Функциональное пространство

Набор функций между двумя фиксированными наборами

В математике функциональное пространство — это набор функций между двумя фиксированными множествами. Часто домен и/или кодомен будут иметь дополнительную структуру , которая наследуется функциональным пространством. Например, набор функций из любого множества X в векторное пространство имеет естественную структуру векторного пространства , заданную поточечным сложением и скалярным умножением. В других сценариях функциональное пространство может наследовать топологическую или метрическую структуру, отсюда и название функциональное пространство .

В линейной алгебре

Пусть F — поле , а X — любое множество. Функциям X → F можно задать структуру векторного пространства над F , где операции определены поточечно, то есть для любых f , g  : X → F , любого x из X и любого c из F , определить Когда область X имеет дополнительную структуру, вместо этого можно рассмотреть подмножество (или подпространство ) всех таких функций, которые соблюдают эту структуру. Например, если V и также само X являются векторными пространствами над F , множество линейных отображений X → V образуют векторное пространство над F с поточечными операциями (часто обозначаемыми Hom ( X , V )). Одним из таких пространств является двойственное пространство X : множество линейных функционалов X → F со сложением и скалярным умножением , определенными поточечно. $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$$

Кардинальную размерность функционального пространства без дополнительной структуры можно найти с помощью теоремы Эрдёша–Капланского .

Примеры

Функциональные пространства встречаются в различных областях математики:

• В теории множеств множество функций от X до Y может быть обозначено как { X → Y } или Y ^X.
  • В качестве особого случая множество мощности множества X можно отождествить с множеством всех функций от X до {0, 1}, обозначаемым 2 ^X .
• Множество биекций из X в Y обозначается . Факториальная нотация X ! может использоваться для перестановок одного множества X . ${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$
• В функциональном анализе то же самое наблюдается для непрерывных линейных преобразований, включая топологии на векторных пространствах, указанных выше, и многие из основных примеров являются функциональными пространствами, несущими топологию ; наиболее известные примеры включают гильбертовы пространства и банаховы пространства .
• В функциональном анализе множество всех функций от натуральных чисел до некоторого множества X называется пространством последовательностей . Оно состоит из множества всех возможных последовательностей элементов X.
• В топологии можно попытаться наложить топологию на пространство непрерывных функций из топологического пространства X на другое Y , с полезностью, зависящей от природы пространств. Обычно используемым примером является компактно-открытая топология , например, пространство петель . Также доступна топология произведения на пространстве теоретико-множественных функций (т.е. не обязательно непрерывных функций) Y ^X . В этом контексте эта топология также называется топологией поточечной сходимости .
• В алгебраической топологии изучение теории гомотопий по сути является изучением дискретных инвариантов функциональных пространств;
• В теории случайных процессов основная техническая проблема состоит в том, как построить вероятностную меру на функциональном пространстве траекторий процесса (функций времени);
• В теории категорий функциональное пространство называется экспоненциальным объектом или объектом отображения . Он появляется в одном случае как канонический бифунктор представления ; но как (отдельный) функтор типа , он появляется как сопряженный функтор к функтору типа на объектах; ${\displaystyle [X,-]}$ ${\displaystyle -\times X}$
• В функциональном программировании и лямбда-исчислении типы функций используются для выражения идеи функций высшего порядка .
• В теории доменов основная идея состоит в том, чтобы найти конструкции из частичных порядков , которые могут моделировать лямбда-исчисление, путем создания хорошо себя ведущей декартовой замкнутой категории .
• В теории представлений конечных групп , если даны два конечномерных представления V и W группы G , можно сформировать представление G над векторным пространством линейных отображений Hom( V , W ), называемое представлением Hom . ^[1]

Функциональный анализ

Функциональный анализ организован вокруг адекватных методов, чтобы привести функциональные пространства как топологические векторные пространства в пределах досягаемости идей, которые будут применяться к нормированным пространствам конечной размерности. Здесь мы используем действительную линию в качестве примера области, но пространства ниже существуют на подходящих открытых подмножествах ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ непрерывные функции, наделенные топологией равномерной нормы
• ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$непрерывные функции с компактной поддержкой
• ${\displaystyle B(\mathbb {R} )}$ ограниченные функции
• ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$непрерывные функции, которые исчезают на бесконечности
• ${\displaystyle C^{r}(\mathbb {R} )}$непрерывные функции, имеющие непрерывные первые r производные.
• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ гладкие функции
• ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ плавные функции с компактной поддержкой
• ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbb {R} )}$ реальные аналитические функции
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, для , есть пространство L p измеримых функций , p -норма которых конечна ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$, пространство Шварца быстро убывающих гладких функций и его непрерывные двойственные, умеренные распределения ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle D(\mathbb {R} )}$компактная поддержка в предельной топологии
• ${\displaystyle W^{k,p}}$ Пространство Соболева функций, слабые производные которых до порядка k лежат в ${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$голоморфные функции
• линейные функции
• кусочно-линейные функции
• непрерывные функции, компактная открытая топология
• все функции, пространство поточечной сходимости
• Пространство Харди
• пространство Гёльдера
• Функции Кадлага , также известные как пространство Скорохода
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )}$, пространство всех липшицевых функций на , которые обращаются в нуль в нуле. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Норма

Если y является элементом функционального пространства всех непрерывных функций , которые определены на замкнутом интервале [ a , b ] , то норма, определенная на , является максимальным абсолютным значением y ( x ) для a ≤ x ≤ b , [ ^2] ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ $${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

называется равномерной нормой или супремум-нормой («sup norm»).

Библиография

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. (1967). Элементы теории функций и функционального анализа. Courier Dover Publications.
• Стайн, Элиас; Шакарчи, Р. (2011). Функциональный анализ: введение в дальнейшие темы анализа. Princeton University Press.

Смотрите также

• Список математических функций
• Алгебра Клиффорда
• Тензорное поле
• Спектральная теория
• Функциональный определитель

Ссылки

1. Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представления: Первый курс. Springer Science & Business Media. стр. 4. ISBN 9780387974958.
2. Гельфанд, И. М.; Фомин , С. В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (несокращенное переиздание). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 6. ISBN 978-0486414485.