Патологический (математика)

Математические явления, свойства которых противоречат здравому смыслу.

Функция Вейерштрасса непрерывна всюду , но нигде не дифференцируема .

В математике , когда математическое явление противоречит некоторой интуиции, то это явление иногда называют патологическим . С другой стороны, если явление не противоречит интуиции, его иногда называют благонравным . Эти термины иногда полезны в математических исследованиях и преподавании, но не существует строгого математического определения патологического или плохого поведения. ^[1]

В анализе

Классическим примером патологии является функция Вейерштрасса — функция, непрерывная всюду , но нигде не дифференцируемая . ^[1] Сумма дифференцируемой функции и функции Вейерштрасса снова непрерывна, но нигде не дифференцируема; поэтому таких функций не меньше, чем дифференцируемых функций. Фактически, используя теорему Бэра о категориях , можно показать, что непрерывные функции вообще нигде не дифференцируемы. ^[2]

Такие примеры считались патологическими, когда они были впервые обнаружены: Цитируем Анри Пуанкаре : ^[3]

Логика иногда порождает монстров. За полвека появилось множество странных функций, которые, кажется, стремятся как можно меньше походить на честные функции, которые приносят какую-то пользу. Нет больше непрерывности, или же непрерывность, но нет производных и т. д. Более того, с точки зрения логики именно эти странные функции являются наиболее общими; те, которые встречаются без того, чтобы их искали, уже не кажутся чем-то большим, чем частным случаем, и им остается совсем немного угла.

Раньше, когда изобретали новую функцию, это преследовало какую-то практическую цель. Сегодня они придуманы специально, чтобы показать ошибочность рассуждений наших предков, и мы никогда не получим от них ничего большего.

Если бы логика была единственным руководством учителя, ему пришлось бы начинать с самых общих, т. е. с самых странных функций. Ему придется заставить новичка бороться с этой коллекцией чудовищ. Если вы этого не сделаете, могли бы сказать логики, вы достигнете точности лишь постепенно.

-  Анри Пуанкаре , «Наука и метод» (1899 г.), (перевод 1914 г.), стр. 125.

Со времен Пуанкаре не было показано, что нигде дифференцируемые функции появляются в основных физических и биологических процессах, таких как броуновское движение , а также в таких приложениях, как модель Блэка-Шоулза в финансах.

«Контрпримеры в анализе» — это целая книга таких контрпримеров. ^[4]

В топологии

^{Одним из} известных контрпримеров в топологии является ^{рогатая} сфера Александера , показывающая, что топологическое вложение сферы S2 в R3 может не привести к четкому разделению пространства. В качестве контрпримера это побудило математиков определить свойство прирученности , которое подавляет дикое поведение , демонстрируемое рогатой сферой, диким узлом и другими подобными примерами. ^[5]

Как и многие другие патологии, рогатая сфера в каком-то смысле играет на бесконечно тонкой, рекурсивно порождаемой структуре, которая в пределе нарушает обычную интуицию. В этом случае топология постоянно нисходящей цепочки взаимосвязанных петель непрерывных кусков сферы в пределе полностью отражает топологию общей сферы, и можно было бы ожидать, что внешняя часть ее после вложения будет работать так же. Однако это не так: он не может быть просто связан .

Основополагающую теорию см. в теореме Джордана–Шенфлиса .

«Контрпримеры в топологии» — это целая книга таких контрпримеров. ^[6]

хорошо себя ведет

Математики (и те, кто занимается смежными науками) очень часто говорят о том, является ли математический объект — функция , множество , пространство того или иного вида — «хорошим» . Хотя этот термин не имеет четкого формального определения, он обычно относится к качеству удовлетворения списка преобладающих условий, которые могут зависеть от контекста, математических интересов, моды и вкуса. Чтобы гарантировать, что объект «ведёт себя хорошо», математики вводят дополнительные аксиомы, чтобы сузить область исследования. Это облегчает анализ, но приводит к потере общности любых сделанных выводов.

Как в чистой, так и в прикладной математике (например, оптимизации , численном интегрировании , математической физике ) хорошее поведение также означает отсутствие нарушения каких-либо предположений, необходимых для успешного применения любого обсуждаемого анализа.

Противоположный случай обычно называют «патологическим». Нет ничего необычного в ситуациях, в которых большинство случаев (с точки зрения мощности или меры ) являются патологическими, но патологические случаи не возникнут на практике — если только они не будут созданы намеренно.

Термин «хорошее поведение» обычно применяется в абсолютном смысле: либо что-то хорошо себя ведет, либо нет. Например:

• В алгоритмическом выводе статистика с хорошим поведением является монотонной, четко определенной и достаточной .
• В теореме Безу два многочлена ведут себя правильно, и, таким образом, формула, данная теоремой для числа их пересечений, действительна, если их полиномиальный наибольший общий делитель является константой.
• Мероморфная функция — это отношение двух функций с хорошим поведением в том смысле, что эти две функции голоморфны .
• Условия Каруша – Куна – Такера являются необходимыми условиями первого порядка для того, чтобы решение задачи нелинейного программирования с правильным поведением было оптимальным; Проблема называется корректной, если выполняются некоторые условия регулярности.
• В теории вероятности события, содержащиеся в соответствующей сигма-алгебре вероятностного пространства, ведут себя хорошо, как и измеримые функции.

Необычно то, что этот термин также можно применять в сравнительном смысле:

• В исчислении :
  • Аналитические функции ведут себя лучше, чем обычные гладкие функции .
  • Гладкие функции ведут себя лучше, чем общие дифференцируемые функции.
  • Непрерывные дифференцируемые функции ведут себя лучше, чем общие непрерывные функции. Чем большее количество раз можно дифференцировать функцию, тем лучше она себя ведет.
  • Непрерывные функции ведут себя лучше, чем интегрируемые по Риману функции на компактных множествах.
  • Функции, интегрируемые по Риману, ведут себя лучше, чем функции , интегрируемые по Лебегу .
  • Функции, интегрируемые по Лебегу, ведут себя лучше, чем общие функции.
• В топологии непрерывные функции ведут себя лучше , чем разрывные.
  • Евклидово пространство ведет себя лучше, чем неевклидова геометрия .
  • Привлекательные фиксированные точки ведут себя лучше, чем отталкивающие.
  • Топологии Хаусдорфа ведут себя лучше, чем топологии произвольной общей топологии .
  • Борелевские множества ведут себя лучше, чем произвольные наборы действительных чисел .
  • Пространства с целочисленной размерностью ведут себя лучше, чем пространства с фрактальной размерностью .
• В абстрактной алгебре :
  • Группы ведут себя лучше, чем магмы и полугруппы .
  • Абелевы группы ведут себя лучше, чем неабелевы группы.
  • Конечно порожденные абелевы группы ведут себя лучше, чем не конечно порожденные абелевы группы.
  • Конечномерные векторные пространства ведут себя лучше, чем бесконечномерные .
  • Поля ведут себя лучше, чем тела или общие кольца .
  • Расширения разделяемых полей ведут себя лучше, чем неразделимые.
  • Нормированные алгебры с делением ведут себя лучше, чем алгебры общей композиции.

Патологические примеры

Патологические примеры часто обладают некоторыми нежелательными или необычными свойствами, которые затрудняют включение или объяснение в рамках теории. Такое патологическое поведение часто побуждает к новым исследованиям и исследованиям, которые приводят к новой теории и более общим результатам. Вот некоторые важные исторические примеры:

• Открытие иррациональных чисел школой Пифагора в Древней Греции; например, длина диагонали единичного квадрата , то есть . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Открытие комплексных чисел в 16 веке с целью нахождения корней полиномиальных функций кубической и четвертой степени .
• Некоторые числовые поля имеют кольца целых чисел , которые не образуют уникальную область факторизации , например расширенное поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$
• Открытие фракталов и других «грубых» геометрических объектов (см. Хаусдорфова размерность ).
• Функция Вейерштрасса — вещественная функция на действительной прямой , непрерывная всюду , но нигде не дифференцируемая . ^[1]
• Тестовые функции в реальном анализе и теории распределения, которые представляют собой бесконечно дифференцируемые функции на действительной прямой, равные 0 всюду за пределами заданного ограниченного интервала . Примером такой функции является тестовая функция,
  $${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$
• Множество Кантора — это подмножество интервала , имеющее нулевую меру , но неисчислимое . ${\displaystyle [0,1]}$
• Толстое канторово множество нигде не является плотным , но имеет положительную меру .
• Функция Фабиуса всюду гладкая , но нигде не аналитическая .
• Функция Вольтерра всюду дифференцируема с ограниченной производной, но производная не интегрируема по Риману .
• Кривая заполнения пространства Пеано — это непрерывная сюръективная функция, которая отображает единичный интервал на . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$
• Функция Дирихле , которая является индикаторной функцией рациональных чисел, является ограниченной функцией, не интегрируемой по Риману .
• Функция Кантора представляет собой монотонную непрерывную сюръективную функцию, которая отображается на , но почти всюду имеет нулевую производную . ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$
• Функция вопросительного знака Минковского непрерывна и строго возрастает, но почти всюду имеет нулевую производную.
• Классы удовлетворения, содержащие «интуитивно ложные» арифметические утверждения, могут быть построены для счетных , рекурсивно насыщенных моделей арифметики Пеано . ^{[ нужна цитата ]}
• Кривая Осгуда представляет собой кривую Жордана (в отличие от большинства кривых, заполняющих пространство ) положительной площади .
• Экзотическая сфера гомеоморфна , но не диффеоморфна стандартной евклидовой n-сфере .

На момент открытия каждый из них считался крайне патологичным; сегодня каждая из них ассимилирована в современную математическую теорию. Эти примеры побуждают наблюдателей исправить свои убеждения или интуиции, а в некоторых случаях требуют переоценки основополагающих определений и концепций. На протяжении истории они привели к созданию более правильной, более точной и более мощной математики. Например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу, а свертка с пробными функциями используется для аппроксимации любой локально интегрируемой функции гладкими функциями. ^{[Примечание 1]}

Является ли поведение патологичным, по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, подготовки и опыта, и то, что является патологией для одного исследователя, вполне может быть стандартным поведением для другого.

Патологические примеры могут показать важность предположений в теореме. Например, в статистике распределение Коши не удовлетворяет центральной предельной теореме , хотя его симметричная колоколообразная форма кажется похожей на многие распределения, которые удовлетворяют; он не удовлетворяет требованию наличия среднего и стандартного отклонения, которые существуют и являются конечными.

Некоторые из наиболее известных парадоксов , такие как парадокс Банаха-Тарского и парадокс Хаусдорфа , основаны на существовании неизмеримых множеств . Математики, если они не занимают позицию меньшинства, отрицающего аксиому выбора , в целом смирились с жизнью с такими множествами. ^{[ нужна цитата ]}

Информатика

В информатике термин «патология» имеет несколько иной смысл по отношению к изучению алгоритмов . Здесь входные данные (или набор входных данных) называются патологическими , если они вызывают нетипичное поведение алгоритма, например нарушение его средней сложности или даже его правильности. Например, хеш-таблицы обычно имеют патологические входные данные: наборы ключей, которые конфликтуют по хеш-значениям. Быстрая сортировка обычно имеет временную сложность, но ухудшается, когда вводимые данные вызывают неоптимальное поведение. ${\displaystyle O(n\log {n})}$ ${\displaystyle O(n^{2})}$

Этот термин часто используется уничижительно, как способ отвергнуть такие входные данные как специально разработанные для нарушения рутины, которая в остальном разумна на практике (сравните с Byzantine ). С другой стороны, осведомленность о патологических входных данных важна, поскольку их можно использовать для организации атаки типа «отказ в обслуживании» на компьютерную систему. Кроме того, этот термин в этом смысле является предметом субъективного суждения, как и другие его значения. При наличии достаточного времени работы, достаточно большого и разнообразного сообщества пользователей (или других факторов) на самом деле может произойти входной сигнал, который можно счесть патологическим (как это было видно в первом испытательном полете Ariane 5 ).

Исключения

Подобным, но отличным явлением является феномен исключительных объектов (и исключительных изоморфизмов ), который возникает, когда существует «небольшое» количество исключений из общего шаблона (например, конечное множество исключений из бесконечного правила). Напротив, в случаях патологии часто большинство или почти все случаи явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны).

Субъективно исключительные объекты (такие как икосаэдр или спорадические простые группы ) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, тогда как патологические явления часто считаются «уродливыми», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются и включают в себя исключительные объекты. Например, исключительные алгебры Ли включены в теорию полупростых алгебр Ли : аксиомы считаются хорошими, исключительные объекты - неожиданными, но действительными.

Напротив, вместо этого используются патологические примеры, чтобы указать на недостатки аксиом, и для их исключения требуются более сильные аксиомы. Например, требование ручности вложения сферы в задаче Шёнфлиса . В общем, можно изучать как более общую теорию, включая патологии, которая может давать свои собственные упрощения (действительные числа обладают свойствами, сильно отличающимися от рациональных, так и непрерывные карты имеют свойства, сильно отличающиеся от гладких), но также и более узкую. теории, из которой были взяты оригинальные примеры.

Смотрите также

• Фрактальная кривая
• Список математического жаргона
• Феномен Рунге
• Феномен Гиббса
• Парадоксальный набор

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Патологический». mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 г.
2. «Категория Бэра и нигде не дифференцируемые функции (часть первая)» . www.math3ma.com . Проверено 29 ноября 2019 г.
3. Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древности до современности. Издательство Оксфордского университета. п. 973. OCLC  1243569759.
4. Гельбаум, Бернард Р. (1964). Контрпримеры в анализе. Джон М.Х. Олмстед. Сан-Франциско: Холден-Дэй. ISBN 0-486-42875-3. ОСЛК  527671.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Рогатая сфера Александра». mathworld.wolfram.com . Проверено 29 ноября 2019 г.
6. Стин, Линн Артур (1995). Контрпримеры в топологии. Дж. Артур Сибах. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-68735-Х. ОСЛК  32311847.

Примечания

1. Приближения сходятся почти всюду и в пространстве локально интегрируемых функций.

Внешние ссылки

• Патологические структуры и фракталы - отрывок из статьи Фримена Дайсона «Характеристика нарушений», Science, май 1978 г.

Эта статья включает в себя материалы из патологического сайта PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .