Семейство наборов

Любая коллекция множеств или подмножеств множества

В теории множеств и смежных разделах математики семейство (или коллекция ) может означать, в зависимости от контекста, любое из следующего: множество , индексированное множество , мультимножество или класс . Коллекция подмножеств данного множества называется семейством подмножеств или семейством множеств над В более общем смысле коллекция любых множеств называется семейством множеств , семейством множеств или системой множеств . Кроме того, семейство множеств может быть определено как функция от множества , известного как индексный набор, до , в этом случае множества семейства индексируются членами . ^[1] В некоторых контекстах семейству множеств может быть разрешено содержать повторяющиеся копии любого заданного члена, ^{[2] [3] [4]} а в других контекстах оно может образовывать надлежащий класс . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle I}$

Конечное семейство подмножеств конечного множества также называется гиперграфом . Предметом теории экстремальных множеств являются наибольшие и наименьшие примеры семейств множеств, удовлетворяющих определенным ограничениям. ${\displaystyle S}$

Примеры

Множество всех подмножеств данного множества называется множеством мощности и обозначается как Множество мощности данного множества — это семейство множеств над ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S).}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Подмножество, имеющее элементы , называется -подмножеством . -Подмножества множества образуют семейство множеств. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{(k)}}$ ${\displaystyle S}$

Пусть Примером семейства множеств над (в смысле мультимножества ) является , где и ${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\},}$ ${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\},}$ ${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}.}$

Класс всех порядковых чисел — это большое семейство множеств. То есть, он сам по себе не множество, а собственный класс . ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$

Характеристики

Любое семейство подмножеств множества само является подмножеством множества-мощности, если оно не имеет повторяющихся членов. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$

Любое семейство множеств без повторений является подклассом собственного класса всех множеств ( универсума ).

Теорема Холла о браке , выдвинутая Филиппом Холлом , дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечное семейство непустых множеств (допускаются повторения) имело систему различных представителей .

Если — любое семейство множеств, то обозначает объединение всех множеств в , где, в частности, Любое семейство множеств является семейством над , а также семейством над любым надмножеством ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}.}$

Связанные концепции

Некоторые типы объектов из других областей математики эквивалентны семействам множеств в том смысле, что их можно описать исключительно как совокупность множеств объектов некоторого типа:

• Гиперграф , также называемый системой множеств, образован множеством вершин вместе с другим множеством гиперребер , каждое из которых может быть произвольным множеством. Гиперребра гиперграфа образуют семейство множеств, и любое семейство множеств можно интерпретировать как гиперграф, вершинами которого является объединение множеств.
• Абстрактный симплициальный комплекс — это комбинаторная абстракция понятия симплициального комплекса , фигуры, образованной объединениями отрезков прямых, треугольников, тетраэдров и симплексов более высокой размерности , соединенных лицом к лицу. В абстрактном симплициальном комплексе каждый симплекс представлен просто как множество его вершин. Любое семейство конечных множеств без повторений, в котором подмножества любого множества в семействе также принадлежат этому семейству, образует абстрактный симплициальный комплекс.
• Структура инцидентности состоит из набора точек , набора линий и (произвольного) бинарного отношения , называемого отношением инцидентности , определяющего, какие точки принадлежат каким линиям. Структура инцидентности может быть задана семейством множеств (даже если две различные линии содержат один и тот же набор точек), множествами точек, принадлежащими каждой линии, и любое семейство множеств может быть интерпретировано как структура инцидентности таким образом.
• Двоичный блочный код состоит из набора кодовых слов, каждое из которых представляет собой строку из нулей и единиц одинаковой длины. Когда каждая пара кодовых слов имеет большое расстояние Хэмминга , ее можно использовать как код с исправлением ошибок . Блочный код также можно описать как семейство наборов, описав каждое кодовое слово как набор позиций, в которых оно содержит 1.
• Топологическое пространство состоит из пары , где — множество (элементы которого называются точками ), а — топология, на которой — семейство множеств (элементы которых называются открытыми множествами ) над , содержащее как пустое множество , так и само себя, и замкнутое относительно произвольных объединений множеств и конечных пересечений множеств. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Покрытия и топологии

Говорят, что семейство множеств покрывает множество , если каждая точка принадлежит некоторому члену семейства. Подсемейство покрытия , которое также является покрытием , называется подпокрытием . Семейство называется точечно-конечным набором , если каждая точка принадлежит только конечному числу членов семейства. Если каждая точка покрытия принадлежит ровно одному члену, покрытие является разбиением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Когда — топологическое пространство , покрытие, все элементы которого являются открытыми множествами, называется открытым покрытием . Семейство называется локально конечным, если каждая точка в пространстве имеет окрестность , пересекающую только конечное число элементов семейства. σ-локально конечный или счетно локально конечный набор — это семейство, являющееся объединением счетного числа локально конечных семейств. ${\displaystyle X}$

Говорят, что оболочка очищает другую (более грубую) оболочку , если каждый член содержится в некотором члене Звездчатая очистка — это особый тип очистки. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Специальные типы семейств множеств

Семейство Шпернера — это множество, в котором ни одно из множеств не содержит ни одного из других. Теорема Шпернера ограничивает максимальный размер семейства Шпернера.

Семейство Хелли — это семейство множеств, такое, что любое минимальное подсемейство с пустым пересечением имеет ограниченный размер. Теорема Хелли утверждает, что выпуклые множества в евклидовых пространствах ограниченной размерности образуют семейства Хелли.

Абстрактный симплициальный комплекс — это семейство множеств (состоящее из конечных множеств), замкнутое вниз ; то есть каждое подмножество множества из также находится в Матроид — это абстрактный симплициальный комплекс с дополнительным свойством, называемым свойством аугментации . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Каждый фильтр представляет собой семейство наборов.

Пространство выпуклости — это семейство множеств, замкнутое относительно произвольных пересечений и объединений цепей (относительно отношения включения ).

Другими примерами семейств множеств являются системы независимости , гридоиды , антиматроиды и борнологические пространства .

Смотрите также

• Алгебра множеств  – тождества и отношения, включающие множества
• Класс (теория множеств)  – совокупность множеств в математике, которые можно определить на основе свойств их членов.
• Комбинаторный дизайн  – Симметричное расположение конечных множеств
• δ-кольцо  – кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений
• Поле множеств  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Обобщенный квантификатор  – выражение, обозначающее множество множеств в формальной семантике.
• Индексированное семейство  – набор объектов, каждый из которых связан с элементом из некоторого набора индексов.
• λ-система (система Дынкина)  – Семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных дизъюнктных объединений
• π-система  – Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• Кольцо множеств  – Семья, замкнутая относительно союзов и относительных дополнений
• Парадокс Рассела  – Парадокс в теории множеств (или Множество множеств, не содержащих самих себя )
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• σ-кольцо  – семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений

Примечания

1. П. Халмош, Наивная теория множеств , стр. 34. Университетская серия по математике для студентов, 1960. Litton Educational Publishing, Inc.
2. Бруальди 2010, стр. 322
3. Робертс и Тесман 2009, стр. 692
4. Биггс 1985, стр. 89

Ссылки

• Биггс, Норман Л. (1985), Дискретная математика , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Бруальди, Ричард А. (2010), Введение в комбинаторику (5-е изд.), Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, ISBN 0-13-602040-2
• Робертс, Фред С.; Тесман, Барри (2009), Прикладная комбинаторика (2-е изд.), Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Set families на Wikimedia Commons