В геометрии ромбовидная мозаика , [1] также известная как акробатические блоки , [2] обратимые кубы или решетка игральных костей , представляет собой мозаику из одинаковых 60° ромбов на евклидовой плоскости . Каждый ромб имеет два угла по 60° и два угла по 120° ; ромбы такой формы иногда еще называют ромбами . Наборы из трех ромбов встречаются под углами 120 °, а наборы из шести ромбов встречаются под углами 60 °.
.svg/1280px-Rhombus_(Rhombille).svg.png)
Ромбическую мозаику можно рассматривать как подразделение шестиугольной мозаики , где каждый шестиугольник разделен на три ромба , встречающихся в центральной точке шестиугольника. Это подразделение представляет собой регулярную составную мозаику . Его также можно рассматривать как подразделение четырех шестиугольных плиток, где каждый шестиугольник разделен на 12 ромбов.
Диагонали каждого ромба относятся как 1: √ 3 . Это двойная мозаика тригексагональной мозаики или решетки кагоме . Как двойственное к равномерному мозаике , это одно из одиннадцати возможных мозаик Лавеса , а в конфигурации граней для моноэдральных мозаик оно обозначается [3.6.3.6]. [4]
Это также одно из 56 возможных изоэдральных замощений четырехугольниками [5] и одно из восьми замощений плоскости, в которых каждое ребро лежит на линии симметрии замощения. [6]
Можно встроить ромбовидную мозаику в подмножество трехмерной целочисленной решетки , состоящее из точек ( x , y , z ) с | х + у + г | ≤ 1, таким образом, что две вершины являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие точки решетки находятся на единичном расстоянии друг от друга, и, более строго, так, что количество ребер на кратчайшем пути между любыми двумя вершинами мозаики равно такое же, как манхэттенское расстояние между соответствующими точками решетки. Таким образом, ромбическую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба . [7]
Ромбическую мозаику можно интерпретировать как изометрическую проекцию набора кубов двумя разными способами, образуя обратимую фигуру, связанную с кубом Неккера . В этом контексте это известно как иллюзия «обратимых кубов». [8]
В работах М. К. Эшера «Метаморфоза I» , «Метаморфоза II » и «Метаморфоза III» Эшер использует эту интерпретацию мозаики как способ трансформации между двух- и трехмерными формами. [9] В другой своей работе, «Цикл» (1938), Эшер обыграл напряжение между двумерностью и трехмерностью этой плитки: в ней он рисует здание, в котором в качестве архитектурных элементов присутствуют как большие кубические блоки (нарисованные изометрически ) и внутренний дворик наверху, выложенный ромбической плиткой. Человеческая фигура спускается из патио мимо кубов, становясь при этом более стилизованной и двумерной. [10] Эти работы включают только одну трехмерную интерпретацию мозаики, но в « Выпуклых и вогнутых » экспериментах Эшера с обратимыми фигурами более общий характер и включает изображение иллюзии обратимых кубов на флаге внутри сцены. [11]
Ромбическая плитка также используется в качестве рисунка для паркета [12] и для облицовки пола или стен, иногда с вариациями формы ее ромбов. [13] Он появляется на древнегреческих напольных мозаиках с острова Делос [14] и на итальянских напольных плитках 11 века, [15] хотя плитки с этим рисунком в Сиенском соборе относятся к более позднему году. [16] В квилтинге он был известен с 1850-х годов как узор «кувыркающиеся блоки», имея в виду визуальный диссонанс, вызванный его двойной трехмерной интерпретацией. [2] [15] [17] Как образец для выстегивания, он также имеет много других названий, включая кубическую работу, небесную лестницу и ящик Пандоры. [17] Было высказано предположение, что узор лоскутного одеяла из кувыркающихся блоков использовался в качестве сигнала на Подземной железной дороге : когда рабы видели его висящим на заборе, они должны были упаковать свои вещи и бежать. См. Одеяла подземной железной дороги . [18] В этих декоративных целях ромбы могут иметь несколько цветов, но обычно им присваиваются три уровня затенения: самый яркий для ромбов с горизонтальными длинными диагоналями и более темный для ромбов с двумя другими ориентациями, чтобы улучшить их внешний вид из трех. -размерность. В английской геральдике есть единственный известный пример неявного ромба и тригексагональной мозаики – в гербе Гил/е. [19]
Ромбическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух разных шестиугольных мозаик, преобразованных так, что некоторые вершины одной мозаики попадают в центры шестиугольников другой мозаики. Таким образом, его можно использовать для определения блочных клеточных автоматов , в которых ячейки автомата представляют собой ромбы ромбической мозаики, а блоки на чередующихся шагах автомата представляют собой шестиугольники двух наложенных шестиугольных мозаик. В этом контексте его называют «окружением Q*bert» в честь видеоигры Q*bert , в которой в качестве игрового поля использовалась изометрическая проекция пирамиды из кубов. Окрестность Q*bert может использоваться для поддержки универсальных вычислений посредством моделирования компьютеров с бильярдными шарами . [20]
В физике конденсированного состояния ромбовидная мозаика известна как решетка кубиков , решетка кубиков или двойная решетка кагоме . Это одна из нескольких повторяющихся структур, используемых для исследования моделей Изинга и связанных с ними систем спиновых взаимодействий в двухатомных кристаллах [21] , а также она изучалась в теории перколяции . [22]
Ромбическая мозаика является двойственной трехгексагональной мозаикой . Это один из многих способов замощения плоскости равными ромбами. Другие включают сплюснутую по диагонали вариацию квадратной мозаики (с трансляционной симметрией на всех четырех сторонах ромба), мозаику, используемую в виде складчатого узора Миура-ори (чередующаяся между трансляционной и отражательной симметрией), и мозаику Пенроуза , в которой используются два вида ромбов с острыми углами 36° и 72° апериодически . Когда разрешено более одного типа ромба, возможны дополнительные мозаики, в том числе те, которые топологически эквивалентны ромбической мозаике, но с более низкой симметрией.
Замощения, комбинаторно эквивалентные ромбиллам, также могут быть реализованы с помощью параллелограммов и интерпретированы как аксонометрические проекции трехмерных кубических ступеней.
Существует только восемь замощений ребер , мозаик плоскости со свойством, заключающимся в том, что отражение любой плитки через любое из ее краев создает другую плитку; один из них — ромбовидная мозаика. [6]
