Пять точек определяют конику

Принцип в геометрии

В евклидовой и проективной геометрии пять точек определяют конику (плоскую кривую степени 2), так же как две (отдельные) точки определяют прямую ( плоскую кривую степени 1 ). Для коник существуют дополнительные тонкости , которых нет для прямых, и поэтому утверждение и его доказательство для коник являются более техническими, чем для прямых.

Формально, если заданы любые пять точек на плоскости в общем линейном положении , то есть нет трех коллинеарных , то существует единственная коника, проходящая через них, которая будет невырожденной ; это верно как для евклидовой плоскости , так и для любой папповской проективной плоскости . Действительно, если заданы любые пять точек, существует коника, проходящая через них, но если три из точек коллинеарны, то коника будет вырожденной (приводимой, поскольку она содержит прямую) и может быть не единственной; см. дальнейшее обсуждение .

Доказательства

Этот результат можно доказать множеством различных способов; аргумент с подсчетом размерностей является наиболее прямым и обобщает в более высокой степени, в то время как другие доказательства являются специальными для конических сечений.

Подсчет размеров

Интуитивно понятно, что прохождение через пять точек в общем линейном положении задает пять независимых линейных ограничений на (проективном) линейном пространстве коник и, следовательно, задает уникальную конику, хотя это краткое утверждение игнорирует тонкости.

Точнее это выглядит следующим образом:

• коники соответствуют точкам в пятимерном проективном пространстве ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5};}$
• требование, чтобы коника проходила через точку, накладывает линейное условие на координаты: для фиксированного уравнения это линейное уравнение относительно ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F);}$
• при подсчете размерности для определения конического сечения необходимы пять ограничений (что кривая проходит через пять точек), поскольку каждое ограничение сокращает размерность возможностей на 1, а все начинается с 5 размерностей;
• в 5 измерениях пересечение 5 (независимых) гиперплоскостей представляет собой одну точку (формально, по теореме Безу );
• общее линейное положение точек означает, что ограничения независимы и, таким образом, задают уникальную конику;
• Полученная коника невырождена, поскольку является кривой (так как имеет более 1 точки) и не содержит прямой (иначе она разделилась бы на две прямые, по крайней мере одна из которых должна содержать 3 из 5 точек, согласно принципу Дирихле ), поэтому она неприводима.

Две тонкости в приведенном выше анализе заключаются в том, что полученная точка является квадратным уравнением (а не линейным уравнением), и что ограничения независимы. Первое просто: если A , B , и C все равны нулю, то уравнение определяет прямую, и любые 3 точки на ней (на самом деле любое количество точек) лежат на прямой – таким образом, общее линейное положение обеспечивает конику. Второе, то, что ограничения независимы, значительно тоньше: оно соответствует тому факту, что если заданы пять точек в общем линейном положении на плоскости, их образы в под картой Веронезе находятся в общем линейном положении, что верно, потому что карта Веронезе является бирегулярной : т. е. если образ пяти точек удовлетворяет отношению, то отношение можно оттянуть назад, и исходные точки также должны удовлетворять отношению. Карта Веронезе имеет координаты , а цель является двойственной к коник. Карта Веронезе соответствует «оценке коники в точке», и утверждение о независимости ограничений является в точности геометрическим утверждением об этой карте. ${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}:xz:yz:z^{2}],}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$ ${\displaystyle [A:B:C:D:E:F]}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$

Синтетическая защита

То, что пять точек определяют конику, может быть доказано синтетической геометрией — т. е. в терминах прямых и точек на плоскости — в дополнение к аналитическому (алгебраическому) доказательству, данному выше. Такое доказательство может быть дано с использованием теоремы Якоба Штайнера ^[1] , которая гласит:

При заданном проективном преобразовании f между пучком прямых, проходящих через точку X , и пучком прямых, проходящих через точку Y, множество C точек пересечения между прямой x и ее образом образует конику. ${\displaystyle f(x)}$

Обратите внимание, что X и Y находятся на этой конике, рассматривая прообраз и образ прямой XY (которые являются соответственно прямой, проходящей через X и прямой, проходящей через Y ).

Это можно показать, переведя точки X и Y в стандартные точки и выполнив проективное преобразование; в этом случае пучки прямых соответствуют горизонтальным и вертикальным прямым на плоскости, а пересечения соответствующих прямых — графику функции, который (необходимо показать) является гиперболой, следовательно, коникой, следовательно, исходная кривая C является коникой. ${\displaystyle [1:0:0]}$ ${\displaystyle [0:1:0]}$

Теперь, если заданы пять точек X, Y, A, B, C, три прямые можно перевести в три прямые с помощью единственного проективного преобразования, поскольку проективные преобразования просто 3-транзитивны на прямых (они просто 3-транзитивны на точках, следовательно, по проективной двойственности они 3-транзитивны на прямых). При этом отображении X отображается в Y, поскольку это единственные точки пересечения этих прямых, и, таким образом, удовлетворяет гипотезе теоремы Штейнера. Таким образом, полученная коника содержит все пять точек и является единственной такой коникой, как и требовалось. ${\displaystyle XA,XB,XC}$ ${\displaystyle YA,YB,YC}$

Построение параболы по пяти точкам

Строительство

Если даны пять точек, то можно построить конику, содержащую их, различными способами.

Аналитически, зная координаты пяти точек, уравнение конического сечения можно найти с помощью линейной алгебры , записав и решив пять уравнений в коэффициентах, заменив переменные значениями координат: пять уравнений, шесть неизвестных, но однородные, поэтому масштабирование удаляет одно измерение; конкретно, это достигается установкой одного из коэффициентов в 1. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})_{i=1,2,3,4,5}}$

Этого можно добиться довольно непосредственно с помощью следующего детерминантного уравнения:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}x^{2}&xy&y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}y_{3}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\\x_{4}^{2}&x_{4}y_{4}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\\x_{5}^{2}&x_{5}y_{5}&y_{5}^{2}&x_{5}&y_{5}&1\end{bmatrix}}=0}$

Эта матрица имеет переменные в первой строке и числа во всех остальных строках, поэтому определитель, очевидно, является линейной комбинацией шести одночленов степени не более 2. Кроме того, полученный многочлен явно обращается в нуль в пяти входных точках (когда ), поскольку тогда матрица имеет повторяющуюся строку. ${\displaystyle (x,y)=(x_{i},y_{i})}$

Синтетически конику можно построитьКонструкция Брейкенриджа–Маклорена ^[2][3][4][5]путем применениятеоремы Брейкенриджа–Маклорена, которая является обратнойтеоремой Паскаля. Теорема Паскаля гласит, что при наличии6точек на конике (шестиугольнике) линии, определяемые противоположными сторонами, пересекаются в трех коллинеарных точках. Это можно сделать наоборот, чтобы построить возможные местоположения для 6-й точки, при наличии 5 существующих.

Обобщения

Естественным обобщением является вопрос о том, при каком значении k конфигурация из k точек (в общем положении) в n- мерном пространстве определяет множество степени d и размерности m , что является фундаментальным вопросом в исчислительной геометрии .

Простым случаем этого является гиперповерхность ( подмногообразие коразмерности 1, нули одного многочлена, случай ), примером которой являются плоские кривые. ${\displaystyle m=n-1}$

В случае гиперповерхности ответ дается в терминах коэффициента мультимножества , более привычно биномиального коэффициента или, что более элегантно, возрастающего факториала , как:

${\displaystyle k=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1={\frac {1}{n!}}(d+1)^{(n)}-1.}$

Это достигается с помощью аналогичного анализа карты Веронезе : k точек в общем положении накладывают k независимых линейных условий на многообразие (потому что карта Веронезе бирегулярна), а число одночленов степени d от переменных ( n -мерное проективное пространство имеет однородные координаты) равно , из которого вычитается 1 из-за проективизации: умножение многочлена на константу не изменяет его нули. ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \textstyle {\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)},}$

В приведенной выше формуле число точек k представляет собой многочлен по d степени n со старшим коэффициентом ${\displaystyle 1/n!}$

В случае плоских кривых формула принимает вид: ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)(d+2)-1=\textstyle {\frac {1}{2}}(d^{2}+3d)}$

значения которых для являются – кривых степени 0 не существует (отдельная точка является точкой и, таким образом, определяется точкой, которая имеет коразмерность 2), 2 точки определяют прямую, 5 точек определяют конику, 9 точек определяют кубику, 14 точек определяют квартику и т. д. ${\displaystyle d=0,1,2,3,4}$ ${\displaystyle 0,2,5,9,14}$

Связанные результаты

В то время как пять точек определяют коническое сечение, наборы из шести или более точек на коническом сечении не находятся в общем положении, то есть они ограничены, как показано в теореме Паскаля .

Аналогично, хотя девять точек определяют кубику, если девять точек лежат более чем на одной кубике, т. е. являются пересечением двух кубик, то они не находятся в общем положении и действительно удовлетворяют ограничению сложения, как указано в теореме Кэли–Бахараха .

Четыре точки не определяют конику, а скорее пучок , одномерную линейную систему коник , которые все проходят через четыре точки (формально, имеют четыре точки в качестве базисного места ). Аналогично, три точки определяют двумерную линейную систему (сеть), две точки определяют трехмерную линейную систему (паутину), одна точка определяет четырехмерную линейную систему, а нуль точек не накладывает никаких ограничений на пятимерную линейную систему всех коник.

Окружности Аполлона представляют собой два однопараметрических семейства, определяемых двумя точками.

Как хорошо известно, три неколлинеарные точки определяют окружность в евклидовой геометрии, а две различные точки определяют пучок окружностей, таких как окружности Аполлона . Эти результаты, по-видимому, противоречат общему результату, поскольку окружности являются частными случаями коник. Однако в папповской проективной плоскости коника является окружностью только в том случае, если она проходит через две определенные точки на прямой в бесконечности , поэтому окружность определяется пятью неколлинеарными точками, тремя в аффинной плоскости и этими двумя особыми точками. Аналогичные соображения объясняют меньшее, чем ожидалось, количество точек, необходимых для определения пучков окружностей.

Касательность

Вместо прохождения через точки, другое условие на кривой — касание к заданной прямой. Касание пяти заданных прямых также определяет конику, по проективной двойственности , но с алгебраической точки зрения касание к прямой является квадратичным ограничением, поэтому наивный подсчет размерностей дает 2 ⁵  = 32 коники, касающихся пяти заданных прямых, из которых 31 следует отнести к вырожденным коникам, как описано в факторах вымысла в исчислительной геометрии ; формализация этой интуиции требует значительного дальнейшего развития для обоснования.

Другая классическая задача в исчислительной геометрии, близкая по происхождению к коническим сечениям, — это задача Аполлония : окружность, касающаяся трех окружностей, в общем случае определяет восемь окружностей, поскольку каждая из них является квадратичным условием и 2 ^{· 3}  = 8. Как вопрос в реальной геометрии, полный анализ включает в себя множество частных случаев, и фактическое количество окружностей может быть любым числом от 0 до 8, за исключением 7.

Смотрите также

• Теорема Крамера (алгебраические кривые) для обобщения на плоские кривые n -й степени

Ссылки

1. Интерактивный курс по проективной геометрии Архивировано 27.11.2017 на Wayback Machine , Глава пятая: Проективная геометрия конических сечений Архивировано 22.12.2017 на Wayback Machine : Раздел четвертый: Конические сечения на реальной проективной плоскости Архивировано 24.04.2018 на Wayback Machine , автор JC Álvarez Paiva; доказательство следует за упражнением 4.6
2. (Коксетер 1961, стр. 252–254)
3. Оживленный Паскаль, Сандра Лах Арлингхаус
4. Weisstein, Eric W. «Конструкция Брейкенриджа-Маклорена». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Braikenridge-MaclaurinConstruction.html
5. Страница конических сечений GNU 3DLDF: теорема Паскаля и конструкция Брейкенриджа-Маклорена, Лоуренс Д. Финстон

• Коксетер, HSM (1961), Введение в геометрию , Вашингтон, округ Колумбия{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Коксетер, Х. С. М .; Грейтцер, С. Л. (1967), Geometry Revisited , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. 76
• Диксон, AC (март 1908 г.), «Коническое сечение через пять данных точек», The Mathematical Gazette , 4 (70), The Mathematical Association: 228–230, doi : 10.2307/3605147, JSTOR  3605147, S2CID  125356690

Внешние ссылки

• Пять точек определяют коническое сечение, интерактивная демонстрация Wolfram