В физике вращение Вика , названное в честь итальянского физика Джан Карло Вика , представляет собой метод нахождения решения математической задачи в пространстве Минковского из решения связанной задачи в евклидовом пространстве с помощью преобразования, которое заменяет мнимую числовую переменную на действительную.
Вращения фитиля полезны из-за аналогии между двумя важными, но, казалось бы, разными областями физики: статистической механикой и квантовой механикой . В этой аналогии обратная температура играет в статистической механике роль, формально родственную мнимому времени в квантовой механике: то есть, it , где t — время, а i — мнимая единица ( i 2 = –1 ).
Точнее, в статистической механике мера Гиббса exp(− H / k B T ) описывает относительную вероятность того, что система будет находиться в любом заданном состоянии при температуре T , где H — функция, описывающая энергию каждого состояния, а k B — постоянная Больцмана . В квантовой механике преобразование exp(− itH / ħ ) описывает эволюцию во времени, где H — оператор, описывающий энергию ( гамильтониан ), а ħ — приведенная постоянная Планка . Первое выражение напоминает второе, когда мы заменяем его / ħ на 1/ k B T , и эта замена называется вращением Вика. [1]
Вращение Вика называется вращением, потому что когда мы представляем комплексные числа в виде плоскости , умножение комплексного числа на мнимую единицу эквивалентно вращению против часовой стрелки вектора, представляющего это число, на угол величиной π /2 вокруг начала координат. [2]
Вращение Вика мотивировано наблюдением, что метрика Минковского в натуральных единицах (с соглашением о метрической сигнатуре (− + + +) )
и четырехмерная евклидова метрика
эквивалентны, если разрешить координате t принимать мнимые значения. Метрика Минковского становится евклидовой, когда t ограничивается мнимой осью , и наоборот. Взяв задачу, выраженную в пространстве Минковского с координатами x , y , z , t , и подставив t = − iτ, иногда получаем задачу в действительных евклидовых координатах x , y , z , τ, которую легче решить. Это решение может затем, при обратной подстановке, дать решение исходной задачи.
Вращение Вика связывает статистическую механику с квантовой механикой , заменяя обратную температуру мнимым временем или , точнее, заменяя 1/ k B T на it / ħ , где T — температура, k B — постоянная Больцмана , t — время, а ħ — приведенная постоянная Планка .
Например, рассмотрим квантовую систему, гамильтониан которой имеет собственные значения E j . Когда эта система находится в тепловом равновесии при температуре T , вероятность нахождения ее в j -м собственном энергетическом состоянии пропорциональна exp(− E j / k B T ) . Таким образом, ожидаемое значение любой наблюдаемой Q , которая коммутирует с гамильтонианом, равно, с точностью до нормирующей константы,
где j пробегает все собственные энергетические состояния, а Q j — значение Q в j -м собственном состоянии.
В качестве альтернативы рассмотрим эту систему в суперпозиции собственных энергетических состояний , развивающейся в течение времени t под действием гамильтониана H. После времени t относительное изменение фазы j -го собственного состояния равно exp(− E j it / ħ ) . Таким образом, амплитуда вероятности того, что равномерная (равно взвешенная) суперпозиция состояний
эволюционирует в произвольную суперпозицию
с точностью до нормировочной константы
Обратите внимание, что эту формулу можно получить из формулы теплового равновесия, заменив 1 / k B T на / ħ .
Вращение фитиля связывает задачи статики в n измерениях с задачами динамики в n − 1 измерениях, обменивая одно измерение пространства на одно измерение времени. Простой пример, где n = 2, — это висящая пружина с фиксированными концами в гравитационном поле. Форма пружины — кривая y ( x ) . Пружина находится в равновесии, когда энергия, связанная с этой кривой, находится в критической точке (экстремуме); эта критическая точка обычно является минимумом, поэтому эту идею обычно называют «принципом наименьшей энергии». Чтобы вычислить энергию, мы интегрируем пространственную плотность энергии по пространству:
где k — константа пружины, а V ( y ( x )) — гравитационный потенциал.
Соответствующая динамическая задача — это задача камня, брошенного вверх. Путь, по которому следует камень, — это тот, который экстремумизирует действие ; как и прежде, этот экстремум обычно является минимумом, поэтому это называется « принципом наименьшего действия ». Действие — это временной интеграл Лагранжиана :
Решение задачи динамики (с точностью до множителя i ) получаем из задачи статики путем вращения Вика, заменяя y ( x ) на y ( it ), а жесткость пружины k на массу породы m :
Взятые вместе, предыдущие два примера показывают, как формулировка интеграла по траектории квантовой механики связана со статистической механикой. Из статистической механики, форма каждой пружины в наборе при температуре T будет отклоняться от формы с наименьшей энергией из-за тепловых флуктуаций; вероятность найти пружину с заданной формой уменьшается экспоненциально с разницей энергии от формы с наименьшей энергией. Аналогично, квантовая частица, движущаяся в потенциале, может быть описана суперпозицией траекторий, каждая из которых имеет фазу exp( iS ) : тепловые изменения формы по всему набору превратились в квантовую неопределенность на пути квантовой частицы.
Уравнение Шредингера и уравнение теплопроводности также связаны вращением Вика.
Вращение Вика также связывает квантовую теорию поля при конечной обратной температуре β со статистико-механической моделью над "трубкой" R 3 × S 1 с мнимой временной координатой τ, являющейся периодической с периодом β . Однако есть небольшое различие. Статистико-механические n -точечные функции удовлетворяют положительности, тогда как квантовые теории поля с вращением Вика удовлетворяют отражательной положительности . [ необходимо дополнительное объяснение ]
Однако следует отметить, что вращение Вика нельзя рассматривать как вращение в комплексном векторном пространстве, снабженном обычной нормой и метрикой, индуцированными скалярным произведением , поскольку в этом случае вращение будет отменено и не будет иметь никакого эффекта.
Дирк Шлингеманн доказал, что более строгую связь между евклидовой и квантовой теорией поля можно построить с помощью аксиом Остервальдера–Шрадера . [3]