Предел функции

Точка, к которой сходятся функции при анализе

Хотя функция не определена в нуле, по мере того, как x становится все ближе и ближе к нулю, она становится сколь угодно близкой к 1. Другими словами, предел при приближении x к нулю равен 1. ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}},}$

В математике предел функции — это фундаментальная концепция исчисления и анализа , касающаяся поведения этой функции вблизи определенного входного сигнала , который может находиться или не находиться в области определения функции.

Ниже приведены формальные определения, впервые разработанные в начале XIX века. Неформально, функция f назначает выход f ( x ) каждому входу x . Мы говорим, что функция имеет предел L на входе p , если f ( x ) становится всё ближе и ближе к L по мере того, как x приближается всё ближе и ближе к p . Более конкретно, выходное значение может быть сделано сколь угодно близким к L , если входные данные f взяты достаточно близкими к p . С другой стороны, если некоторые входные данные, очень близкие к p , преобразуются в выходные данные, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, то мы говорим, что предела не существует .

Понятие предела имеет множество применений в современном исчислении . В частности, во многих определениях непрерывности используется концепция предела: грубо говоря, функция является непрерывной, если все ее пределы совпадают со значениями функции. Понятие предела появляется и в определении производной : в исчислении одной переменной это предельное значение наклона секущих линий к графику функции.

История

Современная идея предела функции, хотя и неявно присутствовала в развитии исчисления 17 и 18 веков, восходит к Больцано , который в 1817 году представил основы техники эпсилон-дельта (см. (ε, δ)-определение предела ниже) для определения непрерывных функций. Однако при жизни его работы не были известны. ^[1]

В своей книге «Курс анализа» 1821 года Огюстен-Луи Коши обсуждал переменные величины, бесконечно малые и пределы и определял непрерывность, говоря, что бесконечно малое изменение x обязательно приводит к бесконечно малому изменению y , в то время как Грабинер утверждает, что он использовал строгий эпсилон. -определение дельты в доказательствах. ^[2] В 1861 году Вейерштрасс впервые представил эпсилон-дельта-определение предела в той форме, в которой оно обычно пишется сегодня. ^[3] Он также ввел обозначения и ^[4] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle \lim }$ ${\textstyle \textstyle \lim _{x\to x_{0}}\displaystyle .}$

Современное обозначение размещения стрелки ниже предельного символа принадлежит Харди , которое введено в его книге «Курс чистой математики» в 1908 году. ^[5]

Мотивация

Представьте себе человека, идущего по ландшафту, представленному графиком y = f ( x ) . Их горизонтальное положение определяется x , во многом аналогично положению, заданному на карте местности или в глобальной системе позиционирования . Их высота задается координатой y . Предположим, они идут к позиции x = p , и по мере приближения к этой точке они заметят, что их высота приближается к определенному значению L. Если бы их спросили о высоте, соответствующей x = p , они бы ответили: y = L.

Что же тогда значит, когда говорят, что их высота приближается к L ? Это означает, что их высота становится все ближе и ближе к L — за исключением возможной небольшой погрешности в точности. Например, предположим, что мы установили для нашего путешественника конкретную цель по точности: он должен находиться в пределах десяти метров от L . Они сообщают, что действительно могут оказаться в пределах десяти метров по вертикали от L , утверждая, что пока они находятся в пределах пятидесяти метров по горизонтали от p , их высота всегда находится в пределах десяти метров от L.

Затем цель точности меняется: смогут ли они попасть в пределах одного вертикального метра? Да, если предположить , что они могут двигаться в пределах пяти метров по горизонтали от p , их высота всегда будет оставаться в пределах одного метра от целевой высоты L. Суммируя вышеупомянутую концепцию, мы можем сказать, что высота путешественника приближается к L по мере того, как его горизонтальное положение приближается к p , то есть для каждой цели целевой точности, какой бы маленькой она ни была, существует некоторая окрестность p , где все (а не только некоторые) высоты соответствуют всем горизонтальным положениям, за исключением, возможно, самого горизонтального положения p , в этой окрестности достигают этой цели точности.

Первоначальное неформальное утверждение теперь можно объяснить:

Пределом функции f ( x ) при приближении x к p является число L со следующим свойством: при любом целевом расстоянии от L существует расстояние от p , в пределах которого значения f ( x ) остаются в пределах целевого расстояния.

Фактически, это явное утверждение весьма близко к формальному определению предела функции со значениями в топологическом пространстве .

Точнее сказать, что

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

То есть, f ( x ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо, сделав x достаточно близким, но не равным  p .

Следующие определения, известные как ( ε , δ ) -определения, являются общепринятыми определениями предела функции в различных контекстах.

Функции одной переменной

( ε , δ ) -определение предела

Для изображенных f , a и b мы можем гарантировать, что значение f ( x ) находится в пределах сколь угодно малого интервала ( b – ε, b + ε) , ограничивая x достаточно малым интервалом ( a – δ, a + δ). Следовательно, f ( x ) → b как x → a .

Предположим , что функция определена на действительной прямой , и существуют два действительных числа p и L. Можно было бы сказать, что предел f при приближении x к p равен L и записан ^[6] ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

или, альтернативно, скажем, f ( x ) стремится к L , поскольку x стремится к p , и записано:

$${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$

если выполняется следующее свойство: для каждого вещественного ε > 0 существует вещественное число δ > 0 такое, что для всех вещественных x 0 < | Икс - р | < δ подразумевает | ж ( Икс ) - L | < е . ^[6] Символически,

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Например, мы можем сказать

$${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$

ε > 0δ = ε /4x0 < | х - 2 | < δ| 4 х + 1 − 9 | < е

Более общее определение применяется к функциям, определенным на подмножествах реальной линии. Пусть S — подмножество Пусть — вещественная функция . Пусть p — точка такая, что существует некоторый открытый интервал ( a , b ) , содержащий p с . Тогда говорят, что предел f при приближении x к p равен L , если: ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$

Для каждого действительного ε > 0 существует вещественное число δ > 0 такое, что для всех x ∈ ( a , b ) , 0 < | Икс - р | < δ означает, что | ж ( Икс ) - L | < е .

Или, символически:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Например, мы можем сказать

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$

ε > 0δ = εx ≥ −30 < | х - 1 | < δ| ж ( Икс ) - 2 | < еS = [−3, ∞)

Здесь обратите внимание, что значение предела не зависит ни от того, определено ли f в точке p , ни от значения f ( p ) — если оно определено. Например, пусть ${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} ,f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$

ε > 0δ = ε /2x ≠ 10 < | х - 1 | < δ| ж ( Икс ) - 3 | < еf (1)

Фактически может существовать предел, в котором ^равен где int S — внутренность S , а iso Sc — изолированные точки дополнения S. В нашем предыдущем примере мы видим, в частности, что это определение предела допускает существование предела в 1, но не в 0 или 2. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} \quad p\in (a,b){\text{ and }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$ ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$ ${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$

Буквы ε и δ можно понимать как «ошибка» и «расстояние». Фактически, Коши использовал ε как сокращение для «ошибки» в некоторых своих работах ^[2] , хотя в своем определении непрерывности он использовал бесконечно малую величину, а не ε или δ (см. Курс анализа ). В этих терминах погрешность ( ε ) измерения предельного значения можно сделать настолько малой, насколько это необходимо, за счет уменьшения расстояния ( δ ) до предельной точки. Как обсуждается ниже, это определение также работает для функций в более общем контексте. Идея о том, что δ и ε представляют расстояния, помогает предположить эти обобщения. ${\displaystyle \alpha }$

Существование и односторонние пределы

Предел as отличается от предела as. Следовательно, предела при x → x ₀ не существует. ${\displaystyle x\to x_{0}^{+}}$ ${\displaystyle x\to x_{0}^{-}.}$

Альтернативно, x может приближаться к p сверху (справа) или снизу (слева), и в этом случае пределы можно записать как

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

или

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

Первые три функции имеют точки, для которых предел не существует, а функция

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$

не определен в , но его предел существует. ${\displaystyle x=0}$

соответственно. Если эти пределы существуют в точке p и там равны, то это можно назвать пределом f ( x ) в точке p . ^[7] Если односторонние пределы существуют в точке p , но неравны, то предела в точке p нет (т. е. предел в точке p не существует). Если какой-либо односторонний предел не существует в точке p , то и предел в точке p также не существует.

Формальное определение следующее. Предел f , когда x приближается к p сверху, равен L , если:

Для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < x − p < δ , мы имеем | ж ( Икс ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<x-p<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Предел f , когда x приближается к p снизу, равен L , если:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < p − x < δ , мы имеем | ж ( Икс ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<p-x<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Если предел не существует, то колебание f в точке p не равно нулю.

Более общее определение с использованием предельных точек и подмножеств.

Пределы также могут быть определены путем подхода к подмножествам предметной области.

В общем: ^[8] Пусть — вещественная функция, определенная на некотором. Пусть p — предельная точка некоторого — то есть, p — предел некоторой последовательности элементов T , отличных от p . Тогда мы говорим, что предел f , когда x приближается к p от значений в T , равен L , записанный ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\subset S}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$

Для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ T 0 < | Икс - р | < δ означает, что | ж ( Икс ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Обратите внимание: T может быть любым подмножеством S , областью определения f . И предел может зависеть от выбора T . Это обобщение включает в себя в качестве частных случаев пределы на интервале, а также левые пределы вещественных функций (например, если взять T в качестве открытого интервала вида (–∞, a ) ) и правые пределы (например, взяв T в качестве открытого интервала формы ( a , ∞) ). Он также расширяет понятие односторонних пределов на включенные конечные точки (полу)замкнутых интервалов, поэтому функция квадратного корня может иметь предел 0, когда x приближается к 0 сверху: ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$

ε > 0δ = εx ≥ 00 < | Икс - 0 | < δ| ж ( Икс ) - 0 | < е

Это определение позволяет определить предел в предельных точках области S , если выбрано подходящее подмножество T , имеющее ту же предельную точку.

Примечательно, что предыдущее двустороннее определение работает с подмножеством предельных точек S . ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$

Например, пусть предыдущее двустороннее определение будет работать , но не будет работать при 0 или 2, которые являются предельными точками S . ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$ ${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$

Удаленные и неудаленные лимиты

Определение предела, данное здесь, не зависит от того, как (или определяется ли) f в точке p . Бартл ^[9] называет это удаленным пределом , поскольку он исключает значение f в точке p . Соответствующий неудаленный предел действительно зависит от значения f в точке p , если p находится в области определения f . Пусть – вещественная функция. Неудаленный предел f , когда x приближается к p , равен L , если ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$

Для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ S | Икс - р | < δ подразумевает | ж ( Икс ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Определение то же самое, за исключением того, что окрестность | Икс - р | < δ теперь включает точку p , в отличие от удаленной окрестности 0 < | Икс - р | < δ . Это делает определение неудаляемого лимита менее общим. Одним из преимуществ работы с неудаляемыми пределами является то, что они позволяют сформулировать теорему о пределах композиции без каких-либо ограничений на функции (кроме существования их неудаляемых пределов). ^[10]

Бартл ^[9] отмечает, что, хотя под «пределом» некоторые авторы подразумевают неудаляемый лимит, удаленные лимиты являются наиболее популярными. ^[11]

Примеры

Отсутствие одностороннего предела(ов)

Функция без предела при существенном разрыве

Функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

x ₀ = 1x

Функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

функция Дирихлеx

Неравенство односторонних пределов

Функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}$$

xxxx = 0

Ограничения только в одной точке

Функции

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

x = 0

Пределы в счетном числе точек

Функция

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}}$$

xn ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,}$

Пределы, связанные с бесконечностью

Пределы на бесконечности

Предел этой функции на бесконечности существует

Пусть - функция, определенная на . Предел f при приближении x к бесконечности равен L , обозначаемый ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

Значит это:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такое, что всякий раз, когда + x > c , мы имеем | ж ( Икс ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Аналогично, предел f при приближении x к минус бесконечности равен L , обозначаемый

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

Значит это:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такой, что всякий раз, когда x < − c , мы имеем | ж ( Икс ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Например,

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$

ε > 0c = 3/ εxx > c| ж ( Икс ) - 4 | < е

Другой пример заключается в том, что

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$

ε > 0c = max{1, −ln( ε )}xx < − c| ж ( Икс ) - 0 | < е

Бесконечные пределы

Для функции, значения которой неограниченно растут, функция расходится и обычного предела не существует. Однако в этом случае можно ввести пределы с бесконечными значениями.

Пусть - функция, определенная на . Утверждение, что предел f при приближении x к p равен бесконечности , обозначается ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

Значит это:

Для каждого N > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < | Икс - р | < δ , мы имеем f ( x ) > N .

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

Утверждение , что предел f при приближении x к p равен минус бесконечности , обозначается

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

Значит это:

Для каждого N > 0 существует δ > 0 такое, что всякий раз, когда 0 < | Икс - р | < δ , мы имеем ж ( Икс ) < - N .

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

Например,

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$

N > 0x > 00 < x − 1 < δf ( x ) > N ${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$

Эти идеи можно использовать вместе для создания определений различных комбинаций, таких как

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$

${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

Например,

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$

N > 0δ = e ^{− N}x > 00 < x − 0 < δf ( x ) < − N

Пределы, включающие бесконечность, связаны с понятием асимптот .

Эти понятия предела пытаются дать интерпретацию пределов на бесконечности в метрическом пространстве. Фактически, они согласуются с определением предела в топологическом пространстве, если

• окрестность −∞ определяется как содержащая интервал [−∞, c ) для некоторого ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• окрестность ∞ определяется как содержащая интервал ( c , ∞] где и ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• окрестность определяется обычным образом в метрическом пространстве ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

В этом случае – топологическое пространство и любая функция вида с подлежит топологическому определению предела. Обратите внимание, что с помощью этого топологического определения легко определить бесконечные пределы в конечных точках, которые не были определены выше в метрическом смысле. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$

Альтернативные обозначения

Многие авторы ^[12] разрешают использовать проективно расширенную действительную линию как способ включения бесконечных значений, а также расширенную действительную линию . В этих обозначениях расширенная действительная линия задается как, а проективно расширенная действительная линия - это где окрестность ∞ представляет собой множество вида. Преимущество состоит в том, что для покрытия достаточно трех определений пределов (левого, правого и центрального). все дела. Как указано выше, для полностью строгого учета нам потребуется рассмотреть 15 отдельных случаев для каждой комбинации бесконечностей (пять направлений: −∞, левое, центральное, правое и +∞; три границы: −∞, конечная или + ∞). Есть и примечательные подводные камни. Например, при работе с расширенной вещественной линией не имеет центрального предела (что нормально): ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ ${\displaystyle x^{-1}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

Напротив, при работе с проективной действительной линией бесконечности (как и 0) не имеют знака, поэтому центральный предел действительно существует в этом контексте:

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

На самом деле существует множество конфликтующих между собой формальных систем. В некоторых приложениях численного дифференцирования и интегрирования удобно иметь, например, нули со знаком . Простая причина заключается в обратном : ее удобно считать истиной. Такие нули можно рассматривать как приближение к бесконечно малым . ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$

Пределы на бесконечности для рациональных функций

Горизонтальная асимптота относительно y = 4

Существует три основных правила оценки пределов на бесконечности для рациональной функции (где p и q — полиномы): ${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$

• Если степень p больше степени q , то предел равен положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от знаков старших коэффициентов;
• Если степени p и q равны, пределом является старший коэффициент p , деленный на старший коэффициент q ;
• Если степень p меньше степени q , предел равен 0.

Если предел на бесконечности существует, он представляет собой горизонтальную асимптоту при y = L. Полиномы не имеют горизонтальных асимптот; однако такие асимптоты могут возникать и с рациональными функциями.

Функции более чем одной переменной

Обычные лимиты

Отметив, что | Икс - р | представляет расстояние , определение предела может быть распространено на функции более чем одной переменной. В случае функции, определенной на, мы определили предел следующим образом: предел f при приближении ( x , y ) к ( p , q ) равен L , записанный ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S и y в T всякий раз, когда мы имеем | ж ( Икс , y ) - L | < ε , ^[13] ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$

или формально:

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

Вот евклидово расстояние между ( x , y ) и ( p , q ) . (Фактически это можно заменить любой нормой | | ( x , y ) − ( p , q ) | | и распространить на любое количество переменных.) ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

Например, мы можем сказать

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$

ε > 0x ≠ 0y ≠ 0| ж ( Икс , y ) - 0 | < е ${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$ ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$

Как и в случае с одной переменной, значение f в ( p , q ) не имеет значения в этом определении предела.

Для существования такого многовариантного предела это определение требует, чтобы значение f приближалось к L вдоль каждого возможного пути, приближающегося к ( p , q ) . ^[14] В приведенном выше примере функция

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$

полярные координаты

$${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$

$${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$

θ = θ ( r )rf( p , q )cos θсэндвич-теореме

Напротив, функция

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$

(0, 0)( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0)

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$

( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0)

$${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

Поскольку эти два значения не совпадают, f не стремится к одному значению, когда ( x , y ) приближается к (0, 0) .

Несколько ограничений

Хотя он используется реже, существует еще один тип предела для функции с несколькими переменными, известный как множественный предел . Для функции с двумя переменными это двойной предел . ^[15] Пусть будет определен, скажем, двойной предел f , когда x приближается к p, а y приближается к q, равен L , записанный ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S и y в T всякий раз, когда 0 < | Икс - р | < δ и 0 < | у - q | < δ , мы имеем | ж ( Икс , y ) - L | < е . ^[15]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Для существования такого двойного предела это определение требует, чтобы значение f приближалось к L вдоль каждого возможного пути, приближающегося к ( p , q ) , исключая две линии x = p и y = q . В результате кратный предел является более слабым понятием, чем обычный предел: если обычный предел существует и равен L , то кратный предел существует и также равен L. Обратное неверно: существование множественных пределов не означает существования обычного предела. Рассмотрим пример

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$

Если область определения f ограничена, то два определения пределов совпадают. ^[15] ${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$

Множественные пределы на бесконечности

Концепция множественного предела может распространяться на предел на бесконечности, аналогично функции с одной переменной. Ибо мы говорим, что двойной предел f при стремлении x и y к бесконечности равен L , записанный ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такой, что для всех x в S и y в T , когда x > c и y > c , мы имеем | ж ( Икс , y ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Мы говорим, что двойной предел f при приближении x и y к минус бесконечности равен L , записанный

$${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

если выполняется следующее условие:

Для каждого ε > 0 существует c > 0 такой, что x в S и y в T , всякий раз, когда x < − c и y < − c , мы имеем | ж ( Икс , y ) - L | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

Поточечные пределы и равномерные пределы

Пусть вместо того, чтобы брать предел как ( x , y ) → ( p , q ) , мы можем рассмотреть возможность ограничения только одной переменной, скажем, x → p , чтобы получить функцию одной переменной от y , а именно . Фактически, это Процесс ограничения может осуществляться двумя различными способами. Первый из них называется поточечным пределом . Мы говорим, что поточечный предел f при приближении x к p равен g , обозначаемый ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

В качестве альтернативы мы можем сказать, что f стремится к g поточечно, когда x приближается к p , что обозначается

$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$

$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Этот предел существует, если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 и каждого фиксированного y в T существует δ ( ε , y ) > 0 такое, что для всех x в S , всякий раз, когда 0 < | Икс - р | < δ , мы имеем | ж ( Икс , y ) - грамм ( y ) | < е . ^[16]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Здесь δ = δ ( ε , y ) является функцией как ε, так и y . Каждый δ выбирается для конкретной точки y . Следовательно, мы говорим, что предел поточечен по y . Например,

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$

yyyπ /2

Это приводит к другому определению предела, а именно к равномерному пределу . Мы говорим, что равномерный предел f на T при приближении x к p равен g , обозначаемый

$${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

В качестве альтернативы мы можем сказать, что f стремится к g равномерно на T , когда x приближается к p , что обозначается

$${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$

$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

Этот предел существует, если выполняется следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ ( ε ) > 0 такое, что для всех x в S и y в T , всякий раз, когда 0 < | Икс - р | < δ , мы имеем | ж ( Икс , y ) - грамм ( y ) | < е . ^[16]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Здесь δ = δ ( ε ) является функцией только ε , но не y . Другими словами, δ равномерно применимо ко всем y в T . Следовательно, мы говорим, что предел равномерен по y . Например,

$${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$

cos y ограничен[−1, 1]yсэндвич-теорему

Повторяющиеся пределы

Предположим, мы можем рассмотреть возможность достижения предела только одной переменной, скажем, x → p , чтобы получить функцию одной переменной от y , а именно , а затем взять предел по другой переменной, а именно y → q , чтобы получить число L. Символически, ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

Этот предел известен как повторный предел функции многих переменных. ^[17] Порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$

Достаточное условие равенства дается теоремой Мура-Осгуда , которая требует, чтобы предел был равномерным на T. ^[18] ${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$

Функции в метрических пространствах

Предположим, что M и N — подмножества метрических пространств A и B соответственно, и f  : M → N определено между M и N , причем x ∈ M , p — предельная точка M и L ∈ N. Говорят, что предел f при приближении x к p равен L , и пишут

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$$

если выполняется следующее свойство:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех точек x ∈ M из 0 < d _A ( x , p ) < δ следует d _B ( f ( x ), L ) < ε . ^[19]

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).}$$

Опять же, обратите внимание, что p не обязательно должен находиться в области определения f , а L не обязательно должен находиться в диапазоне f , и даже если f ( p ) определено , оно не обязательно должно быть равно L.

Евклидова метрика

Предел в евклидовом пространстве является прямым обобщением пределов векторных функций . Например, мы можем рассмотреть такую ​​функцию, что ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$

евклидовой

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S и y в T следует [ ^20] ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$ ${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

В этом примере рассматриваемая функция представляет собой конечномерную векторную функцию. В этом случае предельная теорема для вектор-функции гласит, что если предел каждой компоненты существует, то предел вектор-функции равен вектору, каждый компонент которого достигает предела: ^[20]

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

Манхэттенская метрика

Можно также рассмотреть пространства, отличные от евклидова. Примером может служить пространство Манхэттена. Рассмотрим такое, что ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$

метрике

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S 0 < | Икс - р | < δ подразумевает | ж ₁ - L ₁ | + | ж ₂ - L ₂ | < е .

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

Поскольку это тоже конечномерная вектор-функция, применима и сформулированная выше предельная теорема. ^[21]

Единая метрика

Наконец, мы обсудим предел в функциональном пространстве , которое имеет бесконечные измерения. Рассмотрим функцию f ( x , y ) в функциональном пространстве. Мы хотим выяснить, когда x приближается к p , как f ( x , y ) будет стремиться к другой функции g ( y ) , которая находится в функциональном пространстве. «Близость» в этом функциональном пространстве может быть измерена равномерная метрика . ^[22] Тогда мы будем говорить, что равномерный предел f на T при приближении x к p равен g и писать ${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

если имеет место следующее:

Для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x в S 0 < | Икс - р | < δ подразумевает ${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

Фактически можно видеть, что это определение эквивалентно определению равномерного предела функции многих переменных, введенному в предыдущем разделе.

Функции в топологических пространствах

Предположим, что X и Y — топологические пространства , а Y — хаусдорфово пространство . Пусть p — предельная точка Ω ⊆ X и L ∈ Y. Для функции f  : Ω → Y говорят, что предел f при приближении x к p равен L , записанный

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

если выполняется следующее свойство:

Для каждой открытой окрестности V точки L существует открытая окрестность U точки p такая, что f ( U ∩ Ω − { p }) ⊆ V .

Эту последнюю часть определения можно также сформулировать так: «существует открытая проколотая окрестность U точки p такая, что f ( U ∩ Ω) ⊆ V ».

Область определения f не обязательно должна содержать p . Если да, то значение f в точке p не имеет отношения к определению предела. В частности, если областью определения f является X − { p } (или все из X ), то предел f при x → p существует и равен L , если для всех подмножеств Ω из X с предельной точкой p предел ограничения f на Ω существует и равен L . Иногда этот критерий используется для установления отсутствия двустороннего предела функции, показывая, что односторонние пределы либо не существуют, либо не согласуются. Такой взгляд является фундаментальным в области общей топологии , где пределы и непрерывность в точке определяются в терминах специальных семейств подмножеств, называемых фильтрами , или обобщенных последовательностей, известных как сети . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Альтернативно, требование, чтобы Y было хаусдорфовым пространством, можно смягчить до предположения, что Y — общее топологическое пространство, но тогда предел функции может быть неединственным. В частности, уже можно говорить не о пределе функции в точке, а о пределе или множестве пределов в точке.

Функция непрерывна в предельной точке p и в своей области определения тогда и только тогда, когда f ( p ) является ( или, в общем случае, a ) пределом f ( x ) , когда x стремится к p .

Существует еще один тип предела функции, а именно последовательный предел . Пусть f  : X → Y — отображение топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y , p ∈ X — предельная точка X и L ∈ Y. Последовательный предел f при стремлении x к p равен L , если

Для каждой последовательности ( x _n ) из X − { p } , которая сходится к p , последовательность f ( x _n ) сходится к L .

Если L является пределом (в указанном выше смысле) f при приближении x к p , то это также последовательный предел, однако в общем случае обратное не обязательно. Если, кроме того , X метризуемо , то L является последовательным пределом f при приближении x к p тогда и только тогда, когда это предел (в указанном выше смысле) f при приближении x к p .

Другие характеристики

С точки зрения последовательностей

Для функций на реальной прямой один из способов определить предел функции — это предел последовательностей. (Это определение обычно приписывают Эдуарду Гейне .) В такой обстановке:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

x _nx _nanaf ( x _n )LВ 1916 году Серпинскийвыбораx _n к aметод эпсилон, дельта

Подобно определению Вейерштрасса, более общее определение Гейне применимо к функциям, определенным на подмножествах вещественной прямой. Пусть f — вещественная функция с областью определения Dm ( f ) . Пусть a — предел последовательности элементов из Dm ( f ) \ { a }. Тогда предел (в этом смысле) f равен L , когда x приближается к p , если для каждой последовательности x _n ∈ Dm ( f ) \ { a } ( так что для всех n x _n не равен a ), которая сходится к a , последовательность f ( x _n ) сходится к L . Это то же самое, что определение секвенциального предела в предыдущем разделе, полученное при рассмотрении подмножества Dm ( f ) как метрического пространства с индуцированной метрикой. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

В нестандартном исчислении

В нестандартном исчислении предел функции определяется следующим образом:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

x − aчислаf*fКейслеропределение предела^[23][24]микронепрерывности^[25] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$ ${\displaystyle f^{*}(x)-L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$

В плане близости

На международном математическом конгрессе 1908 года Ф. Рисс представил альтернативный способ определения пределов и непрерывности понятия, названного «близостью». ^[26] Точка x считается находящейся вблизи множества, если для каждого r > 0 существует точка a ∈ A такая, что | Икс - а | < р . В этой обстановке ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

Lf ( A ),aA. f ( A ) ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{f(x)|x\in A\}.}$

Отношение к преемственности

Понятие предела функции очень тесно связано с понятием непрерывности. Функция f называется непрерывной в точке c , если она определена в точке c и ее значение в точке c равно пределу функции f при приближении x к c :

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$

cпредельной точкойf

Характеристики

Если функция f вещественнозначна, то предел f в точке p равен L тогда и только тогда, когда и правый предел, и левый предел f в точке p существуют и равны L . ^[27]

Функция f непрерывна в точке p тогда и только тогда, когда предел f ( x ) при приближении x к p существует и равен f ( p ) . Если f  : M → N — функция между метрическими пространствами M и N , то это эквивалентно тому, что f преобразует каждую последовательность из M , которая сходится к p , в последовательность из N , которая сходится к f ( p ) .

Если N — нормированное векторное пространство , то предельная операция линейна в следующем смысле: если предел f ( x ) , когда x приближается к p , равен L , а предел g ( x ) , когда x приближается к p, равен P , то предел f ( x ) + g ( x ) при приближении x к p равен L + P . Если a является скаляром из базового поля , то пределом af ( x ) при приближении x к p является aL .

Если f и g — вещественные (или комплекснозначные) функции, то переход к пределу операции над f ( x ) и g ( x ) (например, f + g , f − g , f × g , f / g , f ^g ) при определенных условиях совместимо с действием пределов f ( x ) и g ( x ) . Этот факт часто называют алгебраической предельной теоремой . Основным условием применения следующих правил является наличие пределов в правых частях уравнений (другими словами, эти пределы представляют собой конечные значения, включая 0). Кроме того, тождество деления требует, чтобы знаменатель в правой части был ненулевым (деление на 0 не определено), а тождество возведения в степень требует, чтобы основание было положительным или нулевым, а показатель степени положителен (конечный ).

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}}$$

Эти правила также действительны для односторонних пределов, в том числе когда p равно ∞ или −∞. В каждом приведенном выше правиле, когда один из пределов справа равен ∞ или −∞, предел слева иногда все еще может определяться следующими правилами.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}$$

(см. также Расширенная строка действительных чисел ).

В других случаях предел слева еще может существовать, хотя правая часть, называемая неопределенной формой , не позволяет определить результат. Это зависит от функций f и g . К неопределенным формам относятся:

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}$$

См. далее правило Лопиталя ниже и неопределенную форму .

Пределы композиций функций

В общем, из знания этого не следует , что Однако это «цепное правило» действительно выполняется, если выполняется одно из следующих дополнительных условий: ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c.}$

• f ( b ) = c (то есть f непрерывен в точке b ), или
• g не принимает значение b вблизи a (то есть существует δ > 0 такое, что если 0 < | x − a | < δ , то | g ( x ) − b | > 0 ).

В качестве примера этого явления рассмотрим следующую функцию, которая нарушает оба дополнительных ограничения:

$${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

Поскольку значение в точке f (0) является устранимым разрывом ,

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$$

аf ( f ( x ))

$${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$$

а

Пределы особого интереса

Рациональные функции

Для n неотрицательное целое число и константы и ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$$

Это можно доказать, разделив числитель и знаменатель на x ⁿ . Если числитель представляет собой многочлен более высокой степени, предела не существует. Если знаменатель имеет более высокую степень, предел равен 0.

Тригонометрические функции

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}}$$

Экспоненциальные функции

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}}$$

Логарифмические функции

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}$$

Правило Лопиталя

Это правило использует производные для нахождения пределов неопределенных форм 0/0 или ±∞/∞ и применяется только к таким случаям. В эту форму можно манипулировать и другими неопределенными формами. Учитывая две функции f ( x ) и g ( x ) , определенные на открытом интервале I , содержащем желаемую предельную точку c , тогда если:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ или и ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle f}$и дифференцируемы по и ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I\setminus \{c\},}$
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$для всех и ${\displaystyle x\in I\setminus \{c\},}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}}$ существует,

затем:

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$$

Обычно первое условие является наиболее важным.

Например: ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

Суммы и интегралы

Указание бесконечной границы суммирования или интеграла является общепринятым сокращением для указания предела.

Короткий способ записи предела : Важным примером пределов таких сумм являются ряды . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$ ${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i).}$

Короткий способ записать предел : ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.}$

Короткий способ записать предел : ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.}$

Смотрите также

• Обозначение Big O  — описывает предельное поведение функции.
• Правило Лопиталя  - математическое правило для оценки некоторых пределов.
• Список лимитов
• Предел последовательности  - значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
• Предельная точка  - точка кластера в топологическом пространстве.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Ограничить верхний и нижний предел  – границы последовательностиPages displaying short descriptions of redirect targets
• Сеть (математика)  - обобщение последовательности точек.
• Нестандартное исчисление  - современное применение бесконечно малыхPages displaying short descriptions of redirect targets
• Теорема о сжатии  - метод поиска пределов в исчислении
• Последующий предел  - предел некоторой подпоследовательности.

Примечания

1. Фельшер, Уолтер (2000), «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта», American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307/2695743, JSTOR  2695743
2. Грабинер, Джудит В. (1983), «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления», American Mathematical Monthly , 90 (3): 185–194, doi : 10.2307/2975545, JSTOR  2975545, собрано в книге «Кто дал вам эпсилон?», ISBN 978-0-88385-569-0 , стр. 5–13. Также доступно по адресу: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf. 
3. Синкевич, Г.И. (2017), «Historia epsylontyki», Antiquitates Mathematicae , Корнельский университет, 10 , arXiv : 1502.06942 , doi : 10.14708/am.v10i0.805
4. Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: Введение (Третье изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill, стр. 558–559, ISBN 978-0-07-009465-9
5. Миллер, Джефф (1 декабря 2004 г.), «Самое раннее использование символов исчисления» , получено 18 декабря 2008 г.
6. Swokowski, Earl W. (1979), Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Тейлор и Фрэнсис, стр. 58
7. Своковски (1979), с. 72–73.
8. (Бартл и Шерберт, 2000)
9. Бартл (1967)
10. Хаббард (2015)
11. Например, Апостол (1974), Курант (1924), Харди (1921), Рудин (1964), Уиттакер и Уотсон (1904) считают, что «лимит» означает удаленный лимит.
12. Например, предел в математической энциклопедии.
13. Стюарт, Джеймс (2020), «Глава 14.2 Пределы и непрерывность», Многомерное исчисление (9-е изд.), Стр. 952, ISBN 9780357042922
14. Стюарт (2020), с. 953.
15. Zakon, Элиас (2011), «Глава 4. Функциональные пределы и непрерывность», Математический анализ, Том I , стр. 219–220, ISBN 9781617386473
16. Закон (2011), с. 220.
17. Закон (2011), с. 223.
18. Тейлор, Ангус Э. (2012), Общая теория функций и интегрирование , серия Dover Books on Mathematics, стр. 139–140, ISBN 9780486152141
19. Рудин, В. (1986), Принципы математического анализа, McGraw - Hill Book C, стр. 84, ОСЛК  962920758
20. Хартман, Грегори (2019), Исчисление векторнозначных функций II , получено 31 октября 2022 г.
21. Закон (2011), с. 172.
22. Рудин, В. (1986), Принципы математического анализа, McGraw - Hill Book C, стр. 150–151, OCLC  962920758
23. Кейслер, Х. Джером (2008), «Кванторы в пределах» (PDF) , Анджей Мостовский и фундаментальные исследования , IOS, Амстердам, стр. 151–170
24. Хрбачек, К. (2007), «Стратифицированный анализ?», Ван Ден Берг, И.; Невес, В. (ред.), Сила нестандартного анализа , Springer.
25. Баащик, Петр; Кац, Михаил ; Шерри, Дэвид (2012), «Десять заблуждений из истории анализа и их разоблачение», Foundations of Science , 18 (1): 43–74, arXiv : 1202.4153 , doi : 10.1007/s10699-012-9285-8, S2CID  119134151
26. Ф. Рис (7 апреля 1908 г.), "Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre (Концепция непрерывности и абстрактная теория множеств)", Международный конгресс математиков 1908 г.
27. Своковски (1979), с. 73.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1974). Математический анализ (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-00288-4.
• Бартл, Роберт (1967). Элементы настоящего анализа . Уайли.
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ . Уайли.
• Курант, Ришар (1924). Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (на немецком языке). Спрингер.
• Харди, GH (1921). Курс чистой математики . Издательство Кембриджского университета.
• Хаббард, Джон Х. (2015). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход (5-е изд.). Матричные издания.
• Пейдж, Уоррен; Херш, Рубен; Селден, Энни; и др., ред. (2002). «Актуальные новости СМИ». Математический колледж . 33 (2): 147–154. JSTOR  2687124..
• Рудин, Вальтер (1964). Принципы математического анализа . МакГроу-Хилл.
• Сазерленд, Вашингтон (1975). Введение в метрические и топологические пространства . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853161-3.
• Уиттакер ; Уотсон (1904). Курс современного анализа . Издательство Кембриджского университета.

Внешние ссылки

• MacTutor История Вейерштрасса.
• MacTutor История Больцано
• Визуальное исчисление Лоуренса С. Хаша, Университет Теннесси (2001).