Объединение имущества

Концепция теории моделей

Коммутативная диаграмма свойства амальгамации.

В математической области теории моделей свойство амальгамации — это свойство совокупности структур , гарантирующее при определенных условиях, что две структуры в коллекции могут рассматриваться как подструктуры более крупной.

Это свойство играет решающую роль в теореме Фрэссе , которая характеризует классы конечных структур, возникающих как возрасты счетных однородных структур.

Диаграмма свойства амальгамации встречается во многих областях математической логики . Примеры включают модальную логику как инцестуальное отношение доступности, ^{[ необходимы пояснения ]} и лямбда-исчисление как способ редукции , обладающий свойством Чёрча-Россера .

Определение

Амальгаму можно формально определить как набор из 5 элементов ( A ,f,B,g,C ) такой, что A,B,C — структуры, имеющие одинаковую сигнатуру , а f: A  →  B, g :  A  →  C — вложения. . Напомним, что f: A  →  B является вложением, если f — инъективный морфизм, индуцирующий изоморфизм A в подструктуру f(A) структуры B . ^[1]

Класс K структур обладает свойством амальгамации, если для любой амальгамы с A,B,C  ∈  K и A  ≠ Ø существуют как структура D  ∈  K , так и вложения f':  B  →  D, g':  C  →  D такие, что что

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g.\,}$

Теория первого порядка обладает свойством амальгамации, если класс моделей обладает свойством амальгамации. Свойство амальгамации имеет определенную связь с устранением квантора . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

В общем случае свойство амальгамации можно рассматривать для категории с заданным выбором класса морфизмов (вместо вложений). Это понятие связано с категоричным понятием обратного хода , в частности, в связи со свойством сильной амальгамации (см. ниже). ^[2]

Примеры

• Класс множеств, вложениями которых являются инъективные функции, и если предполагается, что они являются включениями, то амальгама представляет собой просто объединение двух множеств.
• Класс свободных групп , где вложения являются инъективными гомоморфизмами, а (при условии, что они являются включениями) амальгамой является факторгруппа , где * — свободное произведение . ${\displaystyle B*C/A}$
• Класс конечных линейных порядков . Это связано с тем, что любая однородная структура из класса объединения имеет конечную структуру. ^[3]

Понятие, похожее на свойство объединения, но отличающееся от него, — это свойство совместного встраивания . Чтобы увидеть разницу, сначала рассмотрим класс K (или просто набор), содержащий три модели с линейными порядками: L ₁ первого размера, L ₂ второго размера и L ₃ третьего размера. Этот класс K обладает свойством совместного встраивания, поскольку все три модели могут быть встроены в L ₃ . Однако K не обладает свойством амальгамации. Противоположный пример начинается с L ₁ , содержащего единственный элемент e, и продолжается двумя разными способами до L ₃ , в одном из которых e является наименьшим, а в другом - максимальным. Теперь любая общая модель с вложением из этих двух расширений должна иметь размер не менее пяти, чтобы по обе стороны от e было по два элемента .

Теперь рассмотрим класс алгебраически замкнутых полей . Этот класс обладает свойством объединения, поскольку любые два расширения простого поля могут быть вложены в общее поле. Однако два произвольных поля не могут быть вложены в общее поле, если характеристики полей различаются.

Сильное свойство объединения

Класс K структур обладает свойством сильной амальгамации (SAP), также называемым свойством непересекающейся амальгамации (DAP), если для каждой амальгамы с A,B,C ∈ K существуют как структура D ∈ K , так и вложения f': B  →  D, g': C  →  D такие, что

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g\,}$

и

${\displaystyle f'[B]\cap g'[C]=(f'\circ f)[A]=(g'\circ g)[A]\,}$

где для любого множества X и функции h на X

${\displaystyle h\lbrack X\rbrack =\lbrace h(x)\mid x\in X\rbrace .\,}$

Смотрите также

• Промежуток (теория категорий)
• Pushout (теория категорий)
• Совместное вложение имущества
• Теорема Фрэссе

Рекомендации

1. Ходжес, Раздел 1.2 и упражнение 4 в нем. Когда отношение отсутствует, как в случае групп, понятия вложения и инъективного морфизма совпадают, см. с. 6.
2. Поцелуй, Марки, Преле, Толен, Раздел 6
3. Макферсон (2011).

Рекомендации

• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модель теории . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-58713-1.
• Записи о свойстве амальгамации и свойстве сильной амальгамации в онлайн-базе данных классов алгебраических структур (факультет математики и информатики, Университет Чепмена).
• Э. В. Кисс, Л. Марки, П. Преле, В. Толен, Категориальные алгебраические свойства. Сборник по слиянию, расширению конгруэнции, эпиморфизмам, остаточной малости и инъективности , Studia Sci. Математика. Венгрия 18 (1), 79-141, 1983 г. Весь выпуск журнала.
• Макферсон, Дональд (2011), «Обзор однородных структур», Discrete Mathematics , 311 (2): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024.