Рассеянное пространство

В математике рассеянное пространство — это топологическое пространство X , которое не содержит непустых плотных в себе подмножеств. ^{[1] [2]} Эквивалентно, каждое непустое подмножество A пространства X содержит точку, изолированную в A.

Подмножество топологического пространства называется рассеянным множеством, если оно является рассеянным пространством с топологией подпространства .

Примеры

• Каждое отдельное пространство разбросано.
• Каждое порядковое число с топологией порядка является разбросанным. Действительно, каждое непустое подмножество A содержит минимальный элемент, и этот элемент изолирован в A .
• Пространство X с определенной точечной топологией , в частности пространство Серпинского , является рассеянным. Это пример рассеянного пространства, которое не является пространством T 1 .
• Замыкание рассеянного множества не обязательно рассеяно. Например, на евклидовой плоскости возьмем счетно бесконечное дискретное множество A в единичном круге , причем точки будут все плотнее и плотнее по мере приближения к границе. Например, возьмем объединение вершин ряда n -угольников с центром в начале координат, радиус которых будет все ближе и ближе к 1. Тогда замыкание A будет содержать всю окружность радиуса 1, которая плотна сама по себе. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Характеристики

• В топологическом пространстве X замыкание плотного в себе подмножества является совершенным множеством . Поэтому X является рассеянным тогда и только тогда, когда оно не содержит ни одного непустого совершенного множества.
• Каждое подмножество рассеянного пространства рассеяно. Рассеянность — наследственное свойство .
• Каждое рассеянное пространство X является пространством T 0 . ( Доказательство: если даны две различные точки x , y в X , то по крайней мере одна из них, скажем x , будет изолирована в . Это означает, что существует окрестность x в X , которая не содержит y .) ${\displaystyle \{x,y\}}$
• В пространстве T ₀ объединение двух разбросанных множеств разбросано. ^{[3] [4]} Обратите внимание, что предположение T ₀ здесь необходимо. Например, если при недискретной топологии , и оба разбросаны, но их объединение , не разбросано, поскольку не имеет изолированной точки. ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle \{b\}}$ ${\displaystyle X}$
• Каждое рассеянное пространство T ₁ полностью несвязно .
  ( Доказательство: Если C — непустое связное подмножество X , оно содержит точку x , изолированную в C . Таким образом, синглтон одновременно открыт в C (потому что x изолирован) и замкнут в C (из-за свойства T ₁ ). Поскольку C связен, он должен быть равен . Это показывает, что каждый связный компонент X имеет одну точку.) ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$
• Каждое второе счетное рассеянное пространство счетно . ^[5]
• Каждое топологическое пространство X может быть записано единственным образом как непересекающееся объединение совершенного множества и рассеянного множества. ^{[6] [7]}
• Каждое второе счетное пространство X может быть записано единственным образом как непересекающееся объединение совершенного множества и счетного рассеянного открытого множества.
  ( Доказательство: используйте совершенное + рассеянное разложение и факт выше о рассеянных пространствах, поддающихся второй счетной операции, вместе с тем фактом, что подмножество пространства, поддающегося второй счетной операции, является поддающимся второй счетной операции.)
  Более того, каждое замкнутое подмножество второго счетного X может быть записано единственным образом как несвязное объединение совершенного подмножества X и счетного рассеянного подмножества X. ^[8] Это справедливо , в частности, в любом польском пространстве , которое является содержанием теоремы Кантора–Бендиксона .

Примечания

1. Стин и Зеебах, стр. 33
2. Энгелькинг, стр. 59
3. См. предложение 2.8 в Al-Hajri, Monerah; Belaid, Karim; Belaid, Lamia Jaafar (2016). «Рассеянные пространства, компактификации и применение к проблеме классификации изображений». Tatra Mountains Mathematical Publications . 66 : 1–12. doi : 10.1515/tmmp-2016-0015 . S2CID  199470332.
4. "Общая топология - в пространстве $T_0$ объединение двух разбросанных множеств разбросано".
5. "Общая топология - Рассеянные пространства, поддающиеся второй аксиоме счетности, счетны".
6. Уиллард, задача 30E, стр. 219
7. «Общая топология — Единственность разложения на совершенное множество и рассеянное множество».
8. «Действительный анализ — верна ли теорема Кантора-Бендиксона для общего второго счетного пространства?».

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард , Общая топология , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4 
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология ( переиздание Дувра 1970 года), Эддисон-Уэсли