Термодинамический потенциал

Термодинамический потенциал (или, точнее, термодинамическая потенциальная энергия) ^[1]^[2] — это скалярная величина , используемая для представления термодинамического состояния системы . Как и в механике , где потенциальная энергия определяется как способность совершать работу, разные потенциалы имеют разное значение. Понятие термодинамических потенциалов было введено Пьером Дюэмом в 1886 году. Джозайя Уиллард Гиббс в своих работах использовал термин фундаментальные функции . Хотя термодинамические потенциалы нельзя измерить напрямую, их можно предсказать с помощью компьютерной химии ^[3] .

Одним из основных термодинамических потенциалов, имеющих физическую интерпретацию, является внутренняя энергия $U.$ Это энергия конфигурации данной системы консервативных сил (поэтому она называется потенциальной) и имеет значение только по отношению к определенному набору ссылок (или данных). Выражения для всех других термодинамических энергетических потенциалов можно получить с помощью преобразований Лежандра из выражения для $U$ . Другими словами, каждый термодинамический потенциал эквивалентен другим термодинамическим потенциалам; каждый потенциал является различным выражением других.

В термодинамике внешние силы, такие как гравитация , считаются вкладом в общую энергию, а не в термодинамические потенциалы. Например, рабочее тело в паровой машине , находящейся на вершине Эвереста, имеет более высокую общую энергию из-за силы тяжести, чем на дне Марианской впадины , но одинаковые термодинамические потенциалы. Это связано с тем, что гравитационная потенциальная энергия принадлежит к полной энергии, а не к термодинамическим потенциалам, таким как внутренняя энергия.

Описание и интерпретация

Пять общих термодинамических потенциалов: ^[4]

где $T$ = температура , $S$ = энтропия , $p$ = давление , $V$ = объём . $N i$ — количество частиц $i-$ го типа в системе, а $μ i$ — химический потенциал для частицы $i-го$ типа. Набор всех $N i$ также включен в качестве естественных переменных, но его можно игнорировать, если не происходит никаких химических реакций, вызывающих их изменение. Свободная энергия Гельмгольца в стандарте ISO/IEC называется энергией Гельмгольца ^[1] или функцией Гельмгольца. Его часто обозначают символом $F$ , но IUPAC , ^[5]ISO и IEC предпочитают использовать $A.$ ^[6]

Все эти пять общих потенциалов являются потенциальными энергиями, но существуют также энтропийные потенциалы . Термодинамический квадрат можно использовать как инструмент для вспоминания и получения некоторых потенциалов.

Как и в механике , где потенциальная энергия определяется как способность совершать работу, разные потенциалы имеют разные значения, как показано ниже:

Внутренняя энергия ( $U$ ) — это способность совершать работу плюс способность выделять тепло.
Энергия Гиббса ^[2] ( $G$ ) – это способность совершать немеханическую работу.
Энтальпия ( $H$ ) — это способность совершать немеханическую работу плюс способность выделять тепло.
Энергия Гельмгольца ^[1] ( $F$ ) — это способность совершать механическую работу плюс немеханическую работу.

Исходя из этих значений (которые на самом деле применимы в конкретных условиях, например, при постоянном давлении, температуре и т. д.), для положительных изменений (например, $Δ U > 0$ ) мы можем сказать, что $Δ U$ – это энергия, добавленная в систему, $Δ F$ – это энергия, добавленная в систему. полная работа, совершенная над ней, $Δ G$ — совершенная над ней немеханическая работа, а $Δ H$ — сумма немеханической работы, совершенной над системой, и переданного ей тепла.

Обратите внимание, что сумма внутренней энергии сохраняется, но сумма энергии Гиббса или энергии Гельмгольца не сохраняется, несмотря на то, что ее называют «энергией». Их лучше интерпретировать как потенциал для выполнения «полезной работы», а потенциал может быть потрачен впустую. ^[7]

Термодинамические потенциалы очень полезны при расчете равновесных результатов химической реакции или при измерении свойств материалов в химической реакции. Химические реакции обычно протекают при некоторых ограничениях, таких как постоянное давление и температура или постоянные энтропия и объем, и когда это действительно так, в игру вступает соответствующий термодинамический потенциал. Как и в механике, система будет стремиться к меньшему значению потенциала и в состоянии равновесия при этих ограничениях потенциал примет неизменное минимальное значение. Термодинамические потенциалы также можно использовать для оценки общего количества энергии, доступной из термодинамической системы при соответствующем ограничении.

В частности: (см. принцип минимума энергии для вывода) ^[8]

Когда энтропия $S$ и «внешние параметры» (например, объем) замкнутой системы остаются постоянными, внутренняя энергия $U$ уменьшается и достигает минимального значения в состоянии равновесия. Это следует из первого и второго законов термодинамики и называется принципом минимума энергии . Следующие три утверждения непосредственно вытекают из этого принципа.
При сохранении постоянной температуры $Т$ и внешних параметров замкнутой системы свободная энергия Гельмгольца $F$ уменьшается и достигает минимального значения в состоянии равновесия.
При постоянном давлении $p и внешних параметрах замкнутой системы энтальпия$ $H$ уменьшается и достигает минимального значения в равновесии.
Когда температура $Т$ , давление $р$ и внешние параметры замкнутой системы остаются постоянными, свободная энергия Гиббса $G$ уменьшается и достигает минимального значения в состоянии равновесия.

Естественные переменные

Для каждого термодинамического потенциала существуют термодинамические переменные, которые необходимо поддерживать постоянными, чтобы указать значение потенциала в состоянии термодинамического равновесия, например, независимые переменные для математической функции. Эти переменные называются естественными переменными этого потенциала. ^[9] Естественные переменные важны не только для определения значения потенциала в состоянии равновесия, но и потому, что, если термодинамический потенциал можно определить как функцию его естественных переменных, все термодинамические свойства системы можно найти, взяв частные производные этого потенциала по его естественным переменным, и это справедливо ни для какой другой комбинации переменных. Если термодинамический потенциал не задан как функция его естественных переменных, он, как правило, не будет отражать все термодинамические свойства системы.

Набор натуральных переменных для каждого из четырех вышеуказанных термодинамических потенциалов формируется из комбинации переменных $T$ , $S$ , $p$ , $V$ , исключая любые пары сопряженных переменных ; не существует естественного набора переменных для потенциала, включающего переменные $T$ - $S$ или $p$ - $V$ вместе как сопряженные переменные для энергии. Исключением из этого правила являются сопряженные пары $N i$ - $µ i,$ поскольку нет причин игнорировать их в термодинамических потенциалах, и фактически мы можем дополнительно определить четыре потенциала для каждого вида. ^[10] Используя нотацию ИЮПАК , в которой скобки содержат натуральные переменные (кроме основных четырех), мы имеем:

Если есть только один вид, то нам конец. Но, если видов, скажем, два, то будут дополнительные потенциалы типа и так далее. Если термодинамическое пространство имеет $D- измерения, то существуют$ $2D$ $уникальные$ термодинамические потенциалы. В самом простом случае однофазного идеального газа будет три измерения, что дает восемь термодинамических потенциалов. $U[\mu _{1},\mu _{2}]=U-\mu _{1}N_{1}-\mu _{2}N_{2}$

Фундаментальные уравнения

Определения термодинамических потенциалов могут быть дифференцированы, и наряду с первым и вторым законами термодинамики следует ряд дифференциальных уравнений, известных как фундаментальные уравнения . ^[11] (На самом деле все они являются выражениями одного и того же фундаментального термодинамического соотношения, но выражаются в разных переменных.) Согласно первому закону термодинамики , любое дифференциальное изменение внутренней энергии $U$ системы можно записать как сумму теплоты притекающая в систему вычитается из работы, совершенной системой над окружающей средой, а также любого изменения, вызванного добавлением в систему новых частиц:

\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}

где $δQ$ — бесконечно малый тепловой поток в систему, а $δW$ — бесконечно малая работа, совершаемая системой, $µ i$ — химический потенциал частиц типа $i$ , а $N i$ — количество частиц типа $i$ . (Ни $δQ$ , ни $δW$ не являются точными дифференциалами , т.е. они зависят от пути термодинамического процесса. Поэтому небольшие изменения этих переменных обозначаются $δ$ , а не $d$ .)

Согласно второму закону термодинамики , мы можем выразить изменение внутренней энергии через функции состояния и их дифференциалы. В случае обратимых изменений имеем:

\delta Q=T\,\mathrm {d} S

\delta W=p\,\mathrm {d} V

где

Т

– температура ,

S

— энтропия ,

р

— давление ,

V $—$ объем , равенство справедливо для обратимых процессов.

Это приводит к стандартной дифференциальной форме внутренней энергии при квазистатическом обратимом изменении:

\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}

Поскольку $U$ , $S$ и $V$ являются термодинамическими функциями состояния (также называемыми функциями состояния), приведенное выше соотношение также справедливо для произвольных необратимых изменений. Если в системе имеется больше внешних переменных, чем просто объем, который может измениться, фундаментальное термодинамическое соотношение обобщается до:

dU=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\sum _{j}\mu _{j}\,\mathrm {d} N_{j}+\sum _{i}X_{i}\,\mathrm {d} x_{i}

Здесь $X i$ — обобщенные силы , соответствующие внешним переменным $x i$ . ^[12]

Применяя неоднократно преобразования Лежандра , для четырех потенциалов справедливы следующие дифференциальные соотношения ( фундаментальные термодинамические уравнения или фундаментальные термодинамические соотношения ):

Бесконечно малые в правой части каждого из приведенных выше уравнений представляют собой натуральные переменные потенциала в левой части. Аналогичные уравнения можно построить для всех остальных термодинамических потенциалов системы. Для каждого термодинамического потенциала будет одно фундаментальное уравнение, в результате чего в общей сложности получится $двумерное фундаментальное$ уравнение.

Различия между четырьмя термодинамическими потенциалами можно резюмировать следующим образом:

\mathrm {d} (pV)=\mathrm {d} H-\mathrm {d} U=\mathrm {d} G-\mathrm {d} F

\mathrm {d} (TS)=\mathrm {d} U-\mathrm {d} F=\mathrm {d} H-\mathrm {d} G

Уравнения состояния

Мы можем использовать приведенные выше уравнения для получения некоторых дифференциальных определений некоторых термодинамических параметров. Если мы определим $Φ$ как любой из термодинамических потенциалов, то приведенные выше уравнения будут иметь вид:

\mathrm {d} \Phi =\sum _{i}x_{i}\,\mathrm {d} y_{i}

где $x i$ и $y i$ — сопряженные пары, а $y i$ — натуральные переменные потенциала $Φ$ . Из правила цепочки следует, что:

x_{j}=\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}

где ${y i \neq j}$ — набор всех натуральных переменных $Φ,$ кроме $y j$ , которые считаются постоянными. Это дает выражения для различных термодинамических параметров через производные потенциалов по их естественным переменным. Эти уравнения известны как уравнения состояния , поскольку они определяют параметры термодинамического состояния . ^[13] Если мы ограничимся потенциалами $U$ ( внутренняя энергия ), $F$ ( энергия Гельмгольца ), $H$ ( энтальпия ) и $G$ ( энергия Гиббса ), то мы получим следующие уравнения состояния (индексы показывают натуральные переменные, которые сохраняются как константы):

+T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,\{N_{i}\}}

-p=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T,\{N_{i}\}}

+V=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T,\{N_{i}\}}

-S=\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V,\{N_{i}\}}

~\mu _{j}=\left({\frac {\partial \phi }{\partial N_{j}}}\right)_{X,Y,\{N_{i\neq j}\}}

где в последнем уравнении $φ$ — любой из термодинамических потенциалов ( $U$ , $F$ , $H$ или $G$ ), а также набор натуральных переменных для этого потенциала, исключая $N$ $i$ . Если мы используем все термодинамические потенциалы, то у нас будет больше уравнений состояния, таких как ${X,Y,\{N_{i\neq j}\}}$

-N_{j}=\left({\frac {\partial U[\mu _{j}]}{\partial \mu _{j}}}\right)_{S,V,\{N_{i\neq j}\}}

и так далее. В целом, если термодинамическое пространство имеет размерность $D$ , то для каждого потенциала будет $D$ уравнений, в результате чего в общей сложности получится $D 2D$ уравнений состояния, поскольку $существуют$ $2D термодинамические$ потенциалы. Если известны $D -уравнения состояния для определенного потенциала, то можно определить фундаментальное уравнение для этого потенциала (т. е.$ точный дифференциал термодинамического потенциала). Это означает, что вся термодинамическая информация о системе будет известна, поскольку фундаментальные уравнения для любого другого потенциала могут быть найдены с помощью преобразований Лежандра , а также могут быть найдены соответствующие уравнения состояния для каждого потенциала как частные производные потенциала.

Измерение термодинамических потенциалов

Приведенные выше уравнения состояния предлагают методы экспериментального измерения изменений термодинамических потенциалов с использованием физически измеримых параметров. Например, выражения свободной энергии

+V=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T,\{N_{i}\}}

-p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T,\{N_{i}\}}

можно интегрировать при постоянной температуре и количествах, чтобы получить:

\Delta G=\int _{P1}^{P2}V\,\mathrm {d} p\,\,\,\,

(при постоянном T , {N _j } )

\Delta F=-\int _{V1}^{V2}p\,\mathrm {d} V\,\,\,\,

(при постоянном T , {N _j } )

которое можно измерить путем мониторинга измеряемых переменных давления, температуры и объема. Изменения энтальпии и внутренней энергии можно измерить с помощью калориметрии (которая измеряет количество тепла ΔQ, выделяемого или поглощаемого системой). Выражения

+T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,\{N_{i}\}}

можно интегрировать:

\Delta H=\int _{S1}^{S2}T\,\mathrm {d} S=\Delta Q\,\,\,\,

(при постоянном P , {N _j } )

\Delta U=\int _{S1}^{S2}T\,\mathrm {d} S=\Delta Q\,\,\,\,

(при постоянном V , {N _j } )

Обратите внимание, что эти измерения проводятся при постоянной { N _j } и поэтому неприменимы к ситуациям, в которых происходят химические реакции.

Отношения Максвелла

$Опять же ,$ определим $xi$ и $yi как$ сопряженные пары, а $yi как$ натуральные переменные некоторого потенциала $Φ$ . Мы можем взять «перекрестные дифференциалы» уравнений состояния, которые подчиняются следующему соотношению:

\left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y_{k}}}\right)_{\{y_{i\neq k}\}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}=\left({\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}\right)_{\{y_{i\neq k}\}}

Отсюда мы получаем соотношения Максвелла . ^[4]^[14] Будет( Д - 1)/2из них для каждого потенциала, что дает в общей сложностиД ( Д - 1)/2уравнения вообще. Если мы ограничимся $U$ , $F$ , $H$ , $G$

\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}

\left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=+\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p,\{N_{i}\}}

\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T,\{N_{i}\}}=+\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V,\{N_{i}\}}

\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T,\{N_{i}\}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p,\{N_{i}\}}

Используя уравнения состояния, включающие химический потенциал, получаем такие уравнения, как:

\left({\frac {\partial T}{\partial N_{j}}}\right)_{V,S,\{N_{i\neq j}\}}=\left({\frac {\partial \mu _{j}}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}

и используя другие потенциалы, мы можем получить такие уравнения, как:

\left({\frac {\partial N_{j}}{\partial V}}\right)_{S,\mu _{j},\{N_{i\neq j}\}}=-\left({\frac {\partial p}{\partial \mu _{j}}}\right)_{S,V\{N_{i\neq j}\}}

\left({\frac {\partial N_{j}}{\partial N_{k}}}\right)_{S,V,\mu _{j},\{N_{i\neq j,k}\}}=-\left({\frac {\partial \mu _{k}}{\partial \mu _{j}}}\right)_{S,V\{N_{i\neq j}\}}

отношения Эйлера

$Опять же ,$ определим $xi$ и $yi$ как сопряженные пары, а $yi$ $как естественные$ переменные внутренней энергии. Поскольку все натуральные переменные внутренней энергии $U$ являются экстенсивными величинами

U(\{\alpha y_{i}\})=\alpha U(\{y_{i}\})

из теоремы Эйлера об однородной функции следует , что внутреннюю энергию можно записать как:

U(\{y_{i}\})=\sum _{j}y_{j}\left({\frac {\partial U}{\partial y_{j}}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}

Тогда из уравнений состояния имеем:

U=TS-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}

Эта формула известна как соотношение Эйлера , поскольку к ней приводит теорема Эйлера об однородных функциях. ^[15]^[16] (Он не был открыт Эйлером в исследовании термодинамики, которого не существовало в его время.).

Подставляя в выражения для остальных основных потенциалов имеем:

F=-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}

H=TS+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}

G=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}

Как и в предыдущих разделах, этот процесс можно осуществить на всех остальных термодинамических потенциалах. Таким образом, существует еще одно соотношение Эйлера, основанное на выражении энтропии как функции внутренней энергии и других экстенсивных переменных. Тем не менее, другие соотношения Эйлера справедливы для других фундаментальных уравнений для энергии или энтропии как соответствующих функций других переменных состояния, включая некоторые интенсивные переменные состояния. ^[17]

Отношение Гиббса – Дюэма

Вывести уравнение Гиббса-Дюэма из основных термодинамических уравнений состояния несложно. ^[11]^[18]^[19] Приравнивание любого определения термодинамического потенциала к его выражению соотношения Эйлера дает:

U=TS-PV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}

Дифференцируя и используя второй закон:

\mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}

дает:

0=S\mathrm {d} T-V\mathrm {d} P+\sum _{i}N_{i}\mathrm {d} \mu _{i}

Это соотношение Гиббса-Дюэма. Гиббс–Дюэм – это зависимость между интенсивными параметрами системы. Отсюда следует, что для простой системы с $I$ компонентами будет $I + 1$ независимых параметров, или степеней свободы. Например, простая система с одним компонентом будет иметь две степени свободы и может определяться только двумя параметрами, такими как, например, давление и объем. Закон назван в честь Джозайи Уилларда Гиббса и Пьера Дюэма .

Условия стабильности

Поскольку внутренняя энергия является выпуклой функцией энтропии и объема, условие устойчивости требует, чтобы вторая производная внутренней энергии с энтропией или объемом была положительной. Обычно это выражается как . Поскольку принцип максимума энтропии эквивалентен принципу минимума внутренней энергии, комбинированные критерии стабильности или термодинамического равновесия выражаются как и для параметров, энтропии и объема. Это аналогично условию энтропии в состоянии равновесия. ^[20] Та же концепция может быть применена к различным термодинамическим потенциалам, определяя, являются ли они выпуклыми или вогнутыми относительно соответствующих их переменных. $d^{2}U>0$ $d^{2}U>0$ $dU=0$ $d^{2}S<0$ $dS=0$

${\biggl (}{\partial ^{2}F \over \partial T^{2}}{\biggr )}_{V,N}\leq 0$ и ${\biggl (}{\partial ^{2}F \over \partial V^{2}}{\biggr )}_{T,N}\geq 0$

Где энергия Гельмгольца является вогнутой функцией температуры и выпуклой функцией объема.

${\biggl (}{\partial ^{2}H \over \partial P^{2}}{\biggr )}_{S,N}\leq 0$ и ${\biggl (}{\partial ^{2}H \over \partial S^{2}}{\biggr )}_{P,N}\geq 0$

Где энтальпия — это вогнутая функция давления и выпуклая функция энтропии.

${\biggl (}{\partial ^{2}G \over \partial T^{2}}{\biggr )}_{P,N}\leq 0$ и ${\biggl (}{\partial ^{2}G \over \partial P^{2}}{\biggr )}_{T,N}\leq 0$

Где потенциал Гиббса является вогнутой функцией давления и температуры.

В общем, термодинамические потенциалы ( внутренняя энергия и ее преобразования Лежандра ) являются выпуклыми функциями своих внешних переменных и вогнутыми функциями внутренних переменных . Условия устойчивости предполагают, что изотермическая сжимаемость положительна, а при неотрицательной температуре . ^[21] $C_{P}>C_{V}$

Химические реакции

Изменения этих величин полезны для оценки степени протекания химической реакции. Соответствующее количество зависит от условий реакции, как показано в следующей таблице. $Δ$ обозначает изменение потенциала, и в состоянии равновесия это изменение будет равно нулю.

Чаще всего рассматривают реакции при постоянных $p$ и $T$ , поэтому свободная энергия Гиббса является наиболее полезным потенциалом при изучении химических реакций.

Смотрите также

Отношения Кумбера

Примечания

^ abc ISO/IEC 80000-5, Величины в единицах, Часть 5. Термодинамика, пункт 5-20.4 Энергия Гельмгольца, функция Гельмгольца
^ ab ISO / IEC 80000-5, Величины в единицах, Часть 5. Термодинамика, пункт 5-20.5, Энергия Гиббса, Функция Гиббса
^ Нитцке, Изабель; Стефан, Саймон; Врабец, Ядран (3 июня 2024 г.). «Топология термодинамических потенциалов с использованием физических моделей: Гельмгольца, Гиббса, Гранда и Нуля». Журнал химической физики . 160 (21). дои : 10.1063/5.0207592. ISSN 0021-9606.
^ аб Альберти (2001) с. 1353
^ Альберти (2001) с. 1376
^ ISO/IEC 80000-5:2007, пункт 5-20.4.
^ Тыкоди, Р.Дж. (1 февраля 1995 г.). «Спонтанность, доступность, необратимость, «полезная работа»: функция доступности, функция Гельмгольца и функция Гиббса». Журнал химического образования . 72 (2): 103. Бибкод : 1995JChEd..72..103T. дои : 10.1021/ed072p103. ISSN 0021-9584.
^ Каллен (1985) с. 153
^ Альберти (2001) с. 1352
^ Альберти (2001) с. 1355
^ аб Альберти (2001) с. 1354
^ Например, ионные виды N _j (измеренные в молях ), удерживаемые при определенном потенциале V _j , будут включать член, где F — постоянная Фарадея , а z _j — кратное элементарному заряду иона. $\sum _{j}V_{j}\mathrm {d} q_{j}=F\sum _{j}V_{j}z_{j}\mathrm {d} N_{j}$
^ Каллен (1985) с. 37
^ Каллен (1985) с. 181
^ Каллен, HB (1960/1985). Термодинамика и введение в термостатистику , второе издание, John Wiley & Sons, Хобокен, штат Нью-Йорк, ISBN 9780471862567 , стр. 59–60.
^ Бейлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, AIP Press, Вудбери, штат Нью-Йорк, ISBN 0883187973 , стр. 215–216.
^ Каллен, HB (1960/1985). Термодинамика и введение в термостатистику , второе издание, John Wiley & Sons, Хобокен, штат Нью-Йорк, ISBN 9780471862567 , стр. 137–148.
^ Моран и Шапиро, с. 538
^ Каллен (1985) с. 60
^ В., Чогль, Н. (2000). Основы равновесной и стационарной термодинамики. Эльзевир. ISBN 978-0-444-50426-5. ОСЛК 1003633034.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Каллен, Герберт Б. (2005). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.). Нью-Дели: Джон Уайли и сыновья. стр. 203–210. ISBN 978-81-265-0812-9. ОСЛК 663862636.

дальнейшее чтение

Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
Термодинамика, от концепций к приложениям (2-е издание), А. Шавит, К. Гутфингер, CRC Press (Taylor and Francisco Group, США), 2009, ISBN 9781420073683
Химическая термодинамика , DJG Ives, Университет химии, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3
Элементы статистической термодинамики (2-е издание), Л. К. Нэш, Принципы химии, Аддисон-Уэсли, 1974, ISBN 0-201-05229-6
Статистическая физика (2-е издание), Ф. Мандл, Манчестерская физика, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780471566588

Внешние ссылки

Термодинамические потенциалы - Государственный университет Джорджии
Химическая потенциальная энергия: «характеристика» против типа, зависящего от концентрации