Рассеяние несущих

Типы дефектов включают атомные вакансии, адатомы , ступени и изломы, которые чаще всего возникают на поверхностях из-за конечного размера материала, вызывающего неоднородность кристалла. Общим для всех типов дефектов, будь то поверхностные или объемные, является то, что они создают оборванные связи , которые имеют определенные уровни энергии электронов, отличные от таковых в объеме. Это различие возникает потому, что эти состояния не могут быть описаны с помощью периодических волн Блоха из-за изменения потенциальной энергии электронов, вызванного отсутствием ионных остовов сразу за пределами поверхности. Следовательно, это локализованные состояния, которые требуют отдельных решений уравнения Шредингера, чтобы можно было правильно описать энергии электронов. Нарушение периодичности приводит к уменьшению проводимости из-за рассеяния дефектов .

Электронные энергетические уровни оборванных связей полупроводника

Рисунок 1: Энергетическая диаграмма Харрисона энергий электронов на разных стадиях формирования кристалла Si. Вертикальная ось — энергия. Орбитали 3s и 3p гибридизуются на одном атоме Si, что энергетически невыгодно, поскольку электроны 2 3s получают больше энергии, чем теряют электроны 2 3p. Благоприятное образование димера образует связывающее (b) и разрыхляющее (b*) состояния, что в конечном итоге приводит к чистой потере энергии, а последующее добавление атомов создает кристаллы, образующие зоны проводимости (CB) и валентную зону (VB). Оборванные состояния связи (db) эквивалентны отсутствующей связи sp ³ .

Более простой и качественный способ определения уровней энергии оборванных связей — с помощью диаграмм Харрисона. ^{[1] [2]} Металлы имеют ненаправленные связи и небольшую длину Дебая , что из-за их заряженной природы делает оборванные связи несущественными, если их вообще можно считать существующими. Полупроводники являются диэлектриками , поэтому электроны могут чувствовать и захватываться дефектными энергетическими состояниями. Энергетические уровни этих состояний определяются атомами, из которых состоит твердое тело. На рис. 1 представлена ​​диаграмма Хариссона для элементарного полупроводника Si. Слева направо s-орбитальная и p-орбитальная гибридизация способствует образованию sp ^3- связи, которая, когда несколько димеров sp ³ Si-Si объединяются с образованием твердого тела, определяет зоны проводимости и валентную зону. Если бы существовала вакансия, например, на каждом атоме на границе раздела твердое тело/вакуум, это привело бы по крайней мере к одной разорванной sp ³ связи, энергия которой равна энергии одиночных самогибридизованных атомов Si, как показано на рисунке 1. Эта энергия соответствует примерно середине запрещенной зоны Si, примерно на 0,55 эВ выше валентной зоны. Конечно, это самый идеальный случай, тогда как ситуация была бы иной, если бы, например, произошла пассивация связей (см. ниже) и реконструкция поверхности . Экспериментально энергии этих состояний можно определить с помощью абсорбционной спектроскопии или рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии , например, если чувствительность прибора и/или плотность дефектов достаточно высоки.

Рисунок 2: Энергетическая диаграмма электронов Харрисона для полупроводникового соединения III-IV GaAs. Как и в случае с Si, кристалл построен с добавлением гибридизированных димеров GaAs. Поскольку вакансии вызывают оборванные связи Ga, образующие состояния вблизи CB. Вакансии Ga создают оборванные связи As, имеющие энергии вблизи VB. VB состоит в основном из «As-подобных» состояний, поскольку ионность помещает электроны на атомы As и, как следствие, состояния CB являются «Ga-подобными».

Сложные полупроводники, такие как GaAs, имеют оборванные состояния связи, расположенные ближе к краям зоны (см. рисунок 2). Поскольку связь становится все более ионной, эти состояния могут даже действовать как примеси . Это является причиной хорошо известных трудностей легирования GaN p-типа, когда вакансий N много, из-за высокого давления его паров, что приводит к высокой плотности оборванных связей Ga. Эти состояния расположены близко к краю зоны проводимости и поэтому действуют как доноры. При введении акцепторных примесей p-типа они немедленно компенсируются вакансиями N. Что касается этих мелких состояний, их трактовку часто рассматривают как аналог атома водорода следующим образом для случая анионных или катионных вакансий (эффективная масса дырки m * для катиона и электрона m * для анионных вакансий). Энергия связи E _c -E _db равна где U=-q ² /(4πεε _r r) — электростатический потенциал между электроном, занимающим оборванную связь, и его ионным остовом с ε, постоянной диэлектрической проницаемости свободного пространства, ε _r , относительная диэлектрическая проницаемость и r разделение электрон-ионного ядра. Упрощение, согласно которому энергия поступательного движения электрона KE = -U/2, обусловлено теоремой вириала для центросимметричных потенциалов. Как описано в модели Бора , r подлежит квантованию . Импульс электрона равен p=mv=h/λ, что приводит к и . Такая обработка теряет точность, поскольку дефекты стремятся отойти от края полосы.
${\displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={\frac {1}{2}}U\;\;(1)}$

${\displaystyle n\lambda =2\pi r\;\;(2)}$

${\displaystyle KE={\frac {p^{2}}{2m^{*}}}={\frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {U}{2}}={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r}}\;\;(3)}$

${\displaystyle r={\frac {4\pi \hbar ^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}}}\;\;(4)}$

${\displaystyle E_{c}-E_{db}={\frac {U}{2}}={\frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _{r})^{2}}}\;\;(5)}$

Рассеяние дефектов

Уровни энергии оборванных связей являются собственными значениями волновых функций, описывающих электроны вблизи дефектов. При типичном рассмотрении рассеяния носителей это соответствует конечному состоянию золотого правила частоты рассеяния Ферми : где H' является параметром взаимодействия, а дельта-функция Дирака δ(E _f -E _i ), указывает на упругое рассеяние . Простое соотношение 1/τ= Σ _k',k S _k'k делает это уравнение полезным для характеристики транспортных свойств материала, когда оно используется в сочетании с σ = ne ² τ /m* и правилом Маттиссена для учета других процессов рассеяния.
${\displaystyle S_{k'k}={\frac {2\pi }{\hbar }}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})\;\;(6)}$

Величина S _k'k определяется в первую очередь параметром взаимодействия H'. Этот термин различается в зависимости от того, рассматриваются ли мелкие или глубокие государства. Для мелких состояний H' является членом возмущения переопределенного гамильтониана H=H _o +H', причем H _o имеет энергию собственного значения E _i . Матрица для этого случая имеет вид ^[3] , где k' — волновой вектор конечного состояния, который имеет только одно значение, поскольку плотность дефектов достаточно мала, чтобы не образовывать полосы (~<10 ¹⁰ /см ² ). Используя уравнение Пуассона для периодических точечных зарядов Фурье, получаем коэффициент Фурье потенциала оборванной связи V _q =e/(q ² εε _r V), где V — объем. Это приводит к тому, что где q _s — поправка волнового вектора длины Дебая из-за экранирования заряда. Тогда частота рассеяния равна где n — объемная плотность дефектов. Выполнение интегрирования с использованием |k|=|k'| дает . Вышеупомянутый подход дает сбои, когда дефекты не являются периодическими, поскольку потенциалы оборванных связей представлены рядом Фурье. Упростить сумму в уравнении (10) в n раз удалось только из-за низкой плотности дефектов. Если бы каждый атом (или, возможно, каждый другой) имел одну оборванную связь, что вполне разумно для нереконструированной поверхности, то необходимо также провести интеграл по k'. Из-за использования теории возмущений при определении матрицы взаимодействия вышеизложенное предполагает малые значения H 'или состояния мелких дефектов вблизи краев зоны. К счастью, золотое правило Ферми само по себе является довольно общим и может быть использовано для дефектов в глубоком состоянии, если взаимодействие между электроном проводимости и дефектом понято достаточно хорошо, чтобы смоделировать их взаимодействие в виде оператора, заменяющего H'.
${\displaystyle <f|H'|i>\equiv M_{k'k}={\frac {1}{V}}\int d{\bar {r}}H'e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}')}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}\int d{\bar {r}}H_{\bar {q}}e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}'+{\bar {q}})}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}H_{\bar {q}}\delta _{{\bar {k}}-{\bar {k}}'},_{\bar {q}}={\frac {1}{V}}H_{\bar {q}}\;\;(7)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}V({\bar {r}})={\frac {-e\delta ({\bar {r}})}{\varepsilon \varepsilon _{r}}}=-\sum _{\bar {q}}{\bar {q}}^{2}V_{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}={\frac {-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}}\ \sum _{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}\;\;(8)}$

${\displaystyle H_{\bar {q}}=-eV_{\bar {q}}={\frac {-e^{2}}{{\bar {q}}^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}V}}={\frac {-e^{2}}{({\bar {q}}^{2}+q_{s}^{2})\varepsilon \varepsilon _{r}V}}\;\;(9)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{{\bar {k}}',{\bar {k}}}S_{{\bar {k}}'{\bar {k}}}=n\sum _{\bar {k}}{\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {e^{4}\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={\frac {ne^{4}}{4\pi ^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}}\int \int \int dkd\theta d\phi {\frac {k^{2}sin\theta \;\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}\;\;(10)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {ne^{4}}{2\pi {\sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})}}\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{q_{s}^{2}}}-{\frac {1}{q_{s}^{2}+{\frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar ^{2}}}}}\right)\;\;(11)}$

Экспериментальные измерения

Рисунок 3: (Вверху) Простые развертки напряжения исток-сток с увеличением плотности дефектов можно использовать для определения скорости рассеяния носителей и энергии оборванных связей (красная кривая имеет больше дефектов). (Внизу) Температурная зависимость удельного сопротивления. Вблизи абсолютного нуля обнаруживается вес дефектов рассеяния носителей.

Степень влияния этих оборванных связей на электрический транспорт можно довольно легко наблюдать экспериментально. Путем измерения напряжения на проводнике (рис. 3) можно определить сопротивление и заданную геометрию проводимости образца. Как упоминалось ранее, σ = ne ² τ /m*, где τ можно определить, зная n и m*, исходя из положения уровня Ферми и зонной структуры материала. К сожалению, это значение содержит эффекты других механизмов рассеяния, например, фононов. Это становится более полезным, когда измерение используется вместе с уравнением (11), где наклон графика зависимости 1/τ от n позволяет вычислить E _c -E _db , а точка пересечения определяет 1/τ из всех процессов рассеяния, кроме дефектов. Это требует предположения, что рассеяние фононов (среди других, возможно, незначительных процессов) не зависит от концентрации дефектов.
В аналогичном эксперименте можно просто понизить температуру проводника (рис. 3), чтобы плотность фононов уменьшилась до незначительного уровня, что позволило дефектам преобладать в удельном сопротивлении. В этом случае σ = ne ² τ /m* можно использовать для непосредственного расчета τ для рассеяния дефектов.

Пассивация

Рисунок 4: Водородная пассивация полевого транзистора Si металл-оксид-полупроводник (MOSFET) для восстановления состояний интерфейса Si/SiO ₂ . Водородные связи с Si полностью удовлетворяют sp ³ -гибридизации, обеспечивая заселение дефектных состояний и предотвращая рассеяние носителей в эти состояния.

Поверхностные дефекты всегда можно «пассивировать» атомами, чтобы целенаправленно занять соответствующие энергетические уровни, чтобы электроны проводимости не могли рассеиваться в эти состояния (эффективно уменьшая n в уравнении (10)). Например, пассивация Si на границе раздела канал/оксид полевого МОП-транзистора водородом (рис. 4) является типичной процедурой, помогающей уменьшить плотность дефектов ~10 ¹⁰ см ^-2 почти в 12 раз ^[4] , тем самым улучшая подвижность и , следовательно, переключение скоростей. Удаление промежуточных состояний, которые в противном случае уменьшили бы туннельные барьеры, также уменьшает ток утечки затвора и увеличивает емкость затвора , а также переходный процесс. В результате связь Si sp ³ полностью удовлетворяется. Очевидным требованием здесь является способность полупроводника окислять пассивирующий атом или, E _c -E _db + χ > _{EI , с} сродством полупроводника к электрону χ и энергией ионизации атома E _I .

Рассеяние фононов

Теперь мы рассмотрим рассеяние носителей с деформациями решетки, называемыми фононами . Рассмотрим объемное смещение, которое производит такая распространяющаяся волна, что, следовательно, приводит к деформации, зависящей от времени, где для описания распространения фононов используется простая плоская волна . Смещение атомов от положений равновесия обычно вызывает изменение электронной зонной структуры (рис. 5), где при рассеянии мы имеем дело с электронами в зоне проводимости с энергией ~E _CB , . Эмпирический параметр Z _DP называется деформационным потенциалом и описывает силу электрон-фононного взаимодействия. Умножение на популяцию фононов ( распределение Бозе-Эйнштейна , N _q ) дает полный деформационный потенциал: ${\displaystyle \Delta V_{0}}$ ${\displaystyle \Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)}$ ${\displaystyle u(r,t)\propto exp\pm (iqr-i\omega t)}$
${\displaystyle \Delta E_{CB}={\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}\Delta V_{0}=V_{0}{\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}{\frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\;\;(12)}$

${\displaystyle \Delta E_{CB}^{Tot}={\widehat {H}}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\;\;(13)}$

Рисунок 5: Схема изменения краев энергетических зон (зона проводимости E _CB и валентная зона E _VB ), когда положения атомов кристалла смещаются от равновесия, создавая объемную деформацию.

(причина рута будет ясна ниже). Здесь + соответствует испусканию фононов, а – поглощению фононов во время акта рассеяния. Примечание: для поперечных фононов ненулевыми являются только взаимодействия с продольными фононами. Следовательно, полная матрица взаимодействия - это то место, где дельта Кронекера обеспечивает сохранение импульса и возникает в результате предположения, что электронные волновые функции (конечное состояние и начальное состояние ) также являются плоскими волнами. ${\displaystyle q\perp u(r,t)}$
${\displaystyle <k'|{\widehat {H}}_{int}|k>=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\delta _{k',k\pm q}\;\;(14)}$
${\displaystyle <k'|}$ ${\displaystyle |k>}$

Акустические фононы

Используя золотое правило Ферми, можно аппроксимировать скорость рассеяния акустических фононов низкой энергии. Матрица взаимодействия этих фононов имеет угловую частоту фононов ω _q =cq, объем V, плотность твердого тела ρ и групповую скорость фононов c. ^[5] Подключив это к уравнению. 6 дает . В предположениях, что N _q >>1, ħω<<kT и g(E') ~ g(E) (что обычно справедливо для трехмерных кристаллов, поскольку энергии электронов проводимости обычно намного больше, чем ħω, и g(E) не имеет никакого Ван Сингулярность Хова ) дает скорость рассеяния: где g(E) — электронная плотность состояний , для которой для получения окончательного ответа использовалось трехмерное решение с параболической дисперсией.
${\displaystyle |<k'|{\widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\;\;(15)}$

${\displaystyle S_{k'k}^{Ac}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]\;\;(16)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=\sum _{k}S_{k\pm q,k}^{Ac}}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}({\frac {kT}{\hbar \omega _{q}}})\sum _{k}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {kT}{2V\rho c^{2}}}V\times g(E)}$
${\displaystyle ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {Z_{DP}^{2}m^{*{\frac {3}{2}}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}}}{\sqrt {E-E_{CB}}}\;\;(17)}$

Оптические фононы

Обычно фононы в оптических ветвях колебательно-дисперсионных соотношений имеют энергии порядка kT или превышают ее, поэтому приближения ħω<<kT и N _q >>1 сделать невозможно. Тем не менее, разумным путем, который по-прежнему позволяет обойти сложную фононную дисперсию, является использование модели Эйнштейна , которая утверждает, что в твердых телах существует только одна фононная мода. Для оптических фононов это приближение оказывается достаточным из-за очень небольшого изменения наклона ω(q), и, таким образом, мы можем утверждать, что ħω(q) ≅ ħω, константа. Следовательно, N _q также является константой (зависящей только от T). Последнее приближение, g(E')=g(E±ħω) ~ g(E), невозможно выполнить, поскольку ħω ~ E, и для него нет обходного пути, но добавленная сложность к сумме для τ минимальна. . Сумма превращается в плотность состояний в точке E', и распределение Бозе-Эйнштейна можно исключить из суммы, поскольку ħω(q) ≅ ħω.
${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\sum _{k'}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega ]}$
${\displaystyle =Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{8\pi ^{2}\hbar \rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})g(E\pm \hbar \omega )\;\;(18)}$

Примечания

1. Харрисон, Уолтер А., Электронная структура и свойства твердых тел: физика химической связи. Сан-Франциско: Фриман, 1980.
2. Рокетт, Ангус, Материаловедение полупроводников. Нью-Йорк: Спрингер, 2007 г.
3. Гесс, Карл, Передовая теория полупроводниковых устройств. Нью-Йорк: Wiley Interscience, 2000.
4. Фонэн, Б.; Ипри, AC IEEE Trans. Электр. Дев. 36 , 101, 1999.
5. Конвелл, Э.М., «Перенос в сильном поле в полупроводниках», в «Физике твердого тела», изд. Ф. Зейтц, Д. Тернбулл и Х. Эренрайх, Приложение 9. Нью-Йорк: Academic Press, 1967, с. 108.