Удвоение куба

Древняя геометрическая задача на построение

Единичный куб (сторона = 1) и куб с удвоенным объемом (сторона = = 1,2599210498948732... OEIS : A002580 ). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Удвоение куба , также известное как Делосская задача , является древней ^{[a] [1] : 9} геометрической задачей. Учитывая ребро куба , задача требует построения ребра второго куба, объем которого вдвое больше объема первого. Как и в случае с родственными задачами квадратуры круга и трисекции угла , удвоение куба, как теперь известно, невозможно построить, используя только циркуль и линейку , но даже в древние времена были известны решения, в которых использовались другие методы.

По словам Евтокия, Архит был первым, кто решил задачу удвоения куба (так называемую Делосскую задачу) с помощью остроумного геометрического построения. ^{[2] [3] [4]} Несуществование решения с помощью циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.

В алгебраических терминах удвоение единичного куба требует построения отрезка прямой длиной x , где x ³ = 2 ; другими словами, x = ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ , кубический корень из двух . Это происходит потому, что куб со стороной 1 имеет объем 1 ³ = 1 , а куб вдвое большего объема (объем 2) имеет сторону, равную кубическому корню из 2. Невозможность удвоения куба, таким образом, эквивалентна утверждению, что не является конструктивным числом . Это является следствием того факта, что координаты новой точки, построенной циркулем и линейкой, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, не большей степени , чем квадратная . Это подразумевает, что степень расширения поля , порожденного конструктивной точкой, должна быть степенью 2. Однако расширение поля, порожденное , имеет степень 3. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Доказательство невозможности

Начнем с единичного отрезка прямой, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам требуется построить отрезок прямой, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием . Легко показать, что построения с помощью циркуля и линейки позволят свободно перемещать такой отрезок прямой до соприкосновения с началом координат , параллельно единичному отрезку прямой - так что эквивалентно мы можем рассмотреть задачу построения отрезка прямой от (0,0) до ( , 0), что влечет за собой построение точки ( , 0). ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать окружности с центром в одной ранее определенной точке и проходящие через другую, а также создавать линии, проходящие через две ранее определенные точки. Любая вновь определенная точка возникает либо в результате пересечения двух таких окружностей, как пересечение окружности и прямой, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях как x- , так и y -координаты вновь определенной точки удовлетворяют полиному степени не выше квадратной, с коэффициентами , которые являются сложениями, вычитаниями, умножениями и делениями, включающими координаты ранее определенных точек (и рациональные числа). Перефразируя в более абстрактной терминологии, новые x- и y -координаты имеют минимальные полиномы степени не выше 2 над подполем , порожденным предыдущими координатами. Следовательно, степень расширения поля, соответствующего каждой новой координате, равна 2 или 1. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Итак, имея координату любой построенной точки, мы можем индуктивно двигаться назад через x- и y -координаты точек в том порядке, в котором они были определены, пока не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1,0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1, и поскольку расширение поля над координатами исходной пары точек, очевидно, имеет степень 1, из правила башни следует , что степень расширения поля над любой координатой построенной точки является степенью 2 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теперь, p ( x ) = x ³ − 2 = 0 , как легко видеть, неприводимо над — любая факторизация будет включать линейный множитель ( x − k ) для некоторого k ∈ , и поэтому k должно быть корнем p ( x ) ; но также k должно делить 2 (по теореме о рациональных корнях ); то есть k = 1, 2, −1 или −2 , и ни один из них не является корнем p ( x ) . По лемме Гаусса , p ( x ) также неприводимо над и, таким образом, является минимальным многочленом над для . Таким образом, расширение поля имеет степень 3. Но это не степень 2, поэтому согласно вышесказанному: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$не является координатой конструируемой точки, поэтому
• отрезок прямой не может быть построен с помощью линейки и циркуля, и ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$
• куб невозможно удвоить, используя только линейку и циркуль.

История

Задача обязана своим названием истории о гражданах Делоса , которые консультировались с оракулом в Дельфах, чтобы узнать, как победить чуму, посланную Аполлоном . ^{[5] [1] : 9} Согласно Плутарху , ^[6] однако, граждане Делоса консультировались с оракулом в Дельфах, чтобы найти решение своих внутренних политических проблем в то время, что усилило отношения между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер алтаря Аполлона, который был правильным кубом. Ответ показался делосцам странным, и они обратились за консультацией к Платону , который смог истолковать оракул как математическую задачу удвоения объема данного куба, таким образом объяснив оракул как совет Аполлона гражданам Делоса заняться изучением геометрии и математики, чтобы успокоить свои страсти. ^[7]

По словам Плутарха , Платон передал задачу Евдоксу , Архиту и Менехму , которые решили ее с помощью механических средств, заслужив упрек от Платона за то, что они не решили ее с помощью чистой геометрии . ^[8] Возможно, именно поэтому в 350-х годах до нашей эры автор псевдоплатоновского «Сизифа » (388e) называет эту задачу все еще нерешенной. ^[9] Однако в другой версии этой истории (приписываемой Эратосфену Евтокием из Аскалона ) говорится, что все трое нашли решения, но они были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность. ^[10]

Значительным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосским того, что оно эквивалентно нахождению двух геометрических средних пропорциональных между отрезком прямой и другим отрезком с удвоенной длиной. ^[11] В современных обозначениях это означает, что для отрезков длиной a и 2 a удвоение куба эквивалентно нахождению отрезков длиной r и s таким образом, что

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

В свою очередь, это означает, что

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 не может быть построен ; то есть его нельзя построить с помощью линейки и циркуля . ^[12]

Решения с помощью средств, отличных от циркуля и линейки

Оригинальное решение Менехма включает пересечение двух конических кривых. Другие более сложные методы удвоения куба включают невзис , циссоиду Диокла , конхоиду Никомеда или линию Филона . Пандросион , вероятно женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение с использованием плоскостей в трех измерениях, но была подвергнута резкой критике со стороны Паппа Александрийского за то, что не предоставила надлежащего математического доказательства . ^[13] Архит решил задачу в 4 веке до н. э., используя геометрическое построение в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.

Теория геометрического решения уравнений Декарта использует параболу для введения кубических уравнений, таким образом, можно составить уравнение, решением которого является кубический корень из двух. Обратите внимание, что сама парабола не может быть построена, за исключением трехмерных методов.

Ложные утверждения об удвоении куба с помощью циркуля и линейки изобилуют в литературе для математического чудака ( псевдоматематика ).

Оригами также можно использовать для построения кубического корня из двух путем складывания бумаги .

Использование размеченной линейки

Существует простое построение невзиса с использованием отмеченной линейки для длины, которая равна кубическому корню из 2, умноженных на другую длину. ^[14]

1. Отметьте линейку заданной длины; в конечном итоге это будет GH.
2. Постройте равносторонний треугольник ABC с заданной длиной стороны.
3. Продлим AB еще на такое же расстояние до D.
4. Продолжим линию BC, образовав линию CE.
5. Продлите линию DC, образовав линию CF.
6. Поместите отмеченную линейку так, чтобы она проходила через точку A, и один конец, G, отмеченной длины падает на луч CF, а другой конец отмеченной длины, H, падает на луч CE. Таким образом, GH — заданная длина.

Тогда AG — заданная длина, умноженная на . ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$

В теории музыки

В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, вызванный удвоением частоты тона), а естественным аналогом куба является деление октавы на три части, каждая из которых имеет одинаковый интервал . В этом смысле задача удвоения куба решается мажорной терцией в равномерной темперации . Это музыкальный интервал, который составляет ровно одну треть октавы. Он умножает частоту тона на , длину стороны делийского куба. ^[15] ${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$

Пояснительные записки

1. Проблема Делоса появляется в «Государстве» Платона ( ок.  380 г. до н.э. ) VII.530.

Ссылки

1. Керн, Уиллис Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1934). Твердое измерение с доказательствами . Нью-Йорк: John Wiley & Sons.
2. Менн, С. (2015). «Как Архит удвоил куб». В Холмс, Б.; Фишер, К.-Д. (ред.). Границы античной науки: Эссе в честь Генриха фон Штадена. стр. 407–436 – через Google books.
3. Масиа, Р. (2016). «Новое прочтение удвоения куба Архитом и его последствия». Архив истории точных наук. 70 (2): 175–204. doi:10.1007/s00407-015-0165-9. ISSN 1432-0657.
4. Гильбо, Люси (1930). «История решения кубического уравнения». Mathematics News Letter. 5 (4): 8–12. doi:10.2307/3027812. JSTOR 3027812
5. Жмудь, Леонид Яковлевич (2006). Происхождение истории науки в классической античности. Вальтер де Грюйтер. С. 84, цитирует Плутарха и Теона Смирнского. ISBN 978-3-11-017966-8.
6. "Плутарх, De E apud Delphos, раздел 6 386.4" . www.perseus.tufts.edu . Проверено 17 сентября 2024 г.
7. Плутарх , De genio Socratis 579.B
8. (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)
9. Карл Вернер Мюллер, Die Kurzdialoge der Приложение Platonica , Мюнхен: Вильгельм Финк, 1975, стр. 105–106.
10. Кнорр, Уилбур Ричард (1986), Древняя традиция геометрических задач , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 4, ISBN 9780486675329.
11. TL Heath История греческой математики , т. 1
12. Lützen, Jesper (24 января 2010 г.). «Алгебра геометрической невозможности: Декарт и Монтакля о невозможности удвоения куба и трисекции угла». Centaurus . 52 (1): 4–37. doi :10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x.
13. Кнорр, Уилбур Ричард (1989). «Тексты Паппуса об удвоении куба». Текстовые исследования по древней и средневековой геометрии . Бостон: Birkhäuser. стр. 63–76. doi :10.1007/978-1-4612-3690-0_5. ISBN 9780817633875.
14. Дёрри, Генрих (1965). 100 великих проблем элементарной математики . Довер. стр. 171. ISBN 0486-61348-8.
15. Филлипс, RC (октябрь 1905 г.), «Равномерно темперированный строй», Musical Opinion and Music Trade Review , 29 (337): 41–42, ProQuest  7191936

Внешние ссылки

• Фредерик Беатрикс, Питер Катцлингер: Довольно точное решение проблемы Delian . В: Parabola Volume 59 (2023) Issue 1, онлайн-журнал (ISSN 1446-9723), издаваемый Школой математики и статистики Университета Нового Южного Уэльса
• Удвоение куба, построение близости как анимация (сторона = 1,259921049894873) — Wikimedia Commons
• «Удвоение куба», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Удвоение куба. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон в архиве истории математики MacTutor.
• Удвоить куб – Решение Архита. Отрывок из «Истории греческой математики» сэра Томаса Хита .
• Проблема Делиана решена. Или нет? в cut-the-knot .
• Видео Mathologer: «2000 лет нерешенных задач: почему невозможно удвоить куб и возвести в квадрат круг?»