Теорема Рибета

Теорема Рибе (ранее называвшаяся гипотезой эпсилона или ε-гипотезой ) является частью теории чисел . Речь идет о свойствах представлений Галуа, связанных с модулярными формами . Он был предложен Жан-Пьером Серром и доказан Кеном Рибетом . Доказательство стало важным шагом на пути к доказательству Великой теоремы Ферма (FLT). Как показали Серр и Рибет, гипотеза Таниямы-Шимуры (статус которой в то время не был решен) и гипотеза эпсилона вместе подразумевают, что FLT верен.

С математической точки зрения теорема Рибе показывает, что если представление Галуа, связанное с эллиптической кривой, обладает определенными свойствами, то эта кривая не может быть модулярной (в том смысле, что не может существовать модулярная форма, порождающая то же представление). ^[1]

Заявление

Пусть $f$ — новая форма веса 2 на $Γ 0 (qN)$ – т.е. уровня $qN$ , где $q$ не делит $N$ – с абсолютно неприводимым 2-мерным представлением Галуа $по модулю$ $p ρ f,p,$ неразветвленным в $q$ , если $q \neq p$ , и конечным плоским в точке $q знак равно п$ . Тогда существует новая форма $g$ веса 2 уровня $N$ такая, что

\rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.

В частности, если $E$ — эллиптическая кривая с проводником $qN$ , то теорема модулярности гарантирует, что существует новая форма $f$ веса 2 уровня $qN$ такая , что двумерное представление Галуа по модулю $p$ $ρ$ $f, p$ из $f$ изоморфно 2-мерное представление Галуа $по модулю$ $p$ $E, p$ of $E$ . Чтобы применить $к$ $ρE$ $,$ $p$ теорему Рибе , достаточно проверить неприводимость и разветвление $ρE$ $,p$ . Используя теорию кривой Тейта , можно доказать, что $ρ$ $E, p$ неразветвлен при $q$ $\neq$ $p$ и конечен плоский при $q$ $=$ $p$ , если $p$ делит степень, в которой $q$ появляется в минимальном дискриминанте $Δ$ $E.$ Тогда из теоремы Рибе следует, что существует новая форма $g$ веса 2 уровня $N$ такая, что $ρ$ $g$ $,$ $p$ $\approx$ $ρ$ $E$ $,$ $p$ . $\mathbb {Q}$

Понижение уровня

Теорема Рибе утверждает, что начало с эллиптической кривой $E$ проводника $qN$ не гарантирует существования эллиптической кривой $E'$ уровня $N$ такой, что $ρ E, p \approx ρ E', p$ . Новая форма $g$ уровня $N$ может не иметь рациональных коэффициентов Фурье и, следовательно, может быть связана с абелевым многообразием более высокой размерности , а не с эллиптической кривой. Например, эллиптическая кривая 4171a1 в базе данных Кремоны определяется уравнением

E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595

с проводником $43 \times 97$ и дискриминантом $437 \times 97 3$ не понижает уровень mod 7 до эллиптической кривой проводника 97. Скорее, представление Галуа mod $p$ изоморфно представлению Галуа mod $p$ иррациональной новой формы $g$ уровня 97. .

Однако для $p$ , достаточно большого по сравнению с уровнем $N$ новой формы с пониженным уровнем, рациональная новая форма (например, эллиптическая кривая) должна быть на уровень ниже другой рациональной новой формы (например, эллиптической кривой). В частности, для $p ≫ NN$ $1+ ε представление Галуа рациональной$ новой формы по модулю $p$ не может быть изоморфно иррациональной новой форме уровня $N$ . ^[2]

Точно так же гипотеза Фрея- Мазура предсказывает, что при достаточно большом $p$ (независимом от проводника $N$ ) эллиптические кривые с изоморфными по модулю $p$ представлениями Галуа на самом деле изогенны и, следовательно, имеют один и тот же проводник. Таким образом, не прогнозируется, что нетривиальное понижение уровня между рациональными новыми формами произойдет при больших $p (p > 17)$ .

История

В своей диссертации Ив Хеллегуар [фр] выдвинул идею связи решений ( a , b , c ) уравнения Ферма с другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[3] Если p — нечетное простое число, а a , b и c — положительные целые числа такие, что

a^{p}+b^{p}=c^{p},

тогда соответствующая кривая Фрея является алгебраической кривой, заданной уравнением

y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p}).

Это неособая алгебраическая кривая рода один, определенная над , и ее проективное пополнение является эллиптической кривой над . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

В 1982 году Герхард Фрей обратил внимание на необычные свойства той же кривой, которая теперь называется кривой Фрея . ^[4] Это послужило мостом между Ферма и Таниямой, показав, что контрпример к FLT создаст кривую, которая не будет модульной. Гипотеза вызвала значительный интерес, когда Фрей предположил, что гипотеза Таниямы-Шимуры подразумевает FLT. Однако его аргументация не была полной. ^[5] В 1985 году Жан-Пьер Серр предположил, что кривая Фрея не может быть модулярной, и предоставил частичное доказательство. ^[6]^[7] Это показало, что доказательство полустабильного случая гипотезы Таниямы–Шимуры будет подразумевать FLT. Серр не предоставил полного доказательства, и недостающий бит стал известен как гипотеза об эпсилоне или ε-гипотеза. Летом 1986 года Кеннет Алан Рибет доказал гипотезу об эпсилоне, тем самым доказав, что из теоремы модульности следует FLT. ^[8]

Название происходит от ε-части «гипотезы Таниямы-Шимуры + ε ⇒ Последняя теорема Ферма».

Подразумеваемое

Предположим, что уравнение Ферма с показателем $p \geq 5$ ^[8] имеет решение в ненулевых целых числах $a, b, c$ . Соответствующая кривая Фрея $E a p, b p, c p$ представляет собой эллиптическую кривую, минимальный дискриминант Δ которой $равен$ 2 $-8$ ( $abc) 2 p и проводник N$ является $радикалом$ abc , т.е. произведением всех различных простых чисел, делящих $абв$ . Элементарное рассмотрение уравнения $a$ $p$ $+$ $b$ $p$ $=$ $c$ $p$ проясняет, что одно из $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ четно, а значит, и N. По гипотезе Таниямы–Шимуры $E$ — модулярная эллиптическая кривая. Поскольку все нечетные простые числа, делящие $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ в $N$ , находятся в $p$ $-й$ степени в минимальном дискриминанте $Δ$ , по теореме Рибета повторяющийся спуск уровня по модулю $p$ удаляет все нечетные простые числа из проводника. Однако новых форм уровня 2 не остается, поскольку род модулярной кривой $X$ $0$ $(2)$ равен нулю (а новые формы уровня N являются дифференциалами на $X$ $0$ $($ $N$ $) )$ .

Смотрите также

Примечания

^ «Доказательство Великой теоремы Ферма». 10 декабря 2008 г. Архивировано из оригинала 10 декабря 2008 г.
^ Силлиман, Джесси; Фогт, Изабель (2015). «Полномочия в последовательностях Люка через представления Галуа». Труды Американского математического общества . 143 (3): 1027–1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . дои : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1. MR 3293720. S2CID 16892383.
^ Хеллегуарх, Ив (1972). «Эллиптический Курб и уравнение Ферма». Докторская диссертация . БнФ 359121326.
^ Фрей, Герхард (1982), «Обоснование Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven» [Рациональные точки на кривых Ферма и скрученных модульных кривых], Дж. Рейне Ангью. Математика. (на немецком языке), 1982 (331): 185–191, doi : 10.1515/crll.1982.331.185, MR 0647382, S2CID 118263144.
^ Фрей, Герхард (1986), «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями», Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268, MR 0853387
^ Серр, Ж.-П. (1987), «Lettre à J.-F. Mestre [Письмо Ж.-Ф. Местре]», Современные тенденции в арифметической алгебраической геометрии (Арката, Калифорния, 1985) , Contemporary Mathematics (на французском языке), vol. 67, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 263–268, номер документа : 10.1090/conm/067/902597, ISBN. 9780821850749, МР 0902597
^ Серр, Жан-Пьер (1987), «Sur les representation modulaires de degré 2 de Gal ( Q / Q )», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87- 05413-5, ISSN 0012-7094, МР 0885783
^ аб Рибет, Кен (1990). «О модулярных представлениях Gal(Q/Q), возникающих из модулярных форм» (PDF) . Математические изобретения . 100 (2): 431–476. Бибкод : 1990InMat.100..431R. дои : 10.1007/BF01231195. MR 1047143. S2CID 120614740.

Внешние ссылки

Кен Рибет и Великая теорема Ферма, Кевин Баззард , 28 июня 2008 г.