Функциональное пространство

Набор функций между двумя фиксированными наборами

В математике функциональное пространство — это набор функций между двумя фиксированными наборами. Часто домен и/или кодомен будет иметь дополнительную структуру , наследуемую функциональным пространством. Например, набор функций из любого множества X в векторное пространство имеет естественную структуру векторного пространства, заданную поточечным сложением и скалярным умножением. В других сценариях функциональное пространство может наследовать топологическую или метрическую структуру, отсюда и название функционального пространства .

В линейной алгебре

Пусть V — векторное пространство над полем F и пусть X — любое множество. Функциям X → F можно придать структуру векторного пространства над F , где операции определяются поточечно, то есть для любых f , g  : X → F , любого x в X и любого c в F определите

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$$

XподмножествоподпространствоXFлинейных отображений XVFHomXVV пространстволинейных функционалов VF

Примеры

Функциональные пространства появляются в различных областях математики:

• В теории множеств набор функций от X до Y может обозначаться { X → Y } или Y ^X.
  • В частном случае набор степеней набора X может быть отождествлен с набором всех функций от X до {0, 1}, обозначаемым 2 ^X .
• Множество биекций из X в Y обозначается . Факториальная запись X ! может использоваться для перестановок одного набора X. ${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$
• В функциональном анализе то же самое наблюдается для непрерывных линейных преобразований, включая топологии векторных пространств, упомянутых выше, и многие из основных примеров являются функциональными пространствами, несущими топологию ; наиболее известные примеры включают гильбертово пространство и банахово пространство .
• В функциональном анализе совокупность всех функций от натуральных чисел до некоторого множества X называется пространством последовательностей . Он состоит из множества всех возможных последовательностей элементов X .
• В топологии можно попытаться разместить топологию в пространстве непрерывных функций из топологического пространства X в другое Y , причем полезность зависит от природы пространств. Обычно используемым примером является компактно-открытая топология , например пространство петель . Также доступна топология произведения в пространстве теоретико-множественных функций (т.е. не обязательно непрерывных функций) Y ^X . В этом контексте эту топологию также называют топологией поточечной сходимости .
• В алгебраической топологии изучение гомотопической теории по сути представляет собой изучение дискретных инвариантов функциональных пространств;
• В теории случайных процессов основная техническая проблема состоит в том, как построить вероятностную меру на функциональном пространстве путей процесса (функций времени);
• В теории категорий функциональное пространство называется экспоненциальным объектом или объектом карты . В каком-то смысле он появляется как канонический бифунктор представления ; но как (одиночный) функтор типа [ X , -] он появляется как сопряженный функтор функтору типа (-× X ) на объектах;
• В функциональном программировании и лямбда - исчислении типы функций используются для выражения идеи функций высшего порядка .
• В теории предметной области основная идея состоит в том, чтобы найти конструкции из частичных порядков , которые могут моделировать лямбда-исчисление, путем создания декартовой замкнутой категории с хорошим поведением .
• В теории представлений конечных групп по двум конечномерным представлениям V и W группы G можно сформировать представление G над векторным пространством линейных отображений Hom( V , W ), называемое представлением Hom . ^[1]

Функциональный анализ

Функциональный анализ организован вокруг адекватных методов, позволяющих сделать функциональные пространства как топологические векторные пространства доступными для идей, которые применимы к нормированным пространствам конечной размерности. Здесь мы используем реальную линию в качестве примера области, но пространства ниже существуют в подходящих открытых подмножествах. ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ непрерывные функции , наделенные топологией равномерной нормы
• ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$непрерывные функции с компактной поддержкой
• ${\displaystyle B(\mathbb {R} )}$ ограниченные функции
• ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$непрерывные функции, исчезающие на бесконечности
• ${\displaystyle C^{r}(\mathbb {R} )}$непрерывные функции, имеющие непрерывные первые r производные.
• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ гладкие функции
• ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ плавные функции с компактной поддержкой
• ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbb {R} )}$ действительные аналитические функции
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, при , – пространство L p измеримых функций, p -норма которых конечна ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$, пространство Шварца быстро убывающих гладких функций и его непрерывные двойственные умеренные распределения ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle D(\mathbb {R} )}$компактная поддержка в предельной топологии
• ${\displaystyle W^{k,p}}$ Пространство Соболева функций, слабые производные которых до порядка k лежат в ${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$голоморфные функции
• линейные функции
• кусочно-линейные функции
• непрерывные функции, компактная открытая топология
• все функции, пространство поточечной сходимости
• Харди космос
• Пространство Гёльдера
• Функции Кадлага , также известные как пространство Скорохода .
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )}$, пространство всех липшицевых функций, обращающихся в нуль. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Норма

Если y является элементом функционального пространства всех непрерывных функций , которые определены на замкнутом интервале [ a , b ] , норма , определенная на , является максимальным абсолютным значением y ( x ) для a ≤ x ≤ b , [ ^2] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$

$${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

называется единой нормой или супремум-нормой («суп-нормой»).

Библиография

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1967). Элементы теории функций и функционального анализа. Публикации Courier Dover.
• Штейн, Элиас; Шакарчи, Р. (2011). Функциональный анализ: введение в дополнительные темы анализа. Издательство Принстонского университета.

Смотрите также

• Список математических функций
• Алгебра Клиффорда
• Тензорное поле
• Спектральная теория
• Функциональный определитель

Рекомендации

1. Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN 9780387974958.
2. Гельфанд, ИМ ; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полное издание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN 978-0486414485.