Символическая интеграция

Вычисление первообразной

В исчислении символическое интегрирование — это задача нахождения формулы для первообразной или неопределенного интеграла заданной функции f ( x ) , т.е. нахождения формулы для дифференцируемой функции F ( x ) такой, что

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

Это также обозначается

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx.}$

Обсуждение

Термин «символический» используется для того, чтобы отличить эту задачу от задачи численного интегрирования , где значение F ищется при определенном входе или наборе входов, а не при помощи общей формулы для F.

Обе проблемы считались имеющими практическое и теоретическое значение задолго до появления цифровых компьютеров, но в настоящее время они, как правило, считаются областью компьютерной науки , поскольку в настоящее время компьютеры чаще всего используются для решения отдельных задач.

Нахождение производной выражения — это простой процесс, для которого легко построить алгоритм . Обратный вопрос нахождения интеграла гораздо сложнее. Многие выражения, которые являются относительно простыми, не имеют интегралов, которые можно выразить в замкнутой форме . Подробнее см. в разделе первообразная и неэлементарный интеграл .

Существует процедура, называемая алгоритмом Риша , которая способна определить, является ли интеграл элементарной функции (функция, построенная из конечного числа экспонент , логарифмов , констант и корней n-й степени посредством композиции и комбинаций с использованием четырех элементарных операций ), и вернуть его, если это так. В своей первоначальной форме алгоритм Риша не подходил для прямой реализации, и его полная реализация заняла много времени. Впервые он был реализован в Reduce в случае чисто трансцендентных функций ; случай чисто алгебраических функций был решен и реализован в Reduce Джеймсом Х. Дэвенпортом ; общий случай был решен Мануэлем Бронштейном, который реализовал почти весь его в Axiom , хотя на сегодняшний день не существует реализации алгоритма Риша, которая могла бы справиться со всеми его особыми случаями и ветвями. ^{[1] [2]}

Однако алгоритм Риша применим только к неопределенным интегралам, в то время как большинство интегралов, представляющих интерес для физиков, химиков-теоретиков и инженеров, являются определенными интегралами, часто связанными с преобразованиями Лапласа , преобразованиями Фурье и преобразованиями Меллина . Не имея общего алгоритма, разработчики систем компьютерной алгебры реализовали эвристики, основанные на сопоставлении с образцом и использовании специальных функций, в частности неполной гамма-функции . ^[3] Хотя этот подход является скорее эвристическим, чем алгоритмическим, он, тем не менее, является эффективным методом решения многих определенных интегралов, встречающихся в практических инженерных приложениях. Более ранние системы, такие как Macsyma, имели несколько определенных интегралов, связанных со специальными функциями в справочной таблице. Однако этот конкретный метод, включающий дифференциацию специальных функций по ее параметрам, преобразование переменных, сопоставление с образцом и другие манипуляции, был впервые предложен разработчиками системы Maple ^[4] , а затем позже эмулирован системами Mathematica , Axiom , MuPAD и другими.

Последние достижения

Основная проблема в классическом подходе символического интегрирования заключается в том, что если функция представлена ​​в замкнутом виде , то, вообще говоря, ее первообразная не имеет подобного представления. Другими словами, класс функций, которые могут быть представлены в замкнутом виде, не замкнут относительно первообразной.

Голономные функции — это большой класс функций, замкнутый относительно антивывода и допускающий алгоритмическую реализацию на компьютерах интегрирования и многих других операций исчисления.

Точнее, голономная функция — это решение однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами. Голономные функции замкнуты относительно сложения и умножения, дифференцирования и первообразования. К ним относятся алгебраические функции , показательная функция , логарифм , синус , косинус , обратные тригонометрические функции , обратные гиперболические функции .

Они также включают в себя наиболее распространённые специальные функции, такие как функция Эйри , функция ошибок , функции Бесселя и все гипергеометрические функции .

Фундаментальным свойством голономных функций является то, что коэффициенты их рядов Тейлора в любой точке удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами, и что это рекуррентное соотношение может быть вычислено из дифференциального уравнения, определяющего функцию. Наоборот, при наличии такого рекуррентного соотношения между коэффициентами степенного ряда , этот степенной ряд определяет голономную функцию, дифференциальное уравнение которой может быть вычислено алгоритмически. Это рекуррентное соотношение позволяет быстро вычислять ряд Тейлора и, следовательно, значение функции в любой точке с произвольной малой сертифицированной ошибкой.

Это делает алгоритмическими большинство операций исчисления , когда они ограничены голономными функциями, представленными их дифференциальным уравнением и начальными условиями. Это включает вычисление первообразных и определенных интегралов (это равносильно оценке первообразной в конечных точках интервала интегрирования). Это также включает вычисление асимптотического поведения функции на бесконечности и, таким образом, определенных интегралов на неограниченных интервалах.

Все эти операции реализованы в библиотеке algolib для Maple . ^[5]

См. также Динамический словарь математических функций. ^[6]

Пример

Например:

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

является символическим результатом для неопределенного интеграла (здесь C — константа интегрирования ),

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}$

является символическим результатом для определенного интеграла, и

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0.6667}$

является числовым результатом для того же определенного интеграла.

Смотрите также

• Математический портал

• Компьютерная алгебра  – научная область на стыке информатики и математики
• Элементарная функция  – Математическая функция
• Функция Фокса H  – обобщение функции Мейера G и функции Фокса–Райта
• Определенный интеграл  – Операция в математическом исчислении
• Списки интегралов
• G-функция Мейера  – обобщение гипергеометрической функции
• Операционное исчисление  – Метод решения дифференциальных уравнений
• Алгоритм Риша  – Метод вычисления неопределенных интегралов

Ссылки

1. Бронштейн, Мануэль (5 сентября 2003 г.). «Мануэль Бронштейн о возможностях интеграции Axiom». groups.google.com . Получено 10 февраля 2023 г.
2. "интеграция - Существует ли полная реализация алгоритма Риша?". ​​MathOverflow . 15 октября 2020 г. Получено 10 февраля 2023 г.
3. KO Geddes , ML Glasser, RA Moore и TC Scott, Оценка классов определенных интегралов, включающих элементарные функции, с помощью дифференцирования специальных функций , AAECC (Применимая алгебра в инженерии, связи и вычислениях), т. 1, (1990), стр. 149–165, [1]
4. KO Geddes и TC Scott, Рецепты для классов определенных интегралов, включающих экспоненты и логарифмы , Труды конференции по компьютерам и математике 1989 года (состоявшейся в Массачусетском технологическом институте 12 июня 1989 г.), под редакцией E. Kaltofen и SM Watt, Springer-Verlag, Нью-Йорк, (1989), стр. 192–201. [2]
5. http://algo.inria.fr/libraries/ algolib
6. http://ddmf.msr-inria.inria.fr Динамический словарь математических функций

• Бронштейн, Мануэль (1997), Символическая интеграция 1 (трансцендентные функции) (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
• Мозес, Джоэл (23–25 марта 1971 г.), «Символическая интеграция: бурное десятилетие», Труды Второго симпозиума ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям , Лос-Анджелес, Калифорния: 427–440