В геометрии ориентация , положение , направление , направление или угловое положение объекта (например, линии , плоскости или твердого тела ) является частью описания того, как он размещается в пространстве, которое он занимает. [1] Более конкретно, это относится к воображаемому вращению , которое необходимо для перемещения объекта из исходного положения в его текущее положение. Вращения может быть недостаточно для достижения текущего положения, и в этом случае может потребоваться добавить воображаемый сдвиг , чтобы изменить положение объекта (или линейное положение). Положение и ориентация вместе полностью описывают, как объект размещается в пространстве. Можно думать, что вышеупомянутое воображаемое вращение и перемещение происходят в любом порядке, поскольку ориентация объекта не меняется при его перемещении, а его положение не меняется при вращении.
Теорема Эйлера о вращении показывает, что в трех измерениях любой ориентации можно достичь одним поворотом вокруг фиксированной оси . Это дает один общий способ представления ориентации с использованием представления оси-угла . Другие широко используемые методы включают кватернионы вращения , роторы , углы Эйлера или матрицы вращения . Более специализированное использование включает индексы Миллера в кристаллографии, простирание и падение в геологии, а также оценки на картах и знаках. Единичный вектор также может использоваться для представления ориентации вектора нормали объекта или относительного направления между двумя точками.
Обычно ориентация задается относительно системы отсчета , обычно определяемой декартовой системой координат . Говорят, что два объекта, имеющие одно и то же направление, сонаправлены ( как в случае с параллельными линиями ). Два направления называются противоположными, если они являются аддитивными инверсиями друг друга, как в случае с произвольным единичным вектором и его умножением на -1. Два направления являются тупыми, если они образуют тупой угол (больше прямого угла) или, что то же самое, если их скалярное произведение или скалярная проекция отрицательны.
В общем, положение и ориентация в пространстве твердого тела определяются как положение и ориентация относительно основной системы отсчета другой системы отсчета, которая фиксирована относительно тела и, следовательно, перемещается и вращается вместе с ним (тело местная система отсчета или местная система координат ). Для описания ориентации этой локальной системы координат необходимы как минимум три независимых значения. Три других значения описывают положение точки на объекте. Все точки тела при вращении меняют свое положение, кроме тех, которые лежат на оси вращения. Если твердое тело обладает вращательной симметрией , не все ориентации различимы, кроме как путем наблюдения за тем, как ориентация меняется во времени от известной начальной ориентации. Например, ориентацию в пространстве линии , сегмента линии или вектора можно указать только двумя значениями, например двумя направляющими косинусами . Другим примером является положение точки на Земле, часто описываемое с использованием ориентации линии, соединяющей ее с центром Земли, измеренной с использованием двух углов долготы и широты . Аналогично, ориентацию плоскости можно описать двумя значениями, например, задав ориентацию линии, нормальной к этой плоскости, или используя углы простирания и падения.
Более подробная информация о математических методах представления ориентации твердых тел и плоскостей в трех измерениях приведена в следующих разделах.
В двух измерениях ориентация любого объекта (линии, вектора или плоской фигуры ) задается одним значением: углом, на который он повернулся. Существует только одна степень свободы и только одна неподвижная точка, вокруг которой происходит вращение.
Когда имеется d измерений, для указания ориентации объекта, не имеющего вращательной симметрии, требуется d ( d − 1)/2 независимых значений.
Было разработано несколько методов описания ориентации твердого тела в трех измерениях. Они обобщены в следующих разделах.
Первая попытка изображения ориентации приписывается Леонарду Эйлеру . Он представил себе три системы отсчета, которые могли вращаться одна вокруг другой, и понял, что, начав с фиксированной системы отсчета и выполнив три вращения, он может получить любую другую систему отсчета в пространстве (используя два вращения для фиксации вертикальной оси и еще одно для фиксации). зафиксируйте две другие оси). Значения этих трех поворотов называются углами Эйлера .
Это три угла, также известные как рыскание, тангаж и крен, углы навигации и углы кардана. Математически они представляют собой набор из шести возможностей внутри двенадцати возможных наборов углов Эйлера, причем этот порядок лучше всего использовать для описания ориентации транспортного средства, например самолета. В аэрокосмической технике их обычно называют углами Эйлера.
Эйлер также понял, что композиция двух вращений эквивалентна одному вращению вокруг другой фиксированной оси ( теорема Эйлера о вращении ). Следовательно, композиция первых трех углов должна быть равна всего лишь одному повороту, ось которого было сложно вычислить, пока не были разработаны матрицы.
На основании этого он ввел векторный способ описания любого вращения с вектором на оси вращения и модулем, равным значению угла. Следовательно, любую ориентацию можно представить вектором вращения (также называемым вектором Эйлера), ведущим к ней из системы отсчета. Когда вектор вращения используется для представления ориентации, его обычно называют вектором ориентации или вектором отношения.
Похожий метод, называемый представлением оси-угла , описывает вращение или ориентацию с использованием единичного вектора, совмещенного с осью вращения, и отдельного значения для обозначения угла (см. рисунок).
С введением матриц теоремы Эйлера были переписаны. Вращения описывались ортогональными матрицами , называемыми матрицами вращения или матрицами направленного косинуса. При использовании для представления ориентации матрицу вращения обычно называют матрицей ориентации или матрицей отношения.
Вышеупомянутый вектор Эйлера является собственным вектором матрицы вращения (матрица вращения имеет уникальное действительное собственное значение ). Произведение двух матриц вращения представляет собой композицию вращений. Поэтому, как и раньше, ориентацию можно задать как поворот от исходного кадра до достижения кадра, который мы хотим описать.
Конфигурационное пространство несимметричного объекта в n -мерном пространстве — это SO ( n ) × Rn . Ориентацию можно визуализировать, прикрепив к объекту основу из касательных векторов . Направление, в котором указывает каждый вектор, определяет его ориентацию.
Другой способ описания вращения — использование кватернионов вращения , также называемых версорами. Они эквивалентны матрицам вращения и векторам вращения. Что касается векторов вращения, их легче преобразовывать в матрицы и обратно. При использовании для представления ориентации кватернионы вращения обычно называются кватернионами ориентации или кватернионами ориентации.
Положение плоскости решетки — это ориентация линии, нормальной к плоскости, [2] и описывается индексами Миллера плоскости . В трехмерном пространстве семейство плоскостей (серия параллельных плоскостей) может быть обозначено индексами Миллера ( hkl ), [3] [4] , поэтому семейство плоскостей имеет отношение, общее для всех составляющих его плоскостей.
Многие объекты, наблюдаемые в геологии, представляют собой плоскости или линии, и их ориентацию обычно называют их положением . Эти отношения задаются двумя углами.
Для линии эти углы называются трендом и впадиной . Тренд — это направление линии по компасу, а погружение — это угол вниз, который она образует с горизонтальной плоскостью. [5]
Для плоскости два угла называются простиранием (угол) и падением (угол) . Линия простирания — это пересечение горизонтальной плоскости с наблюдаемым плоским объектом (и, следовательно, горизонтальной линией), а угол простирания — это направление этой линии (то есть относительно географического севера или от магнитного севера ). Падение представляет собой угол между горизонтальной плоскостью и наблюдаемым плоским элементом, наблюдаемым в третьей вертикальной плоскости, перпендикулярной линии простирания.
Положение твердого тела — это его ориентация, описываемая, например, ориентацией системы координат, закрепленной в теле, относительно фиксированной системы отсчета. Отношение описывается координатами положения и состоит как минимум из трех координат. [6] Одна из схем ориентации твердого тела основана на вращении осей тела; последовательные вращения три раза вокруг осей фиксированной системы отсчета тела, тем самым устанавливая углы Эйлера тела . [7] [8] Другой основан на крене, тангаже и рыскании , [9] хотя эти термины также относятся к дополнительным отклонениям от номинального положения.
... положение плоскости или линии, то есть ее ориентация в пространстве, имеет фундаментальное значение для описания структур.
Положение твердого тела под углом Эйлера.
СМИ, связанные с ориентацией (математикой), на Викискладе?