Момент инерции

Скалярная мера инерции вращения относительно фиксированной оси вращения

Канатоходцы используют момент инерции длинного стержня для равновесия при ходьбе по канату. Сэмюэл Диксон пересекает реку Ниагара в 1890 году.

Для повышения маневренности боевые самолеты проектируются таким образом, чтобы минимизировать моменты инерции, в то время как гражданские самолеты зачастую этого не делают.

Момент инерции , также известный как момент инерции массы , угловая/вращательная масса , второй момент массы или, точнее, вращательная инерция , твердого тела определяется относительно оси вращения. Это отношение между приложенным крутящим моментом и полученным угловым ускорением вокруг этой оси. Он играет ту же роль во вращательном движении, что и масса в линейном движении. Момент инерции тела относительно определенной оси зависит как от массы, так и от ее распределения относительно оси, увеличиваясь с массой и расстоянием от оси.

Это экстенсивное (аддитивное) свойство: для точечной массы момент инерции — это просто масса, умноженная на квадрат перпендикулярного расстояния до оси вращения. Момент инерции жесткой составной системы — это сумма моментов инерции ее составляющих подсистем (все взятых относительно одной оси). Его простейшее определение — второй момент массы относительно расстояния от оси .

Для тел, ограниченных вращением в плоскости, имеет значение только их момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярная величина. Для тел, свободно вращающихся в трех измерениях, их моменты можно описать симметричной матрицей 3 на 3 с набором взаимно перпендикулярных главных осей, для которых эта матрица диагональна , а крутящие моменты вокруг осей действуют независимо друг от друга.

В машиностроении просто «инерция» часто используется для обозначения « инерционной массы » или «момента инерции». ^[1]

Введение

Когда тело свободно вращается вокруг оси, для изменения его углового момента должен быть приложен крутящий момент . Величина крутящего момента, необходимая для создания любого заданного углового ускорения (скорость изменения угловой скорости ), пропорциональна моменту инерции тела. Моменты инерции могут быть выражены в единицах килограмм-метр в квадрате (кг·м ² ) в единицах СИ и фунт-фут-секунда в квадрате (фунт-сила·фут·с ² ) в имперских или американских единицах.

Момент инерции играет во вращательной кинетике ту же роль, что масса (инерция) играет в линейной кинетике — оба характеризуют сопротивление тела изменениям его движения. Момент инерции зависит от того, как масса распределена вокруг оси вращения, и будет меняться в зависимости от выбранной оси. Для точечной массы момент инерции относительно некоторой оси определяется выражением , где — расстояние точки от оси, а — масса. Для протяженного твердого тела момент инерции — это просто сумма всех малых частиц массы, умноженных на квадрат их расстояний от оси при вращении. Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности это суммирование иногда дает простое выражение, которое зависит от размеров, формы и общей массы объекта. ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

В 1673 году Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в своем исследовании колебания тела, подвешенного к оси, известной как составной маятник . ^[2] Термин момент инерции («momentum inertiae» на латыни ) был введен Леонардом Эйлером в его книге «Теория движения тел, твердых тел» в 1765 году ^{[2] [3]} и включен во второй закон Эйлера .

Собственная частота колебаний составного маятника получается из отношения крутящего момента, налагаемого гравитацией на массу маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции. Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из одной точки массы, дает математическую формулу для момента инерции протяженного тела. ^{[4] [5]}

Момент инерции также появляется в импульсе , кинетической энергии и в законах движения Ньютона для твердого тела как физический параметр, который объединяет его форму и массу. Существует интересное различие в том, как момент инерции появляется в плоском и пространственном движении. Плоское движение имеет единственный скаляр, который определяет момент инерции, в то время как для пространственного движения те же вычисления дают матрицу 3 × 3 моментов инерции, называемую матрицей инерции или тензором инерции. ^{[6] [7]}

Момент инерции вращающегося маховика используется в машине для сопротивления изменениям приложенного крутящего момента для сглаживания его вращательного выхода. Момент инерции самолета относительно его продольной, горизонтальной и вертикальной осей определяет, как рулевые силы на управляющих поверхностях его крыльев, рулей высоты и руля направления влияют на движения самолета по крену, тангажу и рысканию.

Определение

Момент инерции определяется как произведение массы сечения на квадрат расстояния между осью отсчета и центром тяжести сечения.

Фигуристы, вращающиеся на коньках, могут уменьшить свой момент инерции, прижимая руки к себе, что позволяет им вращаться быстрее за счет сохранения момента импульса .

Видео эксперимента с вращающимся стулом, иллюстрирующее момент инерции. Когда вращающийся профессор тянет руки, его момент инерции уменьшается; для сохранения момента импульса его угловая скорость увеличивается.

Момент инерции I также определяется как отношение чистого углового момента L системы к ее угловой скорости ω вокруг главной оси, ^{[8] [9],} то есть I = L ω . {\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}

Если угловой момент системы постоянен, то по мере уменьшения момента инерции угловая скорость должна увеличиваться. Это происходит, когда вращающиеся фигуристы подтягивают вытянутые руки или прыгуны в воду скручивают тело в группировку во время прыжка, чтобы вращаться быстрее. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]}

Если форма тела не меняется, то его момент инерции появляется в законе движения Ньютона как отношение приложенного к телу крутящего момента τ к угловому ускорению α вокруг главной оси, то есть τ = I α . {\displaystyle \tau =I\alpha .}

Для простого маятника это определение дает формулу для момента инерции I через массу маятника m и его расстояние r от точки опоры как, $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Таким образом, момент инерции маятника зависит как от массы тела m , так и от его геометрии или формы, определяемой расстоянием r до оси вращения.

Эта простая формула обобщается для определения момента инерции для тела произвольной формы как суммы всех элементарных точечных масс dm, каждая из которых умножена на квадрат ее перпендикулярного расстояния r до оси k . Таким образом, момент инерции произвольного объекта зависит от пространственного распределения его массы.

В общем случае, если задан объект массой m , можно определить эффективный радиус k в зависимости от конкретной оси вращения, при этом его момент инерции вокруг оси будет равен , где k называется радиусом инерции вокруг оси. $${\displaystyle I=mk^{2},}$$

Примеры

Простой маятник

Математически момент инерции простого маятника равен отношению крутящего момента, вызванного гравитацией вокруг точки опоры маятника, к его угловому ускорению вокруг этой точки опоры. Для простого маятника это оказывается произведением массы частицы на квадрат ее расстояния до точки опоры, то есть ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

Это можно показать следующим образом: Сила тяжести, действующая на массу простого маятника, создает крутящий момент вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения маятника. Здесь — вектор расстояния от оси крутящего момента до центра масс маятника, а — чистая сила, действующая на массу. С этим крутящим моментом связано угловое ускорение , , струны и массы вокруг этой оси. Поскольку масса ограничена окружностью, тангенциальное ускорение массы равно . Поскольку уравнение крутящего момента становится: ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

где — единичный вектор, перпендикулярный плоскости маятника. (Во втором шаге используется разложение тройного векторного произведения с перпендикулярностью и .) Величина — момент инерции этой единичной массы вокруг точки опоры. ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle I=mr^{2}}$

Эта величина также появляется в угловом моменте простого маятника, который вычисляется из скорости массы маятника вокруг точки опоры, где — угловая скорость массы вокруг точки опоры. Этот угловой момент определяется с помощью аналогичного вывода из предыдущего уравнения. ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$

Аналогично, кинетическая энергия массы маятника определяется скоростью маятника вокруг оси, что дает $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

Это показывает, что количество — это то, как масса сочетается с формой тела, определяя вращательную инерцию. Момент инерции тела произвольной формы — это сумма значений всех элементов массы в теле. ${\displaystyle I=mr^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$

Составные маятники

Маятники, используемые в гравиметрическом аппарате Менденхолла, из научного журнала 1897 года. Портативный гравиметр, разработанный в 1890 году Томасом К. Менденхоллом, обеспечивал наиболее точные относительные измерения локального гравитационного поля Земли.

Составной маятник — это тело, образованное из совокупности частиц непрерывной формы, которое жестко вращается вокруг оси. Его момент инерции представляет собой сумму моментов инерции каждой из частиц, из которых он состоит. ^{[15] [16] : 395–396  [17] : 51–53} Собственная частота ( ) составного маятника зависит от его момента инерции, , где — масса объекта, — локальное ускорение силы тяжести, а — расстояние от точки опоры до центра масс объекта. Измерение этой частоты колебаний при малых угловых смещениях обеспечивает эффективный способ измерения момента инерции тела. ^{[18] : 516–517} ${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$ ${\displaystyle I_{P}}$ $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$

Таким образом, чтобы определить момент инерции тела, просто подвесьте его в удобной точке опоры так, чтобы оно свободно качалось в плоскости, перпендикулярной направлению желаемого момента инерции, затем измерьте его собственную частоту или период колебаний ( ), чтобы получить , где — период (продолжительность) колебаний (обычно усредняемый по нескольким периодам). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle t}$

Центр колебания

Простой маятник, имеющий ту же собственную частоту, что и составной маятник, определяет длину от точки опоры до точки, называемой центром колебаний составного маятника. Эта точка также соответствует центру удара . Длина определяется по формуле, или ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ $${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.}$$

Секундный маятник , который обеспечивает "тик" и "так" напольных часов, качается из стороны в сторону за одну секунду. Это период в две секунды, или собственная частота для маятника. В этом случае расстояние до центра колебания, , можно вычислить как ${\displaystyle \pi \ \mathrm {rad/s} }$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .}$$

Обратите внимание, что расстояние до центра колебаний секундного маятника должно быть скорректировано для учета различных значений локального ускорения силы тяжести. Маятник Катера — это составной маятник, который использует это свойство для измерения локального ускорения силы тяжести и называется гравиметром .

Измерение момента инерции

Момент инерции сложной системы, такой как транспортное средство или самолет, вокруг ее вертикальной оси можно измерить, подвешивая систему к трем точкам, чтобы сформировать трехзаходный маятник . Трехзаходный маятник представляет собой платформу, поддерживаемую тремя проводами, предназначенную для колебания в кручении вокруг своей вертикальной центральной оси. ^[19] Период колебания трехзаходного маятника дает момент инерции системы. ^[20]

Момент инерции площади

Момент инерции площади также известен как второй момент площади , и его физическое значение полностью отличается от момента инерции массы. Эти расчеты обычно используются в гражданском строительстве для проектирования конструкций балок и колонн. Площади поперечного сечения, рассчитанные для вертикального момента оси x и горизонтального момента оси y . Высота ( h ) и ширина ( b ) являются линейными мерами, за исключением окружностей, которые фактически являются производными от половины ширины, ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{yy}}$
${\displaystyle r}$

Момент сечения рассчитывается таким образом[21]

1. Квадрат: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}}$
2. Прямоугольный: и; ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}}$ ${\displaystyle I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}}$
3. Треугольный: ${\displaystyle I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}}$
4. Циркуляр: ${\displaystyle I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}={\frac {1}{64}}{\pi }d^{4}}$

Движение в неподвижной плоскости

Точечная масса

Четыре объекта с одинаковыми массами и радиусами катятся по плоскости без скольжения.

Сзади вперед:

•  сферическая оболочка,
•  твердая сфера,
•  цилиндрическое кольцо и
•  сплошной цилиндр.

Время достижения финишной черты каждым объектом зависит от его момента инерции. ( версия OGV )

Момент инерции относительно оси тела вычисляется путем суммирования для каждой частицы в теле, где - перпендикулярное расстояние до указанной оси. Чтобы увидеть, как возникает момент инерции при изучении движения протяженного тела, удобно рассмотреть жесткую сборку точечных масс. (Это уравнение можно использовать для осей, которые не являются главными осями, при условии, что это не полностью описывает момент инерции. ^[22] ) ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Рассмотрим кинетическую энергию совокупности масс , которые находятся на расстоянии от точки вращения , которая является ближайшей точкой на оси вращения. Это сумма кинетической энергии отдельных масс, ^{[18] : 516–517  [23] : 1084–1085  [23] : 1296–1300} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Это показывает, что момент инерции тела представляет собой сумму каждого из членов, то есть ${\displaystyle mr^{2}}$ $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

Таким образом, момент инерции — это физическое свойство, которое объединяет массу и распределение частиц вокруг оси вращения. Обратите внимание, что вращение вокруг разных осей одного и того же тела дает разные моменты инерции.

Момент инерции сплошного тела, вращающегося вокруг заданной оси, вычисляется таким же образом, только с бесконечным числом точечных частиц. Таким образом, пределы суммирования снимаются, и сумма записывается следующим образом: $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

Другое выражение заменяет суммирование интегралом , $${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

Здесь функция дает плотность массы в каждой точке , является вектором, перпендикулярным оси вращения и простирающимся от точки на оси вращения до точки в твердом теле, а интегрирование вычисляется по объему тела . Момент инерции плоской поверхности аналогичен с заменой плотности массы на ее поверхностную плотность массы с интегралом, вычисленным по ее площади. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$

Примечание о втором моменте площади : Момент инерции тела, движущегося в плоскости, и второй момент площади поперечного сечения балки часто путают. Момент инерции тела с формой поперечного сечения — это второй момент этой площади относительно оси, перпендикулярной поперечному сечению, взвешенный по его плотности. Это также называется полярным моментом площади и представляет собой сумму вторых моментов относительно осей - и -. ^[24] Напряжения в балке рассчитываются с использованием второго момента площади поперечного сечения относительно оси - или - в зависимости от нагрузки. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Примеры

Момент инерции составного маятника , сконструированного из тонкого диска, установленного на конце тонкого стержня, который колеблется вокруг оси на другом конце стержня, начинается с расчета момента инерции тонкого стержня и тонкого диска относительно их соответствующих центров масс. ^[23]

• Момент инерции тонкого стержня с постоянным поперечным сечением и плотностью , длиной относительно перпендикулярной оси, проходящей через его центр масс, определяется интегрированием. ^{[23] : 1301} Совместим ось со стержнем и расположим начало координат его центра масс в центре стержня, тогда где - масса стержня. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$ ${\displaystyle m=\rho s\ell }$
• Момент инерции тонкого диска постоянной толщины , радиуса и плотности относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его поверхности (параллельной его оси вращательной симметрии ), определяется интегрированием. ^{[23] : 1301  [ проверка не пройдена ]} Совместим ось с осью диска и определим элемент объема как , тогда где - его масса. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$ $${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$ ${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$
• Момент инерции составного маятника теперь получается путем сложения момента инерции стержня и диска вокруг точки вращения как, где - длина маятника. Обратите внимание, что теорема о параллельных осях используется для смещения момента инерции от центра масс к точке вращения маятника. ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$ ${\displaystyle L}$

Список формул моментов инерции для стандартных форм тел дает способ получить момент инерции сложного тела как сборки тел более простой формы. Теорема о параллельных осях используется для смещения точки отсчета отдельных тел в точку отсчета сборки.

В качестве еще одного примера рассмотрим момент инерции твердой сферы постоянной плотности относительно оси, проходящей через ее центр масс. Он определяется путем суммирования моментов инерции тонких дисков, которые могут образовать сферу, центры которых находятся вдоль оси, выбранной для рассмотрения. Если поверхность сферы определяется уравнением ^{[23] : 1301} $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

тогда квадрат радиуса диска в поперечном сечении вдоль оси равен ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

Следовательно, момент инерции сферы равен сумме моментов инерции дисков вдоль оси , где - масса сферы. ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$ ${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$

Твёрдое тело

Цилиндры с большим моментом инерции катятся по склону с меньшим ускорением, поскольку большую часть их потенциальной энергии необходимо преобразовать в кинетическую энергию вращения.

Если механическая система ограничена движением параллельно фиксированной плоскости, то вращение тела в системе происходит вокруг оси, параллельной этой плоскости. В этом случае момент инерции массы в этой системе является скаляром, известным как полярный момент инерции . Определение полярного момента инерции можно получить, рассмотрев импульс, кинетическую энергию и законы Ньютона для плоского движения жесткой системы частиц. ^{[15] [18] [25] [26]} ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

Если система частиц, , собрана в твердое тело, то импульс системы можно записать через положения относительно точки отсчета и абсолютные скорости : где — угловая скорость системы, а — скорость . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Для плоскостного движения вектор угловой скорости направлен вдоль единичного вектора , перпендикулярного плоскости движения. Введем единичные векторы из точки отсчета в точку , и единичный вектор , так что ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

Это определяет вектор относительного положения и вектор скорости для жесткой системы частиц, движущихся в плоскости.

Примечание о векторном произведении : когда тело движется параллельно плоскости земли, траектории всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных этой плоскости земли. Это означает, что любое вращение, которому подвергается тело, должно происходить вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Плоское движение часто представляется как спроецированное на эту плоскость земли, так что ось вращения выглядит как точка. В этом случае угловая скорость и угловое ускорение тела являются скалярами, а тот факт, что они являются векторами вдоль оси вращения, игнорируется. Обычно это предпочтительнее для введения в тему. Но в случае момента инерции сочетание массы и геометрии выигрывает от геометрических свойств векторного произведения. По этой причине в этом разделе о плоском движении угловая скорость и ускорения тела являются векторами, перпендикулярными плоскости земли, и операции векторного произведения такие же, как и используемые для изучения пространственного движения твердого тела.

Угловой момент импульса

Вектор момента импульса для плоского движения жесткой системы частиц определяется выражением ^{[15] [18]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Используйте центр масс в качестве точки отсчета, чтобы ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}}$$

и определим момент инерции относительно центра масс как ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},}$$

тогда уравнение для момента импульса упрощается до ^{[23] : 1028} $${\displaystyle \mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .}$$

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс, называется полярным моментом инерции . В частности, это второй момент массы относительно ортогонального расстояния от оси (или полюса). ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

Для заданного количества момента импульса уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости. Фигуристы могут изменять свой момент инерции, притягивая руки. Таким образом, угловая скорость, достигаемая фигуристом с вытянутыми руками, приводит к большей угловой скорости, когда руки притягиваются, из-за уменьшенного момента инерции. Однако фигурист не является твердым телом.

Кинетическая энергия

Эти роторные ножницы 1906 года используют момент инерции двух маховиков для накопления кинетической энергии, которая при высвобождении используется для резки металлических заготовок (Международная технологическая библиотека, 1906).

Кинетическая энергия жесткой системы частиц, движущихся в плоскости, определяется выражением ^{[15] [18]} $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

Пусть точка отсчета будет центром масс системы, тогда второй член станет равным нулю, и введем момент инерции , так что кинетическая энергия будет определяться как ^{[23] : 1084} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

Момент инерции — полярный момент инерции тела. ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$

Законы Ньютона

Трактор John Deere 1920-х годов с маховиком со спицами на двигателе. Большой момент инерции маховика сглаживает работу трактора.

Законы Ньютона для жесткой системы частиц, , можно записать в терминах результирующей силы и крутящего момента в точке отсчета , что дает ^{[15] [18]} где обозначает траекторию каждой частицы. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы через положение и ускорение опорной частицы, а также вектор угловой скорости и вектор углового ускорения жесткой системы частиц: ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

Для систем, ограниченных плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения можно упростить, введя единичные векторы из опорной точки в точку и единичные векторы , так что ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

Это дает результирующий крутящий момент в системе: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

где , а — единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц . ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$

Используйте центр масс в качестве точки отсчета и определите момент инерции относительно центра масс , тогда уравнение для результирующего крутящего момента упрощается до ^{[23] : 1029} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

Движение в пространстве твердого тела и матрица инерции

Скалярные моменты инерции появляются как элементы в матрице, когда система частиц собирается в твердое тело, которое движется в трехмерном пространстве. Эта матрица инерции появляется при расчете углового момента, кинетической энергии и результирующего крутящего момента жесткой системы частиц. ^{[4] [5] [6] [7] [27]}

Пусть система частиц, находится в координатах со скоростями относительно неподвижной системы отсчета. Для (возможно, движущейся) точки отсчета относительные положения равны и (абсолютные) скорости равны где — угловая скорость системы, а — скорость . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$$ $${\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Угловой момент импульса

Обратите внимание, что векторное произведение можно эквивалентно записать как умножение матриц путем объединения первого операнда и оператора в кососимметричную матрицу, , составленную из компонентов : ${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Матрица инерции строится с учетом момента импульса, при этом за точку отсчета тела выбирается центр масс : ^{[4] [7]} где члены, содержащие ( ), в сумме дают ноль по определению центра масс . ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$ ${\displaystyle =\mathbf {C} }$

Тогда кососимметричная матрица, полученная из вектора относительного положения , может быть использована для определения , где определяется как симметричная матрица инерции жесткой системы частиц, измеренная относительно центра масс . ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$ $${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия жесткой системы частиц может быть сформулирована в терминах центра масс и матрицы моментов инерции масс системы. Пусть система частиц находится в точке с координатами со скоростями , тогда кинетическая энергия равна ^{[4] [7]} где - радиус-вектор частицы относительно центра масс. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$

Это уравнение расширяется, давая три члена $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

Поскольку центр масс определяется как , второй член в этом уравнении равен нулю. Введем кососимметричную матрицу, так что кинетическая энергия станет ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

Таким образом, кинетическая энергия жесткой системы частиц определяется выражением, где – матрица инерции относительно центра масс, – полная масса. $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle M}$

Результирующий крутящий момент

Матрица инерции появляется при применении второго закона Ньютона к жесткой сборке частиц. Результирующий крутящий момент в этой системе равен, ^{[4] [7]} где - ускорение частицы . Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы в терминах положения и ускорения точки отсчета, а также вектора угловой скорости и вектора углового ускорения жесткой системы как, $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

Используйте центр масс в качестве точки отсчета и введите кососимметричную матрицу для представления векторного произведения , чтобы получить ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

В расчетах используется тождество, полученное из тождества Якоби для тройного перекрестного произведения , как показано в доказательстве ниже: $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\\end{aligned}}}$$В последнем утверждении, поскольку либо находится в состоянии покоя, либо движется с постоянной скоростью, но не ускоренно, либо начало неподвижной (мировой) системы координат помещено в центр масс . И распределяя векторное произведение по сумме, получаем ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }=0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\end{aligned}}}$$

Затем для последнего члена применяется следующее тождество Якоби : $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&=\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})\end{aligned}}}$$

Результат применения тождества Якоби можно продолжить следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\times \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}}$$

Окончательный результат можно затем подставить в основное доказательство следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot \Delta \mathbf {r} _{i})-\Delta \mathbf {r} _{i}(\Delta \mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times -(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что для любого вектора справедливо следующее: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}}$$

Наконец, результат используется для завершения основного доказательства следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times (\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

Таким образом, результирующий крутящий момент, действующий на жесткую систему частиц, определяется выражением , где — матрица инерции относительно центра масс. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$

Теорема о параллельных осях

Матрица инерции тела зависит от выбора точки отсчета. Существует полезная связь между матрицей инерции относительно центра масс и матрицей инерции относительно другой точки . Эта связь называется теоремой о параллельных осях. ^{[4] [7]} ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Рассмотрим матрицу инерции , полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно точки отсчета , заданную формулой ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.}$$

Пусть будет центром масс жесткой системы, тогда где - вектор из центра масс в точку отсчета . Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции, ${\displaystyle \mathbf {C} }$ $${\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.}$$

Распределите по перекрестному произведению, чтобы получить $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.}$$

Первый член — матрица инерции относительно центра масс. Второй и третий члены равны нулю по определению центра масс . А последний член — полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы, построенной из . ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle [\mathbf {d} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$

Результатом является теорема о параллельных осях, где — вектор от центра масс до точки отсчета . $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},}$$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Примечание по знаку минус : При использовании кососимметричной матрицы векторов положения относительно опорной точки матрица инерции каждой частицы имеет вид , который похож на , который появляется при плоском движении. Однако, чтобы это работало правильно, необходим знак минус. Этот знак минус может быть поглощен членом , если это необходимо, используя свойство кососимметричности . ${\displaystyle -m\left[\mathbf {r} \right]^{2}}$ ${\displaystyle mr^{2}}$ ${\displaystyle m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]}$ ${\displaystyle [\mathbf {r} ]}$

Скалярный момент инерции в плоскости

Скалярный момент инерции тела относительно заданной оси, направление которой задается единичным вектором и проходит через тело в точке , равен: ^[7] где — матрица момента инерции системы относительно точки отсчета , а — кососимметричная матрица, полученная из вектора . ${\displaystyle I_{L}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }$

Это выводится следующим образом. Пусть жесткая сборка частиц, , имеет координаты . Выберите в качестве точки отсчета и вычислите момент инерции вокруг линии L, определяемой единичным вектором через точку отсчета , . Перпендикулярный вектор от этой линии к частице получается из путем удаления компонента, который проецируется на . где — единичная матрица, чтобы избежать путаницы с матрицей инерции, а — внешняя матрица произведения, образованная из единичного вектора вдоль линии . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ ${\displaystyle L}$

Чтобы связать этот скалярный момент инерции с матрицей инерции тела, введем кососимметричную матрицу такую, что , тогда имеем тождество, учитывая, что — единичный вектор. ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]}$ ${\displaystyle \left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y} }$ $${\displaystyle -\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$

Квадрат величины перпендикулярного вектора равен $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}}$$

Упрощение этого уравнения использует тройное скалярное тождество произведения , где скалярное и перекрестное произведения поменялись местами. Обменяв произведения и упростив, отметив, что и ортогональны: $${\displaystyle \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),}$$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}}$$

Таким образом, момент инерции относительно прямой в направлении получается из расчета, где - матрица моментов инерции системы относительно точки отсчета . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {I_{R}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Это показывает, что матрицу инерции можно использовать для вычисления момента инерции тела вокруг любой заданной оси вращения тела.

Тензор инерции

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей. В общем случае моменты инерции не равны, если объект не симметричен относительно всех осей. Тензор момента инерции — это удобный способ суммировать все моменты инерции объекта одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки пространства, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение

Для твердого тела, состоящего из точечных масс , тензор момента инерции определяется выражением ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m_{k}}$ $${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.}$$

Его компоненты определяются как $${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)}$$

где

• ${\displaystyle i}$, равно 1, 2 или 3 для , , и , соответственно, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)}$— вектор к точечной массе из точки, относительно которой вычисляется тензор, и ${\displaystyle m_{k}}$
• ${\displaystyle \delta _{ij}}$это дельта Кронекера .

Отметим, что по определению — симметричный тензор . ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Диагональные элементы более кратко записываются как $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}}$$

в то время как недиагональные элементы, также называемые продуктами инерции , являются $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}}$$

Здесь обозначает момент инерции вокруг оси , когда объекты вращаются вокруг оси x, обозначает момент инерции вокруг оси , когда объекты вращаются вокруг оси x, и т. д. ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{xy}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Эти величины можно обобщить на объект с распределенной массой, описываемый функцией плотности массы, аналогично скалярному моменту инерции. Тогда можно иметь $${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,}$$

где — их внешнее произведение , E _{3 —} единичная матрица 3×3 , а V — область пространства, полностью содержащая объект. ${\displaystyle \mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }$

Альтернативно это можно записать в терминах оператора момента импульса : ${\displaystyle [\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV}$$

Тензор инерции можно использовать так же, как и матрицу инерции, для вычисления скалярного момента инерции относительно произвольной оси в направлении , ${\displaystyle \mathbf {n} }$ $${\displaystyle I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,}$$

где скалярное произведение берется с соответствующими элементами в компонентных тензорах. Произведение члена инерции, такого как получается путем вычисления и может быть интерпретировано как момент инерции вокруг -оси, когда объект вращается вокруг -оси. ${\displaystyle I_{12}}$ $${\displaystyle I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Компоненты тензоров второй степени можно собрать в матрицу. Для тензора инерции эта матрица имеет вид, $${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\[1.8ex]I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\[1.8ex]I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.}$$

В механике твердого тела принято использовать обозначения, которые явно идентифицируют оси , и , например и , для компонентов тензора инерции. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{xy}}$

Альтернативная инерционная конвенция

Существуют некоторые приложения CAD и CAE, такие как SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX и MSC Adams, которые используют альтернативное соглашение для продуктов инерции. Согласно этому соглашению, знак минус удаляется из формулы продукта инерции и вместо этого вставляется в матрицу инерции: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\[1.8ex]I_{21}&I_{22}&I_{23}\\[1.8ex]I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\[1.8ex]-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\[1.8ex]-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\[1ex]-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Определить инерционное соглашение (метод главных осей)

Если у вас есть данные об инерции, но вы не знаете, какое соглашение об инерции было использовано, можно определить, есть ли у вас также главные оси. С помощью метода главных осей вы создаете матрицы инерции из следующих двух предположений: ${\displaystyle (I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})}$

1. Использовано стандартное соглашение об инерции . ${\displaystyle (I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})}$
2. Использовано альтернативное соглашение об инерции . ${\displaystyle (I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})}$

Далее вычисляются собственные векторы для двух матриц. Матрица, собственные векторы которой параллельны главным осям, соответствует использованному соглашению об инерции.

Вывод компонентов тензора

Расстояние частицы от оси вращения, проходящей через начало координат в направлении , равно , где — единичный вектор. Момент инерции относительно оси равен ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).}$$

Перепишите уравнение, используя транспонирование матрицы :

$${\displaystyle I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,}$$

где E _{3 —} единичная матрица 3×3 .

Это приводит к тензорной формуле для момента инерции

$${\displaystyle I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\[0.5ex]-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\[0.5ex]-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\[0.7ex]n_{2}\\[0.7ex]n_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Для нескольких частиц нам нужно только вспомнить, что момент инерции является аддитивным, чтобы увидеть, что эта формула верна.

Тензор инерции трансляции

Пусть — тензор инерции тела, вычисленный в его центре масс , а — вектор смещения тела. Тензор инерции перемещенного тела относительно его исходного центра масс определяется по формуле: где — масса тела, E ₃ — единичная матрица 3 × 3, а — внешнее произведение . ${\displaystyle \mathbf {I} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \otimes }$

Тензор инерции вращения

Пусть будет матрицей , которая представляет вращение тела. Тензор инерции вращающегося тела определяется как: ^[28] ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}}$$

Матрица инерции в разных системах отсчета

Использование матрицы инерции во втором законе Ньютона предполагает, что ее компоненты вычисляются относительно осей, параллельных инерциальной системе отсчета, а не относительно системы отсчета, связанной с телом. ^{[7] [25]} Это означает, что при движении тела компоненты матрицы инерции изменяются со временем. Напротив, компоненты матрицы инерции, измеренные в системе отсчета, связанной с телом, постоянны.

Каркас кузова

Пусть матрица инерции системы отсчета тела относительно центра масс обозначена , а ориентация системы отсчета тела относительно инерциальной системы отсчета определяется матрицей поворота , так что, где векторы в системе отсчета тела имеют координаты в инерциальной системе отсчета. Тогда матрица инерции тела, измеренная в инерциальной системе отсчета, определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,}$$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.}$$

Обратите внимание, что изменяется при движении тела, в то время как остается постоянным. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}}$

Главные оси

Измеренная в системе отсчета тела, матрица инерции является постоянной действительной симметричной матрицей. Действительная симметричная матрица имеет собственное разложение в произведение матрицы вращения и диагональной матрицы , заданное как где ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.}$$

Столбцы матрицы вращения определяют направления главных осей тела, а константы , , и называются главными моментами инерции . Этот результат был впервые показан Дж. Дж. Сильвестром (1852) и является формой закона инерции Сильвестра . ^{[29] [30]} Главная ось с наибольшим моментом инерции иногда называется осью фигуры или осью фигуры . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Игрушечный волчок является примером вращающегося твердого тела, и слово « вершина» используется в названиях типов твердых тел. Когда все главные моменты инерции различны, главные оси, проходящие через центр масс , однозначно определены, и твердое тело называется асимметричным волчком . Если два главных момента одинаковы, твердое тело называется симметричным волчком , и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три главных момента одинаковы, твердое тело называется сферическим волчком (хотя оно не обязательно должно быть сферическим), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков относительно любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка , то есть оно симметрично относительно вращений на 360° / м вокруг данной оси, то эта ось является главной осью. Когда , твердое тело является симметричным волчком. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, то это сферический волчок, например, куб или любое другое Платоново тело . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>2}$

Движение транспортных средств часто описывается в терминах рыскания, тангажа и крена , которые обычно приблизительно соответствуют вращениям вокруг трех главных осей. Если транспортное средство имеет двустороннюю симметрию, то одна из главных осей будет точно соответствовать поперечной (тангажной) оси .

Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача балансировки шины , которая по сути заключается в регулировке распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была совмещена с осью, и колесо не качалось.

Вращающиеся молекулы также классифицируются как асимметричные, симметричные или сферические волчки, и структура их вращательных спектров различна для каждого типа.

Эллипсоид

Эллипсоид с полуглавными диаметрами, обозначенными , и . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Матрица момента инерции в системе координат тела является квадратичной формой, которая определяет поверхность в теле, называемую эллипсоидом Пуансо . ^[31] Пусть будет матрицей инерции относительно центра масс, совмещенного с главными осями, тогда поверхность или определяет эллипсоид в системе координат тела. Запишите это уравнение в форме, чтобы увидеть, что полуглавные диаметры этого эллипсоида определяются как ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,}$$ $${\displaystyle I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,}$$ $${\displaystyle \left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,}$$ $${\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.}$$

Пусть точка на этом эллипсоиде определена в терминах ее величины и направления, , где - единичный вектор. Тогда соотношение, представленное выше, между матрицей инерции и скалярным моментом инерции вокруг оси в направлении , дает ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle I_{\mathbf {n} }}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.}$$

Таким образом, величина точки в направлении на эллипсоиде инерции равна ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.}$$

Смотрите также

• Центральный момент
• Список моментов инерции
• Плоская пластинка
• Энергия вращения
• Фактор момента инерции

Ссылки

1. Эскудье, Марсель; Аткинс, Тони (2019). Словарь по машиностроению (2-е изд.). Oxford University Press. doi : 10.1093/acref/9780198832102.001.0001. ISBN 978-0-19-883210-2.
2. Mach, Ernst (1919). Наука механики. стр. 173–187 . Получено 21 ноября 2014 г.
3. Эйлер, Леонард (1765). Теория движения твердых или твердых тел: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [Теория движения твердых или твердых тел: установлена ​​на основе основных принципов наших знаний и подходит для всех движений, которые может возникнуть в таких органах.] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): А.Ф. Рёзе. п. 166. ИСБН 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Определение 7. 422. Импульс инерции тела относительно eujuspiam axis est summa omnium Productorum, quae oriuntur, si Singula Corporis Elementa per Squareta Distanceiarum Suarum Ab Ax Multiplicentur». (Определение 7.422. Момент инерции тела относительно какой-либо оси есть сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадраты их расстояний от оси.)
4. Мэрион, Дж. Б.; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3.
5. Symon, KR (1971). Механика (3-е изд.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
6. Tenenbaum, RA (2004). Основы прикладной динамики . Springer. ISBN 0-387-00887-X.
7. Кейн, ТР; Левинсон, ДА (1985). Динамика, теория и приложения . Нью-Йорк: McGraw-Hill.
8. Winn, Will (2010). Введение в понятную физику: Том I - Механика. AuthorHouse. стр. 10.10. ISBN 978-1449063337.
9. Fullerton, Dan (2011). Honors Physics Essentials. Silly Beagle Productions. стр. 142–143. ISBN 978-0983563334.
10. Вольфрам, Стивен (2014). «Вращающийся конькобежец». Wolfram Demonstrations Project . Mathematica, Inc. Получено 30 сентября 2014 г.
11. Хокин, Сэмюэл (2014). «Вращения в фигурном катании». Физика повседневных вещей . Получено 30 сентября 2014 г.
12. Брейтхаупт, Джим (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня. Нельсон Томас. стр. 64. ISBN 0748743146.
13. Кроуэлл, Бенджамин (2003). Законы сохранения . Свет и материя. С. 107. ISBN 0970467028. сохранение момента импульса у фигуриста.
14. Типлер, Пол А. (1999). Физика для ученых и инженеров, т. 1: Механика, колебания и волны, термодинамика. Macmillan. стр. 304. ISBN 1572594918.
15. Пол, Бертон (июнь 1979). Кинематика и динамика плоских машин . Prentice Hall. ISBN 978-0135160626.
16. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 9780471216438.
17. Френч, AP (1971). Вибрации и волны . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780748744473.
18. Uicker, John J.; Pennock, Gordon R.; Shigley, Joseph E. (2010). Теория машин и механизмов (4-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0195371239.
19. C. Couch и J. Mayes, Trifilar Pendulum for MOI, Happresearch.com, 2016.
20. Грейси, Уильям, Экспериментальное определение моментов инерции самолетов упрощенным методом составного маятника, Техническая записка NACA № 1629, 1948 г.
21. Морроу, Х. У.; Кокернак, Роберт (2011). Статика и прочность материалов (7-е изд.). Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 192–196. ISBN 978-0135034521.
22. В этой ситуации этот момент инерции описывает только то, как крутящий момент, приложенный вдоль этой оси, вызывает вращение вокруг этой оси. Но крутящие моменты, не выровненные вдоль главной оси, также вызовут вращение вокруг других осей.
23. Фердинанд П. Бир; Э. Рассел Джонстон-младший; Филлип Дж. Корнуэлл (2010). Векторная механика для инженеров: Динамика (9-е изд.). Бостон: McGraw-Hill. ISBN 978-0077295493.
24. Уолтер Д. Пилки, Анализ и проектирование упругих балок: вычислительные методы, John Wiley, 2002.
25. Goldstein, H. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
26. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика, т. 1. 2-е изд., Pergamon Press, 1969.
27. LW Tsai, Анализ роботов: механика последовательных и параллельных манипуляторов, John-Wiley, Нью-Йорк, 1999.
28. Дэвид, Барафф. "Физически обоснованное моделирование - Моделирование твердого тела" (PDF) . Pixar Graphics Technologies .
29. Sylvester, JJ (1852). "Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен приводится действительными ортогональными подстановками к виду суммы положительных и отрицательных квадратов" (PDF) . Philosophical Magazine . 4-я серия. 4 (23): 138–142. doi :10.1080/14786445208647087 . Получено 27 июня 2008 г. .
30. Норман, CW (1986). Алгебра для студентов . Oxford University Press . С. 360–361. ISBN 0-19-853248-2.
31. Мейсон, Мэтью Т. (2001). Механика манипуляции робототехники. MIT Press. ISBN 978-0-262-13396-8. Получено 21 ноября 2014 г. .

Внешние ссылки

• Момент импульса и вращение твердого тела в двух и трех измерениях
• Конспект лекций по теме «Вращение твердого тела и моменты инерции»
• Тензор момента инерции
• Вводный урок по моменту инерции: как удержать вертикальный шест от падения (симуляция Java)
• Учебное пособие по нахождению моментов инерции с задачами и решениями для различных основных фигур
• Заметки по механике манипуляции: тензор угловой инерции

• Простой в использовании и бесплатный онлайн-калькулятор момента инерции