В математике квадрат — это результат умножения числа на себя. Для обозначения этой операции используется глагол «возводить в квадрат». Возведение в квадрат — это то же самое, что и возведение в степень 2 , и обозначается верхним индексом 2; например, квадрат числа 3 может быть записан как 3 2 , что равно числу 9. В некоторых случаях, когда верхние индексы недоступны, например, в языках программирования или текстовых файлах, вместо могут использоваться обозначения x^2( вставка ) или . Прилагательное, которое соответствует возведению в квадрат, — квадратный .x**2x2
Квадрат целого числа может также называться квадратом числа или полным квадратом . В алгебре операция возведения в квадрат часто обобщается на многочлены , другие выражения или значения в системах математических значений, отличных от чисел. Например, квадрат линейного многочлена x + 1 — это квадратный многочлен ( x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1 .
Одним из важных свойств возведения в квадрат, как для чисел, так и во многих других математических системах, является то, что (для всех чисел x ) квадрат x равен квадрату его аддитивной обратной величины − x . То есть квадратная функция удовлетворяет тождеству x 2 = (− x ) 2 . Это также можно выразить, сказав, что квадратная функция является четной функцией .
Операция возведения в квадрат определяет действительную функцию, называемуюквадратная функция илиФункция возведения в квадрат . Ееобласть определения— всявещественная прямая, а ееизображение— множество неотрицательных вещественных чисел.
Функция возведения в квадрат сохраняет порядок положительных чисел: большие числа имеют большие квадраты. Другими словами, квадрат является монотонной функцией на интервале [0, +∞) . На отрицательных числах числа с большим абсолютным значением имеют большие квадраты, поэтому квадрат является монотонно убывающей функцией на (−∞,0] . Следовательно, ноль является (глобальным) минимумом функции возведения в квадрат. Квадрат x 2 числа x меньше x (то есть x 2 < x ) тогда и только тогда, когда 0 < x < 1 , то есть если x принадлежит открытому интервалу (0,1) . Это означает, что квадрат целого числа никогда не меньше исходного числа x .
Каждое положительное действительное число является квадратом ровно двух чисел, одно из которых строго положительно, а другое — строго отрицательно. Ноль является квадратом только одного числа, самого себя. По этой причине можно определить функцию квадратного корня , которая сопоставляет неотрицательному действительному числу неотрицательное число, квадрат которого является исходным числом.
Из отрицательного числа в системе действительных чисел нельзя извлечь квадратный корень , поскольку квадраты всех действительных чисел неотрицательны . Отсутствие действительных квадратных корней для отрицательных чисел можно использовать для расширения действительной системы чисел до комплексных чисел , постулируя мнимую единицу i , которая является одним из квадратных корней из −1.
Свойство «каждое неотрицательное действительное число является квадратом» было обобщено до понятия действительного замкнутого поля , которое является упорядоченным полем, таким, что каждый неотрицательный элемент является квадратом, а каждый многочлен нечетной степени имеет корень. Действительные замкнутые поля нельзя отличить от поля действительных чисел по их алгебраическим свойствам: каждое свойство действительных чисел, которое может быть выражено в логике первого порядка (то есть выражено формулой, в которой переменные, квантифицированные с помощью ∀ или ∃, представляют собой элементы, а не множества), верно для каждого действительного замкнутого поля, и наоборот, каждое свойство логики первого порядка, которое верно для конкретного действительного замкнутого поля, также верно для действительных чисел.
Существует несколько основных применений квадратной функции в геометрии.
Название квадратной функции показывает ее важность в определении площади : оно исходит из того факта, что площадь квадрата со стороной длиной l равна l 2 . Площадь зависит от размера квадратично: площадь фигуры, в n раз большей, в n 2 раз больше. Это справедливо для площадей в трех измерениях, а также на плоскости: например, площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса, факт, который физически проявляется в законе обратных квадратов, описывающем, как сила физических сил, таких как гравитация, изменяется в зависимости от расстояния.
Квадратная функция связана с расстоянием через теорему Пифагора и ее обобщение, закон параллелограмма . Евклидово расстояние не является гладкой функцией : трехмерный график расстояния от фиксированной точки образует конус с негладкой точкой на вершине конуса. Однако квадрат расстояния (обозначаемый d 2 или r 2 ), графиком которого является параболоид , является гладкой и аналитической функцией .
Скалярное произведение евклидова вектора на самого себя равно квадрату его длины: v ⋅ v = v 2 . Это далее обобщается на квадратичные формы в линейных пространствах с помощью скалярного произведения . Тензор инерции в механике является примером квадратичной формы. Он демонстрирует квадратичную связь момента инерции с размером ( длиной ).
Существует бесконечно много Пифагоровых троек , наборов из трех положительных целых чисел, таких, что сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Каждая из этих троек дает целые стороны прямоугольного треугольника.
Квадратная функция определена в любом поле или кольце . Элемент в образе этой функции называется квадратом , а прообразы квадрата называются квадратными корнями .
Понятие возведения в квадрат особенно важно в конечных полях Z / p Z , образованных числами по модулю нечетного простого числа p . Ненулевой элемент этого поля называется квадратичным вычетом , если он является квадратом в Z / p Z , а в противном случае он называется квадратичным невычетом . Ноль , будучи квадратом , не считается квадратичным вычетом . Каждое конечное поле этого типа имеет ровно ( p − 1)/2 квадратичных вычетов и ровно ( p − 1)/2 квадратичных невычетов . Квадратичные вычеты образуют группу относительно умножения . Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .
В более общем смысле, в кольцах квадратичная функция может иметь различные свойства, которые иногда используются для классификации колец.
Ноль может быть квадратом некоторых ненулевых элементов. Коммутативное кольцо , такое что квадрат ненулевого элемента никогда не равен нулю, называется редуцированным кольцом . В более общем смысле, в коммутативном кольце радикальный идеал — это идеал I, такой что влечет . Оба понятия важны в алгебраической геометрии из-за Nullstellensatz Гильберта .
Элемент кольца, равный собственному квадрату, называется идемпотентом . В любом кольце 0 и 1 являются идемпотентами.Других идемпотентов в полях и, в более общем смысле, в областях целостности нет . Однако кольцо целых чисел по модулю n имеет 2 k идемпотентов, где k — число различных простых множителей n . Коммутативное кольцо, в котором каждый элемент равен своему квадрату (каждый элемент идемпотент), называется булевым кольцом ; примером из компьютерной науки является кольцо, элементы которого являются двоичными числами , с побитовым И в качестве операции умножения и побитовым XOR в качестве операции сложения.
В полностью упорядоченном кольце x 2 ≥ 0 для любого x . Более того, x 2 = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 .
В суперкоммутативной алгебре , где 2 обратимо, квадрат любого нечетного элемента равен нулю.
Если A — коммутативная полугруппа , то имеем
На языке квадратичных форм это равенство говорит, что квадратная функция является «формой, допускающей композицию». Фактически, квадратная функция является основой, на которой строятся другие квадратичные формы, которые также допускают композицию. Процедура была введена LE Dickson для получения октонионов из кватернионов путем удвоения. Метод удвоения был формализован AA Albert, который начал с действительного числового поля и квадратной функции, удвоив ее для получения комплексного числового поля с квадратичной формой x 2 + y 2 , а затем снова удвоив для получения кватернионов. Процедура удвоения называется конструкцией Кэли–Диксона и была обобщена для формирования алгебр размерности 2 n над полем F с инволюцией.
Квадратичная функция z 2 является «нормой» композиционной алгебры , где тождественная функция образует тривиальную инволюцию, с которой начинаются конструкции Кэли–Диксона, приводящие к бикомплексным, бикватернионным и биоктонионным композиционным алгебрам.
На комплексных числах квадратная функция является двукратным покрытием в том смысле, что каждое ненулевое комплексное число имеет ровно два квадратных корня.
Квадрат абсолютной величины комплексного числа называется его абсолютным квадратом , квадратом модуля или квадратом величины . [1] [ необходим лучший источник ] Это произведение комплексного числа на его комплексно сопряженное число и равно сумме квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа.
Абсолютный квадрат комплексного числа всегда является неотрицательным действительным числом, то есть равен нулю тогда и только тогда, когда комплексное число равно нулю. Его легче вычислить, чем абсолютное значение (нет квадратного корня), и он является гладкой действительной функцией . Из-за этих двух свойств абсолютный квадрат часто предпочтительнее абсолютного значения для явных вычислений и когда задействованы методы математического анализа (например, оптимизация или интегрирование ).
Для комплексных векторов скалярное произведение можно определить с помощью сопряженного транспонирования , что приводит к квадрату нормы .
Квадраты повсеместно используются в алгебре, а в более общем смысле — почти в каждой области математики, а также в физике , где многие единицы определяются с помощью квадратов и обратных квадратов: см. ниже.
Метод наименьших квадратов — стандартный метод, используемый в переопределенных системах .
Возведение в квадрат используется в статистике и теории вероятностей для определения стандартного отклонения набора значений или случайной величины . Отклонение каждого значения x i от среднего значения набора определяется как разность . Эти отклонения возводятся в квадрат, затем берется среднее значение нового набора чисел (каждое из которых положительно). Это среднее значение является дисперсией , а его квадратный корень является стандартным отклонением.
