Тип бесконечно малого в исчислении
В многомерном исчислении дифференциальная или дифференциальная форма называется точной или совершенной ( точный дифференциал ), в отличие от неточного дифференциала , если она равна общему дифференциалу для некоторой дифференцируемой функции в ортогональной системе координат (следовательно, является многомерным дифференциалом). функция , переменные которой независимы , как и всегда ожидается при исчислении с несколькими переменными ).
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Точный дифференциал иногда также называют полным дифференциалом или полным дифференциалом , или, при изучении дифференциальной геометрии , его называют точной формой .
Интеграл от точного дифференциала по любому интегральному пути не зависит от пути , и этот факт используется для идентификации функций состояния в термодинамике .
Обзор
Определение
Даже если мы здесь работаем в трех измерениях, определения точных дифференциалов для других измерений структурно аналогичны трехмерному определению. В трех измерениях форма типа
![{\ displaystyle A (x, y, z) \, dx + B (x, y, z) \, dy + C (x, y, z) \, dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
называется дифференциальной формой . Эта форма называется точной на открытой области пространства, если существует некоторая дифференцируемая скалярная функция , определенная на такой, что
![{\displaystyle Q=Q(x,y,z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
повсюду , где – ортогональные координаты (например, декартовы , цилиндрические или сферические координаты ). Другими словами, в некоторой открытой области пространства дифференциальная форма является точным дифференциалом , если она равна общему дифференциалу дифференцируемой функции в ортогональной системе координат.![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x,y,z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Примечание. В этом математическом выражении индексы вне круглых скобок указывают, какие переменные остаются постоянными во время дифференцирования. Из-за определения частной производной эти индексы не требуются, но они явно показаны здесь в качестве напоминания.
Интегральная независимость пути
Точный дифференциал для дифференцируемой скалярной функции , определенной в открытой области, равен , где – градиент , представляет скалярное произведение и – общий вектор дифференциального смещения, если используется ортогональная система координат. Если имеет класс дифференцируемости ( непрерывно дифференцируемый ), то по определению является консервативным векторным полем для соответствующего потенциала . Для трехмерных пространств можно использовать такие выражения, как и .![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \cdot }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d\mathbf {r} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle d \ mathbf {r} = (dx, dy, dz)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla Q=({\frac {\partial Q}{\partial x}}, {\frac {\partial Q}{\partial y}}, {\frac {\partial Q}{\partial z }})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теорема о градиенте гласит
![{\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f} \nabla Q(\mathbf {r})\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\ вправо)-Q\влево(я\вправо)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это не зависит от того, какой интегральный путь между заданными конечными точками пути и выбран. Таким образом, делается вывод, что интеграл точного дифференциала не зависит от выбора интегрального пути между заданными конечными точками пути (независимость от пути) .![{\displaystyle я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для трехмерных пространств, если определение в открытой области имеет класс дифференцируемости (что эквивалентно ) , то эта целостная независимость от пути также может быть доказана с помощью тождества векторного исчисления и теоремы Стокса .![{\displaystyle \nabla Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \oint _ {\partial \Sigma}\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _ {\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0 }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для просто замкнутого контура с гладкой ориентированной поверхностью в нем. Если открытая область представляет собой просто связное открытое пространство (грубо говоря, цельное открытое пространство без дыры внутри него), то любое безвихревое векторное поле (определяемое как векторное поле , ротор которого равен нулю, т. е. ) имеет независимость от пути благодаря Теорема Стокса, поэтому делается следующее утверждение; В односвязной открытой области любое векторное поле, обладающее свойством независимости от пути (поэтому оно является консервативным векторным полем), также должно быть безвихревым, и наоборот. Здесь показано равенство траекторной независимости и консервативных векторных полей .![{\displaystyle \partial \Sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {v} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Функция термодинамического состояния
В термодинамике , если быть точным, функция является функцией состояния системы: математической функцией , которая зависит исключительно от текущего состояния равновесия , а не от пути, пройденного для достижения этого состояния. Внутренняя энергия , энтропия , энтальпия , свободная энергия Гельмгольца и свободная энергия Гиббса являются функциями состояния . В общем случае ни работа , ни тепло не являются функциями состояния. (Примечание: обычно используется для обозначения тепла в физике. Не следует путать его с использованием ранее в этой статье в качестве параметра точного дифференциала.)![{\displaystyle dQ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Одно измерение
В одном измерении дифференциальная форма
![{\ displaystyle A (x) \, dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является точным тогда и только тогда, когда имеет первообразную (но не обязательно одну в терминах элементарных функций). Если имеет первообразную и пусть будет первообразной so , то очевидно удовлетворяет условию точности. Если не имеет первообразной, то мы не можем написать с для дифференцируемой функции, поэтому это неточно.![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle A (x) \, dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle A (x) \, dx}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Два и три измерения
В силу симметрии вторых производных для любой «хорошей» (непатологической ) функции имеем![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}} = {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, в односвязной области R плоскости xy , где независимы, [1] дифференциальная форма![{\displaystyle x,y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle A (x, y) \, dx + B (x, y) \, dy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда уравнение
![{\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}} \right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{ й}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
держит. Если это точный дифференциал так и , то это дифференцируемая (гладко непрерывная) функция вдоль и , поэтому . Если выполнено, то и являются дифференцируемыми (опять же гладко непрерывными) функциями вдоль и соответственно, и это только так.![{\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}= {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}= {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}} \right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{ й}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}= {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}= {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Для трех измерений в односвязной области R системы координат xyz по аналогичной причине дифференциал
![{\ displaystyle dQ = A (x, y, z) \, dx + B (x, y, z) \, dy + C (x, y, z) \, dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда между функциями A , B и C существуют соотношения
; ;
![{\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти условия эквивалентны следующему предложению: Если G — график этой векторной функции, то для всех касательных векторов X , Y поверхности G тогда s ( X , Y ) = 0 с s — симплектической формой .
Эти условия, которые легко обобщить, возникают из-за независимости порядка дифференцирования при вычислении вторых производных. Итак, чтобы дифференциал dQ , то есть функция четырех переменных, был точным дифференциалом, необходимо удовлетворить шесть условий ( комбинацию ). ![{\displaystyle C(4,2)=6}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Частные дифференциальные отношения
Если дифференцируемая функция является взаимно однозначной (инъективной) для каждой независимой переменной, например, является взаимно однозначной для фиксированного числа, в то время как она не обязательно является взаимно однозначной для , то существуют следующие полные дифференциалы , потому что каждый независимая переменная является дифференцируемой функцией для других переменных, например, .![{\ displaystyle z (x, y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle z (x, y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (x,y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle x (y, z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z }}\right)}_{y}\,dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y }}\right)}_{x}\,dy.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подставив первое уравнение во второе и переставив, получим
![{\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y }}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac { \partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y }}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\ частичный z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z }}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\ frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right] ды.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку и являются независимыми переменными, их можно выбирать без ограничений. Чтобы это последнее уравнение в целом выполнялось, члены в квадратных скобках должны быть равны нулю. [2] Левая скобка, равная нулю, приводит к отношению взаимности, а правая скобка, равная нулю, соответствует циклическому отношению, как показано ниже.![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle dy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle дз}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Отношение взаимности
Установив первый член в скобках равным нулю, получим
![{\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right) }_{y}=1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Небольшая перестановка дает отношение взаимности,
![{\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{ \partial z}}\right)}_{y}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Есть еще две перестановки предыдущего вывода, которые дают в общей сложности три отношения взаимности между , и .![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Циклическое отношение
Циклическое отношение также известно как циклическое правило или правило тройного произведения . Положив второе слагаемое в скобках равным нулю, получим
![{\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right) }_{z}=- {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Использование отношения взаимности для этого уравнения и переупорядочение дает циклическое соотношение ( правило тройного произведения ),![{\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right) }_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если вместо этого использовать отношения взаимности для и с последующей перестановкой, то получается стандартная форма неявного дифференцирования :![{\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=- {\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Некоторые полезные уравнения, полученные из точных дифференциалов в двух измерениях
(См. также термодинамические уравнения Бриджмена для использования точных дифференциалов в теории термодинамических уравнений )
Предположим, у нас есть пять функций состояния и . Предположим, что пространство состояний двумерно и любые из пяти величин дифференцируемы. Тогда по цепному правилу![{\displaystyle z,x,y,u}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
но и по цепному правилу:
и
так что (подставив (2) и (3) в (1)):
откуда следует (путем сравнения (4) с (1)):
Ввод (5) дает:![{\displaystyle v=y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ввод (5) дает:![{\displaystyle u=y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Включение и в (7) дает:![{\displaystyle u=y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v=z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
использование ( дает правило тройного произведения :![{\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Если пара независимых переменных является (локально обратимой) функцией зависимых переменных , все, что необходимо для выполнения следующей теоремы, - это заменить частные производные по или на частные производные по и по с участием их якобианских компонентов. То есть: является точным дифференциалом тогда и только тогда, когда:
![{\displaystyle (x,y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle (u, v)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle и}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle A (u, v) du + B (u, v) dv,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial A}{\partial v}}{\frac { \partial v}{\partial y}}={\frac {\partial B}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\ частичное v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Ченгель, Юнус А.; Болес, Майкл А.; Каноглу, Мехмет (2019) [1989]. «Термодинамика отношений собственности». Термодинамика - инженерный подход (9-е изд.). Нью-Йорк: Образование Макгроу-Хилл. стр. 647–648. ISBN 978-1-259-82267-4.
- Перро, П. (1998). Термодинамика от А до Я. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
- Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений. Cengage Обучение. ISBN 978-0-495-10824-5.
Внешние ссылки
- Неточный дифференциал – из Wolfram MathWorld
- Точные и неточные дифференциалы – Университет Аризоны
- Точные и неточные дифференциалы – Техасский университет
- Точный дифференциал – из Wolfram MathWorld