В абстрактной алгебре циклическая группа или моногенная группа — это группа , обозначаемая Cn ( также часто n или Zn , не путать с коммутативным кольцом p -адических чисел) , которая порождается одним элементом. [1] То есть это набор обратимых элементов с одной ассоциативной бинарной операцией , и он содержит элемент g такой , что любой другой элемент группы может быть получен путем многократного применения групповой операции к g или ее обратной. Каждый элемент может быть записан как целая степень g в мультипликативной записи или как целое число, кратное g в аддитивной записи. Этот элемент g называется генератором группы. [1]
Каждая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z , целых чисел . Каждая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе Z / n Z , целых чисел по модулю n . Каждая циклическая группа является абелевой группой (это означает, что ее групповая операция коммутативна ), и каждая конечно порожденная абелева группа является прямым произведением циклических групп.
Любая циклическая группа простого порядка является простой группой , которую нельзя разбить на более мелкие группы. В классификации конечных простых групп один из трёх бесконечных классов состоит из циклических групп простого порядка. Таким образом, циклические группы простого порядка входят в число строительных блоков, из которых могут быть построены все группы.
Для любого элемента g в любой группе G можно образовать подгруппу , состоящую из всех его целых степеней: ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z } , называемая циклической подгруппой , порожденной g . Порядок g равен |⟨ g ⟩|, количеству элементов в ⟨ g ⟩, обычно сокращенно | g |, как ord( g ) или как o( g ). То есть порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, которую он порождает.
Циклическая группа — это группа , равная одной из своих циклических подгрупп: G = ⟨ g ⟩ для некоторого элемента g , называемого генератором G.
Для конечной циклической группы G порядка n имеем G = { e , g , g 2 , ... , g n −1 } , где e — единичный элемент и g i = g j всякий раз, когда i ≡ j ( mod n ); в частности г п знак равно г 0 знак равно е и г -1 знак равно г п -1 . Абстрактную группу, определяемую этим умножением, часто обозначают Cn , и мы говорим, что G изоморфна стандартной циклической группе Cn . Такая группа также изоморфна Z / n Z , группе целых чисел по модулю n с операцией сложения, которая является стандартной циклической группой в аддитивной записи. При изоморфизме χ , определенном как χ ( g i ) = i , единичный элемент e соответствует 0, произведения соответствуют суммам, а степени соответствуют кратным.
Например, набор комплексных корней шестой степени из единицы:
Вместо частных обозначений Z / n Z , Z /( n ) или Z / n некоторые авторы обозначают конечную циклическую группу как Z n , но это противоречит обозначениям теории чисел , где Z p обозначает p -адическую группу. числовое кольцо, или локализация в простом идеале .
С другой стороны, в бесконечной циклической группе G = ⟨ g ⟩ степени g k дают различные элементы для всех целых k , так что G = { ... , g −2 , g −1 , e , g , g 2 , ... }, а G изоморфна стандартной группе C = C ∞ и Z , аддитивной группе целых чисел. Примером может служить первая группа фризов . Здесь нет конечных циклов, и название «циклический» может ввести в заблуждение. [2]
Чтобы избежать этой путаницы, Бурбаки ввел термин « моногенная группа» для группы с одним генератором и ограничил «циклическую группу» так, чтобы она обозначала конечную моногенную группу, избегая термина «бесконечная циклическая группа». [примечание 1]
Множество целых чисел Z с помощью операции сложения образует группу. [1] Это бесконечная циклическая группа , поскольку все целые числа можно записать путем многократного сложения или вычитания одного числа 1. В этой группе единственными образующими являются 1 и −1. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна Z.
Для каждого положительного целого числа n набор целых чисел по модулю n , опять же с операцией сложения, образует конечную циклическую группу, обозначаемую Z / n Z. [1] Модульное целое число i является генератором этой группы, если i относительно простое число с n , поскольку эти элементы могут генерировать все остальные элементы группы путем сложения целых чисел. (Число таких образующих равно φ ( n ), где φ — функция Эйлера .) Любая конечная циклическая группа G изоморфна Z / n Z , где n = | г | это порядок группы.
Операции сложения целых и модульных целых чисел, используемые для определения циклических групп, представляют собой операции сложения коммутативных колец , также обозначаемых Z и Z / n Z или Z /( n ). Если p — простое число , то Z / p Z — конечное поле и обычно обозначается F p или GF( p ) для поля Галуа.
Для каждого положительного целого числа n набор целых чисел по модулю n , которые взаимно просты с n , записывается как ( Z / n Z ) × ; он образует группу под действием операции умножения. Эта группа не всегда является циклической, но она является циклической всякий раз, когда n равно 1, 2, 4, степени нечетного простого числа или удвоенной степени нечетного простого числа (последовательность A033948 в OEIS ). [4] [5] Это мультипликативная группа единиц кольца Z / n Z ; их φ ( n ), где снова φ — функция тотента Эйлера . Например, ( Z /6 Z ) × = {1, 5}, и поскольку 6 — дважды нечетное простое число, это циклическая группа. Напротив, ( Z /8 Z ) × = {1, 3, 5, 7} является 4-группой Клейна и не является циклической. Когда ( Z / n Z ) × является циклическим, его образующие называются примитивными корнями по модулю n .
Для простого числа p группа ( Z / p Z ) × всегда циклическая, состоящая из ненулевых элементов конечного поля порядка p . В более общем смысле, каждая конечная подгруппа мультипликативной группы любого поля является циклической. [6]
Множество вращательных симметрий многоугольника образует конечную циклическую группу. [7] Если существует n различных способов перемещения многоугольника к самому себе путем вращения (включая нулевое вращение), то эта группа симметрии изоморфна Z / n Z . В трех или более высоких измерениях существуют другие конечные группы симметрии, которые являются циклическими , но которые не все представляют собой вращения вокруг оси, а вместо этого являются роторными отражениями .
Группа всех вращений окружности ( группа окружностей , также обозначаемая S 1 ) не является циклической, поскольку не существует одного вращения, целые степени которого порождают все вращения. В действительности бесконечная циклическая группа C∞ счетна , а S1 — нет . Группа поворотов на рациональные углы счетна , но все же не циклична.
Корень n- й степени из единицы — это комплексное число , n- я степень которого равна 1, корень многочлена x n − 1 . Множество всех корней n- й степени из единицы образует циклическую группу порядка n при умножении. [1] Генерирующими этой циклической группы являются n-ные примитивные корни из единицы ; они являются корнями n- го кругового многочлена . Например, многочлен z 3 - 1 факторизуется как ( z - 1)( z - ω )( z - ω 2 ) , где ω = e 2 πi /3 ; множество {1, ω , ω 2 } = { ω 0 , ω 1 , ω 2 } образует циклическую группу при умножении. Группа Галуа расширения полей рациональных чисел , порожденных корнями n -й степени из единицы, образует другую группу, изоморфную мультипликативной группе ( Z/ n Z ) × порядка φ ( n ) , которая является циклической для некоторых, но не для все n (см. выше).
Расширение поля называется циклическим расширением , если его группа Галуа циклическая. Для полей нулевой характеристики такие расширения являются предметом теории Куммера и тесно связаны с радикальной разрешимостью . Для расширения конечных полей характеристики p его группа Галуа всегда конечна и циклична, порождена степенью отображения Фробениуса . [8] И наоборот, для данного конечного поля F и конечной циклической группы G существует конечное расширение поля F , группа Галуа которого равна G . [9]
Все подгруппы и факторгруппы циклических групп циклические. В частности, все подгруппы Z имеют вид ⟨ m ⟩ = m Z , где m — положительное целое число. Все эти подгруппы отличны друг от друга и, за исключением тривиальной группы {0} = 0 Z , все они изоморфны Z . Решетка подгрупп группы Z изоморфна двойственной решетке натуральных чисел, упорядоченных по делимости . [10] Таким образом, поскольку простое число p не имеет нетривиальных делителей, p Z является максимальной собственной подгруппой, а факторгруппа Z / p Z проста ; на самом деле циклическая группа проста тогда и только тогда, когда ее порядок прост. [11]
Все факторгруппы Z / n Z конечны, за исключением Z /0 Z = Z /{0}. Для каждого положительного делителя d числа n факторгруппа Z / n Z имеет ровно одну подгруппу порядка d , порожденную классом вычетов n / d . Других подгрупп нет.
Любая циклическая группа абелева . [1] То есть его групповая операция коммутативна : gh = hg (для всех g и h в G ). Это ясно для групп целого и модулярного сложения, поскольку r + s ≡ s + r (mod n ) , и это следует для всех циклических групп, поскольку все они изоморфны этим стандартным группам. Для конечной циклической группы порядка n g n является единицей для любого элемента g . Это снова следует из использования изоморфизма модулярного сложения, поскольку kn ≡ 0 (mod n ) для каждого целого числа k . (Это также верно для общей группы порядка n в силу теоремы Лагранжа .)
Для простой степени группа называется первичной циклической группой . Фундаментальная теорема об абелевых группах утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа является конечным прямым произведением примарных циклических и бесконечных циклических групп.
Поскольку циклическая группа абелева, каждый из ее классов сопряженности состоит из одного элемента. Следовательно, циклическая группа порядка n имеет n классов сопряженности.
Если d является делителем n , то количество элементов в Z / n Z , имеющих порядок d, равно φ ( d ), а количество элементов, порядок которых делит d, равно ровно d . Если G — конечная группа, в которой для каждого n > 0 G содержит не более n элементов порядка, делящего n , то G должна быть циклической. [примечание 2] Порядок элемента m в Z / n Z равен n / gcd ( n , m ).
Если n и m взаимно просты , то прямое произведение двух циклических групп Z / n Z и Z / m Z изоморфно циклической группе Z / nm Z , и обратное также справедливо: это одна из форм китайской теоремы об остатках. . Например, Z /12 Z изоморфно прямому произведению Z /3 Z × Z /4 Z при изоморфизме ( k mod 12) → ( k mod 3, k mod 4) ; но он не изоморфен Z /6 Z × Z /2 Z , в котором каждый элемент имеет порядок не выше 6.
Если p — простое число , то любая группа с p элементами изоморфна простой группе Z / p Z. Число n называется циклическим числом, если Z / n Z — единственная группа порядка n , что верно именно тогда, когда gcd( n , φ ( n )) = 1 . [13] В последовательность циклических чисел входят все простые числа, но некоторые из них являются составными, например 15. Однако все циклические числа нечетны, кроме 2. Циклическими числами являются:
Из определения сразу следует, что циклические группы имеют групповое представление C ∞ = ⟨ x | ⟩ и C n знак равно ⟨ Икс | Икс п ⟩ для конечного п . [14]
Теория представлений циклической группы является критическим базовым случаем теории представлений более общих конечных групп. В сложном случае представление циклической группы разлагается в прямую сумму линейных характеров, что делает связь между теорией характеров и теорией представлений прозрачной. В случае положительной характеристики неразложимые представления циклической группы образуют модель и индуктивную основу для теории представлений групп с циклическими силовскими подгруппами и, в более общем плане, теории представлений блоков циклического дефекта.
Граф циклов иллюстрирует различные циклы группы и особенно полезен при визуализации структуры небольших конечных групп . Граф циклов для циклической группы — это просто круговой граф , где порядок группы равен количеству узлов. Один генератор определяет группу как направленный путь на графе, а обратный генератор определяет обратный путь. Тривиальный путь (идентификатор) может быть нарисован в виде цикла , но обычно он подавляется. Z 2 иногда изображается с двумя изогнутыми краями как мультиграф . [15]
Циклическая группа Zn порядка n соответствует одному циклу, изображенному просто как n -сторонний многоугольник с элементами в вершинах.
Граф Кэли — это граф, определенный из пары ( G , S ), где G — группа, а S — набор образующих группы; у него есть вершина для каждого элемента группы и ребро для каждого произведения элемента с генератором. В случае конечной циклической группы с ее единственным генератором граф Кэли является графом циклов , а для бесконечной циклической группы с ее генератором граф Кэли является дважды бесконечным графом путей . Однако графы Кэли могут быть определены и из других наборов генераторов. Графы Кэли циклических групп с произвольными порождающими множествами называются циркулянтными графами . [16] Эти графики могут быть представлены геометрически как набор равноотстоящих друг от друга точек на круге или на линии, где каждая точка соединена с соседями с тем же набором расстояний, что и каждая другая точка. Это в точности вершинно-транзитивные графы , группа симметрии которых включает транзитивную циклическую группу. [17]
Кольцо эндоморфизмов абелевой группы Z / n Z изоморфно самому Z / n Z как кольцу . [18] При этом изоморфизме число r соответствует эндоморфизму Z / n Z , который отображает каждый элемент в сумму r его копий. Это биекция тогда и только тогда, когда r взаимно прост с n , поэтому группа автоморфизмов Z / n Z изоморфна единичной группе ( Z / n Z ) × . [18]
Аналогично кольцо эндоморфизмов аддитивной группы Z изоморфно кольцу Z . Его группа автоморфизмов изоморфна группе единиц кольца Z , которая равна ({−1, +1}, ×) ≅ C 2 .
Несколько других классов групп были определены по их отношению к циклическим группам:
Группа называется практически циклической, если она содержит циклическую подгруппу конечного индекса (количества смежных классов , которые имеет подгруппа). Другими словами, любой элемент практически циклической группы можно получить перемножением члена циклической подгруппы и члена некоторого конечного множества. Любая циклическая группа практически циклична, как и любая конечная группа. Бесконечная группа практически циклична тогда и только тогда, когда она конечно порождена и имеет ровно два конца ; [примечание 3] примером такой группы является прямое произведение Z / n Z и Z , в котором фактор Z имеет конечный индекс n . Каждая абелева подгруппа гиперболической группы Громова практически циклическая. [20]
Локально циклическая группа — это группа, в которой каждая конечно порожденная подгруппа является циклической. Примером является аддитивная группа рациональных чисел : каждый конечный набор рациональных чисел представляет собой набор целых кратных одной единичной дроби , обратной их наименьшему общему знаменателю , и порождает в качестве подгруппы циклическую группу целых кратных этой дроби. единица дроби. Группа является локально циклической тогда и только тогда, когда ее решетка подгрупп является дистрибутивной решеткой . [21]
Циклически упорядоченная группа — это группа вместе с циклическим порядком, сохраняемым структурой группы. Каждой циклической группе можно придать структуру как циклически упорядоченную группу, соответствующую порядку целых чисел (или целых чисел по модулю порядка группы). Любая конечная подгруппа циклически упорядоченной группы является циклической. [22]
Метациклическая группа — это группа, содержащая циклическую нормальную подгруппу , фактор которой также является циклическим. [23] Эти группы включают циклические группы, дициклические группы и прямые продукты двух циклических групп. Полициклические группы обобщают метациклические группы, допуская более одного уровня расширения группы . Группа является полициклической, если она имеет конечную убывающую последовательность подгрупп, каждая из которых нормальна в предыдущей подгруппе с циклическим фактором, заканчивающимся тривиальной группой. Любая конечно порожденная абелева группа или нильпотентная группа полициклична. [24]
Zn является простым тогда и только тогда, когда n простое .
