Четырехугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину
В плоской евклидовой геометрии ромб ( мн.: ромбы или ромбы ) — это четырехугольник , все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Другое название — равносторонний четырехугольник , поскольку равносторонний означает, что все его стороны равны по длине. Ромб часто называют « ромбом », по названию бубновой масти в игральных картах , которая напоминает проекцию октаэдрического ромба или ромба , хотя первая иногда относится конкретно к ромбу с углом 60° (который некоторые авторы называют ромбом). калиссон по французскому сладкому [1] — см. также Полийамонд ), причем последнее иногда относится именно к ромбу с углом 45°.
Каждый ромб является простым (несамопересекающимся) и является частным случаем параллелограмма и воздушного змея . Ромб с прямыми углами является квадратом . [2]
Этимология
Слово «ромб» происходит от древнегреческого : ῥόμβος , латинизированного : rhombos , что означает нечто, что вращается, [3] которое происходит от глагола ῥέμβω , латинизированного: rhémbō , что означает «вращаться и вращаться». [4] Это слово использовалось как Евклидом , так и Архимедом , которые использовали термин «сплошной ромб» для биконуса , двух правильных круглых конусов , имеющих общее основание. [5]
Поверхность, которую мы сегодня называем ромбом , представляет собой поперечное сечение биконуса на плоскости, проходящей через вершины двух конусов.
Характеристики
Простой (несамопересекающийся ) четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда он соответствует любому из следующих условий: [ 6] [7]
четырехугольник, в котором каждая диагональ делит пополам два противоположных внутренних угла
четырехугольник ABCD , имеющий точку P в своей плоскости, такой, что все четыре треугольника ABP , BCP , CDP и DAP конгруэнтны [8]
четырехугольник ABCD , в котором вписанные окружности в треугольниках ABC , BCD , CDA и DAB имеют общую точку [9]
Основные свойства
Каждый ромб имеет две диагонали , соединяющие пары противоположных вершин, и две пары параллельных сторон. Используя конгруэнтные треугольники , можно доказать , что ромб симметричен относительно каждой из этих диагоналей. Отсюда следует, что любой ромб обладает следующими свойствами:
Первое свойство означает, что каждый ромб является параллелограммом . Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма : например, противоположные стороны параллельны; смежные углы являются дополнительными ; две диагонали делят друг друга пополам; любая линия, проходящая через среднюю точку, делит площадь пополам; а сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей ( закон параллелограмма ). Таким образом, обозначая общую сторону как a , а диагонали как p и q , в каждом ромбе
Не всякий параллелограмм является ромбом, хотя любой параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (второе свойство) является ромбом. Вообще любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, одна из которых является линией симметрии, является воздушным змеем . Каждый ромб является коршуном, а любой четырехугольник, который является одновременно коршуном и параллелограммом, является ромбом.
Другой способ, как и в случае с параллелограммами, — рассматривать две смежные стороны как векторы, образующие бивектор , поэтому площадь — это величина бивектора (величина векторного произведения двух векторов), которая является определителем двух векторов. Декартовы координаты векторов: K = x 1 y 2 – x 2 y 1 . [11]
У ромба все стороны равны, а у прямоугольника все углы равны.
У ромба противоположные углы равны, а у прямоугольника противоположные стороны равны.
В ромб есть вписанная окружность, а в прямоугольник — описанная окружность .
У ромба ось симметрии проходит через каждую пару противоположных при вершинах углов, а у прямоугольника ось симметрии проходит через каждую пару противоположных сторон.
Диагонали ромба пересекаются под равными углами, а диагонали прямоугольника равны.
Фигура, образованная соединением середин сторон ромба, представляет собой прямоугольник , и наоборот.
Декартово уравнение
Стороны ромба с центром в начале координат и диагоналями, падающими на ось, состоят из всех точек ( x, y ), удовлетворяющих
Вершины находятся в и Это частный случай суперэллипса с показателем 1.
Выпуклые многогранники с ромбами включают в себя бесконечное множество ромбических зоноэдров , которые можно рассматривать как проективные оболочки гиперкубов .
Ромбический эннеаконтаэдр — это многогранник, состоящий из 90 ромбических граней, в каждой вершине которых сходятся три, пять или шесть ромбов. Имеет 60 широких и 30 тонких ромбов.
Ромбический икосаэдр — это многогранник, состоящий из 20 ромбических граней, из которых три, четыре или пять сходятся в каждой вершине. У него 10 граней на полярной оси и 10 граней, следующих за экватором.
Суперэллипс (включает ромб с закругленными углами)
Рекомендации
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (31 декабря 2015 г.). Математическая космическая одиссея: твердая геометрия в 21 веке. Американское математическое соц. ISBN 9781614442165.
^ Примечание: исходное определение Евклида и определение ромба в некоторых английских словарях исключают квадраты, но современные математики предпочитают инклюзивное определение. См., например, Де Вильерс, Майкл (февраль 1994 г.). «Роль и функция иерархической классификации четырехугольников». Для изучения математики . 14 (1): 11–18. JSTOR 40248098.
^ ῥόμβος. Архивировано 8 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
^ ρέμβω. Архивировано 8 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
^ «Происхождение ромба». Архивировано из оригинала 02 апреля 2015 г. Проверено 25 января 2005 г.
^ Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения. Архивировано 26 февраля 2020 г. в Wayback Machine », Information Age Publishing, 2008, стр. 55-56.
^ Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер , Методы евклидовой геометрии. Архивировано 1 сентября 2019 г. в Wayback Machine , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 53.
^ Пэрис Памфилос (2016), «Характеристика ромба», Forum Geometricorum 16 , стр. 331–336, [1] Архивировано 23 октября 2016 г. в Wayback Machine.
^ «IMOMath, «26-я Бразильская математическая олимпиада 2004 г.»» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 октября 2016 г. Проверено 6 января 2020 г.
^ WildLinAlg, эпизод 4. Архивировано 5 февраля 2017 г. в Wayback Machine , Норман Дж. Вайлдбергер, Univ. Нового Южного Уэльса, 2010 г., лекция на YouTube.
^ де Вильерс, Майкл, «Равноугольные циклические и равносторонние описанные многоугольники», Mathematical Gazette 95, март 2011 г., 102–107.
Внешние ссылки
Найдите ромб в Викисловаре, бесплатном словаре.
Викискладе есть медиафайлы по теме Ромби .
Параллелограмм и Ромб - Анимационный курс (Построение, Окружность, Площадь)
Определение ромба, Открытый справочник по математике с интерактивным апплетом.
Площадь ромба, Открытый справочник по математике — показаны три различных способа вычисления площади ромба с помощью интерактивного апплета.