Теория возмущений

В математике и прикладной математике методы нахождения приближенного решения задачи

В математике и прикладной математике теория возмущений включает методы поиска приближенного решения проблемы, начиная с точного решения связанной, более простой проблемы. ^{[1] [2]} Важнейшей особенностью метода является средний шаг, который разбивает проблему на «разрешимую» и «возмущающую» части. ^[3] В обычной теории возмущений решение выражается в виде степенного ряда по малому параметру . ^{[1] [2]} Первый член — это известное решение разрешимой проблемы. Последовательные члены ряда при более высоких степенях обычно становятся меньше. Приближенное «решение возмущения» получается путем усечения ряда, часто сохраняя только первые два члена, решение известной проблемы и поправку возмущения «первого порядка». ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Теория возмущений используется в широком спектре областей и достигает своих самых сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля . Теория возмущений (квантовая механика) описывает использование этого метода в квантовой механике . Область в целом остается активно и интенсивно исследуемой в рамках множества дисциплин.

Описание

Теория возмущений разрабатывает выражение для искомого решения в терминах формального степенного ряда, известного как ряд возмущений по некоторому «малому» параметру, который количественно определяет отклонение от точно решаемой задачи. Главный член в этом степенном ряду является решением точно решаемой задачи, в то время как дальнейшие члены описывают отклонение в решении из-за отклонения от исходной задачи. Формально, для приближения к полному решению мы имеем ряд по малому параметру (здесь называемому ε ), например: ${\displaystyle \ A\ ,}$

${\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }$

В этом примере будет известным решением точно решаемой исходной задачи, а члены представляют члены первого порядка , второго порядка , третьего порядка и более высокого порядка , которые могут быть найдены итеративно с помощью механистической, но все более сложной процедуры. Для малых эти члены более высокого порядка в ряду обычно (но не всегда) становятся последовательно меньше. Приближенное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто путем сохранения только первых двух членов, выражая окончательное решение как сумму начального (точного) решения и пертурбативной поправки «первого порядка» ${\displaystyle \ A_{0}\ }$ ${\displaystyle \ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon \ }$

${\displaystyle A\to A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0}$

Некоторые авторы используют обозначение «О» большое для указания порядка ошибки в приближенном решении: ^[2] ${\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}$

Если степенной ряд в сходится с ненулевым радиусом сходимости, то задача возмущения называется регулярной задачей возмущения. ^[1] В регулярных задачах возмущения асимптотическое решение плавно приближается к точному решению. ^[1] Однако ряд возмущения может также расходиться, и усеченный ряд все еще может быть хорошим приближением к истинному решению, если он усечен в точке, в которой его элементы минимальны. Это называется асимптотическим рядом . Если ряд возмущения расходящийся или не является степенным рядом (например, если асимптотическое разложение должно включать нецелые степени или отрицательные степени ), то задача возмущения называется сингулярной задачей возмущения . ^[1] Было разработано много специальных методов в теории возмущений для анализа сингулярных задач возмущения. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \varepsilon \ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{-2}\ }$

Прототипный пример

Самое раннее применение того, что сейчас называется теорией возмущений, было связано с решением неразрешимых иным образом математических задач небесной механики : например, орбиты Луны , которая движется заметно иначе, чем по простому эллипсу Кеплера, из-за конкурирующей гравитации Земли и Солнца . [ ^4]

Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которая достаточно проста для точного решения. В небесной механике это обычно кеплеровский эллипс . В ньютоновской гравитации эллипс абсолютно верен, когда есть только два гравитирующих тела (например, Земля и Луна ) , но не совсем верен, когда есть три или более объектов (например, Земля, Луна , Солнце и остальная часть Солнечной системы ), и не совсем верен, когда гравитационное взаимодействие определяется с использованием формулировок общей теории относительности .

Пертурбативное расширение

Имея в виду приведенный выше пример, следуем общему рецепту получения ряда возмущений. Пертурбативное разложение создается путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Поправки получаются путем принудительного согласования между невозмущенным решением и уравнениями, описывающими систему в полном объеме. Запишите для этого набора уравнений; то есть пусть символ будет обозначать решаемую задачу. Довольно часто это дифференциальные уравнения, отсюда и буква «D». ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ D\ }$

Процесс, как правило, механический, хотя и трудоемкий. Начинают с написания уравнений так, чтобы они разделились на две части: некоторый набор уравнений, которые можно решить точно, и некоторая дополнительная оставшаяся часть для некоторого малого Решение (для ) известно, и ищут общее решение для ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ D_{0}\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon \ll 1~.}$ ${\displaystyle \ A_{0}\ }$ ${\displaystyle \ D_{0}\ }$ ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.}$

Затем приближение вставляется в . Это приводит к уравнению , для которого в общем случае можно записать в замкнутом виде как сумму интегралов по Таким образом, получена поправка первого порядка , и, таким образом, это хорошее приближение к Это хорошее приближение именно потому, что проигнорированные части имели размер Затем процесс можно повторить, чтобы получить поправки и так далее. ${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}}$ ${\displaystyle \ A_{1}\ ,}$ ${\displaystyle \ A_{0}~.}$ ${\displaystyle \ A_{1}\ }$ ${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$ ${\displaystyle \ A~.}$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{2}~.}$ ${\displaystyle \ A_{2}\ ,}$

На практике этот процесс быстро взрывается обилием терминов, с которыми становится чрезвычайно трудно управляться вручную. Сообщается, что Исаак Ньютон сказал относительно проблемы орбиты Луны : «От нее у меня болит голова». ^[5] Эта неуправляемость заставила теорию возмущений развиться в высокое искусство управления и записи этих членов более высокого порядка. Одним из фундаментальных прорывов в квантовой механике для управления расширением являются диаграммы Фейнмана , которые позволяют представить ряды возмущений квантовой механики в виде наброска.

Примеры

Теория возмущений использовалась в большом количестве различных установок в физике и прикладной математике. Примерами «коллекции уравнений» являются алгебраические уравнения , ^[6] дифференциальные уравнения (например, уравнения движения ^[7] и обычно волновые уравнения ), термодинамическая свободная энергия в статистической механике , перенос излучения ^[8] и гамильтоновы операторы в квантовой механике . ${\displaystyle D}$

Примерами видов решений, которые находятся пертурбативным методом, являются решение уравнения движения ( например , траектория частицы), статистическое среднее значение некоторой физической величины ( например , средняя намагниченность) и энергия основного состояния квантово-механической задачи.

Примерами точно решаемых задач, которые можно использовать в качестве отправных точек, являются линейные уравнения , включая линейные уравнения движения ( гармонический осциллятор , линейное волновое уравнение ), статистические или квантово-механические системы невзаимодействующих частиц (или в общем случае гамильтонианы или свободные энергии, содержащие только члены, квадратичные по всем степеням свободы).

Примерами систем, которые можно решить с помощью возмущений, являются системы с нелинейными вкладами в уравнения движения, взаимодействия между частицами, члены более высоких степеней в гамильтониане/свободной энергии.

Для физических задач, связанных с взаимодействием между частицами, члены ряда возмущений можно отображать (и манипулировать ими) с помощью диаграмм Фейнмана .

История

Теория возмущений была впервые разработана для решения иным образом неразрешимых проблем при расчете движений планет в солнечной системе. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объяснял гравитацию между двумя астрономическими телами, но когда добавлялось третье тело, возникала проблема: «Как каждое тело притягивает друг друга?» Орбитальные уравнения Кеплера решают гравитационные уравнения Ньютона только тогда, когда последние ограничиваются только двумя взаимодействующими телами. Постепенно увеличивающаяся точность астрономических наблюдений привела к возрастающим требованиям к точности решений гравитационных уравнений Ньютона, что привело многих выдающихся математиков 18-го и 19-го веков, в частности Жозефа-Луи Лагранжа и Пьера-Симона Лапласа , к расширению и обобщению методов теории возмущений.

Эти хорошо развитые методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых проблем, возникших в ходе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике 20-го века. Поль Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году, чтобы оценить, когда частица будет испущена в радиоактивных элементах. Позже это было названо золотым правилом Ферми . ^{[9] [10]} Теория возмущений в квантовой механике довольно доступна, главным образом потому, что квантовая механика ограничена линейными волновыми уравнениями, но также и потому, что квантово-механическая нотация позволяет записывать выражения в довольно компактной форме, что делает их более простыми для понимания. Это привело к взрыву приложений, начиная от эффекта Зеемана и заканчивая сверхтонким расщеплением в атоме водорода .

Несмотря на более простую нотацию, теория возмущений, применяемая к квантовой теории поля, все еще легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитые диаграммы Фейнмана , заметив, что многие термины повторяются в регулярной манере. Эти термины можно заменить точками, линиями, закорючками и подобными знаками, каждый из которых обозначает термин, знаменатель, интеграл и т. д.; таким образом, сложные интегралы можно записать в виде простых диаграмм, без какой-либо двусмысленности относительно того, что они означают. Однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами дает им их силу. Хотя изначально эта диаграммная техника была разработана для квантовой теории поля, оказывается, что она широко применима ко многим другим пертурбативным рядам (хотя не всегда стоит того).

Во второй половине 20-го века, по мере развития теории хаоса , стало ясно, что невозмущенные системы в целом являются полностью интегрируемыми системами , в то время как возмущенные системы — нет. Это быстро привело к изучению «почти интегрируемых систем», каноническим примером которых является тор КАМ . В то же время было также обнаружено, что многие (довольно специальные) нелинейные системы , которые ранее были доступны только с помощью теории возмущений, на самом деле полностью интегрируемы. Это открытие было весьма драматичным, поскольку позволило дать точные решения. Это, в свою очередь, помогло прояснить смысл ряда возмущений, поскольку теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями.

Улучшенное понимание динамических систем , пришедшее из теории хаоса, помогло пролить свет на то, что называлось проблемой малого знаменателя или проблемой малого делителя . В 19 веке Пуанкаре заметил (как, возможно, и более ранние математики), что иногда члены 2-го и более высокого порядка в ряду возмущений имеют «малые знаменатели»: то есть они имеют общую форму , где и являются некоторыми сложными выражениями, относящимися к решаемой задаче, а и являются действительными числами; очень часто они являются энергией нормальных мод . Проблема малого делителя возникает, когда разность мала, заставляя пертурбативную поправку « взрываться », становясь такой же большой или, возможно, больше, чем член нулевого порядка. Эта ситуация сигнализирует о крахе теории возмущений: она перестает работать в этой точке и не может быть расширена или суммирована дальше. Формально ряд возмущений является асимптотическим рядом : полезное приближение для нескольких членов, но в какой-то момент становится менее точным, если добавляется еще больше членов. Прорыв теории хаоса стал объяснением того, почему это произошло: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Один сигнализирует о наличии другого. ${\displaystyle \ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\ }$ ${\displaystyle \ \psi _{n}\ ,}$ ${\displaystyle \ V\ ,}$ ${\displaystyle \ \phi _{m}\ }$ ${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$ ${\displaystyle \ \omega _{m}\ }$ ${\displaystyle \ \omega _{n}-\omega _{m}\ }$

Начало изучения движения планет

Поскольку планеты очень удалены друг от друга, а их масса мала по сравнению с массой Солнца, гравитационными силами между планетами можно пренебречь, и движение планет в первом приближении рассматривается как происходящее по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел , где двумя телами являются планета и Солнце. ^[11]

Поскольку астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость рассмотреть, как движение планеты вокруг Солнца зависит от других планет. Это было источником задачи трех тел ; таким образом, при изучении системы Луна-Земля-Солнце отношение масс Луны и Земли было выбрано в качестве «малого параметра». Лагранж и Лаплас были первыми, кто выдвинул точку зрения, что так называемые «константы», описывающие движение планеты вокруг Солнца, постепенно изменяются: они как бы «возмущаются» движением других планет и изменяются как функция времени; отсюда и название «теория возмущений». ^[11]

Теория возмущений была исследована классическими учеными – Лапласом, Симеоном Дени Пуассоном , Карлом Фридрихом Гауссом – в результате чего вычисления могли быть выполнены с очень высокой точностью. Открытие планеты Нептун в 1848 году Урбеном Леверье , основанное на отклонениях в движении планеты Уран . Он послал координаты Дж. Г. Галле , который успешно наблюдал Нептун через свой телескоп – триумф теории возмущений. ^[11]

Порядки возмущения

Стандартное изложение теории возмущений дается в терминах порядка, в котором осуществляется возмущение: теория возмущений первого порядка или теория возмущений второго порядка, и являются ли возмущенные состояния вырожденными, что требует сингулярного возмущения . В сингулярном случае необходимо проявлять особую осторожность, и теория немного более сложная.

В химии

Многие из методов квантовой химии ab initio используют теорию возмущений напрямую или являются тесно связанными методами. Неявная теория возмущений ^[12] работает с полным гамильтонианом с самого начала и никогда не определяет оператор возмущения как таковой. Теория возмущений Мёллера–Плессета использует разницу между гамильтонианом Хартри–Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом в качестве возмущения. Энергия нулевого порядка является суммой орбитальных энергий. Энергия первого порядка является энергией Хартри–Фока, а электронная корреляция включена во втором порядке или выше. Расчеты до второго, третьего или четвертого порядка очень распространены, и код включен в большинство программ квантовой химии ab initio . Связанный, но более точный метод — метод связанных кластеров .

Shell-crossing

Пересечение оболочек ( sc) происходит в теории возмущений, когда траектории материи пересекаются, образуя сингулярность . ^[13] Это ограничивает предсказательную силу физического моделирования в малых масштабах.

Смотрите также

• Пограничный слой
• Теория космологических возмущений
• Деформация (математика)
• Динамическая ядерная поляризация
• Возмущение собственного значения
• Метод гомотопического возмущения
• Интервальный конечный элемент
• устойчивость по Ляпунову
• Метод доминирующего баланса
• Порядок приближения
• Теория возмущений (квантовая механика)
• Структурная устойчивость

Ссылки

1. Бендер, Карл М. (1999). Продвинутые математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений. Стивен А. Орсзаг. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4757-3069-2. OCLC  851704808.
2. Холмс, Марк Х. (2013). Введение в методы возмущений (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4614-5477-9. OCLC  821883201.
3. Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Афелион Пресс. п. 107. ИСБН 978-145378-1470.
4. Мартин К. Гуцвиллер, «Луна-Земля-Солнце: старейшая задача трех тел», Rev. Mod. Phys. 70, 589 – Опубликовано 1 апреля 1998 г.
5. Кроппер, Уильям Х. (2004). Великие физики: жизнь и эпоха ведущих физиков от Галилея до Хокинга . Oxford University Press . стр. 34. ISBN 978-0-19-517324-6.
6. "LA Romero, "Теория возмущений для полиномов", Lecture Notes, University of New Mexico (2013)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2018-04-17 . Получено 2017-04-30 .
7. Сергей Виницкий, «Теория возмущений для ангармонических колебаний», Конспект лекций, LMU (2006)
8. Майкл А. Бокс, «Теория радиационных возмущений: обзор», Environmental Modelling & Software 17 (2002) 95–106
9. Bransden, BH; Joachain, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). Prentice Hall. стр. 443. ISBN 978-0-58235691-7.
10. Дирак, ПАМ (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория испускания и поглощения излучения». Труды Королевского общества A. 114 ( 767): 243–265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D. doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR  94746.См. уравнения (24) и (32).
11. "Теория возмущений". Энциклопедия математики (encyclopediaofmath.org) . {{cite web}}: Неизвестный параметр |people=проигнорирован ( помощь )
12. Кинг, Матча (1976). «Теория химической связи». Журнал Американского химического общества . 98 (12): 3415–3420. doi :10.1021/ja00428a004.
13. Рампф, Корнелиус; Хан, Оливер (2021-02-01). «Пересечение оболочек во Вселенной ΛCDM». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 501 (1): L71–L75. arXiv : 2010.12584 . Bibcode : 2021MNRAS.501L..71R. doi : 10.1093/mnrasl/slaa198 . ISSN  0035-8711.

Внешние ссылки

• van den Eijnden, Eric . "Введение в регулярную теорию возмущений" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2004-09-20.
• Chow, Carson C. (23 октября 2007 г.). "Метод возмущения множественных масштабов". Scholarpedia . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
• Альтернативный подход к квантовой теории возмущений Мартинес-Карранса, Х.; Сото-Эгибар, Ф.; Мойя-Сесса, Х. (2012). "Альтернативный анализ теории возмущений в квантовой механике". The European Physical Journal D . 66 (1): 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode :2012EPJD...66...22M. doi :10.1140/epjd/e2011-20654-5. S2CID  117362666.