Касательное расслоение

Касательные пространства многообразия

Неформально, касательное расслоение многообразия (которое в данном случае является окружностью) получается путем рассмотрения всех касательных пространств (вверху) и их соединения вместе гладким и неперекрывающимся образом (внизу). ^{[примечание 1]}

Касательное расслоение — это совокупность всех касательных пространств для всех точек на многообразии , структурированная таким образом, что она сама образует новое многообразие. Формально, в дифференциальной геометрии , касательное расслоение дифференцируемого многообразия — это многообразие , которое собирает все касательные векторы в . Как набор, он задается несвязным объединением ^{[примечание 1]} касательных пространств . То есть, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

где обозначает касательное пространство к в точке . Таким образом, элемент можно рассматривать как пару , где — точка в , а — касательный вектор к в . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

Существует естественная проекция.

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

определяется как . Эта проекция отображает каждый элемент касательного пространства в одну точку . ${\displaystyle \pi (x,v)=x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

Касательное расслоение оснащено естественной топологией (описанной в разделе ниже). С этой топологией касательное расслоение к многообразию является прототипическим примером векторного расслоения (которое является расслоением волокон , волокнами которого являются векторные пространства ). Сечение является векторным полем на , а двойственное расслоение к является кокасательным расслоением , которое является несвязным объединением кокасательных пространств . По определению, многообразие параллелизуемо тогда и только тогда, когда касательное расслоение тривиально . По определению, многообразие оснащено тогда и только тогда, когда касательное расслоение стабильно тривиально, что означает, что для некоторого тривиального расслоения сумма Уитни тривиальна . Например, n -мерная сфера S ⁿ оснащена для всех n , но параллелизуема только для n = 1, 3, 7 (по результатам Ботта-Милнора и Кервера). ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

Роль

Одна из главных ролей касательного расслоения — предоставить область и диапазон для производной гладкой функции. А именно, если — гладкая функция, с и гладкими многообразиями, ее производная — гладкая функция . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

Топология и гладкая структура

Касательное расслоение оснащено естественной топологией ( не топологией несвязного объединения ) и гладкой структурой , чтобы превратить его в многообразие само по себе. Размерность в два раза больше размерности . ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Каждое касательное пространство n -мерного многообразия является n -мерным векторным пространством. Если является открытым стягиваемым подмножеством , то существует диффеоморфизм , который ограничивается линейным изоморфизмом каждого касательного пространства к . Однако, поскольку многообразие не всегда диффеоморфно многообразию-произведению . Когда оно имеет вид , то касательное расслоение называется тривиальным . Тривиальные касательные расслоения обычно возникают для многообразий, снабженных «совместимой групповой структурой»; например, в случае, когда многообразие является группой Ли . Касательное расслоение единичной окружности тривиально, поскольку оно является группой Ли (относительно умножения и его естественной дифференциальной структуры). Однако неверно, что все пространства с тривиальными касательными расслоениями являются группами Ли; многообразия, имеющие тривиальное касательное расслоение, называются параллелизуемыми . Так же, как многообразия локально моделируются на евклидовом пространстве , касательные расслоения локально моделируются на , где — открытое подмножество евклидова пространства. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}U}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Если M — гладкое n -мерное многообразие, то оно снабжено атласом карт , где — открытое множество в и ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

является диффеоморфизмом . Эти локальные координаты на приводят к изоморфизму для всех . Затем мы можем определить отображение ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

к

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

Мы используем эти карты для определения топологии и гладкой структуры на . Подмножество открыто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

открыто в для каждого Эти отображения являются гомеоморфизмами между открытыми подмножествами и и, следовательно, служат картами для гладкой структуры на . Функции перехода на перекрытиях карт индуцируются матрицами Якоби соответствующего преобразования координат и, следовательно, являются гладкими отображениями между открытыми подмножествами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Касательное расслоение является примером более общей конструкции, называемой векторным расслоением (которое само по себе является особым видом расслоения волокон ). Явно, касательное расслоение к -мерному многообразию может быть определено как ранговое векторное расслоение, над которым функции перехода задаются якобианом соответствующих преобразований координат. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

Простейшим примером является . В этом случае касательное расслоение тривиально: каждое канонически изоморфно посредством отображения , которое вычитает , давая диффеоморфизм . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$

Другой простой пример — единичная окружность , (см. рисунок выше). Касательное расслоение окружности также тривиально и изоморфно . Геометрически это цилиндр бесконечной высоты. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

Единственные касательные расслоения, которые можно легко визуализировать, — это расслоения действительной прямой и единичной окружности , оба из которых тривиальны. Для двумерных многообразий касательное расслоение является 4-мерным и, следовательно, его трудно визуализировать. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

Простым примером нетривиального касательного расслоения является расслоение единичной сферы : это касательное расслоение нетривиально как следствие теоремы о волосатом шаре . Следовательно, сфера не является параллелизуемой . ${\displaystyle S^{2}}$

Векторные поля

Гладкое задание касательного вектора каждой точке многообразия называется векторным полем . В частности, векторное поле на многообразии является гладким отображением ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

такой, что при для каждого . На языке расслоений такое отображение называется сечением . Следовательно, векторное поле на является сечением касательного расслоения . ${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$ ${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Множество всех векторных полей на обозначается . Векторные поля можно складывать поточечно ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

и умножается на гладкие функции на M

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

для получения других векторных полей. Множество всех векторных полей тогда принимает структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на M , обозначаемую . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Локальное векторное поле на является локальным сечением касательного расслоения. То есть локальное векторное поле определено только на некотором открытом множестве и сопоставляет каждой точке вектора в соответствующем касательном пространстве. Множество локальных векторных полей на образует структуру, известную как пучок действительных векторных пространств на . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Вышеприведенная конструкция в равной степени применима к кокасательному расслоению – дифференциальные 1-формы на являются в точности сечениями кокасательного расслоения , которые сопоставляют каждой точке 1-ковектор , который отображает касательные векторы в действительные числа: . Эквивалентно, дифференциальная 1-форма отображает гладкое векторное поле в гладкую функцию . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$

Касательные расслоения высшего порядка

Поскольку касательное расслоение само по себе является гладким многообразием, касательное расслоение второго порядка можно определить посредством повторного применения конструкции касательного расслоения: ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

В общем случае касательное расслоение -го порядка можно определить рекурсивно как . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T^{k}M}$ ${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$

Гладкое отображение имеет индуцированную производную, для которой касательное расслоение является соответствующей областью и диапазоном . Аналогично, касательные расслоения более высокого порядка предоставляют область и диапазон для производных более высокого порядка . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$ ${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$

Отдельной, но родственной конструкцией являются пучки струй на многообразии, которые представляют собой пучки, состоящие из струй .

Каноническое векторное поле на касательном расслоении

На каждом касательном расслоении , рассматриваемом как само многообразие, можно определить каноническое векторное поле как диагональное отображение на касательном пространстве в каждой точке. Это возможно, поскольку касательное пространство векторного пространства W является естественным произведением, поскольку само векторное пространство является плоским, и, таким образом, имеет естественное диагональное отображение, заданное под этой структурой произведения. Применение этой структуры произведения к касательному пространству в каждой точке и глобализация дает каноническое векторное поле. Неформально, хотя многообразие искривлено, каждое касательное пространство в точке , , является плоским, поэтому многообразие касательного расслоения локально является произведением искривленного и плоского Таким образом, касательное расслоение касательного расслоения локально (используя для «выбора координат» и для «естественной идентификации»): ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$ ${\displaystyle TW\cong W\times W,}$ ${\displaystyle W\to TW}$ ${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \cong }$

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

а карта — это проекция на первые координаты: ${\displaystyle TTM\to TM}$

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

Разделив первую карту по нулевой секции, а вторую карту по диагонали, получим каноническое векторное поле.

Если — локальные координаты для , то векторное поле имеет выражение ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

Более кратко, – первая пара координат не меняется, потому что это сечение пучка, а это просто точка в базовом пространстве: последняя пара координат – это само сечение. Это выражение для векторного поля зависит только от , а не от , поскольку естественным образом можно определить только направления касательных. ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$

В качестве альтернативы рассмотрим функцию скалярного умножения:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

Производная этой функции по переменной во времени представляет собой функцию , которая является альтернативным описанием канонического векторного поля. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

Существование такого векторного поля на аналогично канонической форме на кокасательном расслоении . Иногда также называется векторным полем Лиувилля , или радиальным векторным полем . Используя один можно охарактеризовать касательное расслоение. По сути, можно охарактеризовать с помощью 4 аксиом, и если многообразие имеет векторное поле, удовлетворяющее этим аксиомам, то многообразие является касательным расслоением, а векторное поле является каноническим векторным полем на нем. См., например, De León et al. ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Лифты

Существуют различные способы поднять объекты на в объекты на . Например, если — кривая в , то ( касательная к ) — кривая в . Напротив, без дополнительных предположений о (скажем, римановой метрике ) аналогичного подъема в кокасательное расслоение не существует . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Вертикальный подъем функции — это функция, определяемая формулой , где — каноническая проекция. ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$

Смотрите также

• Pushforward (дифференциал)
• Единичное касательное расслоение
• Котангенс расслоение
• Рамка связка
• Музыкальный изоморфизм

Примечания

1. Непересекающееся объединение гарантирует, что для любых двух точек x ₁ и x ₂ многообразия M касательные пространства T ₁ и T ₂ не имеют общего вектора. Это наглядно проиллюстрировано на прилагаемой картинке для касательного расслоения окружности S ¹ , см. раздел Примеры: все касательные к окружности лежат в плоскости окружности. Чтобы сделать их непересекающимися, необходимо выровнять их в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности.

Ссылки

• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , аспирантура по математике , т. 107, Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9 
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Graduate Texts in Mathematics. Том 218. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Юрген Йост , Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN 3-540-42627-2 
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Benjamin-Cummings, Лондон. ISBN 0-8053-0102-X 
• Леон, М. Де; Мерино, Э.; Убинья, Дж.А.; Сальгадо, М. (1994). «Характеристика касательных и стабильных касательных расслоений» (PDF) . Annales de l'IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1–15.
• Гудмундссон, Сигмундур; Каппос, Элиас (2002). «О геометрии касательных расслоений». Expositiones Mathematicae . 20 : 1–41. doi :10.1016/S0723-0869(02)80027-5.

Внешние ссылки

• «Касательное расслоение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Пакет тангенсов
• PlanetMath: Пакет тангенсов