Порядковые данные

Тип статистических данных

Порядковые данные — это категориальный статистический тип данных , в котором переменные имеют естественные, упорядоченные категории, а расстояния между категориями неизвестны. ^{[1] : 2} Эти данные существуют в порядковой шкале , одном из четырех уровней измерения , описанных С.С. Стивенсом в 1946 году. Порядковая шкала отличается от номинальной шкалы наличием ранжирования . ^[2] Она также отличается от шкалы интервалов и шкалы отношений тем, что не имеет ширины категорий, которая представляет собой равные приращения базового атрибута. ^[3]

Примеры порядковых данных

Хорошо известным примером порядковых данных является шкала Лайкерта . Пример шкалы Лайкерта: ^{[4] : ​​685.}

Примеры порядковых данных часто встречаются в анкетах: например, вопрос опроса «Является ли ваше общее состояние здоровья плохим, удовлетворительным, хорошим или отличным?» эти ответы могут быть закодированы соответственно как 1, 2, 3 и 4. Иногда данные по интервальной шкале или шкале отношений группируются по порядковой шкале: например, лица, чей доход известен, могут быть сгруппированы в категории дохода от 0 до 19 999 долларов США. , 20 000–39 999 долларов США, 40 000–59 999 долларов США, ..., которые затем могут быть закодированы как 1, 2, 3, 4, .... Другие примеры порядковых данных включают социально-экономический статус, воинские звания и буквенные оценки за курсовую работу. ^[5]

Способы анализа порядковых данных

Анализ порядковых данных требует другого набора анализов, чем другие качественные переменные. Эти методы включают естественный порядок переменных, чтобы избежать потери мощности. ^{[1] : 88} Вычисление среднего значения выборки порядковых данных не рекомендуется; другие меры центральной тенденции, включая медиану или моду, обычно более подходят. ^[6]

Общий

Стивенс (1946) утверждал, что, поскольку предположение о равном расстоянии между категориями не справедливо для порядковых данных, использование средних значений и стандартных отклонений для описания порядковых распределений и статистических выводов, основанных на средних значениях и стандартных отклонениях, нецелесообразно. Вместо этого следует использовать позиционные показатели, такие как медиана и процентили, в дополнение к описательной статистике, подходящей для номинальных данных (количество случаев, режим, корреляция непредвиденных обстоятельств). ^{[3] : 678} Непараметрические методы были предложены как наиболее подходящие процедуры для статистического вывода, включающего порядковые данные (например, W Кендалла , коэффициент ранговой корреляции Спирмена и т. д.), особенно те, которые разработаны для анализа ранжированных измерений. ^{[5] : 25–28} Однако использование параметрической статистики для порядковых данных может быть допустимо с некоторыми оговорками, чтобы воспользоваться преимуществами более широкого диапазона доступных статистических процедур. ^{[7] [8] [4] : 90}

Одномерная статистика

Вместо средних значений и стандартных отклонений одномерная статистика, подходящая для порядковых данных, включает медиану, ^{[9] : 59–61} , другие процентили (такие как квартили и децили), ^{[9] : 71} и квартильное отклонение. ^{[9] : 77} Одновыборочные тесты для порядковых данных включают одновыборочный тест Колмогорова-Смирнова , ^{[5] : 51–55} одновыборочный тест прогонов , ^{[5] : 58–64} и тест точки изменения. ^{[5] : 64–71.}

Двумерная статистика

Вместо проверки различий в средних значениях с помощью t -тестов различия в распределениях порядковых данных из двух независимых выборок можно проверить с помощью Манна-Уитни , ^{[9] : 259–264} прогона , ^{[9] : 253–259} Смирнов , ^{[9] ] : 266–269} и знаково-ранговые ^{[9] : 269–273} теста. Тест для двух связанных или совпадающих выборок включает тест знаков ^{[5] : 80–87} и критерий знаковых рангов Уилкоксона . ^{[5] : 87–95} Дисперсионный анализ с рангами ^{[9] : 367–369} и тест Джонкхира для упорядоченных альтернатив ^{[5] : 216–222} можно проводить с порядковыми данными вместо независимых выборок ANOVA . Тесты для более чем двух связанных выборок включают двусторонний дисперсионный анализ Фридмана по рангам ^{[5] : 174–183} и тест Пейджа для упорядоченных альтернатив . ^{[5] : 184–188} Корреляционные меры, подходящие для двух переменных в порядковом масштабе, включают тау Кендалла , ^{[9] : 436–439} гамма , ^{[9] : 442–443} r s , ^{[9] : 434–436} и d _yx / д _ху . ^{[9] : 443}

Регрессионные приложения

Порядковые данные можно рассматривать как количественную переменную. В логистической регрессии уравнение

${\displaystyle \operatorname {logit} [P(Y=1)]=\alpha +\beta _{1}c+\beta _{2}x}$

является моделью, а c принимает назначенные уровни категориальной шкалы. ^{[1] : 189} В регрессионном анализе результаты ( зависимые переменные ), которые являются порядковыми переменными, могут быть предсказаны с использованием варианта порядковой регрессии , такого как упорядоченный логит или упорядоченный пробит .

При множественном регрессионном/корреляционном анализе порядковые данные могут быть учтены с использованием степенных полиномов и нормализации оценок и рангов. ^[10]

Линейные тенденции

Линейные тренды также используются для поиска связей между порядковыми данными и другими категориальными переменными, обычно в таблицах сопряженности . Между переменными обнаруживается корреляция r , где r находится между -1 и 1. Чтобы проверить тенденцию, используется тестовая статистика:

${\displaystyle M^{2}=(n-1)r^{2}}$

используется, где n — размер выборки. ^{[1] : 87}

R можно найти, если обозначить баллы строк и баллы столбцов. Пусть будет средним значением строк, пока . Тогда – вероятность предельной строки и – вероятность предельного столбца. R рассчитывается по формуле: ${\displaystyle u_{1}\leq u_{2}\leq ...\leq u_{I}}$ ${\displaystyle v_{1}\leq v_{2}\leq ...\leq v_{I}}$ ${\displaystyle {\bar {u}}\ =\sum _{i}u_{i}p_{i+}}$ ${\displaystyle {\bar {v}}\ =\sum _{j}v_{j}p_{j+}.}$ ${\displaystyle p_{i+}}$ ${\displaystyle p_{+j}}$

${\displaystyle r={\frac {\sum _{i,j}\left(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)\left(v_{j}-{\bar {v}}\ \right)p_{ij}}{\sqrt {\left\lbrack \sum _{i}(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)^{2}p_{i+}\rbrack \lbrack \sum _{j}(v_{j}-{\bar {v}}\ )^{2}p_{+j}\rbrack }}}}$

Методы классификации

Методы классификации также были разработаны для порядковых данных. Данные разделены на разные категории, так что каждое наблюдение похоже на другие. Дисперсия измеряется и минимизируется в каждой группе, чтобы максимизировать результаты классификации. Дисперсионная функция используется в теории информации . ^[11]

Статистические модели для порядковых данных

Существует несколько различных моделей, которые можно использовать для описания структуры порядковых данных. ^[12] Ниже описаны четыре основных класса моделей, каждый из которых определен для случайной величины , с уровнями, индексированными . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,q}$

Обратите внимание, что в приведенных ниже определениях моделей значения и не будут одинаковыми для всех моделей для одного и того же набора данных, но это обозначение используется для сравнения структуры разных моделей. ${\displaystyle \mu _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$

Модель пропорциональных шансов

Наиболее часто используемой моделью для порядковых данных является модель пропорциональных шансов, определяемая тем, что параметры описывают базовое распределение порядковых данных, являются ковариатами и являются коэффициентами, описывающими влияние ковариат. ${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{Pr(Y>k)}}\right]=\log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{1-\Pr(Y\leq k)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mu _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$

Эту модель можно обобщить, определив модель с использованием вместо , и это сделает модель подходящей для номинальных данных (в которых категории не имеют естественного порядка), а также для порядковых данных. Однако такое обобщение может значительно затруднить сопоставление модели с данными. ${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

Логит-модель базовой категории

Модель базовой категории определяется ${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$

Эта модель не накладывает порядок на категории и поэтому может применяться как к номинальным, так и к порядковым данным.

Упорядоченная стереотипная модель

Упорядоченная стереотипная модель определяется тем, где параметры оценки ограничены таким образом, что . ${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\phi _{k}\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle 0=\phi _{1}\leq \phi _{2}\leq \dots \leq \phi _{q}=1}$

Это более экономная и более специализированная модель, чем логит-модель базовой категории: ее можно рассматривать как аналогичную . ${\displaystyle \phi _{k}\mathbf {\beta } }$ ${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}}$

Неупорядоченная стереотипная модель имеет ту же форму, что и упорядоченная стереотипная модель, но без навязанного порядка . Эту модель можно применить к номинальным данным. ${\displaystyle \phi _{k}}$

Обратите внимание, что подобранные баллы показывают, насколько легко различать разные уровни . Если тогда это указывает на то, что текущий набор данных для ковариат не предоставляет много информации для различения уровней и , но это не обязательно означает, что фактические значения и сильно различаются. А если значения ковариат изменятся, то для этих новых данных подобранные баллы могут оказаться далеко друг от друга. ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}\approx {\hat {\phi }}_{k-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k-1}}$

Логит-модель смежных категорий

Модель смежных категорий определяется, хотя наиболее распространенная форма, называемая Агрести (2010) ^[12] «формой пропорциональных шансов», определяется формулой ${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

Эту модель можно применять только к порядковым данным, поскольку моделирование вероятностей перехода из одной категории в следующую подразумевает, что существует упорядочение этих категорий.

Логит-модель смежных категорий можно рассматривать как частный случай логит-модели базовой категории, где . Логит-модель смежных категорий также можно рассматривать как частный случай модели упорядоченного стереотипа, где , т.е. расстояния между категориями определяются заранее, а не оцениваются на основе данных. ${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}=\mathbf {\beta } (k-1)}$ ${\displaystyle \phi _{k}\propto k-1}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$

Сравнение моделей

Модель пропорциональных шансов имеет совершенно другую структуру, чем три другие модели, а также другой основной смысл. Обратите внимание, что размер эталонной категории в модели пропорциональных шансов варьируется в зависимости от , поскольку сравнивается с , тогда как в других моделях размер эталонной категории остается фиксированным, как в сравнении с или . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y\leq k}$ ${\displaystyle Y>k}$ ${\displaystyle Y=k}$ ${\displaystyle Y=1}$ ${\displaystyle Y=k+1}$

Различные функции ссылок

Существуют варианты всех моделей, которые используют различные функции связи, такие как пробит-ссылка или дополнительная ссылка лог-логарифм.

Визуализация и отображение

Порядковые данные можно визуализировать несколькими различными способами. Обычными визуализациями являются гистограмма или круговая диаграмма . Таблицы также могут быть полезны для отображения порядковых данных и частот. Мозаичные графики можно использовать для отображения взаимосвязи между порядковой переменной и номинальной или порядковой переменной. ^[13] Резонаторная диаграмма — линейная диаграмма, показывающая относительный рейтинг элементов от одного момента времени к другому — также подходит для порядковых данных. ^[14]

Градацию цвета или оттенков серого можно использовать для представления упорядоченного характера данных. Однонаправленную шкалу, например диапазоны доходов, можно представить в виде гистограммы, где увеличение (или уменьшение) насыщенности или яркости одного цвета указывает на более высокий (или более низкий) доход. Порядковое распределение переменной, измеренной по двунаправленной шкале, например шкале Лайкерта, также можно проиллюстрировать цветом на составной гистограмме. Нейтральный цвет (белый или серый) может использоваться для средней (нулевой или нейтральной) точки, а контрастные цвета используются в противоположных направлениях от средней точки, где увеличение насыщенности или темноты цветов может указывать на категории, находящиеся на увеличении расстояния от средней точки. . ^[15] Карты-картоплеты также используют цветную или полутоновую заливку для отображения порядковых данных. ^[16]

Приложения

Использование порядковых данных можно встретить в большинстве областей исследований, где генерируются категориальные данные. Среды, в которых часто собираются порядковые данные, включают социальные и поведенческие науки, а также правительственные и деловые учреждения, где измерения собираются у людей путем наблюдения, тестирования или анкетирования . Некоторые общие контексты для сбора порядковых данных включают опросные исследования ; ^{[17] [18]} и интеллект , способности , тестирование личности и принятие решений . ^{[2] [4] : 89–90}

В качестве меры статистического доминирования рекомендуется рассчитывать «размер эффекта» (дельта Клиффа d ) с использованием порядковых данных. ^[19]

Смотрите также

• Математический портал

• Список анализов категориальных данных
• Порядковый приоритетный подход
• Порядковый номер
• Порядковое пространство

Рекомендации

1. Агрести, Алан (2013). Категориальный анализ данных (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-46363-5.
2. Атаи, Юнес; Махмуди, Амин; Фейлизаде, Мохаммад Реза; Ли, Дэн-Фэн (январь 2020 г.). «Подход с порядковым приоритетом (OPA) при принятии решений по множественным атрибутам». Прикладные мягкие вычисления . 86 : 105893. doi : 10.1016/j.asoc.2019.105893. ISSN  1568-4946. S2CID  209928171.
3. Стивенс, СС (1946). «К теории шкал измерения». Наука . Новая серия. 103 (2684): 677–680. Бибкод : 1946Sci...103..677S. дои : 10.1126/science.103.2684.677. ПМИД  17750512.
4. Коэн, Рональд Джей; Свердик, Марк Э.; Филлипс, Сюзанна М. (1996). Психологическое тестирование и оценка: введение в тесты и измерения (3-е изд.). Маунтин-Вью, Калифорния: Мэйфилд. стр. 685. ISBN. 1-55934-427-Х.
5. Сигел, Сидней; Кастеллан, Н. Джон младший (1988). Непараметрическая статистика для поведенческих наук (2-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. стр. 25–26. ISBN 0-07-057357-3.
6. Джеймисон, Сьюзен (декабрь 2004 г.). «Шкалы Лайкерта: как их (ab) использовать» (PDF) . Медицинское образование . 38 (12): 1212–1218. дои : 10.1111/j.1365-2929.2004.02012.x. PMID  15566531. S2CID  42509064.
7. Сарл, Уоррен С. (14 сентября 1997 г.). «Теория измерений: Часто задаваемые вопросы».
8. ван Белль, Джеральд (2002). Практические статистические правила . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 23–24. ISBN 0-471-40227-3.
9. Blalock, Хьюберт М. младший (1979). Социальная статистика (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-005752-4.
10. Коэн, Джейкоб; Коэн, Патрисия (1983). Прикладной множественный регрессионный/корреляционный анализ для поведенческих наук (2-е изд.). Хиллсдейл, Нью-Джерси: Lawrence Erlbaum Associates. п. 273. ИСБН 0-89859-268-2.
11. Лэрд, Нэн М. (1979). «Примечание о классификации данных порядкового масштаба». Социологическая методология . 10 : 303–310. дои : 10.2307/270775. JSTOR  270775.
12. Агрести, Алан (2010). Анализ порядковых категориальных данных (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0470082898.
13. «Методы построения графиков».
14. Беринато, Скотт (2016). Хорошие диаграммы: Руководство HBR по созданию более умной и убедительной визуализации данных . Бостон: Harvard Business Review Press. п. 228. ИСБН 978-1633690707.
15. Кирк, Энди (2016). Визуализация данных: Руководство по проектированию, управляемому данными (1-е изд.). Лондон: SAGE. п. 269. ИСБН 978-1473912144.
16. Каир, Альберто (2016). Правдивое искусство: данные, диаграммы и карты для общения (1-е изд.). Сан-Франциско: Новые гонщики. п. 280. ИСБН 978-0321934079.
17. Алвин, Дуэйн Ф. (2010). Марсден, Питер В.; Райт, Джеймс Д. (ред.). Оценка надежности и обоснованности показателей обследования . Howard House, Wagon Lane, Bingley BD16 1WA, Великобритания: Изумрудный дом. п. 420. ИСБН 978-1-84855-224-1. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )CS1 maint: location (link)
18. Фаулер, Флойд младший (1995). Улучшение вопросов опроса: разработка и оценка. Таузенд-Оукс, Калифорния: Сейдж. стр. 156–165. ISBN 0-8039-4583-3.
19. Клифф, Норман (ноябрь 1993 г.). «Статистика доминирования: порядковый анализ для ответа на порядковые вопросы». Психологический вестник . 114 (3): 494–509. дои : 10.1037/0033-2909.114.3.494. ISSN  1939-1455.

дальнейшее чтение

• Агрести, Алан (2010). Анализ порядковых категориальных данных (2-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0470082898.