Противопоставление

Концепция математической логики

В логике и математике противопоставление относится к выводу о переходе от условного утверждения к его логически эквивалентному контрапозитиву и связанному с ним методу доказательства, известному как доказательство путем противопоставления . У контрапозитивного высказывания антецедент и консеквент перевернуты и перевернуты .

Условное заявление . В формулах : противоположностьis. ^[1] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Если Р , то Q. — Если не Q , то не P. « Если идет дождь, то я ношу пальто» — «Если я не ношу пальто, то дождя не идет».

Закон противопоставления гласит, что условное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинно его противоположное утверждение. ^[2]

Противоположение ( ) можно сравнить с тремя другими утверждениями: ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Инверсия ( обратная ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

«Если не идет дождь, то я не ношу пальто ». В отличие от контрапозитивного, истинностное значение обратного предложения вовсе не зависит от того, было ли исходное предложение истинным, как показано здесь.

Преобразование ( обратное ), ${\displaystyle Q\rightarrow P}$

«Если я надену пальто, значит, идет дождь ». Обратное на самом деле является противоположностью обратного и поэтому всегда имеет то же истинностное значение, что и обратное (которое, как утверждалось ранее, не всегда имеет то же истинностное значение, что и исходное предложение).

Отрицание ( логическое дополнение ), ${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

« Это не тот случай, когда идет дождь , я ношу пальто ». Или, что то же самое, « Иногда, когда идет дождь, я не ношу пальто ». Если отрицание истинно, то исходное предложение ( и, соответственно, контрапозитив) ложен.

Обратите внимание: если истинно и дано одно ложное (т. е. ), то логически можно заключить, что оно также должно быть ложным (т. е. ). Это часто называют законом противопоставления или правилом вывода modus tollens . ^[3] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$

Интуитивное объяснение

На показанной диаграмме Эйлера , если что-то находится в A, оно должно быть и в B. Таким образом, мы можем интерпретировать фразу «все А находится в Б» как:

$${\displaystyle A\to B}$$

Также ясно, что все, что не находится внутри B (синяя область) , не может быть и внутри A. Это утверждение, которое можно выразить так:

$${\displaystyle \neg B\to \neg A}$$

является противоположностью приведенному выше утверждению. Поэтому можно сказать, что

$${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).}$$

На практике эту эквивалентность можно использовать для облегчения доказательства утверждения. Например, если кто-то хочет доказать, что каждая девушка в Соединенных Штатах (А) имеет каштановые волосы (Б), можно либо попытаться доказать это напрямую, проверив, что все девушки в Соединенных Штатах действительно имеют каштановые волосы, либо попытаться доказать, что все девушки в Соединенных Штатах действительно имеют каштановые волосы (Б ). докажите , проверив, что все девушки без каштановых волос действительно находятся за пределами США. В частности, если бы кто-то нашел в США хотя бы одну девушку без каштановых волос, то это было бы опровергнуто , и то же самое . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle A\to B}$

В общем, для любого утверждения, где A подразумевает B , not B всегда подразумевает not A. В результате доказательство или опровержение одного из этих утверждений автоматически доказывает или опровергает другое, поскольку они логически эквивалентны друг другу.

Формальное определение

Предложение Q подразумевается предложением P , когда имеет место следующее соотношение:

$${\displaystyle (P\to Q)}$$

Здесь говорится, что «если , то » или «если Сократ — человек , то Сократ — человек ». В таком условном предложении есть антецедент и следствие . Одно утверждение является противоположным другому только тогда, когда его антецедент является отрицательным консеквентом другого, и наоборот. Таким образом, контрапозитив обычно принимает форму: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle (\neg Q\to \neg P).}$$

То есть «Если не- , то не- », или, более ясно, «Если это не так, то Р не так». На нашем примере это переводится как «Если Сократ не человек , то Сократ не человек ». Говорят, что это утверждение противопоставлено оригиналу и логически эквивалентно ему. Из-за их логической эквивалентности утверждение одного фактически утверждает другое; когда одно истинно , другое также истинно, а когда одно ложно, другое тоже ложно. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Строго говоря, противопоставление может существовать только в двух простых кондиционалах. Однако противопоставление может существовать и в двух сложных, универсальных кондиционалах, если они схожи. Таким образом , или «Все s есть s» противопоставляется , или «Все не- s есть не- s». ^[4] ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Простое доказательство по определению условного

В логике первого порядка условное выражение определяется как:

$${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$$

которое можно сделать эквивалентным своему контрапозитиву следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$$

Простое доказательство от противного

Позволять:

$${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$$

Дано, что если А истинно, то Б истинно, а также дано, что Б неверно. Затем мы можем показать, что A не должно быть истинным, от противного. Ведь если бы А было истиной, то и Б тоже должно было бы быть истинным (согласно Modus Ponens ). Однако учитывая, что B неверно, мы получаем противоречие. Следовательно, A не истинно (при условии, что мы имеем дело с бивалентными утверждениями , которые либо истинны, либо ложны):

$${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$$

Мы можем применить тот же процесс наоборот, начиная с предположений, что:

$${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$$

Здесь мы также знаем, что утверждение B либо истинно, либо неверно. Если Б неверно, то А также неверно. Однако дано, что A истинно, поэтому предположение о том, что B неверно, приводит к противоречию, а это означает, что это не тот случай, когда B неверно. Следовательно, B должно быть истинным:

$${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$$

Объединив два доказанных утверждения вместе, мы получаем искомую логическую эквивалентность между кондиционалом и его контрапозитивом:

$${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$$

Более строгое доказательство эквивалентности контрапозитивов

Логическая эквивалентность между двумя предложениями означает, что они вместе истинны или вместе ложны. Чтобы доказать, что контрапозитивы логически эквивалентны , нам нужно понять, когда материальная импликация истинна или ложна.

$${\displaystyle P\to Q}$$

Это ложно только тогда, когда истинно и ложно. Следовательно, мы можем свести это предложение к утверждению «Ложно, когда и не- » (т.е. «Истинно, когда не так и не- »): ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$$

Элементы союза можно поменять местами без всякого эффекта (благодаря коммутативности ):

$${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$$

Мы определяем как равные " " и как равные (отсюда равно , что равно просто ): ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle \neg S}$ ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$$

Это гласит: «Это не тот случай, когда ( R истинно, а S ложно)», что является определением материального условного выражения. Затем мы можем сделать такую ​​замену:

$${\displaystyle R\to S}$$

Возвращая R и S обратно в и , мы получаем желаемый контрапозитив: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$$

Сравнения

Примеры

Возьмем утверждение « Все красные объекты имеют цвет ». Это эквивалентно можно выразить так: « Если объект красный, то он имеет цвет » .

• Противоположением является: « Если предмет не имеет цвета, то он не красный ». Это логически следует из нашего первоначального утверждения и, как и оно, очевидно, верно .
• Обратное утверждение : « Если объект не красный, то он не имеет цвета ». Синий объект не является красным и все же имеет цвет. Следовательно, в данном случае обратное неверно.
• Обратное утверждение : « Если объект имеет цвет, то он красный ». Объекты могут иметь другие цвета, поэтому обратное утверждение неверно.
• Отрицание таково : « Существует красный объект, не имеющий цвета ». Это утверждение ложно, поскольку исходное утверждение, которое оно отрицает, истинно.

Другими словами, контрапозитив логически эквивалентен данному условному утверждению, хотя и недостаточен для двуусловного утверждения .

Аналогично возьмем утверждение « Все четырехугольники имеют четыре стороны » или эквивалентное ему выражение « Если многоугольник является четырехугольником, то у него четыре стороны » .

• Противоположение таково : « Если у многоугольника нет четырех сторон, то он не является четырехугольником ». Это следует логически, и, как правило, контрапозитивы разделяют истинностное значение своего условного выражения.
• Обратное утверждение : « Если многоугольник не является четырехугольником, то у него нет четырех сторон ». В этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
• Обратное утверждение : « Если у многоугольника четыре стороны, то он четырехугольник ». Опять же, в этом случае, в отличие от последнего примера, верно обратное утверждение.
• Отрицание таково : « Существует по крайней мере один четырехугольник, не имеющий четырех сторон ». Это утверждение явно неверно.

Поскольку и утверждение, и обратное оба верны, оно называется двуусловным и может быть выражено как « Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда он имеет четыре стороны». (Фраза « если и только если» иногда сокращается как если только .) То есть наличие четырех сторон одновременно необходимо для того, чтобы быть четырехугольником, и само по себе достаточно, чтобы считать его четырехугольником.

Правда

• Если утверждение истинно, то истинно и его противоположное утверждение (и наоборот).
• Если высказывание ложно, то ложно и его контрапозитивное утверждение (и наоборот).
• Если обратное утверждение истинно, то верно и обратное утверждение (и наоборот).
• Если обратное утверждение ложно, то и обратное утверждение ложно (и наоборот).
• Если отрицание утверждения ложно, то это утверждение истинно (и наоборот).
• Если утверждение (или его противоположность) и обратное (или обратное) оба истинны или оба ложны, то это называется логическим бикондиционалом .

Приложение

Поскольку контрапозитив утверждения всегда имеет то же истинностное значение (истинность или ложность), что и само утверждение, оно может быть мощным инструментом для доказательства математических теорем (особенно если истинность контрапозитивного утверждения легче установить, чем истинность утверждения). сам). Доказательство методом противопоставления (контрапозитивности) — это прямое доказательство контрапозитивности высказывания. ^[5] Однако с противопоставлением можно использовать и косвенные методы, такие как доказательство от противного, как, например, при доказательстве иррациональности квадратного корня из 2 . По определению рационального числа можно сделать утверждение: « Если оно рационально, то его можно выразить в виде несократимой дроби ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Это утверждение верно , поскольку оно является повторением определения. Противоположность этого утверждения такова: « Если дробь не может быть выражена в виде неприводимой дроби, то она нерациональна ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ». Это противоречие, как и исходное утверждение, также верно. Следовательно, если можно доказать, что число не может быть выражено в виде неприводимой дроби, то это должно быть так, что это нерациональное число. Последнее можно доказать от противного. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

В предыдущем примере для доказательства теоремы использовалась противоположность определения. Можно также доказать теорему, доказав обратное утверждение теоремы. Чтобы доказать, что если положительное целое число N является неквадратным числом , его квадратный корень иррационален , мы можем эквивалентно доказать его контрпозитивность: если положительное целое число N имеет рациональный квадратный корень, то N является квадратным числом. Это можно продемонстрировать, установив √ N равным рациональному выражению a/b , где a и b — положительные целые числа без общего простого делителя, и возведя в квадрат, чтобы получить N = a ² / b ² , и отметив, что, поскольку N — положительное целое число b =1, так что N = a ² , квадратное число.

Соответствие другим математическим основам

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике нельзя доказать , что это утверждение эквивалентно . Мы можем доказать, что это подразумевает , но обратная импликация от до требует закона исключенного третьего или эквивалентной аксиомы. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$

Вероятностное исчисление

Противопоставление представляет собой пример теоремы Байеса , который в определенной форме может быть выражен как:

$${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.}$$

В приведенном выше уравнении условная вероятность обобщает логическое утверждение , т.е. в дополнение к присвоению ИСТИНА или ЛОЖЬ мы также можем присвоить этому утверждению любую вероятность. Этот термин обозначает базовую ставку (также известную как априорная вероятность ) . Предположим, что это эквивалентно значению ИСТИНА, а это эквивалентно значению ЛОЖЬ. Тогда легко увидеть, когда , т.е. когда это ИСТИНА. Это потому , что дробь в правой части приведенного выше уравнения равна 1 и, следовательно, эквивалентна ИСТИНЕ. Следовательно, теорема Байеса представляет собой обобщение противопоставления . ^[6] ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Субъективная логика

Противопоставление представляет собой пример субъективной теоремы Байеса в субъективной логике , выраженной как:

$${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,}$$

базовую ставкуаприорная вероятностьлогикипротивопоставлениятеоремы Байеса^[7] ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Смотрите также

• Доведение до абсурда
• Логическая эквивалентность

Рекомендации

1. «Определение ПРОТИВОПОЗИТИВА». www.merriam-webster.com . Проверено 26 ноября 2019 г.
2. «Закон противопоставления». beisecker.faculty.unlv.edu . Проверено 26 ноября 2019 г.
3. «Modus ponens и modus tollens | логика» . Британская энциклопедия . Проверено 26 ноября 2019 г.
4. «Предикаты и количественные утверждения II». www.csm.ornl.gov . Проверено 26 ноября 2019 г.
5. Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2001), Переход к высшей математике (5-е изд.), Брукс/Коул, стр. 37, ISBN 0-534-38214-2
6. Аудун Йосанг 2016: 2
7. Аудун Йосанг 2016:92

Источники

• Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1 

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с противопоставлением, на Викискладе?