Теория стабильности

Часть математики, изучающая устойчивость решений.

Диаграмма устойчивости , классифицирующая карты Пуанкаре линейной автономной системы как устойчивые или неустойчивые в зависимости от их особенностей. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. ^[1] Некоторые стоки, источники или узлы являются точками равновесия . ${\displaystyle x'=Ax,}$

В математике теория устойчивости занимается устойчивостью решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем при малых возмущениях начальных условий . Уравнение теплопроводности , например, является устойчивым уравнением в частных производных, поскольку небольшие возмущения исходных данных приводят к небольшим изменениям температуры в более позднее время в результате действия принципа максимума . В уравнениях в частных производных можно измерить расстояния между функциями, используя нормы L p или норму sup, а в дифференциальной геометрии можно измерить расстояние между пространствами, используя расстояние Громова – Хаусдорфа .

В динамических системах орбита называется устойчивой по Ляпунову , если прямая орбита любой точки находится в достаточно малой окрестности или остается в малой (но, возможно, большей) окрестности. Были разработаны различные критерии для доказательства устойчивости или нестабильности орбиты. При благоприятных обстоятельствах вопрос может быть сведен к хорошо изученной задаче о собственных значениях матриц . Более общий метод предполагает использование функций Ляпунова . На практике применяется любой из множества различных критериев устойчивости .

Обзор динамических систем

Многие части качественной теории дифференциальных уравнений и динамических систем посвящены асимптотическим свойствам решений и траекториям — тому, что происходит с системой через длительный период времени. Самый простой вид поведения демонстрируют точки равновесия или фиксированные точки, а также периодические орбиты . Если конкретная орбита хорошо понята, естественно задать следующий вопрос, приведет ли небольшое изменение начального состояния к аналогичному поведению. Теория стабильности рассматривает следующие вопросы: будет ли ближайшая орбита бесконечно оставаться близкой к данной орбите? Сойдется ли он на заданную орбиту? В первом случае орбита называется стабильной ; в последнем случае ее называют асимптотически устойчивой , а данную орбиту называют притягивающей .

Равновесное решение автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется: ${\displaystyle f_{e}}$

• стабильно, если для каждого (малого) существует такое, что каждое решение , имеющее начальные условия в пределах расстояния , т.е. равновесия, остается в пределах расстояния , т.е. для всех . ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \|f(t)-f_{e}\|<\epsilon }$ ${\displaystyle t\geq t_{0}}$
• асимптотически устойчив, если он устойчив и, кроме того, существует такой, что всякий раз, когда то как . ${\displaystyle \delta _{0}>0}$ ${\displaystyle \|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta _{0}}$ ${\displaystyle f(t)\rightarrow f_{e}}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

Стабильность означает, что траектории не слишком сильно изменяются при небольших возмущениях. Интересна и обратная ситуация, когда ближайшая орбита отталкивается от заданной. В общем случае возмущение начального состояния в одних направлениях приводит к асимптотическому приближению траектории к заданной, а в других направлениях к удалению от нее. Могут быть и направления, для которых поведение возмущенной орбиты более сложное (не сходящееся и не ускользающее полностью), и тогда теория устойчивости не дает достаточной информации о динамике.

Одна из ключевых идей теории устойчивости состоит в том, что качественное поведение орбиты при возмущениях можно проанализировать с помощью линеаризации системы вблизи орбиты. В частности, в каждом состоянии равновесия гладкой динамической системы с n -мерным фазовым пространством существует некоторая n × n- матрица A , собственные значения которой характеризуют поведение близлежащих точек ( теорема Хартмана–Гробмана ). Точнее, если все собственные значения являются отрицательными действительными числами или комплексными числами с отрицательными действительными частями, то точка является устойчивой притягивающей неподвижной точкой, а близлежащие точки сходятся к ней с экспоненциальной скоростью, ср. устойчивость по Ляпунову и экспоненциальную устойчивость . Если ни одно из собственных значений не является чисто мнимым (или нулевым), то направления притяжения и отталкивания связаны с собственными пространствами матрицы A с собственными значениями, действительная часть которых отрицательна и, соответственно, положительна. Аналогичные утверждения известны и для возмущений более сложных орбит.

Стабильность фиксированных точек в 2D

Схематическая визуализация четырех наиболее распространенных видов фиксированных точек.

Парадигматическим случаем является устойчивость начала координат при линейном автономном дифференциальном уравнении, где и – матрица 2х2. ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$ ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A}$

Иногда мы выполняли замену базиса для некоторой обратимой матрицы , что дает . Мы говорим - это " в новой базе". Поскольку и , мы можем классифицировать стабильность происхождения, используя и , свободно используя смену базиса. ${\displaystyle X'=CX}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {X}}'=C^{-1}ACX'}$ ${\displaystyle C^{-1}AC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det A=\det C^{-1}AC}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} C^{-1}AC}$ ${\displaystyle \det A}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A}$

Классификация типов устойчивости

Если , то ранг равен нулю или единице. ${\displaystyle \det A=0}$ ${\displaystyle A}$

• Если ранг равен нулю, то , и потока нет. ${\displaystyle A=0}$
• Если ранг равен единице, то и оба одномерны. ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$
  • Если , то пусть пролет , и пусть будет прообразом , то в базисе , и поэтому поток представляет собой сдвиг вдоль направления. В этом случае, . ${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$
  • Если , то пусть пролет и пусть пролет , то в базисе, для некоторого ненулевого действительного числа . ${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle a}$
    • Если , то оно неустойчиво, расходится со скоростью от вдоль параллельных сдвигов . ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$
    • Если , то оно устойчиво, сходящееся со скоростью к вдоль параллельных сдвигов . ${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \ker A}$ ${\displaystyle \operatorname {im} A}$

Если , мы сначала находим жорданову нормальную форму матрицы, чтобы получить базис, в котором находится одна из трех возможных форм: ${\displaystyle \det A\neq 0}$ ${\displaystyle \{v,w\}}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$где . ${\displaystyle a,b\neq 0}$
  • Если , то . Начало координат — источник , с интегральными кривыми вида ${\displaystyle a,b>0}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(a-b)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$ ${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • Аналогично для . Происхождение — раковина . ${\displaystyle a,b<0}$
  • Если или , то и начало координат является седловой точкой . с интегральными кривыми вида . ${\displaystyle a>0>b}$ ${\displaystyle a<0<b}$ ${\displaystyle \det A<0}$ ${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$где . Это можно еще больше упростить, изменив базис с помощью , после чего . Мы можем явно решить с помощью . Решение с . Этот случай называется « вырожденным узлом ». Интегральные кривые в этом базисе представляют собой центральные расширения плюс ось x. ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\dot {X}}=AX}$ ${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$ ${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle x=y\ln y}$
  • Если , то начало координат является вырожденным источником . В противном случае это выродившаяся раковина . ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$
  • В обоих случаях, ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$где . В этом случае, . ${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$
  • Если , то это спиральный сток . В этом случае, . Целые линии представляют собой логарифмические спирали . ${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$
  • Если , то это спиральный источник . В этом случае, . Целые линии представляют собой логарифмические спирали . ${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$ ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$
  • Если , то это вращение (« нейтральная устойчивость ») со скоростью , не перемещающееся ни к началу координат, ни от него. В этом случае, . Целые линии представляют собой окружности. ${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$

Сводная информация показана на диаграмме стабильности справа. В каждом случае, кроме случая , значения позволяют однозначно классифицировать тип потока. ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$

В частном случае есть два случая, которые нельзя различить с помощью . В обоих случаях имеет только одно собственное значение с алгебраической кратностью 2. ${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$ ${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$ ${\displaystyle A}$

• Если собственное значение имеет двумерное собственное пространство ( геометрическая кратность 2), то система представляет собой центральный узел (иногда называемый « звездой » или « дикритическим узлом »), который является либо источником (когда ), либо стоком (когда ). . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$
• Если она имеет одномерное собственное пространство ( геометрическая кратность 1), то система является вырожденным узлом (если ) или сдвиговым потоком (если ). ${\displaystyle \det A>0}$ ${\displaystyle \det A=0}$

Поток, сохраняющий площадь

Когда , мы имеем , поэтому поток сохраняет площадь. В этом случае тип течения классифицируется по . ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$ ${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=I}$ ${\displaystyle \det A}$

• Если , то это вращение («нейтральная устойчивость») вокруг начала координат. ${\displaystyle \det A>0}$
• Если , то это сдвиговое течение. ${\displaystyle \det A=0}$
• Если , то начало координат является седловой точкой. ${\displaystyle \det A<0}$

Стабильность фиксированных точек

Самый простой вид орбиты — это неподвижная точка или равновесие. Если механическая система находится в состоянии устойчивого равновесия, то небольшой толчок приведет к локализованному движению, например к небольшим колебаниям , как в случае маятника . В системе с затуханием устойчивое состояние равновесия при этом асимптотически устойчиво. С другой стороны, для неустойчивого равновесия, такого как мяч, покоящийся на вершине холма, некоторые небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может сходиться, а может и не сходиться к исходному состоянию.

Существуют полезные тесты устойчивости для случая линейной системы. Устойчивость нелинейной системы часто можно вывести из устойчивости ее линеаризации .

Карты

Пусть f : R → R — непрерывно дифференцируемая функция с неподвижной точкой a , f ( a ) = a . Рассмотрим динамическую систему, полученную итерацией функции f :

${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$

Неподвижная точка a устойчива, если абсолютное значение производной f в точке a строго меньше 1, и неустойчива, если она строго больше 1. Это связано с тем, что вблизи точки a функция f имеет линейное приближение с наклоном ж' ( а ) :

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}-a&=f(x_{n})-a\\&\approx f(a)+f'(a)(x_{n}-a)-a\\&=a+f'(a)(x_{n}-a)-a\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$

это означает, что производная измеряет скорость, с которой последовательные итерации приближаются к фиксированной точке a или отклоняются от нее. Если производная в точке a равна точно 1 или -1, то для определения устойчивости требуется дополнительная информация.

Аналогичный критерий существует для непрерывно дифференцируемого отображения f : Rn → Rn с неподвижной точкой ^a , выраженного через его матрицу Якоби в точке a , Ja ₍ ^f ) . Если все собственные значения J являются действительными или комплексными числами с абсолютным значением строго меньше 1, то a является устойчивой неподвижной точкой; если хотя бы один из них имеет абсолютное значение строго больше 1, то а неустойчиво. Как и в случае n = 1, случай, когда наибольшее абсолютное значение равно 1, требует дальнейшего изучения — тест матрицы Якоби не дает результатов. Тот же критерий в более общем случае справедлив для диффеоморфизмов гладкого многообразия .

Линейные автономные системы

Устойчивость неподвижных точек системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка можно проанализировать с помощью собственных значений соответствующей матрицы.

Автономная система

${\displaystyle x'=Ax,}$

где x ( t ) ∈ Rn и A — матрица ^{размера} n × n с вещественными элементами, имеет постоянное решение

${\displaystyle x(t)=0.}$

(На другом языке начало координат 0 ∈ ^Rn является точкой равновесия соответствующей динамической системы.) Это решение асимптотически устойчиво при t → ∞ («в будущем») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений λ оператора A , Re ( λ ) < 0 . Аналогично, он асимптотически устойчив при t → −∞ («в прошлом») тогда и только тогда, когда для всех собственных значений λ оператора A Re ( λ ) > 0 . Если существует собственное значение λ оператора A такое , что Re( λ ) > 0 , то решение неустойчиво при t → ∞ .

Применение этого результата на практике для определения устойчивости начала координат линейной системы облегчается критерием устойчивости Рауса – Гурвица . Собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического многочлена . Многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами называется многочленом Гурвица , если действительные части всех корней строго отрицательны. Теорема Рауса – Гурвица предполагает характеризацию полиномов Гурвица с помощью алгоритма, который позволяет избежать вычисления корней.

Нелинейные автономные системы

Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы часто можно установить с помощью теоремы Хартмана–Гробмана .

Предположим, что ^v — C1 - векторное поле в Rn , обращающееся ^в нуль в точке p , v ( p )=0 . Тогда соответствующая автономная система

${\displaystyle x'=v(x)}$

имеет постоянное решение

${\displaystyle x(t)=p.}$

Пусть Jp ₍ v ) — матрица Якоби размера n × n векторного поля v в точке p . Если все собственные значения J имеют строго отрицательную действительную часть, то решение асимптотически устойчиво. Это условие можно проверить с помощью критерия Рауса–Гурвица .

Функция Ляпунова для общих динамических систем

Общий способ установления устойчивости по Ляпунову или асимптотической устойчивости динамической системы — с помощью функций Ляпунова .

Смотрите также

• Теория хаоса
• Ляпуновская устойчивость
• Гиперстабильность
• Линейная стабильность
• Орбитальная стабильность
• Критерий устойчивости
• Радиус устойчивости
• Структурная стабильность
• анализ устойчивости фон Неймана

Рекомендации

1. Математика Эгвальда - Линейная алгебра: системы линейных дифференциальных уравнений: анализ линейной устойчивости, по состоянию на 10 октября 2019 г.
2. "Узел - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 30 марта 2023 г.

• Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (ред.). «Стабильность». Схоларпедия .

Внешние ссылки

• Стабильные равновесия Михаэля Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .