Число, равное сумме некоторых его делителей
В теории чисел полусовершенное число или псевдосовершенное число — это натуральное число n , равное сумме всех или некоторых его собственных делителей . Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом .
Первые несколько полусовершенных чисел: 6 , 12 , 18 , 20 , 24 , 28 , 30 , 36 , 40 , ... (последовательность A005835 в OEIS ).
Характеристики
- Каждое кратное полусовершенному числу является полусовершенным. [1] Полусовершенное число, которое не делится ни на какое меньшее полусовершенное число, называется примитивным .
- Каждое число вида 2 m p для натурального числа m и нечетного простого числа p такое, что p < 2 m +1, также является полусовершенным.
- В частности, каждое число вида 2 m (2 m +1 − 1) является полусовершенным и даже совершенным, если 2 m +1 − 1 является простым числом Мерсенна .
- Наименьшее нечетное полусовершенное число — 945 (см., например, Фридман, 1993).
- Полусовершенное число обязательно либо совершенное, либо избыточное . Обильное число, которое не является полусовершенным, называется странным числом .
- За исключением 2, все первичные псевдосовершенные числа полусовершенны.
- Каждое практическое число , не являющееся степенью двойки, является полусовершенным.
- Естественная плотность множества полусовершенных чисел существует . [2]
Примитивные полусовершенные числа
Примитивное полусовершенное число (также называемое примитивным псевдосовершенным числом , неприводимым полусовершенным числом или неприводимым псевдосовершенным числом ) — это полусовершенное число, не имеющее полусовершенного собственного делителя. [2]
Первые несколько примитивных полусовершенных чисел — это 6 , 20 , 28 , 88 , 104 , 272, 304, 350, ... (последовательность A006036 в OEIS ).
Таких чисел бесконечно много. Все числа вида 2 m p , где p простое число между 2 m и 2 m +1 , являются примитивными полусовершенными, но это не единственная форма: например, 770. [1] [2] Существует бесконечно много нечетных чисел. примитивные полусовершенные числа, наименьшее из которых 945, результат Пола Эрдеша : [2] существует также бесконечно много примитивных полусовершенных чисел, которые не являются числами гармонических делителей . [1]
Каждое полусовершенное число кратно примитивному полусовершенному числу.
Смотрите также
Примечания
- ^ abc Захариу + Захариу (1972)
- ^ abcd Guy (2004) с. 75
Рекомендации
- Фридман, Чарльз Н. (1993). «Суммы делителей и египетские дроби». Журнал теории чисел . 44 (3): 328–339. дои : 10.1006/jnth.1993.1057 . МР 1233293. Збл 0781.11015.
- Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Збл 1058.11001.Раздел Б2.
- Серпинский, Вацлав (1965). «Sur les nombres pseudoparfaits». Мат. Весн . Новая серия (на французском языке). 2 (17): 212–213. МР 0199147. Збл 0161.04402.
- Захариу, Андреас; Захариу, Элени (1972). «Совершенные, полусовершенные и числа Оре». Бык. Соц. Математика. Греция . Новая серия. 13 :12–22. МР 0360455. Збл 0266.10012.
Внешние ссылки
