Конечно сгенерированный модуль

In algebra, module with a finite generating set

В математике конечно порожденный модуль — это модуль , имеющий конечный порождающий набор . Конечно порожденный модуль над кольцом R можно также назвать конечным R -модулем , конечным над R , ^[1] или модулем конечного типа .

Связанные понятия включают конечно-когенерированные модули , конечно-представленные модули , конечно-связанные модули и когерентные модули, все из которых определены ниже. Над нетеровым кольцом понятия конечно порожденных, конечно представленных и когерентных модулей совпадают.

Конечно порожденный модуль над полем — это просто конечномерное векторное пространство , а конечно порожденный модуль над целыми числами — это просто конечно порожденная абелева группа .

Определение

Левый R -модуль M конечно порождён _, если существуют 1 , a ₂ , ..., n в M такие, что для любого _x в M существуют r 1 _, r 2 _, ..., r _n в R с Икс знак равно р ₁ а ₁ + р ₂ а ₂ + ... + р _п а _п .

В этом случае набор { a 1 _, a ₂ , ..., an } _{называется} порождающим набором M. Конечный порождающий набор не обязательно должен быть базисом, поскольку он не обязательно должен быть линейно независимым над R . Верно то, что M конечно порождено тогда и только тогда, когда существует сюръективное R -линейное отображение :

${\displaystyle R^{n}\to M}$

для некоторого n ( M — фактор свободного модуля конечного ранга).

Если набор S порождает модуль, который конечно порожден, то существует конечный порождающий набор, который включен в S , поскольку только конечное число элементов в S необходимо для выражения генераторов в любом конечном порождающем наборе, и это конечное число элементов образуют генераторная установка. Однако может случиться так, что S не содержит никакого конечного порождающего множества минимальной мощности . Например, набор простых чисел представляет собой порождающий набор, рассматриваемый как -модуль, а порождающий набор, сформированный из простых чисел, имеет как минимум два элемента, в то время как синглтон {1} также является порождающим набором. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В случае, когда модуль M представляет собой векторное пространство над полем R , а порождающий набор линейно независим , n четко определено и называется размерностью M ( точность определения означает, что любой линейно независимый порождающий набор имеет n элементов: это теорема о размерности векторных пространств ).

Любой модуль представляет собой объединение ориентированного множества своих конечно порожденных подмодулей.

Модуль M конечно порождён тогда и только тогда, когда любая возрастающая цепочка _{подмодулей} Mi с объединением M стабилизируется : т. е. существует такой i _, что Mi = M. Из этого факта вместе с леммой Цорна следует, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальные подмодули . Если любая возрастающая цепочка подмодулей стабилизируется (т. е. любой подмодуль конечно порожден), то модуль M называется нетеровым модулем .

Примеры

• Если модуль порождается одним элементом, он называется циклическим модулем .
• Пусть R — область целостности, а K — это поле частных. Тогда каждый конечно порожденный R -подмодуль I модуля K является дробным идеалом : т. е. существует некоторый ненулевой r в R такой, что rI содержится в R . Действительно, можно взять r как произведение знаменателей образующих I . Если R нётерово, то таким образом возникает всякий дробный идеал.
• Конечно порожденные модули над кольцом целых Z совпадают с конечно порожденными абелевыми группами . Они полностью классифицируются структурной теоремой , принимая Z в качестве области главного идеала.
• Конечно порожденные (скажем, левые) модули над телом — это в точности конечномерные векторные пространства (над телом).

Некоторые факты

Всякий гомоморфный образ конечно порожденного модуля конечно порожден. В общем, подмодули конечно порожденных модулей не обязательно должны быть конечно порожденными. В качестве примера рассмотрим кольцо R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...] всех многочленов от счетного числа переменных. R сам по себе является конечно порожденным R -модулем (с {1} в качестве порождающего набора). Рассмотрим подмодуль K , состоящий из всех этих многочленов с нулевым постоянным членом. Поскольку каждый многочлен содержит лишь конечное число членов, коэффициенты которых отличны от нуля, R -модуль K не является конечно порожденным.

В общем, модуль называется нетеровым, если каждый подмодуль конечно порожден. Конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом является нётеровым модулем (и это свойство действительно характеризует нётерово кольцо): модуль над нётеровым кольцом конечно порождён тогда и только тогда, когда он является нётеровым модулем. Это похоже, но не совсем на базисную теорему Гильберта , которая утверждает, что кольцо многочленов R [ X ] над нетеровым кольцом R является нетеровым. Из обоих фактов следует, что конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом снова является нётеровым кольцом.

В более общем смысле, алгебра (например, кольцо), которая является конечно порожденным модулем, является конечно порожденной алгеброй . И наоборот, если конечно порожденная алгебра является целой (над кольцом коэффициентов), то она является конечно порожденным модулем. ( Подробнее см. в разделе «Интегральный элемент» .)

Пусть 0 → M ′ → M → M ” → 0 — точная последовательность модулей. Тогда M конечно порождено, если M ', M ' конечно порождены. Есть некоторые частичные противоположности этому. Если M конечно порождено и M ' конечно порождено (что сильнее, чем конечно порождено; см. ниже), то M ' конечно порождено. Кроме того, M нётерово (соответственно артиново) тогда и только тогда, когда M ', M ' нётерово (соответственно артиново).

Пусть B — кольцо и A — его подкольцо такое, что B — точно плоский правый A -модуль. Тогда левый A -модуль F конечно порождён (соответственно конечно определён) тогда и только тогда, когда B -модуль B ⊗ AF конечно порождён ( соответственно _{конечно} определён). ^[2]

Конечно порожденные модули над коммутативным кольцом

Для конечно порожденных модулей над коммутативным кольцом R лемма Накаямы является фундаментальной. Иногда лемма позволяет доказать явления конечномерных векторных пространств для конечно порожденных модулей. Например, если f  : M → M — сюръективный R- эндоморфизм конечно порожденного модуля M , то f также инъективен и , следовательно , является автоморфизмом M. ^[3] Это просто говорит о том, что M является хопфовым модулем . Аналогично, артинов модуль M является кохопфовым : любой инъективный эндоморфизм f также является сюръективным эндоморфизмом. ^[4]

Любой R -модуль является индуктивным пределом конечно порожденных R -подмодулей. Это полезно для ослабления предположения до конечного случая (например, характеризация плоскостности с помощью функтора Tor ).

Пример связи между конечным поколением и целыми элементами можно найти в коммутативных алгебрах. Сказать, что коммутативная алгебра A является конечно порожденным кольцом над R, означает, что существует набор элементов G = { x ₁ , ..., x _n } кольца A такой , что наименьшее подкольцо A , содержащее G и R , есть A сам. Поскольку кольцевое произведение можно использовать для объединения элементов, генерируются не просто R -линейные комбинации элементов G. Например, кольцо полиномов R [ x ] конечно порождается {1, x } как кольцо, но не как модуль . Если A — коммутативная алгебра (с единицей) над R , то следующие два утверждения эквивалентны: ^[5]

• A — конечно порожденный R- модуль.
• A является одновременно конечно порожденным кольцом над R и целочисленным расширением R .

Общий ранг

Пусть M — конечно порожденный модуль над областью целостности A с полем частных K. Тогда размерность называется общим рангом M над A . Это число совпадает с числом максимальных A -линейно независимых векторов в M или, что то же самое, с рангом максимального свободного подмодуля M ( ср. Ранг абелевой группы ). Так как , является торсионным модулем . Когда A нётерово, в силу общей свободы существует элемент f (зависящий от M ), такой, что является свободным -модулем. Тогда ранг этого свободного модуля является общим рангом M . ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$ ${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$ ${\displaystyle M/F}$ ${\displaystyle M[f^{-1}]}$ ${\displaystyle A[f^{-1}]}$

Предположим теперь, что область целостности A порождается как алгебра над полем k конечным числом однородных элементов степеней . Предположим, что M также градуировано, и пусть это ряд Пуанкаре для M . По теореме Гильберта–Серра существует многочлен F такой, что . Тогда общий ранг M . ^[6] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$ ${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$ ${\displaystyle F(1)}$

A finitely generated module over a principal ideal domain is torsion-free if and only if it is free. This is a consequence of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain, the basic form of which says a finitely generated module over a PID is a direct sum of a torsion module and a free module. But it can also be shown directly as follows: let M be a torsion-free finitely generated module over a PID A and F a maximal free submodule. Let f be in A such that ${\displaystyle fM\subset F}$. Then ${\displaystyle fM}$ is free since it is a submodule of a free module and A is a PID. But now ${\displaystyle f:M\to fM}$ is an isomorphism since M is torsion-free.

By the same argument as above, a finitely generated module over a Dedekind domain A (or more generally a semi-hereditary ring) is torsion-free if and only if it is projective; consequently, a finitely generated module over A is a direct sum of a torsion module and a projective module. A finitely generated projective module over a Noetherian integral domain has constant rank and so the generic rank of a finitely generated module over A is the rank of its projective part.

Equivalent definitions and finitely cogenerated modules

The following conditions are equivalent to M being finitely generated (f.g.):

• For any family of submodules {N_i | i ∈ I} in M, if ${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$, then ${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$ for some finite subset F of I.
• For any chain of submodules {N_i | i ∈ I} in M, if ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$, then N_i = M for some i in I.
• If ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$ is an epimorphism, then the restriction ${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$ is an epimorphism for some finite subset F of I.

From these conditions it is easy to see that being finitely generated is a property preserved by Morita equivalence. The conditions are also convenient to define a dual notion of a finitely cogenerated module M. The following conditions are equivalent to a module being finitely cogenerated (f.cog.):

• For any family of submodules {N_i | i ∈ I} in M, if ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, then ${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$ for some finite subset F of I.
• For any chain of submodules {N_i | i ∈ I} in M, if ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$, then N_i = {0} for some i in I.
• If ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$ is a monomorphism, where each ${\displaystyle N_{i}}$ is an R module, then ${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$ is a monomorphism for some finite subset F of I.

Both f.g. modules and f.cog. modules have interesting relationships to Noetherian and Artinian modules, and the Jacobson radical J(M) and socle soc(M) of a module. The following facts illustrate the duality between the two conditions. For a module M:

• M is Noetherian if and only if every submodule N of M is f.g.
• M is Artinian if and only if every quotient module M/N is f.cog.
• M is f.g. if and only if J(M) is a superfluous submodule of M, and M/J(M) is f.g.
• M is f.cog. if and only if soc(M) is an essential submodule of M, and soc(M) is f.g.
• If M is a semisimple module (such as soc(N) for any module N), it is f.g. if and only if f.cog.
• If M is f.g. and nonzero, then M has a maximal submodule and any quotient module M/N is f.g.
• If M is f.cog. and nonzero, then M has a minimal submodule, and any submodule N of M is f.cog.
• If N and M/N are f.g. then so is M. The same is true if "f.g." is replaced with "f.cog."

Finitely cogenerated modules must have finite uniform dimension. This is easily seen by applying the characterization using the finitely generated essential socle. Somewhat asymmetrically, finitely generated modules do not necessarily have finite uniform dimension. For example, an infinite direct product of nonzero rings is a finitely generated (cyclic!) module over itself, however it clearly contains an infinite direct sum of nonzero submodules. Finitely generated modules do not necessarily have finite co-uniform dimension either: any ring R with unity such that R/J(R) is not a semisimple ring is a counterexample.

Finitely presented, finitely related, and coherent modules

Another formulation is this: a finitely generated module M is one for which there is an epimorphism mapping R^k onto M :

f : R^k → M.

Suppose now there is an epimorphism,

φ : F → M.

for a module M and free module F.

• If the kernel of φ is finitely generated, then M is called a finitely related module. Since M is isomorphic to F/ker(φ), this basically expresses that M is obtained by taking a free module and introducing finitely many relations within F (the generators of ker(φ)).
• If the kernel of φ is finitely generated and F has finite rank (i.e. F = R^k), then M is said to be a finitely presented module. Here, M is specified using finitely many generators (the images of the k generators of F = R^k) and finitely many relations (the generators of ker(φ)). See also: free presentation. Finitely presented modules can be characterized by an abstract property within the category of R-modules: they are precisely the compact objects in this category.
• A coherent module M is a finitely generated module whose finitely generated submodules are finitely presented.

Over any ring R, coherent modules are finitely presented, and finitely presented modules are both finitely generated and finitely related. For a Noetherian ring R, finitely generated, finitely presented, and coherent are equivalent conditions on a module.

Some crossover occurs for projective or flat modules. A finitely generated projective module is finitely presented, and a finitely related flat module is projective.

It is true also that the following conditions are equivalent for a ring R:

1. R is a right coherent ring.
2. The module R_R is a coherent module.
3. Every finitely presented right R module is coherent.

Although coherence seems like a more cumbersome condition than finitely generated or finitely presented, it is nicer than them since the category of coherent modules is an abelian category, while, in general, neither finitely generated nor finitely presented modules form an abelian category.

See also

• Integral element
• Artin–Rees lemma
• Countably generated module
• Finite algebra

References

1. For example, Matsumura uses this terminology.
2. Bourbaki 1998, Ch 1, §3, no. 6, Proposition 11.
3. Matsumura 1989, Theorem 2.4.
4. Atiyah & Macdonald 1969, Exercise 6.1.
5. Kaplansky 1970, p. 11, Theorem 17.
6. Springer 1977, Theorem 2.5.6.

Textbooks

• Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., pp. ix+128, MR 0242802
• Bourbaki, Nicolas (1998), Commutative algebra. Chapters 1--7 Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation, Elements of Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64239-0
• Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
• Lam, T. Y. (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
• Lang, Serge (1997), Algebra (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Translated from the Japanese by M. Reid (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+320, ISBN 0-521-36764-6, MR 1011461
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 585, Springer, doi:10.1007/BFb0095644, ISBN 978-3-540-08242-2.