В полуримановой геометрии разложение Бела , взятое относительно определенной времениподобной конгруэнции , представляет собой способ разложения тензора Римана псевдориманова многообразия на тензоры более низкого порядка со свойствами, аналогичными электрическому полю и магнитному полю . Такое разложение было частично описано Альфонсом Матте в 1953 году [1] и Луисом Белем в 1958 году. [2]
Это разложение особенно важно в общей теории относительности . [ нужна цитата ] Это случай четырехмерных лоренцевых многообразий , для которых есть только три части с простыми свойствами и индивидуальными физическими интерпретациями.
В четырех измерениях разложение Бела тензора Римана относительно времениподобного единичного векторного поля , не обязательно геодезического или ортогонального гиперповерхности, состоит из трех частей:
Поскольку все они трансверсальны (т.е. проецируются на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные нашему времениподобному полю единичных векторов), их можно представить как линейные операторы на трехмерных векторах или как действительные матрицы размером три на три. Они соответственно симметричны, бесследны и симметричны (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E , B , L соответственно, главные инварианты тензора Римана получаются следующим образом:
![{\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdea711a1213750660aa49c74e9f31036a3710a)
![{\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0a5235e74660f18c53f2fc4f71495779182aa3)
![{\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ba7ebe19c8c75fca91ebc9f59841af69506aec)
