют по существу полные ответы. Для доминирующего веса λ определим модуль Шура ∇(λ) как k -векторное пространство сечений G -эквивариантного линейного расслоения на многообразии флагов G / B, ассоциированном с λ; это представление G. Для k нулевой характеристики теорема Бореля–Вейля утверждает, что неприводимое представление L (λ) изоморфно модулю Шура ∇(λ). Более того, формула характера Вейля дает характер (и, в частности, размерность) этого представления.

Для расщепляемой редуктивной группы G над полем k положительной характеристики ситуация гораздо более тонкая, поскольку представления G обычно не являются прямыми суммами неприводимых. Для доминирующего веса λ неприводимое представление L (λ) является единственным простым подмодулем ( цоколем ) модуля Шура ∇(λ), но оно не обязательно должно быть равно модулю Шура. Размерность и характер модуля Шура задаются формулой характера Вейля (как в нулевой характеристике) Джорджа Кемпфа . ^[20] Размерности и характеры неприводимых представлений L (λ) в общем случае неизвестны, хотя для анализа этих представлений был разработан большой объем теории. Один важный результат заключается в том, что размерность и характер L (λ) известны, когда характеристика p для k намного больше числа Коксетера для G , по Хеннингу Андерсену , Йенсу Янцену и Вольфгангу Зёргелю (доказав гипотезу Люстига в этом случае). Их формула характера для больших p основана на полиномах Каждана–Люстига , которые являются комбинаторно сложными. ^[21] Для любого простого p Саймон Рич и Джорди Уильямсон предположили неприводимые характеры редуктивной группы в терминах полиномов p -Каждана–Люстига , которые еще более сложны, но, по крайней мере, вычислимы. ^[22]

Нерасщепляемые редуктивные группы

Как обсуждалось выше, классификация расщепленных редуктивных групп одинакова для любого поля. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной, в зависимости от базового поля. Вот некоторые примеры классических групп :

• Каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу G = SO ( q ). Здесь G является простой, если q имеет размерность n не менее 3, поскольку изоморфна SO ( n ) над алгебраическим замыканием . Ранг k группы G равен индексу Витта q (максимальной размерности изотропного подпространства над k ). ^[23] Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда q имеет максимально возможный индекс Витта, . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$
• Каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу G = SL (1, A ), ядро ​​редуцированной нормы на группе единиц A * (как алгебраической группы над k ). Степень A означает квадратный корень размерности A как k -векторного пространства. Здесь G является простой, если A имеет степень n не менее 2, так как изоморфна SL ( n ) над . Если A имеет индекс r (что означает, что A изоморфна матричной алгебре M _{n / r} ( D ) для алгебры с делением D степени r над k ), то k -ранг G равен ( n / r ) − 1. ^[24] Таким образом, простая группа G расщепляется над k тогда и только тогда, когда A является матричной алгеброй над k . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

В результате проблема классификации редуктивных групп над k по сути включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти проблемы просты для k алгебраически замкнутых, и они понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля, но для произвольных полей есть много открытых вопросов.

Редуктивная группа над полем k называется изотропной , если она имеет k -ранг больше 0 (то есть, если она содержит нетривиальный расщепляемый тор), и в противном случае анизотропной . Для полупростой группы G над полем k следующие условия эквивалентны:

• G изотропна (то есть G содержит копию мультипликативной группы G _m над k );
• G содержит параболическую подгруппу над k, не равную G ;
• G содержит копию аддитивной группы G _a над k .

Для совершенного k также эквивалентно сказать, что G ( k ) содержит унипотентный элемент, отличный от 1. ^[25]

Для связной линейной алгебраической группы G над локальным полем k нулевой характеристики (например, действительных чисел) группа G ( k ) компактна в классической топологии (основанной на топологии k ) тогда и только тогда, когда G редуктивна и анизотропна. ^[26] Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R имеет действительный ранг min( p , q ), и поэтому она анизотропна тогда и только тогда, когда p или q равны нулю. ^[23]

Редуктивная группа G над полем k называется квазирасщепимой , если она содержит подгруппу Бореля над k . Расщепимая редуктивная группа является квазирасщепимой. Если G является квазирасщепимой над k , то любые две подгруппы Бореля из G сопряжены некоторым элементом из G ( k ). ^[27] Пример: ортогональная группа SO ( p , q ) над R является расщепимой тогда и только тогда, когда | p − q | ≤ 1, и она является квазирасщепимой тогда и только тогда, когда | p − q | ≤ 2. ^[23]

Структура полупростых групп как абстрактных групп

Для односвязной расщепимой полупростой группы G над полем k Роберт Стейнберг дал явное представление абстрактной группы G ( k ). [ ^28] Она порождается копиями аддитивной группы k, индексированными корнями G (корневыми подгруппами), с отношениями, определяемыми диаграммой Дынкина группы G .

Для односвязной расщепляемой полупростой группы G над совершенным полем k Стейнберг также определил группу автоморфизмов абстрактной группы G ( k ). Каждый автоморфизм является произведением внутреннего автоморфизма , диагонального автоморфизма (имеется в виду сопряжение подходящей -точкой максимального тора), графового автоморфизма (соответствующего автоморфизму диаграммы Дынкина) и полевого автоморфизма (происходящего из автоморфизма поля k ). ^[29] ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Для k -простой алгебраической группы G теорема о простоте Титса гласит, что абстрактная группа G ( k ) близка к простой при умеренных предположениях. А именно, предположим, что G изотропна над k , и предположим, что поле k имеет по крайней мере 4 элемента. Пусть G ( k ) ⁺ будет подгруппой абстрактной группы G ( k ), порожденной k -точками копий аддитивной группы G _a над k , содержащихся в G . (В силу предположения, что G изотропна над k , группа G ( k ) ⁺ нетривиальна и даже плотна по Зарисскому в G , если k бесконечно.) Тогда фактор-группа G ( k ) ⁺ по ее центру проста (как абстрактная группа). ^[30] Доказательство использует аппарат Жака Титса для BN-пар .

Исключения для полей порядка 2 или 3 хорошо понятны. Для k = F ₂ теорема Титса о простоте остается справедливой, за исключением случаев, когда G является расщепленным типом A ₁ , B ₂ или G ₂ , или нерасщепленным (то есть унитарным) типом A ₂ . Для k = F ₃ теорема справедлива, за исключением случаев, когда G имеет тип A ₁ . ^[31]

Для k -простой группы G , чтобы понять всю группу G ( k ), можно рассмотреть группу Уайтхеда W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) ⁺ . Для G односвязной и квазирасщепляемой группа Уайтхеда тривиальна, и поэтому вся группа G ( k ) проста по модулю своего центра. ^[32] В более общем смысле, проблема Кнезера–Титса спрашивает, для каких изотропных k -простых групп группа Уайтхеда тривиальна. Во всех известных примерах W ( k , G ) абелева.

Для анизотропной k -простой группы G абстрактная группа G ( k ) может быть далеко не простой. Например, пусть D — алгебра с делением с центром p -адическим полем k . Предположим, что размерность D над k конечна и больше 1. Тогда G = SL (1, D ) — анизотропная k -простая группа. Как упоминалось выше, G ( k ) компактна в классической топологии. Поскольку она также полностью несвязна , G ( k ) — проконечная группа (но не конечная). В результате G ( k ) содержит бесконечно много нормальных подгрупп конечного индекса . ^[33]

Решетки и арифметические группы

Пусть G — линейная алгебраическая группа над рациональными числами Q. Тогда G можно расширить до аффинной групповой схемы G над Z , и это определит абстрактную группу G ( Z ). Арифметическая группа означает любую подгруппу G ( Q ), соизмеримую с G ( Z ) . (Арифметичность подгруппы G ( Q ) не зависит от выбора Z -структуры.) Например, SL ( n , Z ) является арифметической подгруппой SL ( n , Q ).

Для группы Ли G решетка в G означает дискретную подгруппу Γ группы G такую, что многообразие G /Γ имеет конечный объем (относительно G -инвариантной меры). Например, дискретная подгруппа Γ является решеткой, если G /Γ компактна. Теорема арифметичности Маргулиса гласит , в частности: для простой группы Ли G действительного ранга не менее 2 каждая решетка в G является арифметической группой.

Действие Галуа на диаграмме Дынкина

В стремлении классифицировать редуктивные группы, которые не нужно расщеплять, одним из шагов является индекс Титса , который сводит задачу к случаю анизотропных групп. Это сведение обобщает несколько фундаментальных теорем алгебры. Например, теорема Витта о разложении гласит, что невырожденная квадратичная форма над полем определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Витта вместе с анизотропным ядром. Аналогично, теорема Артина–Веддерберна сводит классификацию центральных простых алгебр над полем к случаю алгебр с делением. Обобщая эти результаты, Титс показал, что редуктивная группа над полем k определяется с точностью до изоморфизма своим индексом Титса вместе с анизотропным ядром, ассоциированной анизотропной полупростой k -группой.

Для редуктивной группы G над полем k абсолютная группа Галуа Gal( k _s / k ) действует (непрерывно) на «абсолютной» диаграмме Дынкина группы G , то есть диаграмме Дынкина группы G над сепарабельным замыканием k _s (которая также является диаграммой Дынкина группы G над алгебраическим замыканием ). Индекс Титса группы G состоит из корневых данных группы G _{k s} , действия Галуа на ее диаграмме Дынкина и инвариантного относительно Галуа подмножества вершин диаграммы Дынкина. Традиционно индекс Титса рисуется путем обведения орбит Галуа в заданном подмножестве. ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Существует полная классификация квазирасщепляемых групп в этих терминах. А именно, для каждого действия абсолютной группы Галуа поля k на диаграмме Дынкина существует единственная односвязная полупростая квазирасщепляемая группа H над k с заданным действием. (Для квазирасщепляемой группы каждая орбита Галуа на диаграмме Дынкина обведена кружком.) Более того, любая другая односвязная полупростая группа G над k с заданным действием является внутренней формой квазирасщепляемой группы H , что означает, что G является группой, связанной с элементом множества когомологий Галуа H ¹ ( k , H / Z ), где Z является центром H . Другими словами, G является скручиванием H , связанным с некоторым H / Z -торсором над k , как обсуждается в следующем разделе.

Пример: Пусть q — невырожденная квадратичная форма четной размерности 2 n над полем k характеристики, отличной от 2, с n ≥ 5. (Этих ограничений можно избежать.) Пусть G — простая группа SO ( q ) над k . Абсолютная диаграмма Дынкина группы G имеет тип D _n , и поэтому ее группа автоморфизмов имеет порядок 2, меняя местами две «ноги» диаграммы D _n . Действие абсолютной группы Галуа группы k на диаграмме Дынкина тривиально тогда и только тогда, когда знаковый дискриминант d группы q в k */( k *) ² тривиален. Если d нетривиально, то оно закодировано в действии Галуа на диаграмме Дынкина: подгруппа индекса 2 группы Галуа, которая действует как тождество, равна . Группа G расщепляется тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта n , максимально возможный, и G является квазирасщепляемой тогда и только тогда, когда q имеет индекс Витта не менее n − 1. ^[23] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$

Торсоры и принцип Хассе

Торсор для аффинной групповой схемы G над полем k означает аффинную схему X над k с действием G таким, что изоморфно с действием на себе посредством левого переноса. Торсор можно также рассматривать как главное G-расслоение над k относительно топологии fppf на k или этальной топологии , если G является гладким над k . Указанное множество классов изоморфизма G -торсоров над k называется H ¹ ( k , G ) на языке когомологий Галуа. ${\displaystyle X_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Торсоры возникают всякий раз, когда кто-то пытается классифицировать формы заданного алгебраического объекта Y над полем k , имея в виду объекты X над k , которые становятся изоморфными Y над алгебраическим замыканием k . А именно, такие формы (с точностью до изоморфизма) находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством H ¹ ( k , Aut( Y )). Например, (невырожденные) квадратичные формы размерности n над k классифицируются H ¹ ( k , O ( n )), а центральные простые алгебры степени n над k классифицируются H ¹ ( k , PGL ( n )). Кроме того, k -формы заданной алгебраической группы G (иногда называемые «твистами» G ) классифицируются H ¹ ( k , Aut( G )). Эти проблемы мотивируют систематическое изучение G -торсоров, особенно для редуктивных групп G .

Когда это возможно, можно надеяться классифицировать G -торсоры с помощью когомологических инвариантов , которые являются инвариантами, принимающими значения в когомологиях Галуа с абелевыми группами коэффициентов M , H ^a ( k , M ). В этом направлении Стейнберг доказал «Гипотезу I» Серра : для связной линейной алгебраической группы G над совершенным полем когомологической размерности не более 1, H ¹ ( k , G ) = 1. ^[34] (Случай конечного поля был известен ранее как теорема Лэнга .) Из этого следует, например, что каждая редуктивная группа над конечным полем является квазирасщепимой.

Гипотеза Серра II предсказывает, что для односвязной полупростой группы G над полем когомологической размерности не более 2, H ¹ ( k , G ) = 1. Гипотеза известна для полностью мнимого числового поля (которое имеет когомологическую размерность 2). В более общем смысле, для любого числового поля k Мартин Кнезер , Гюнтер Хардер и Владимир Черноусов (1989) доказали принцип Хассе : для односвязной полупростой группы G над k отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

является биективным. ^[35] Здесь v пробегает все места k , а k _v является соответствующим локальным полем (возможно, R или C ). Более того, указанное множество H ¹ ( k _v , G ) тривиально для любого неархимидова локального поля k _v , и поэтому имеют значение только действительные места k . Аналогичный результат для глобального поля k положительной характеристики был доказан ранее Хардером (1975): для любой односвязной полупростой группы G над k , H ¹ ( k , G ) тривиально (так как k не имеет действительных мест). ^[36]

В несколько ином случае присоединенной группы G над числовым полем k принцип Хассе выполняется в более слабой форме: естественное отображение

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

является инъективным. ^[37] Для G = PGL ( n ) это равносильно теореме Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер , гласящей, что центральная простая алгебра над числовым полем определяется ее локальными инвариантами.

Основываясь на принципе Хассе, классификация полупростых групп над числовыми полями хорошо понятна. Например, существует ровно три Q -формы исключительной группы E 8 , соответствующие трем действительным формам E ₈ .

Смотрите также

• Группы типа Ли — это конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Обобщенное флаговое многообразие , разложение Брюа , многообразие Шуберта , исчисление Шуберта
• Алгебра Шура , теория Делиня–Люстига
• Действительная форма (теория лжи)
• Гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• классификация Ленглендса , двойственная группа Ленглендса , программа Ленглендса , геометрическая программа Ленглендса
• Специальная группа , существенное измерение
• Геометрическая инвариантная теория , Теорема Луны о срезе , Теорема Хабуша
• Радикал алгебраической группы

Примечания

1. SGA 3 (2011), т. 3, Определение XIX.1.6.1.
2. Милн (2017), Предложение 21.60.
3. Милн. Линейные алгебраические группы (PDF) . стр. 381–394.
4. Конрад (2014), после предложения 5.1.17.
5. Борель (1991), 18.2(i).
6. Милн (2017), Теорема 22.42.
7. Милн (2017), Следствие 22.43.
8. Демазюр и Габриэль (1970), Теорем IV.3.3.6.
9. Милн (2017), Теорема 12.12.
10. Milne (2017), Теорема 21.11.
11. Милн (2017), Следствие 21.12.
12. Милн (2017), Предложение 17.53.
13. Борель (1991), Предложение 21.12.
14. Шевалли (2005); Спрингер (1998), 9.6.2 и 10.1.1.
15. Милн (2017), Теоремы 23.25 и 23.55.
16. Милн (2017), Следствие 23.47.
17. SGA 3 (2011), т. 3, Теорема XXV.1.1; Конрад (2014), Теоремы 6.1.16 и 6.1.17.
18. Springer (1979), раздел 5.1.
19. Милн (2017), Теорема 22.2.
20. Янтцен (2003), Предложение II.4.5 и Следствие II.5.11.
21. Янцен (2003), раздел II.8.22.
22. Рич и Уильямсон (2018), раздел 1.8.
23. Борель (1991), раздел 23.4.
24. Борель (1991), раздел 23.2.
25. Борель и Титсы (1971), Следствие 3.8.
26. Платонов и Рапинчук (1994), Теорема 3.1.
27. Борель (1991), Теорема 20.9(i).
28. Штейнберг (2016), Теорема 8.
29. Штейнберг (2016), Теорема 30.
30. Титс (1964), Основная теорема; Жилль (2009), Введение.
31. Тиц (1964), раздел 1.2.
32. Жиль (2009), Теорема 6.1.
33. Платонов и Рапинчук (1994), раздел 9.1.
34. Штейнберг (1965), Теорема 1.9.
35. Платонов и Рапинчук (1994), Теорема 6.6.
36. Платонов и Рапинчук (1994), раздел 6.8.
37. Платонов и Рапинчук (1994), Теорема 6.4.

Ссылки

• Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 126 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer Nature , doi :10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN 0-387-97370-2, МР  1102012
• Борель, Арман ; Титс, Жак (1971), «Éléments unipotents et sous-groupes paraboliques de groupses reductifs. I.», Inventiones Mathematicae , 12 (2): 95–104, Bibcode : 1971InMat..12...95B, doi : 10.1007/ BF01404653, MR  0294349, S2CID  119837998
• Шевалле, Клод (2005) [1958], Картье П. (редактор), Классификация полупростых алгебраических групп , Собрание сочинений, Vol. 3, Спрингер Природа , ISBN 3-540-23031-9, МР  2124841
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF) , Autour des schémas en groupes , vol. 1, Париж: Société Mathématique de France , стр. 93–444, ISBN. 978-2-85629-794-0, МР  3309122
• Демазюр, Мишель ; Габриэль, Пьер (1970), Алгебрики. Том I: Геометрия алгебраическая, общая, коммутативные группы , Париж: Массон, ISBN 978-2225616662, МР  0302656
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (2011) [1970]. Гилле, П.; Поло, П. (ред.). Схемы в группах (SGA 3), I: Общие свойства схем в группах. Математическое общество Франции . ISBN 978-2-85629-323-2. МР  2867621.Переработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (1970). Схемы в группах (SGA 3), II: Группы умножаемых типов и структура схем в общих группах . Конспект лекций по математике. Том. 152. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0059005. ISBN 978-3540051800. МР  0274459.
• Демазюр, М .; Гротендик, А. (2011) [1970]. Гилле, П.; Поло, П. (ред.). Схемы в группах (SGA 3), III: Структура схем в группах сокращений. Математическое общество Франции . ISBN 978-2-85629-324-9. МР  2867622.Переработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.
• Жиль, Филипп (2009), «Проблема Кнезера-Титса» (PDF) , Семинар Бурбаки. Том. 2007/2008 , Астериск, том. 326, Société Mathématique de France , стр. 39–81, ISBN. 978-285629-269-3, МР  2605318
• Янцен, Йенс Карстен (2003) [1987], Представления алгебраических групп (2-е изд.), Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3527-2, МР  2015057
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736, ISBN 978-1107167483, г-н  3729270
• Платонов, Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994), Алгебраические группы и теория чисел, Academic Press , ISBN 0-12-558180-7, г-н  1278263
• В. Л. Попов (2001) [1994], "Редуктивная группа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Рич, Саймон; Уильямсон, Джорди (2018), Наклонные модули и p-канонический базис, Asterisque, vol. 397, Société Mathématique de France , arXiv : 1512.08296 , Bibcode : 2015arXiv151208296R, ISBN 978-2-85629-880-0
• Springer, Tonny A. (1979), «Редуктивные группы», Автоморфные формы, представления и L -функции , т. 1, Американское математическое общество , стр. 3–27, ISBN 0-8218-3347-2, МР  0546587
• Springer, Tonny A. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, т. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4840-4, ISBN 978-0-8176-4021-7, г-н  1642713
• Стейнберг, Роберт (1965), «Регулярные элементы полупростых алгебраических групп», Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 : 49–80, doi : 10.1007/bf02684397, MR  0180554, S2CID  55638217
• Стейнберг, Роберт (2016) [1968], Лекции по группам Шевалле , Серия университетских лекций, т. 66, Американское математическое общество , doi :10.1090/ulect/066, ISBN 978-1-4704-3105-1, г-н  3616493
• Титс, Жак (1964), «Алгебраические и абстрактные простые группы», Annals of Mathematics , 80 (2): 313–329, doi :10.2307/1970394, JSTOR  1970394, MR  0164968

Внешние ссылки

• Демазюр, М .; Гротендик А. , Гилле П.; Поло, П. (ред.), Схемы в группах (SGA 3), II: Группы умножаемых типов и структура схем в общих группахПереработанное и аннотированное издание оригинала 1970 года.