Смешивание (математика)

Математическое описание смешивания веществ

Повторное применение карты пекаря к точкам красного и синего цвета, изначально разделенным. Карта пекаря перемешивается, о чем свидетельствует полное смешивание красных и синих точек после нескольких итераций.

В математике смешивание — это абстрактное понятие, берущее начало в физике : попытка описать необратимый термодинамический процесс смешивания в повседневном мире: например, смешивание краски, смешивание напитков , промышленное смешивание .

Это понятие появляется в эргодической теории — изучении случайных процессов и динамических систем, сохраняющих меру . Существует несколько различных определений смешивания, включая сильное перемешивание , слабое перемешивание и топологическое перемешивание , причем последнее не требует определения меры . Некоторые из различных определений смешивания можно расположить в иерархическом порядке; таким образом, сильное перемешивание подразумевает слабое перемешивание. Более того, слабое перемешивание (а значит, и сильное перемешивание) подразумевает эргодичность : то есть каждая система со слабым перемешиванием также является эргодической (поэтому говорят, что перемешивание является «более сильным» условием, чем эргодичность).

Неофициальное объяснение

Математическое определение смешивания направлено на то, чтобы охватить обычный повседневный процесс смешивания, такой как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленных процессах , дым в задымленном помещении и так далее. Для обеспечения математической строгости такие описания начинаются с определения сохраняющей меру динамической системы , записываемой как . ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

Под множеством понимается все заполняемое пространство: чаша для смешивания, задымленная комната и т. д. Под мерой понимается естественный объем пространства и его подпространств. Совокупность подпространств обозначается , а размер любого заданного подмножества равен ; размер - это его объем. Наивно можно было бы представить, что это набор мощности ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (известный парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно оно состоит из измеримых подмножеств — подмножеств, которые имеют объем. Всегда считается борелевским множеством — совокупностью подмножеств, которые можно построить, взяв пересечения , объединения и дополнения множеств ; их всегда можно считать измеримыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Эволюция системы во времени описывается картой . Учитывая некоторое подмножество , его карта в целом будет деформированной версией — она сплющена или растянута, сложена или разрезана на части. Математические примеры включают карту пекаря и карту подковы , вдохновленные выпечкой хлеба . Набор должен иметь тот же объем, что и ; сжатие/растяжение не меняет объём пространства, а только его распределение. Такая система является «сохраняющей меру» (сохраняющей площадь, сохраняющей объем). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Формальная трудность возникает при попытке совместить объем множеств с необходимостью сохранения их размеров под картой. Проблема возникает потому, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с . Хуже того, отдельная точка не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратным отображением ; он сопоставит любое заданное подмножество с частями, которые были собраны для его создания: эти части — . Он обладает важным свойством не «терять следа» того, откуда что взялось. Более того, оно обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является инверсией некоторого отображения . Правильное определение карты, сохраняющей объем, — это определение, в котором описываются все возникшие части-части . ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Теперь интересно изучить эволюцию системы во времени. Если множество в конечном итоге посещает все из в течение длительного периода времени (то есть если приближается ко всем из в течение большого периода времени ), система называется эргодической . Если каждое множество ведет себя таким образом, система является консервативной системой , противопоставленной диссипативной системе , в которой некоторые подмножества уходят прочь и к ним никогда не возвращаются. Примером может служить вода, текущая вниз по склону: однажды утекшая, она никогда больше не поднимется вверх. Однако озеро, образующееся на дне этой реки, может стать хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении утверждает, что любую эргодическую систему можно разделить на две части: консервативную часть и диссипативную часть. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Смешивание — более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя множествами , а не только между некоторым множеством и . То есть, учитывая любые два набора , система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число такое, что для всех и одно имеет это . Здесь обозначает пересечение множеств , а – пустое множество . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

Приведенного выше определения топологического перемешивания должно быть достаточно, чтобы дать неформальное представление о перемешивании (оно эквивалентно формальному определению, данному ниже). Однако в нем не упоминается объем и , и действительно, существует другое определение, которое явно работает с объемом. На самом деле несколько; имеется как сильное, так и слабое перемешивание; они неэквивалентны, хотя система сильного перемешивания всегда является слабоперемешивающейся. Определения, основанные на мере, несовместимы с определением топологического перемешивания: существуют системы, которые являются одними, но не являются другими. Общая ситуация остается туманной: например, при наличии трех наборов можно определить 3-смешивание. По состоянию на 2020 год неизвестно, подразумевает ли 2-смешивание 3-смешивания. (Если думать об эргодичности как о «1-смешивании», то ясно, что 1-смешивание не подразумевает 2-смешивание; существуют системы, которые являются эргодическими, но не смешиваются.) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$

Понятие сильного смешивания относится к объему пары наборов. Рассмотрим, например, набор цветных красителей, который смешивают с чашкой какой-то липкой жидкости, скажем, кукурузного сиропа, шампуня или чего-то подобного. Практический опыт показывает, что смешивать липкие жидкости бывает довольно сложно: обычно в контейнере есть какой-то угол, куда трудно перемешать краситель. Выберите в качестве набора тот труднодоступный угол. Тогда вопрос о смешивании состоит в том, может ли по прошествии достаточно длительного периода времени не только проникнуть внутрь , но и наполниться в той же пропорции, что и в другом месте? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Можно сформулировать определение сильного перемешивания как требование, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Параметр времени служит для разделения и во времени, так что смешивание происходит при фиксированном объеме теста . Продукт немного более тонкий. Представьте, что объем составляет 10% от общего объема и что объем красителя также будет составлять 10% от общего объема. Если распределено равномерно, то оно занимает 10% от , что само по себе составляет 10% от общего объема, и поэтому в итоге после смешивания часть того, что находится, составляет 1% от общего объема. То есть это произведение объемов имеет более чем мимолетное сходство с теоремой Байеса о вероятностях; это не случайность, а, скорее, следствие того, что теория меры и теория вероятностей — это одна и та же теория: они имеют одни и те же аксиомы ( аксиомы Колмогорова ), даже если используют разные обозначения. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Причина использования вместо в определении немного тонкая, но она вытекает из тех же причин, по которым он использовался для определения понятия отображения, сохраняющего меру. Глядя на то, сколько краски попало в угол , хочется посмотреть, откуда эта краска «взялась» (предположительно, она была налита сверху когда-то в прошлом). Надо быть уверенным, что каждое место, откуда оно могло «прийти», в конечном итоге смешивается с . ${\displaystyle T^{-n}A}$ ${\displaystyle T^{n}A}$ ${\displaystyle T^{-1}A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Смешивание в динамических системах

Пусть — динамическая система , сохраняющая меру, где T — оператор временной эволюции или сдвига . Система называется сильным перемешиванием , если для любого имеет место ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Для сдвигов, параметризованных непрерывной переменной вместо дискретного целого числа n , применяется то же определение, с заменой на g , являющееся параметром непрерывного времени. ${\displaystyle T^{-n}}$ ${\displaystyle T_{g}}$

Динамическая система называется слабым перемешиванием , если имеется

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

Другими словами, является ли сильное перемешивание, если в обычном смысле, слабым, если ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

в смысле Чезаро и эргодична, если в смысле Чезаро. Следовательно, сильное перемешивание влечет за собой слабое перемешивание, что означает эргодичность. Однако обратное неверно: существуют эргодические динамические системы, не обладающие слабым перемешиванием, и слабоперемешивающие динамические системы, не обладающие сильным перемешиванием. Система Чакон исторически была первым примером системы со слабым, но не сильным смешиванием. ^[1] ${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$

Теорема. Слабое перемешивание подразумевает эргодичность.

Доказательство. Если действие карты разлагается на две составляющие , то имеем , поэтому слабое перемешивание подразумевает , что одна из них пуста, а другая полна. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$ ${\displaystyle |\mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)|=0}$ ${\displaystyle A,B}$

Охват семей

Учитывая топологическое пространство, такое как единичный интервал (независимо от того, есть ли у него конечные точки или нет), мы можем построить на нем меру, взяв открытые множества, а затем беря их объединения, дополнения, объединения, дополнения и так далее до бесконечности . , чтобы получить все множества Бореля . Далее мы определяем меру на борелевских множествах, а затем добавляем все подмножества нулевой меры («незначительные множества»). Так мы получаем меру Лебега и измеримые множества Лебега. ${\displaystyle \mu }$

В большинстве приложений эргодической теории основное пространство почти всюду изоморфно открытому подмножеству некоторого , и поэтому является пространством с мерой Лебега. Проверка сильного смешивания может быть упрощена, если нам нужно проверить только меньший набор измеримых множеств. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Накрывающее семейство — это множество измеримых множеств, любое открытое множество которого представляет собой непересекающееся объединение входящих в него множеств. Сравните это с базой в топологии , которая менее ограничительна, поскольку допускает непересекающиеся объединения. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Теорема. Для пространств с мерой Лебега, если оно сохраняет меру и для всех в накрывающем семействе, то перемешивание является сильным. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T}$

Доказательство. Распространите уравнение смешивания на все накрывающие семейства, на все открытые множества путем непересекающегося объединения, на все закрытые множества, взяв дополнение, на все измеримые множества, используя регулярность меры Лебега для аппроксимации любого множества с открытыми и замкнутыми множествами. Таким образом, для всех измеримых . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$

Состав L 2

Свойства эргодичности, слабого перемешивания и сильного перемешивания динамической системы, сохраняющей меру, также могут быть охарактеризованы средним значением наблюдаемых. По эргодической теореме фон Неймана эргодичность динамической системы эквивалентна тому свойству, что для любой функции последовательность сильно и в смысле Чезаро сходится к , т. е. ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Динамическая система является слабоперемешивающей, если для любых функций и ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot gd\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Динамическая система является сильно перемешивающей, если для любой функции последовательность слабо сходится к т. е. для любой функции ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu ),}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu ,}$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Поскольку предполагается, что система сохраняет меру, эта последняя строка эквивалентна утверждению, что ковариация такова , что случайные величины и становятся ортогональными по мере роста. На самом деле, поскольку это работает для любой функции, можно неформально рассматривать смешивание как свойство, при котором случайные величины становятся независимыми по мере роста. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0,}$ ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$

Продукты динамических систем

Учитывая две измеренные динамические системы , можно построить динамическую систему на основе декартова произведения, определив. Тогда мы имеем следующие характеристики слабого перемешивания: ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$

Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда для любой эргодической динамической системы система также является эргодической. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$

Предложение. Динамическая система является слабо перемешивающей тогда и только тогда, когда она также эргодична. Если это так, то перемешивание тоже слабое. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$

Обобщения

Определение, данное выше, иногда называют сильным 2-смешиванием , чтобы отличить его от смешивания более высоких порядков. Сильную систему с тремя смешиваниями можно определить как систему, для которой

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

справедливо для всех измеримых множеств A , B , C. Аналогично можно определить сильное k-смешивание . Система, являющаяся сильным k - перемешиванием для всех k  = 2,3,4,..., называется перемешиванием всех порядков .

Неизвестно, подразумевает ли сильное 2-смешивание сильное 3-смешивание. Известно, что сильное m -перемешивание влечет за собой эргодичность .

Примеры

Иррациональные вращения окружности и, в более общем плане, неприводимые перемещения на торе являются эргодическими, но не являются ни сильными, ни слабыми перемешивающими по отношению к мере Лебега.

Многие карты, считающиеся хаотическими, сильно перемешиваются для некоторой хорошо выбранной инвариантной меры, в том числе: диадическое отображение , карта кота Арнольда , подковообразные отображения , автоморфизмы Колмогорова и поток Аносова ( геодезический поток на единичном касательном расслоении компактных многообразий отрицательных чисел ). кривизна .)

Диадическая карта — это «сдвиг влево в двоичном формате». В общем, для любого отображение «сдвиг влево по базе » сильно перемешивает на накрывающем семействе , следовательно, оно сильно перемешивает на , и, следовательно, оно сильно перемешивает на . ${\displaystyle n\in \{2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T(x)=nx\mod 1}$ ${\displaystyle \{({\frac {k}{n^{s}}},{\frac {k+1}{n^{s}}})\setminus \mathbb {Q} :s\geq 0,\leq k<n^{s}\}}$ ${\displaystyle (0,1)\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

Аналогично, для любого конечного или счетного алфавита мы можем наложить на него дискретное распределение вероятностей, а затем рассмотреть распределение вероятностей в пространстве «подбрасывания монеты», где каждый «подбрасывание монеты» может получать результаты из . Мы можем построить либо однобесконечное пространство , либо двубесконечное пространство . В обоих случаях карта сдвига (на одну букву слева) является сильно перемешивающей, поскольку она сильно перемешивает на покрывающем семействе цилиндрических множеств. Карта Бейкера изоморфна карте сдвига, поэтому она сильно перемешивается. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {Z} }}$

Топологическое смешивание

Форму перемешивания можно определить, не обращаясь к мере , используя только топологию системы. Непрерывное отображение называется топологически транзитивным , если для каждой пары непустых открытых множеств существует целое число n такое, что ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

где n - я итерация f . В теории операторов топологически транзитивный ограниченный линейный оператор (непрерывное линейное отображение топологического векторного пространства ) обычно называют гиперциклическим оператором . Близкую идею выражает блуждающее множество . ${\displaystyle f^{n}}$

Лемма: Если X — полное метрическое пространство без изолированной точки , то f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда существует гиперциклическая точка , то есть точка x такая, что ее орбита плотна в X. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$

Система называется топологически перемешивающей , если для открытых множеств и существует целое число N такое, что для всех выполняется ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Для системы с непрерывным временем заменяется потоком , где g является непрерывным параметром, с требованием, чтобы непустое пересечение выполнялось для всех . ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$

Слабое топологическое перемешивание — это перемешивание, не имеющее непостоянных непрерывных (относительно топологии) собственных функций оператора сдвига.

Топологическое перемешивание не подразумевает и не подразумевает ни слабое, ни сильное перемешивание: есть примеры систем, которые обладают слабым перемешиванием, но не топологически, а также примеры, которые топологически перемешивают, но не сильно перемешивают.

Смешение в случайных процессах

Пусть – случайный процесс в вероятностном пространстве . Пространство последовательностей, в которое отображаются процессы, может быть снабжено топологией — топологией продукта . Открытые множества этой топологии называются цилиндрическими множествами . Эти множества цилиндров порождают σ-алгебру , борелевскую σ-алгебру ; это наименьшая σ-алгебра, содержащая топологию. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

Определим функцию , называемую коэффициентом сильного смешивания , как ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

для всех . Символ , с обозначает под-σ-алгебру σ-алгебры; это набор наборов цилиндров, заданных между моментами a и b , т.е. σ-алгебра, порожденная . ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$ ${\displaystyle X_{a}^{b}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$ ${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$

Говорят, что процесс сильно перемешивается , если Другими словами, процесс сильного смешивания таков, что, будучи однородным во все времена и для всех событий, события до времени и события после времени имеют тенденцию быть независимыми как ; говоря более просторечно, процесс в строгом смысле слова забывает свою историю. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

Смешивание в марковских процессах

Пусть задан стационарный марковский процесс со стационарным распределением , и пусть обозначается пространство измеримых по Борелю функций, интегрируемых с квадратом по мере . Также пусть ${\displaystyle (X_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

обозначим оператор условного ожидания на Наконец, пусть ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

обозначаем пространство суммируемых с квадратом функций со средним нулем.

Коэффициенты ρ -перемешивания процесса { x _t } равны

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

Процесс называется ρ -перемешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , и « ρ -перемешиванием с экспоненциальной скоростью затухания», если ρ _t < e ^{− δt} для некоторого δ > 0 . Для стационарного марковского процесса коэффициенты ρ _t могут либо затухать с экспоненциальной скоростью, либо всегда быть равными единице. ^[2]

Коэффициенты α -перемешивания процесса { x _t } равны

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

Процесс называется α -перемешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , это «α-перемешивание с экспоненциальной скоростью затухания», если α _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и это α-перемешивание с скорость субэкспоненциального убывания, если α _t < ξ ( t ) для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

как . ^[2] ${\displaystyle t\to \infty }$

Коэффициенты α -перемешивания всегда меньше коэффициентов ρ -перемешивания: αt _≤ ρt , поэтому если процесс является _ρ - перемешиванием, то он обязательно будет и α -перемешиванием. Однако, когда ρ _t = 1 , процесс все еще может представлять собой α -перемешивание с субэкспоненциальной скоростью затухания.

Коэффициенты β -смешивания имеют вид

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

Процесс называется β -смешиванием, если эти коэффициенты сходятся к нулю при t → ∞ , это β-смешивание с экспоненциальной скоростью затухания, если β _t < γe ^{− δt} для некоторого δ > 0 , и это β-смешивание с подгруппой -экспоненциальная скорость убывания, если β _t ξ ( t ) → 0 при t → ∞ для некоторой невозрастающей функции, удовлетворяющей ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

как . ^[2] ${\displaystyle t\to \infty }$

Строго стационарный марковский процесс является β -перемешивающим тогда и только тогда, когда он является апериодической рекуррентной цепью Харриса . Коэффициенты β -смешивания всегда больше, чем коэффициенты α -смешивания, поэтому, если процесс является β -смешиванием, он также будет и α -смешиванием. Между β -смешением и ρ -смешиванием нет прямой связи : ни одно из них не подразумевает другого.

Рекомендации

• В. И. Арнольд и А. Авез, Эргодические проблемы классической механики , (1968) WA Benjamin, Inc.
• Ахим Кленке, Теория вероятностей , (2006) Springer ISBN  978-1-84800-047-6
• Чен, Сяохун; Хансен, Ларс Питер; Карраско, морской пехотинец (2010). «Нелинейность и временная зависимость». Журнал эконометрики . 155 (2): 155–169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777 . doi :10.1016/j.jeconom.2009.10.001. S2CID  10567129.

1. Мэтью Никол и Карл Петерсен, (2009) «Эргодическая теория: основные примеры и конструкции», Энциклопедия сложности и системных наук , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
2. Чен, Хансен и Карраско (2010)