Эпиморфизм

Сюръективный гомоморфизм

В теории категорий эпиморфизм (также называемый эпическим морфизмом или, в просторечии, эпи ) — это морфизм f  : X → Y , который является правосократительным в том смысле, что для всех объектов Z и всех морфизмов g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\implies g_{1}=g_{2}.}$

Эпиморфизмы являются категориальными аналогами онто- или сюръективных функций (а в категории множеств это понятие точно соответствует сюръективным функциям), но они не могут точно совпадать во всех контекстах; например, включение представляет собой кольцевой эпиморфизм. Двойственный эпиморфизму является мономорфизмом ( т.е. эпиморфизм в категории C ^{является} мономорфизмом в двойственной категории Cop ). ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$

Многие авторы абстрактной и универсальной алгебры определяют эпиморфизм просто как онто- или сюръективный гомоморфизм . Каждый эпиморфизм в этом алгебраическом смысле является эпиморфизмом в смысле теории категорий, но обратное верно не для всех категорий. В данной статье термин «эпиморфизм» будет использоваться в приведенном выше смысле теории категорий. Подробнее об этом см. § Терминология ниже.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории , основная функция которого сюръективна , является эпиморфизмом. Во многих конкретных категориях интересов верно и обратное. Например, в следующих категориях эпиморфизмы — это именно те морфизмы, которые сюръективны на базовых множествах:

• Набор : наборы и функции. Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Set сюръективен, мы составим его как из характеристической функции g ₁ : Y → {0,1} образа f ( X ), так и из отображения g ₂ : Y → {0 ,1}, то есть константа 1.
• Rel : множества с бинарными отношениями и функциями, сохраняющими отношения. Здесь мы можем использовать то же доказательство, что и для Set , снабжая {0,1} полным отношением {0,1}×{0,1}.
• Pos : частично упорядоченные множества и монотонные функции . Если f  : ( X , ≤ ) → ( Y , ≤ ) не сюръективно, выберите y ₀ в Y \ f ( X ) и пусть g ₁  : Y → {0,1} будет характеристической функцией { y | y ₀ ≤ y } и g ₂  : Y → {0,1} характеристическая функция { y | у ₀ < у }. Эти отображения являются монотонными, если {0,1} задан стандартный порядок 0 <1.
• Grp : группы и групповые гомоморфизмы . Результат о том, что каждый эпиморфизм в Grp сюръективен, принадлежит Отто Шрайеру (на самом деле он доказал больше, показав, что каждая подгруппа является эквалайзером , используя свободное произведение с одной объединенной подгруппой); элементарное доказательство можно найти в (Линдерхольм, 1970).
• FinGrp : конечные группы и гомоморфизмы групп. Также благодаря Шрайеру; доказательство, данное в (Линдерхольм, 1970), также доказывает этот случай.
• Ab : абелевы группы и гомоморфизмы групп.
• K -Vect :векторные пространстванадполем Kи K -линейные преобразования.
• Mod - R : правые модули над кольцом R и гомоморфизмы модулей . Это обобщает два предыдущих примера; Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм f : X → Y в Mod - R сюръективен, мы составляем его как с каноническим фактор-отображением g ₁ : Y → Y / f ( X ), так и с нулевым отображением g ₂ : Y → Y / f ( ИКС ).
• Вверху : топологические пространства и непрерывные функции . Чтобы доказать, что каждый эпиморфизм в Top сюръективен, мы действуем точно так же, как в Set , задавая {0,1} недискретную топологию , которая гарантирует, что все рассматриваемые отображения непрерывны.
• HComp : компакты Хаусдорфа и непрерывные функции. Если f : X → Y не сюръективно, пусть y  ∈  Y  −  fX . Поскольку функция fX замкнута, по лемме Урысона существует непрерывная функция g ₁ : Y → [0,1] такая, что g ₁ равна 0 на fX и 1 на y . Составляем f как с g ₁ , так и с нулевой функцией g ₂ : Y → [0,1].

Однако существует также много конкретных категорий, представляющих интерес, в которых эпиморфизмы не могут быть сюръективными. Вот несколько примеров:

• В категории моноидов Mon отображение включения N → Z является несюръективным эпиморфизмом . Чтобы убедиться в этом, предположим, что g ₁ и g ₂ — два различных отображения Z в некоторый моноид M . Тогда для некоторого n из Z g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ) , поэтому g ₁ (− n ) ≠ g ₂ (− n ). Либо n , либо −n находится в N , поэтому ограничения g1 _и g2 _на N неравны.
• В категории алгебр над коммутативным кольцом R возьмем R [ N ] → R [ Z ], где R [ G ] — групповое кольцо группы G , а морфизм индуцируется включением N → Z , как в предыдущем примере. . Это следует из наблюдения, что 1 порождает алгебру R [ Z ] (обратите внимание, что единица в R [ Z ] задается 0 из Z ), а обратный элемент, представленный n в Z , является просто элементом, представленным — н . Таким образом , любой гомоморфизм из R [ Z ] однозначно определяется своим значением на элементе, представленном единицей из Z.
• В категории колец Ring отображение включения Z → Q является несюръективным эпиморфизмом ; чтобы убедиться в этом, заметим, что любой гомоморфизм колец на Q полностью определяется его действием на Z , как и в предыдущем примере. Аналогичный аргумент показывает, что естественный гомоморфизм колец любого коммутативного кольца R в любую из его локализаций является эпиморфизмом.
• В категории коммутативных колец конечно порожденный гомоморфизм колец f  : R → S является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда для всех простых идеалов P кольца R идеал Q , порожденный f ( P ), либо S , либо является простым, и если Q не является S , индуцированное отображение Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) является изоморфизмом ( EGA IV 17.2.6).
• В категории хаусдорфовых пространств Haus эпиморфизмы — это в точности непрерывные функции с плотными образами. Например, отображение включения Q → R является несюръективным эпиморфизмом.

Вышеизложенное отличается от случая мономорфизмов, где чаще всего верно, что мономорфизмы - это именно те, основные функции которых инъективны .

Что касается примеров эпиморфизмов в неконкретных категориях:

• Если моноид или кольцо рассматривать как категорию с единственным объектом (композицией морфизмов, заданных умножением), то эпиморфизмы представляют собой в точности правосократимые элементы.
• Если ориентированный граф рассматривать как категорию (объекты — вершины, морфизмы — пути, композиция морфизмов — конкатенация путей), то каждый морфизм является эпиморфизмом.

Характеристики

Каждый изоморфизм является эпиморфизмом; на самом деле требуется только правосторонний обратный: если существует морфизм j  : Y → X такой, что fj = id _Y , то f : X → Y , как легко увидеть, является эпиморфизмом. Отображение с таким правосторонним обратным называется расщепленным эпи . В топосе отображение, которое является одновременно моническим морфизмом и эпиморфизмом, является изоморфизмом.

Композиция двух эпиморфизмов снова является эпиморфизмом. Если композиция fg двух морфизмов является эпиморфизмом, то f должен быть эпиморфизмом.

Как показывают некоторые из приведенных выше примеров, свойство быть эпиморфизмом определяется не только морфизмом, но и категорией контекста. Если D — подкатегория C , то каждый морфизм в D , который является эпиморфизмом, если рассматривать его как морфизм в C , также является эпиморфизмом в D. Однако обратное не обязательно верно; меньшая категория может (и часто будет) иметь больше эпиморфизмов.

Что касается большинства концепций в теории категорий, эпиморфизмы сохраняются при эквивалентностях категорий : учитывая эквивалентность F  : C → D , морфизм f является эпиморфизмом в категории C тогда и только тогда, когда F ( f ) является эпиморфизмом в D. Двойственность между двумя категориями превращает эпиморфизмы в мономорфизмы и наоборот.

Определение эпиморфизма можно переформулировать так, чтобы утверждать, что f  : X → Y является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированные отображения

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gf\end{matrix}}}$

инъективны для любого выбора Z . Это, в свою очередь, эквивалентно индуцированному естественному преобразованию

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,-)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,-)\end{matrix}}}$

являющийся мономорфизмом в функторной категории Set ^C .

Каждый коэквалайзер является эпиморфизмом, что является следствием требования единственности в определении коэквалайзера. Отсюда, в частности, следует, что каждое коядро является эпиморфизмом. Обратное утверждение, а именно, что каждый эпиморфизм является коэквалайзером, неверно не во всех категориях.

Во многих категориях каждый морфизм можно записать как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Например, для группового гомоморфизма f  : G → H мы можем определить группу K = im( f ), а затем записать f как композицию сюръективного гомоморфизма G → K , который определяется как f , за которым следует инъективный гомоморфизм K → H , который отправляет каждый элемент сам себе. Такая факторизация произвольного морфизма в эпиморфизм с последующим мономорфизмом может быть осуществлена ​​во всех абелевых категориях, а также во всех конкретных категориях, упомянутых выше в § Примеры (хотя и не во всех конкретных категориях).

Связанные понятия

Среди других полезных концепций регулярный эпиморфизм , экстремальный эпиморфизм , непосредственный эпиморфизм , сильный эпиморфизм и расщепленный эпиморфизм .

• Эпиморфизм называется регулярным, если он является соэквалайзером некоторой пары параллельных морфизмов.
• Эпиморфизм называется экстремальным ^[1] , если в каждом представлении , где – мономорфизм , морфизм автоматически является изоморфизмом . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varphi }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$
• Эпиморфизм называется непосредственным, если в каждом представлении , где – мономорфизм и – эпиморфизм, морфизм автоматически является изоморфизмом . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$

• Эпиморфизм называется сильным ^{[1] [2]} , если для любого мономорфизма и любых морфизмов и таких , что существует морфизм такой, что и . ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \mu :C\to D}$ ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ ${\displaystyle \beta :B\to D}$ ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ ${\displaystyle \delta :B\to C}$ ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
• Эпиморфизм называется расщепляемым, если существует морфизм такой, что (в этом случае он называется правосторонним обратным для ). ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

В теории колец существует также понятие гомологического эпиморфизма . Морфизм f : A → B колец является гомологическим эпиморфизмом, если он является эпиморфизмом и индуцирует полный и точный функтор на производных категориях : D( f ) : D( B ) → D( A ).

Морфизм, который является одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, называется биморфизмом . Каждый изоморфизм является биморфизмом, но обратное, вообще говоря, неверно. Например, отображение полуинтервала [ 0,1) в единичную окружность S ¹ (рассматриваемую как подпространство комплексной плоскости ), которое переводит x в exp(2πi x ) (см. формулу Эйлера ), является непрерывным и биективен, но не гомеоморфизм , поскольку обратное отображение не является непрерывным в точке 1, поэтому это экземпляр биморфизма, который не является изоморфизмом в категории Top . Другой пример — вложение Q  → R в категорию Haus ; как отмечалось выше, это биморфизм, но он не биективен и, следовательно, не изоморфизм. Аналогично в категории колец отображение Z  → Q является биморфизмом, но не изоморфизмом.

Эпиморфизмы используются для определения абстрактных факторобъектов в общих категориях: два эпиморфизма f ₁  : X → Y ₁ и f ₂  : X → Y ₂ называются эквивалентными , если существует изоморфизм j  : Y ₁ → Y ₂ с j  f _1. знак равно ж ₂ . Это отношение эквивалентности , и классы эквивалентности определяются как факторобъекты X.

Терминология

Сопутствующие термины эпиморфизм и мономорфизм были впервые введены Бурбаки . Бурбаки использует эпиморфизм как сокращение для сюръективной функции . Ранние теоретики категорий полагали, что эпиморфизмы были правильным аналогом сюръекций в произвольной категории, подобно тому, как мономорфизмы являются почти точным аналогом инъекций. К сожалению, это неверно; сильные или регулярные эпиморфизмы ведут себя гораздо ближе к сюръекциям, чем обычные эпиморфизмы. Сондерс Мак Лейн попытался провести различие между эпиморфизмами , которые представляли собой карты конкретной категории, базовые карты множества которых были сюръективными, и эпическими морфизмами , которые являются эпиморфизмами в современном смысле. Однако это различие так и не прижилось.

Распространенной ошибкой является мнение, что эпиморфизмы либо идентичны сюръекциям, либо являются лучшей концепцией. К сожалению, это случается редко; эпиморфизмы могут быть очень загадочными и вести себя неожиданно. Например, очень сложно классифицировать все эпиморфизмы колец. В общем, эпиморфизмы — это отдельная уникальная концепция, родственная сюръективам, но принципиально отличающаяся от них.

Смотрите также

• Список тем теории категорий
• Мономорфизм

Примечания

1. Борсе, 1994.
2. Цаленко и Шульгейфер 1974.

Рекомендации

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Бергман, Джордж (2015). Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям. Спрингер. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категорической алгебре. Том 1: Базовая теория категорий . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521061193.
• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте. Dover Publications, Inc. Минеола, Нью-Йорк. ISBN 9780486809038.
• Цаленко, М.С.; Шульгейфер, Э.Г. (1974). Основы теории категорий . Наука. ISBN 5-02-014427-4.
• «Эпиморфизм», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ловер, Ф. Уильям; Роузбру, Роберт (2015). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-80444-8.
• Линдерхольм, Карл (1970). «Групповой эпиморфизм сюръективен». Американский математический ежемесячник . 77 (2): 176–177. дои : 10.1080/00029890.1970.11992448.

Внешние ссылки

• эпиморфизм в n Lab
• Сильный эпиморфизм в n Lab