Разрешение (алгебра)

В математике , а точнее в гомологической алгебре , резолюция (или левая резолюция ; дуально корезольвента или правая резолюция ^[1] ) — это точная последовательность модулей (или, в более общем смысле, объектов абелевой категории ), которая используется для определения инвариантов, характеризующих структуру конкретного модуля или объекта этой категории. Когда, как обычно, стрелки ориентированы вправо, последовательность предполагается бесконечной влево для (левых) резолюций и вправо для правых резолюций. Однако конечная резолюция — это та, в которой только конечное число объектов в последовательности не равны нулю ; она обычно представляется конечной точной последовательностью, в которой самый левый объект (для резолюций) или самый правый объект (для корезольвент) является нулевым объектом . ^[2]

В общем случае объекты в последовательности ограничены тем, что имеют некоторое свойство P (например, быть свободными). Таким образом, говорят о разрешении P. В частности, каждый модуль имеет свободные разрешения , проективные разрешения и плоские разрешения , которые являются левыми разрешениями, состоящими соответственно из свободных модулей , проективных модулей или плоских модулей . Аналогично каждый модуль имеет инъективные разрешения , которые являются правыми разрешениями, состоящими из инъективных модулей .

Разрешения модулей

Определения

Для данного модуля M над кольцом R левая резольвента ( или просто резольвента ) модуля M — это точная последовательность (возможно, бесконечная) R -модулей.

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Гомоморфизмы d _i называются граничными картами. Карта ε называется картой аугментации . Для краткости резолюцию выше можно записать как

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Двойственное понятие — это понятие правой резолюции (или корезольвенты , или просто резолюции ). В частности, для данного модуля M над кольцом R правая резольвента — это, возможно, бесконечная точная последовательность R -модулей

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

где каждый C ⁱ является R -модулем (обычно используются верхние индексы на объектах в разрешении и отображениях между ними, чтобы указать на двойственную природу такого разрешения). Для краткости, разрешение выше можно записать как

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

(Со)разрешение называется конечным, если только конечное число участвующих модулей ненулевые. Длина конечного разрешения — это максимальный индекс n, обозначающий ненулевой модуль в конечном разрешении.

Свободные, проективные, инъективные и плоские резолюции

Во многих случаях на модули E _{i ,} разрешающие данный модуль M , накладываются условия . Например, свободная резольвента модуля M — это левая резольвента, в которой все модули E _i являются свободными R -модулями. Аналогично, проективные и плоские резольвенты — это левые резольвенты, такие, что все E _i являются проективными и плоскими R -модулями соответственно. Инъективные резольвенты — это правые резольвенты, все C ⁱ которых являются инъективными модулями .

Каждый R -модуль обладает свободной левой резольвентой. ^[3] Тем более , каждый модуль также допускает проективные и плоские резольвенты. Идея доказательства состоит в том, чтобы определить E ₀ как свободный R -модуль, порожденный элементами M , а затем E ₁ как свободный R -модуль, порожденный элементами ядра естественного отображения E ₀ → M и т. д. Двойственно, каждый R -модуль обладает инъективной резольвентой. Проективные резольвенты (и, в более общем смысле, плоские резольвенты) могут быть использованы для вычисления функторов Tor .

Проективное разрешение модуля M единственно с точностью до цепной гомотопии , т. е. для двух проективных разрешений P ₀ → M и P ₁ → M модуля M существует цепная гомотопия между ними.

Резолюции используются для определения гомологических размерностей . Минимальная длина конечной проективной резолюции модуля M называется его проективной размерностью и обозначается pd( M ). Например, модуль имеет проективную размерность нулевую тогда и только тогда, когда он является проективным модулем. Если M не допускает конечной проективной резолюции, то проективная размерность бесконечна. Например, для коммутативного локального кольца R проективная размерность конечна тогда и только тогда, когда R регулярно , и в этом случае она совпадает с размерностью Крулля R . Аналогично для модулей также определяются инъективная размерность id( M ) и плоская размерность fd( M ).

Инъективные и проективные размерности используются в категории правых R -модулей для определения гомологической размерности для R, называемой правой глобальной размерностью R . Аналогично, плоская размерность используется для определения слабой глобальной размерности . Поведение этих размерностей отражает характеристики кольца. Например, кольцо имеет правую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является полупростым кольцом , а кольцо имеет слабую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является регулярным кольцом фон Неймана .

Градуированные модули и алгебры

Пусть M — градуированный модуль над градуированной алгеброй , которая порождается над полем своими элементами положительной степени. Тогда M имеет свободную резольвенту, в которой свободные модули E _i могут быть градуированы таким образом, что d _i и ε являются градуированными линейными отображениями . Среди этих градуированных свободных резольвент минимальные свободные резольвенты — это те, для которых число базисных элементов каждого E _i минимально. Число базисных элементов каждого E _i и их степени одинаковы для всех минимальных свободных резольвент градуированного модуля.

Если I — однородный идеал в кольце многочленов над полем, то регулярность Кастельнуово–Мамфорда проективного алгебраического множества, определяемого I, — это минимальное целое число r, такое что степени базисных элементов E _i в минимальной свободной резолюции I все ниже, чем ri .

Примеры

Классический пример свободной резолюции — комплекс Кошуля регулярной последовательности в локальном кольце или однородной регулярной последовательности в градуированной алгебре, конечно порожденной над полем.

Пусть X — асферическое пространство , т. е. его универсальная накрывающая E стягиваема . Тогда каждый сингулярный (или симплициальный ) цепной комплекс пространства E является свободной резольвентой модуля Z не только над кольцом Z , но и над групповым кольцом Z [ π ₁ ( X )].

Резолюции в абелевых категориях

Определение резолюций объекта M в абелевой категории A такое же, как и выше, но E _i и C ⁱ являются объектами в A , а все задействованные отображения являются морфизмами в A .

Аналогичное понятие проективных и инъективных модулей — это проективные и инъективные объекты и, соответственно, проективные и инъективные резолюции. Однако такие резолюции не обязаны существовать в общей абелевой категории A. Если каждый объект A имеет проективную (соотв. инъективную) резольвенту, то говорят, что A имеет достаточно проективных (соотв. достаточно инъективных ). Даже если они существуют, с такими резольвентами часто трудно работать. Например, как указано выше, каждый R -модуль имеет инъективную резольвенту, но эта резольвента не является функториальной , т. е. задан гомоморфизм M → M' вместе с инъективными резольвентами

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

в общем случае не существует функториального способа получения отображения между и . ${\displaystyle I_{*}}$ ${\displaystyle I'_{*}}$

Абелевы категории без проективных резолюций в общем случае

Одним из классов примеров абелевых категорий без проективных резолюций являются категории когерентных пучков на схеме . Например, если — проективное пространство, любой когерентный пучок на имеет представление, заданное точной последовательностью ${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

Первые два термина не являются в общем случае проективными, так как для . Но оба термина локально свободны и локально плоские. Оба класса пучков могут использоваться на месте для определенных вычислений, заменяя проективные резолюции для вычисления некоторых производных функторов. ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$ ${\displaystyle s>0}$

Ациклическое разрешение

Во многих случаях на самом деле интерес представляют не объекты, появляющиеся в разрешении, а поведение разрешения по отношению к заданному функтору . Поэтому во многих ситуациях используется понятие ациклических разрешений : задан левый точный функтор F : A → B между двумя абелевыми категориями, разрешение

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

объекта M из A называется F -ацикличным, если производные функторы R _i F ( E _n ) равны нулю для всех i  > 0 и n  ≥ 0. Двойственно, левая резольвента ациклична относительно правого точного функтора, если ее производные функторы равны нулю на объектах резолюции.

Например, для R -модуля M тензорное произведение    является правым точным функтором Mod ( R ) → Mod ( R ). Каждая плоская резольвента ациклична относительно этого функтора. Плоская резольвента ациклична для тензорного произведения на каждый M . Аналогично, резолюции, которые ацикличны для всех функторов Hom ( ⋅ , M ) являются проективными резольвентами, а те, которые ацикличны для функторов Hom ( M , ⋅ ) являются инъективными резольвентами. ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

Любая инъективная (проективная) резольвента является F -ацикличной для любого левого точного (правого точного, соответственно) функтора.

Важность ациклических резолюций заключается в том, что производные функторы R _i F (точного слева функтора и аналогично L _i F точного справа функтора) могут быть получены из гомологии F -ациклических резолюций: для данной ациклической резолюции объекта M имеем ${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

где правая часть — i -й гомологический объект комплекса ${\displaystyle F(E_{*}).}$

Эта ситуация применима во многих ситуациях. Например, для постоянного пучка R на дифференцируемом многообразии M может быть разрешен пучками гладких дифференциальных форм : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

Пучки являются тонкими пучками , которые, как известно, ацикличны относительно глобального функтора сечения . Поэтому когомологии пучка , которые являются производным функтором глобального функтора сечения Γ, вычисляются как ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$ ${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

Аналогично резолюции Годемана являются ациклическими по отношению к глобальному функтору сечений.

Смотрите также

• Стандартное разрешение
• Теорема Гильберта–Берча
• Теорема Гильберта о сизигиях
• Бесплатная презентация
• Факторизация матриц (алгебра)

Примечания

1. Якобсон 2009, §6.5 использует совместное разрешение , хотя правильное разрешение встречается чаще, как в Weibel 1994, гл. 2
2. проективное разрешение в n Lab , разрешение в n Lab
3. Якобсон 2009, §6.5

Ссылки

• Иэн Т. Адамсон (1972), Элементарные кольца и модули , University Mathematical Texts, Oliver and Boyd, ISBN 0-05-002192-3
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С видом на алгебраическую геометрию , Graduate Texts in Mathematics , т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960, Zbl  0819.13001
• Якобсон, Натан (2009) [1985], Основы алгебры II (Второе издание), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.