Псевдориманово многообразие

Дифференцируемое многообразие с невырожденным метрическим тензором

В математической физике псевдориманово многообразие , ^{[1] [2]} также называемое полуримановым многообразием , — это дифференцируемое многообразие с метрическим тензором , который всюду невырожден . Это обобщение риманова многообразия , в котором требование положительной определенности ослаблено.

Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .

Частным случаем, используемым в общей теории относительности, является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы можно классифицировать как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .

Введение

Коллекторы

В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, локально подобное евклидову пространству . В n -мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана n действительными числами. Они называются координатами точки.

n -мерное дифференцируемое многообразие является обобщением n -мерного евклидова пространства. В многообразии может быть возможно только локальное определение координат . Это достигается путем определения координатных пятен : подмножеств многообразия, которые могут быть отображены в n -мерное евклидово пространство.

Более подробную информацию см. в разделах Многообразие , Дифференцируемое многообразие , Координатный патч .

Касательные пространства и метрические тензоры

С каждой точкой в ​​-мерном дифференцируемом многообразии связано касательное пространство (обозначаемое ). Это -мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

Метрический тензор — это невырожденное , гладкое, симметричное, билинейное отображение , которое сопоставляет действительное число парам касательных векторов в каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через , мы можем выразить это как ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}$

Отображение симметрично и билинейно, поэтому если — касательные векторы в точке многообразия , то мы имеем ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

для любого действительного числа . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Это означает , что не существует ненулевого числа такого, что для всех . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle g(X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$

Метрические подписи

Если задан метрический тензор g на n -мерном вещественном многообразии, квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ), связанная с метрическим тензором, примененная к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n вещественных значений. По закону инерции Сильвестра число каждого положительного, отрицательного и нулевого значения, полученного таким образом, является инвариантом метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Сигнатура ( p , q , r ) метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке. Невырожденный метрический тензор имеет r = 0 , и сигнатуру можно обозначить ( p , q ) , где p + q = n .

Определение

Псевдориманово многообразие ( M , g ) — это дифференцируемое многообразие M , снабженное всюду невырожденным, гладким, симметричным метрическим тензором g .

Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики — ( p ,  q ) , где и p , и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью подразумевает, что p и q остаются неизменными во всем многообразии (предполагая, что оно связно).

Лоренцево многообразие

Лоренцево многообразие является важным частным случаем псевдориманова многообразия, в котором сигнатура метрики равна (1,  n −1) (эквивалентно, ( n −1, 1) ; см. Соглашение о знаках ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .

Основная предпосылка общей теории относительности заключается в том, что пространство-время можно смоделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что эквивалентно, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно-определенными метриками, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы как времениподобные , нулевые или пространственноподобные . С сигнатурой ( p , 1) или (1,  q ) многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентируемо во времени (см. Каузальная структура ).

Свойства псевдоримановых многообразий

Так же, как евклидово пространство можно рассматривать как локальную модель риманова многообразия , пространство Минковского с плоской метрикой Минковского является локальной моделью лоренцева многообразия. Аналогично, модельное пространство для псевдориманова многообразия сигнатуры ( p ,  q ) является псевдоевклидовым пространством , для которого существуют координаты x _i такие, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

Некоторые теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии верна для всех псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивиты на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии есть много теорем, которые не выполняются в обобщенном случае. Например, неверно , что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику заданной сигнатуры; существуют определенные топологические препятствия. Более того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор становится равным нулю на любой светоподобной кривой . Тор Клифтона–Поля представляет собой пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, комбинация свойств, которые теорема Хопфа–Ринова не допускает для римановых многообразий. ^[3]

Смотрите также

• Условия причинности
• Глобально гиперболическое многообразие
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Ориентируемое многообразие
• Пространство-время

Примечания

1. Бенн и Такер 1987, стр. 172
2. Бишоп и Голдберг 1968, стр. 208
3. О'Нил 1983, стр. 193

ссылки

• Бенн, IM; Такер, RW (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в изд. 1987 г.), Адам Хильгер, ISBN 0-85274-169-3
• Бишоп, Ричард Л.; Голдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Чэнь, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, [дельта]-инварианты и приложения , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности, Чистая и прикладная математика, т. 103, Academic Press, ISBN 9780080570570
• Вранчану, Г.; Рошка, Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию , Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с лоренцевыми многообразиями на Wikimedia Commons