радикал Джейкобсона

В математике , а точнее в теории колец , радикал Джекобсона кольца R — это идеал , состоящий из тех элементов кольца R , которые аннулируют все простые правые R - модули . Бывает, что замена «левого» вместо «правого» в определении дает тот же идеал, и поэтому понятие симметрично слева и справа. Радикал Джекобсона кольца часто обозначается J( R ) или rad( R ); в этой статье будет предпочтительнее первое обозначение, поскольку оно позволяет избежать путаницы с другими радикалами кольца . Радикал Джекобсона назван в честь Натана Джейкобсона , который первым изучил его для произвольных колец в Джейкобсоне в 1945 году.

Радикал кольца Джейкобсона имеет множество внутренних характеристик, включая несколько определений, которые успешно распространяют это понятие на неединичные кольца . Радикал модуля расширяет определение радикала Джекобсона, включив в него модули. Радикал Джекобсона играет заметную роль во многих результатах теории колец и модулей, таких как лемма Накаямы .

Определения

Существует множество эквивалентных определений и характеристик радикала Джекобсона, но полезно рассмотреть определения, основанные на том, является ли кольцо коммутативным или нет.

Коммутативный случай

В коммутативном случае радикал Джекобсона коммутативного кольца R определяется как ^[1] ​​пересечение всех максимальных идеалов . Если мы обозначим Specm R как множество всех максимальных идеалов в R , то ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\operatorname {Specm} R}{\mathfrak {m}}}$

Это определение можно использовать для явных вычислений в ряде простых случаев, например, для локальных колец ( R , ) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ , которые имеют единственный максимальный идеал, артиновых колец и их произведений . См. раздел примеров для явных вычислений.

Некоммутативный/общий случай

Для общего кольца с единицей R радикал Джекобсона J( R ) определяется как идеал всех элементов r ∈ R таких, что rM = 0 , если M — простой R -модуль. То есть,

$${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{ where }}M{\text{ is simple}}\}.}$$

, посколькуR / ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$Rаннуляторы R /RЭнн _р ( р / ) = ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Мотивация

Понимание радикала Джекобсона заключается в нескольких различных случаях: а именно в его приложениях и вытекающих из них геометрических интерпретациях, а также в их алгебраических интерпретациях.

Геометрические приложения

Хотя Джекобсон первоначально представил свой радикал как метод построения теории радикалов для произвольных колец, одна из причин, по которой радикал Джекобсона рассматривается в коммутативном случае, связана с его появлением в лемме Накаямы . Эта лемма представляет собой технический инструмент для изучения конечно порожденных модулей над коммутативными кольцами, который имеет простую геометрическую интерпретацию: если у нас есть векторное расслоение E → X над топологическим пространством X и выбрана точка p ∈ X , то любой базис E | _p можно расширить до базиса сечений E | _U → U для некоторой окрестности p ∈ U ⊆ X.

Другое применение - в случае конечно порожденных коммутативных колец, что означает, что R имеет вид

$${\displaystyle R={\frac {k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}}$$

kполяцелых чиселнильрадикалIRалгебраическом многообразииГильберта о Нуллстеллензатцетеории схем

Эквивалентные характеристики

Радикал Якобсона кольца имеет различные внутренние и внешние характеристики. Следующие эквивалентности встречаются во многих текстах по некоммутативной алгебре , таких как Anderson & Fuller 1992, §15, Isaacs 1994, §13B и Lam 2001, Ch 2.

Ниже приведены эквивалентные характеристики радикала Джекобсона в кольцах с единицей (характеристики для колец без единицы даются сразу после этого):

• J( R ) равно пересечению всех максимальных правых идеалов кольца. Эквивалентность, вытекающая из того факта, что для всех максимальных правых идеалов M R / M является простым правым R -модулем и что на самом деле все простые правые R -модули изоморфны одному из этого типа посредством отображения из R в S , заданного по r ↦ xr для любого генератора x группы S . Верно также, что J( R ) равно пересечению всех максимальных левых идеалов внутри кольца. ^[2] Эти характеристики являются внутренними по отношению к кольцу, поскольку нужно найти только максимальные правые идеалы кольца. Например, если кольцо локально и имеет единственный максимальный правый идеал , то этот единственный максимальный правый идеал есть в точности J( R ). Максимальные идеалы в некотором смысле легче искать, чем аннигиляторы модулей. Однако эта характеристика недостаточна, поскольку она не оказывается полезной при вычислительной работе с J( R ). Лево-правая симметрия этих двух определений примечательна и имеет множество интересных последствий. ^{[2] [3]} Эта симметрия контрастирует с отсутствием симметрии в цоколях R , поскольку может случиться так, что soc( RR ₎ не равно soc( _RR ) . Если R некоммутативное кольцо , J( R ) не обязательно равно пересечению всех максимальных двусторонних идеалов R . Например, если V — счетная прямая сумма копий поля k и R = End( V ) ( кольцо эндоморфизмов V как k -модуля), то J( R ) = 0 , поскольку известно, что R фон Неймана регулярен , но существует ровно один максимальный двусторонний идеал в R , состоящий из эндоморфизмов с конечномерным образом . ^[4]
• J( R ) равен сумме всех лишних правых идеалов (или, симметрично, сумме всех лишних левых идеалов) кольца R . Сравнивая это с предыдущим определением, сумма лишних правых идеалов равна пересечению максимальных правых идеалов. Это явление отражается двояко для правого цоколя R ; soc( _RR ) является одновременно суммой минимальных правых идеалов и пересечением существенных правых идеалов . Фактически, эти два соотношения справедливы для радикалов и цоколей модулей в целом.
• Как определено во введении, J( R ) равно пересечению всех аннуляторов простых правых R -модулей , однако верно также и то, что это пересечение аннуляторов простых левых модулей. Идеал, который является аннулятором простого модуля, известен как примитивный идеал , и поэтому его переформулировка гласит, что радикал Джекобсона является пересечением всех примитивных идеалов. Эта характеристика полезна при изучении модулей над кольцами. Например, если U — правый R -модуль, а V — максимальный подмодуль U, U · J ( R ) содержится в V , где U · J ( R ) обозначает все произведения элементов J( R ) ( «скаляры») с элементами из U справа. Это следует из того, что фактор-модуль U / V прост и, следовательно, аннулируется J( R ).
• J( R ) — единственный максимальный правый идеал кольца R , обладающий тем свойством, что каждый элемент является квазирегулярным справа ^{[5] [6]} (или, что эквивалентно, квазирегулярным слева ^[2] ). Эта характеристика радикала Джекобсона полезна как для вычислений, так и для интуиции. Кроме того, эта характеризация полезна при изучении модулей над кольцом. Лемма Накаямы , пожалуй, самый известный пример этого. Хотя каждый элемент J( R ) обязательно является квазирегулярным , не каждый квазирегулярный элемент обязательно является членом J( R ). ^[6]
• Хотя не каждый квазирегулярный элемент находится в J( R ), можно показать, что y находится в J( R ) тогда и только тогда, когда xy является квазирегулярным слева для всех x в R . ^[7]
• J( R ) — множество элементов x в R таких, что каждый элемент из 1 + RxR является единицей: J( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ р ^× } . Фактически, y ∈ R принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда 1 + xy обратима для любого x ∈ R , тогда и только тогда, когда 1 + yx обратима для любого x ∈ R. Это означает, что xy и yx ведут себя аналогично нильпотентному элементу z с z ^{n +1} = 0 и (1 + z ) ⁻¹ = 1 − z + z ² − ... ± z ⁿ .

Для колец без единицы возможно R = J( R ) ; однако уравнение J( R / J( R )) = {0} все еще остается в силе. Ниже приведены эквивалентные характеристики J( R ) для колец без единицы: ^[8]

• Понятие левой квазирегулярности можно обобщить следующим образом. Назовем элемент a в R левообобщенным квазирегулярным, если существует элемент c в R такой, что c + a − ca = 0 . Тогда J( R ) состоит из каждого элемента a , для которого ra является обобщенно квазирегулярным слева для всех r из R . Можно проверить, что это определение совпадает с предыдущим квазирегулярным определением колец с единицей.
• Для кольца без единицы определение левого простого модуля M дополняется добавлением условия R ⋅ M ≠ 0 . При таком понимании J( R ) можно определить как пересечение всех аннуляторов простых левых R модулей или просто R , если простых левых R модулей нет . Кольца без единицы и без простых модулей действительно существуют, и в этом случае R = J( R ) , и кольцо называется радикальным . Используя обобщенную квазирегулярную характеристику радикала, становится ясно, что если найти кольцо с ненулевым J( R ), то J( R ) является радикальным кольцом, если рассматривать его как кольцо без единицы.

Примеры

Коммутативные примеры

• Для кольца целых чисел Z его радикал Джекобсона является нулевым идеалом , поэтому J( Z ) = (0) , поскольку он задается пересечением каждого идеала, порожденного простым числом ( p ). Поскольку ( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ ) и мы берем бесконечное пересечение без каких-либо общих элементов, кроме 0, между всеми максимальными идеалами, у нас есть вычисление.
• Для локального кольца ( R , ) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ радикалом Джекобсона является просто J( R ) = ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ . Это важный случай, поскольку он используется при применении леммы Накаямы. В частности, это означает, что у нас есть алгебраическое векторное расслоение E → X над схемой или алгебраическим многообразием X и мы фиксируем базис E | _p для некоторой точки p ∈ X , то этот базис поднимается до набора образующих для всех сечений E для некоторой окрестности U точки p .
• Если k — поле и R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]] — кольцо формальных степенных рядов , то J( R ) состоит из тех степенных рядов , постоянный член которых равен нулю, т. е. степенного ряда в идеале ( Икс ₁ , ..., Икс _п ) .
• В случае артиновых колец , таких как C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁ ⁴ , t ₁ ² t ₂ ² , t ₂ ⁹ ) , радикал Джекобсона равен ( t ₁ , t ₂ ) .
• Предыдущий пример можно распространить на кольцо R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂ ² , t ₃ ³ , ...) , дав J( R ) = ( t ₂ , t ₃ , ...) .
• Радикал Джекобсона кольца Z /12 Z равен 6 Z /12 Z , что является пересечением максимальных идеалов 2 Z /12 Z и 3 Z / 12 Z.
• Рассмотрим кольцо C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x 1 ² + x 2 ² −1 ,} где второе — это локализация C [ x ₁ , x ₂ ] простым идеалом = ( x ₁ ² + Икс ₂ ² - 1) . Тогда радикал Джекобсона тривиален, поскольку максимальные идеалы порождаются элементом вида ( t − z ) ⊗ ( x ₁ ² + x ₂ ² − 1) для z ∈ C . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Некоммутативные примеры

• Кольца, для которых J( R ) равно {0}, называются полупримитивными кольцами или иногда «полупростыми кольцами Джейкобсона». Радикал Джекобсона любого поля, любого регулярного кольца фон Неймана и любого левого или правого примитивного кольца равен {0}. Радикал Джекобсона целых чисел равен {0}.
• Если K — поле, а R — кольцо всех верхнетреугольных матриц размера n на n с элементами из K , то J( R ) состоит из всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.
• Начните с конечного ациклического колчана Γ и поля K и рассмотрим алгебру колчана K  Γ (как описано в статье Quiver ). Радикал Джекобсона этого кольца порождается всеми путями из Γ длины ≥ 1.
• Радикал Джекобсона C*-алгебры равен {0}. Это следует из теоремы Гельфанда–Наймарка и того факта, что для C*-алгебры топологически неприводимое *-представление в гильбертовом пространстве алгебраически неприводимо, так что его ядро ​​является примитивным идеалом в чисто алгебраическом смысле (см. Спектр C*-алгебра ).

Характеристики

• Если R единично и не является тривиальным кольцом {0}, радикал Джекобсона всегда отличен от R , поскольку кольца с единицей всегда имеют максимальные правые идеалы . Однако некоторые важные теоремы и гипотезы в теории колец рассматривают случай, когда J( R ) = R : «Если R — ниль-кольцо (то есть каждый из его элементов нильпотентен ) , является ли кольцо многочленов R [ x ] равным это радикал Джейкобсона?» эквивалентно открытой гипотезе Кёте . ^[9]
• Для любого идеала I, содержащегося в J( R ), J( R / I ) = J( R )/ I .
• В частности, радикал Джекобсона кольца R /J( R ) равен нулю. Кольца с нулевым радикалом Джекобсона называются полупримитивными кольцами .
• Кольцо является полупростым тогда и только тогда, когда оно артиново и его радикал Джекобсона равен нулю.
• Если f  : R → S — сюръективный кольцевой гомоморфизм , то f (J( R )) ⊆ J( S ) .
• Если R — кольцо с единицей и M — конечно порожденный левый R -модуль такой, что J( R ) M = M , то M = 0 ( лемма Накаямы ).
• J( R ) содержит все центральные нильпотентные элементы, но не содержит идемпотентных элементов , кроме 0.
• J( R ) содержит все ниль- идеалы R . Если R — левый или правый артинов , то J( R ) — нильпотентный идеал .
  На самом деле это можно усилить: если {0} = T ₀ ⊆ T ₁ ⊆ ⋅⋅⋅ ⊆ T _k = R является композиционным рядом для правого R -модуля R (такой ряд обязательно существует, если R артинов справа , и существует аналогичный левый композиционный ряд, если R артинов слева), то (J( R )) ^k = 0 . ^[а]
          
  
  Однако заметим, что радикал Джекобсона в общем случае не обязательно должен состоять только из нильпотентных элементов кольца.
• Если R коммутативна и конечно порождена как алгебра либо над полем , либо над Z , то J( R ) равна нильрадикалу R.
• Радикал Джекобсона (единичного) кольца — это его наибольший лишний правый (эквивалентный левый) идеал.

Смотрите также

• Подгруппа Фраттини
• Нильрадикал кольца
• Радикал модуля
• Радикальный идеал

Примечания

1. Доказательство: поскольку факторы T _u / T _{u −1} являются простыми правыми R -модулями, умножение справа на любой элемент J( R ) аннулирует эти факторы.
   Другими словами, ( T _u / T _{u −1} ) ⋅ J( R ) = 0 , откуда T _u · J( R ) ⊆ T _{u −1} . Следовательно, индукция по i показывает, что все неотрицательные целые числа i и u (для которых имеет смысл следующее) удовлетворяют условию T _u ⋅ (J( R )) ⁱ ⊆ T _{u − i} . Применение этого к u = i = k дает результат.

Цитаты

1. «Раздел 10.18 (0AMD): Радикал кольца Джейкобсона — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 24 декабря 2020 г.
2. Айзекс 1994, с. 182
3. Айзекс 1994, с. 173, Задача 12.5
4. Лам 2001, с. 46, упр. 3.15
5. Айзекс 1994, с. 180, следствие 13.4.
6. Айзекс 1994, с. 181
7. Лам 2001, с. 50.
8. Лам 2001, с. 63
9. Смоктунович 2006, с. 260, §5

Рекомендации

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для аспирантов по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, МР  1245487
• Атья, Миссури ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley Publishing Co., стр. ix+128, MR  0242802
• Бурбаки, Н. Элементы математики .
• Херштейн, И.Н. (1994) [1968], Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса, том. 15, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки , стр. xii+202, ISBN. 0-88385-015-Х, МР  1449137Перепечатка оригинала 1968 года; С послесловием Лэнса В. Смолла.
• Айзекс, IM (1994), Алгебра: аспирантура (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
• Джейкобсон, Натан (1945), «Радикал и полупростота произвольных колец», American Journal of Mathematics , 67 (2): 300–320, doi : 10.2307/2371731, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371731, MR  0012271
• Лам, Тай (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для аспирантов по математике, том. 131 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. xx+385, doi : 10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, МР  1838439
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры , Тексты для аспирантов по математике, том. 88, Springer-Verlag, стр. xii+436, ISBN 0-387-90693-2, МР  0674652Исследования по истории современной науки, 9
• Смоктунович, Агата (2006), «Некоторые результаты в некоммутативной теории колец», Международный конгресс математиков, Vol. II (PDF) , Европейское математическое общество , стр. 259–269, ISBN. 978-3-03719-022-7, MR  2275597, заархивировано из оригинала (PDF) 9 августа 2017 г. , получено 31 декабря 2014 г.

Внешние ссылки

• Интуитивный пример радикала Джейкобсона