Парадокс Рассела

Парадокс в теории множеств

В математической логике парадокс Рассела (также известный как антиномия Рассела ) представляет собой теоретико-множественный парадокс, опубликованный британским философом и математиком Бертраном Расселом в 1901 году. ^{[1] [2]} Парадокс Рассела показывает, что каждая теория множеств , содержащая неограниченный принцип понимания приводит к противоречиям. ^[3] Парадокс был независимо открыт в 1899 году немецким математиком Эрнстом Цермело . ^[4] Однако Цермело не опубликовал идею, которая осталась известна только Давиду Гильберту , Эдмунду Гуссерлю и другим академикам Геттингенского университета . В конце 1890-х годов Георг Кантор , считающийся основателем современной теории множеств, уже осознал, что его теория приведет к противоречию, о чем он сообщил Гильберту и Рихарду Дедекинду в письме. ^[5]

Согласно принципу неограниченного понимания, для любого достаточно четко определенного свойства существует множество всех и только объектов, обладающих этим свойством. Пусть R — множество всех множеств, которые не являются членами самих себя. (Этот набор иногда называют «множеством Рассела».) Если R не является членом самого себя, то из его определения следует, что он является членом самого себя; тем не менее, если оно является членом самого себя, то оно не является членом самого себя, поскольку оно представляет собой совокупность всех множеств, которые не являются членами самих себя. Возникающее противоречие представляет собой парадокс Рассела. В символах:

${\displaystyle {\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R}$

Рассел также показал, что версия парадокса может быть выведена в аксиоматической системе , построенной немецким философом и математиком Готтлобом Фреге , тем самым подрывая попытку Фреге свести математику к логике и ставя под сомнение логицистскую программу . В 1908 году были предложены два влиятельных способа избежать парадокса: собственная теория типов Рассела и теория множеств Цермело . В частности, аксиомы Цермело ограничивали принцип неограниченного понимания. Благодаря дополнительному вкладу Абрахама Френкеля теория множеств Цермело превратилась в теперь стандартную теорию множеств Цермело – Френкеля (широко известную как ZFC, когда она включает аксиому выбора ). Основное различие между решением парадокса Расселом и Цермело заключается в том, что Цермело модифицировал аксиомы теории множеств, сохраняя при этом стандартный логический язык, в то время как Рассел модифицировал сам логический язык. Язык ZFC с помощью Торальфа Скулема оказался языком логики первого порядка . ^[6]

Неформальная презентация

Большинство часто встречающихся множеств не являются членами самих себя. Назовем множество «нормальным», если оно не является членом самого себя, и «ненормальным», если оно является членом самого себя. Очевидно, что каждый набор должен быть либо нормальным, либо ненормальным. Например, рассмотрим набор всех квадратов на плоскости . Это множество само по себе не является квадратом на плоскости, поэтому оно не является членом самого себя и, следовательно, является нормальным. Напротив, дополнительный набор, содержащий все, что не является квадратом на плоскости, сам по себе не является квадратом на плоскости, и поэтому является одним из своих собственных членов и, следовательно, ненормален.

Теперь мы рассмотрим множество всех нормальных множеств R и попытаемся определить, является ли R нормальным или ненормальным. Если бы R было нормальным, оно содержалось бы в множестве всех нормальных множеств (само по себе) и, следовательно, было бы ненормальным; с другой стороны, если бы R было ненормальным, оно не содержалось бы в множестве всех нормальных множеств (само по себе) и, следовательно, не было бы нормальным. Это приводит к выводу, что R не является ни нормальным, ни ненормальным: парадокс Рассела.

Официальная презентация

Термин « наивная теория множеств » используется по-разному. В одном использовании наивная теория множеств — это формальная теория, которая сформулирована на языке первого порядка с бинарным нелогическим предикатом и включает аксиому экстенсиональности : ${\displaystyle \in }$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,(\forall z\,(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)}$

и схема аксиом неограниченного понимания :

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))}$

для любой формулы с переменной x в качестве свободной переменной внутри . Замените , чтобы получить ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x\notin x}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff x\notin x)}$

Тогда с помощью экзистенциальной реализации (повторного использования символа ) и универсальной реализации мы имеем ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y\in y\iff y\notin y,}$

противоречие. Следовательно, эта наивная теория множеств противоречива . ^[7]

Философские последствия

До парадокса Рассела (и других подобных парадоксов, обнаруженных примерно в то же время, таких как парадокс Бурали-Форти ), общей концепцией идеи множества была «экстенсиональная концепция множества», как ее изложили фон Нейман и Моргенштерн: ^{[ 8]}

Множество — это произвольная совокупность объектов, причем на природу и количество этих объектов, элементов рассматриваемого множества, не налагается абсолютно никаких ограничений. Элементы составляют и определяют множество как таковое, без какого-либо упорядочения или каких-либо отношений между ними.

В частности, не было различия между множествами и собственными классами как совокупностями объектов. Кроме того, существование каждого из элементов коллекции рассматривалось как достаточное для существования множества указанных элементов. Однако парадоксы, подобные парадоксам Рассела и Бурали-Форти, показали невозможность этой концепции множества на примерах коллекций объектов, которые не образуют множества, несмотря на то, что все указанные объекты существуют.

Теоретико-множественные ответы

Согласно принципу взрыва классической логики , любое предложение может быть доказано через противоречие . Поэтому наличие противоречий вроде парадокса Рассела в аксиоматической теории множеств губительно; поскольку, если какая-либо формула может быть доказана истинной, она разрушает общепринятое значение истины и ложности. Более того, поскольку теория множеств рассматривалась как основа аксиоматического развития всех других разделов математики, парадокс Рассела угрожал основам математики в целом. Это побудило на рубеже 20-го века провести большое количество исследований по разработке последовательной (свободной от противоречий) теории множеств.

В 1908 году Эрнст Цермело предложил аксиоматизацию теории множеств, которая позволила избежать парадоксов наивной теории множеств, заменив произвольное понимание множеств более слабыми аксиомами существования, такими как его аксиома разделения ( Aussonderung ). (Избегать парадокса не было первоначальным намерением Цермело, а вместо этого документировать, какие предположения он использовал при ^{доказательстве} теоремы о хорошем порядке . ) в аксиоматической теории множеств под названием ZFC . Эта теория получила широкое признание после того, как аксиома выбора Цермело перестала быть спорной, и ZFC остается канонической аксиоматической теорией множеств до наших дней.

ZFC не предполагает, что для каждого свойства существует набор всех вещей, удовлетворяющих этому свойству. Скорее, он утверждает, что для любого множества X существует любое подмножество X , определяемое с использованием логики первого порядка . Объект R , определенный вышеприведенным парадоксом Рассела, не может быть сконструирован как подмножество любого множества X и, следовательно, не является набором в ZFC. В некоторых расширениях ZFC, особенно в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя , объекты типа R называются собственными классами .

ZFC ничего не говорит о типах, хотя в кумулятивной иерархии есть понятие слоев, напоминающих типы. Сам Цермело никогда не принимал формулировку ZFC Скулема, использующую язык логики первого порядка. Как отмечает Хосе Феррейрос, Цермело вместо этого настаивал на том, что «пропозициональные функции (условия или предикаты), используемые для разделения подмножеств, а также функции замены, могут быть «совершенно произвольными » [ganz beliebig ]»; современная интерпретация этого утверждения состоит в том, что Цермело хотел включить количественную оценку более высокого порядка , чтобы избежать парадокса Скулема . Примерно в 1930 году Цермело также ввел (по-видимому, независимо от фон Неймана) аксиому основания , таким образом, как отмечает Феррейрос, «запрещая «круговые» и «необоснованные» множества, он [ZFC] включил в себя одну из важнейших мотиваций ТТ [ теория типов] — принцип типов аргументов». Этот ZFC 2-го порядка, предпочитаемый Цермело, включая аксиому основания, допускал богатую кумулятивную иерархию. Феррейрос пишет, что «слои» Цермело по существу такие же, как типы в современных версиях простой ТТ [теории типов], предложенной Гёделем и Тарским. Кумулятивную иерархию, в которой Цермело развил свои модели, можно описать как вселенную кумулятивной TT, в которых разрешены трансфинитные типы (как только мы приняли непредикативную точку зрения, отказавшись от идеи создания классов, вполне естественно принять трансфинитные типы.) Таким образом, простые TT и ZFC теперь можно рассматривать как системы, которые «разговаривают» " по существу об одних и тех же объектах. Основное отличие состоит в том, что TT опирается на сильную логику высшего порядка, в то время как Цермело использует логику второго порядка, а ZFC также может быть задана формулировка первого порядка. "Описание" первого порядка кумулятивной иерархии гораздо слабее, о чем свидетельствует существование счетных моделей (парадокс Скулема), но она обладает некоторыми важными преимуществами». ^[10]

В ZFC, учитывая набор A , можно определить набор B , который состоит именно из наборов A , которые не являются членами самих себя. B не может находиться в A по тем же соображениям, что и в парадоксе Рассела. Этот вариант парадокса Рассела показывает, что ни одно множество не содержит всего.

Благодаря работам Цермело и других, особенно Джона фон Неймана , структура того, что некоторые считают «естественными» объектами, описанными ZFC, в конечном итоге стала ясна: они являются элементами вселенной фон Неймана , V , построенной из пустого множества. путем трансфинитного повторения операции набора мощности . Таким образом, теперь снова возможно рассуждать о множествах неаксиоматическим образом, не нарушая парадокса Рассела, а именно рассуждая об элементах V . Уместно ли так думать о множествах, это предмет спора между конкурирующими точками зрения на философию математики .

Другие решения парадокса Рассела, лежащие в основе стратегии, более близкой к стратегии теории типов , включают «Новые основы» Куайна и теорию множеств Скотта-Поттера . Еще один подход заключается в определении множественного отношения членства с соответствующим образом модифицированной схемой понимания, как в теории множеств двойного расширения .

История

Рассел обнаружил парадокс в мае ^[11] или июне 1901 года. ^[12] По его собственным словам, в своем « Введении в математическую философию» 1919 года он «попытался обнаружить некоторый недостаток в доказательстве Кантора о том, что не существует величайшего кардинала». ^[13] В письме 1902 года ^[14] он объявил об открытии Готтлобу Фреге парадокса в книге Фреге « Begriffsschrift» 1879 года и сформулировал проблему с точки зрения как логики, так и теории множеств, и, в частности, с точки зрения определения функции , данного Фреге : ^{[ а] [б]}

Есть только один момент, где я столкнулся с трудностью. Вы утверждаете (стр. 17 [стр. 23 выше]), что функция тоже может выступать в роли неопределенного элемента. В это я раньше верил, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w будет предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатом сам по себе. Может ли w быть высказанным о самом себе? Из каждого ответа следует противоположное. Следовательно, мы должны заключить, что w не является предикатом. Точно так же не существует класса (как совокупности) тех классов, каждый из которых, взятый как совокупность, не принадлежал бы самому себе. Из этого я делаю вывод, что при определенных обстоятельствах поддающаяся определению коллекция [Менге] не образует целостности.

Рассел подробно описал это в своей книге «Принципы математики» 1903 года , где он повторил свою первую встречу с парадоксом: ^[15]

Прежде чем оставить основные вопросы, необходимо более подробно рассмотреть уже упомянутое странное противоречие относительно предикатов, не предицируемых сами по себе. ... Могу отметить, что я пришел к этому, пытаясь согласовать доказательство Кантора...

Рассел написал Фреге об этом парадоксе как раз в тот момент, когда Фреге готовил второй том своей книги «Основы арифметики» . ^[16] Фреге очень быстро ответил Расселу; появилось его письмо от 22 июня 1902 года с комментарием ван Хейеноорта в Heijenoort 1967: 126–127. Затем Фреге написал приложение, в котором признал парадокс ^[17] и предложил решение, которое Рассел поддержал в своих «Принципах математики» ^[18] , но позже некоторые сочли его неудовлетворительным. ^[19] Со своей стороны, Рассел работал в типографии и добавил приложение по доктрине типов . ^[20]

Эрнст Цермело в своей работе (1908) « Новое доказательство возможности хорошего упорядочения» (опубликованной одновременно с публикацией «первой аксиоматической теории множеств») ^[21] претендовал на предварительное открытие антиномии в наивной теории множеств Кантора. . Он утверждает: «И все же, даже та элементарная форма, которую Рассел ⁹ придал теоретико-множественным антиномиям, могла бы убедить их [Й. Кенига, Журдена, Ф. Бернштейна], что решение этих трудностей не следует искать в капитуляции». упорядоченности, но только в соответствующем ограничении понятия множества». ^[22] В сноске 9 он излагает свое утверждение:

⁹ 1903 г. , стр. 366–368. Однако я открыл эту антиномию сам, независимо от Рассела, и сообщил о ней до 1903 года, в частности, профессору Гильберту. ^[23]

Фреге отправил Гильберту копию своей книги «Основы арифметики» ; как отмечалось выше, в последнем томе Фреге упоминается парадокс, о котором Рассел сообщил Фреге. Получив последний том Фреге 7 ноября 1903 года, Гильберт написал Фреге письмо, в котором сказал, ссылаясь на парадокс Рассела: «Я считаю, что доктор Цермело обнаружил его три или четыре года назад». Письменное изложение фактических аргументов Цермело было обнаружено в «Накласе » Эдмунда Гуссерля . ^[24]

В 1923 году Людвиг Витгенштейн предложил «распорядиться» парадоксом Рассела следующим образом:

Причина, по которой функция не может быть собственным аргументом, заключается в том, что знак функции уже содержит прототип ее аргумента, и она не может содержать себя. Предположим, что функция F(fx) может быть своим собственным аргументом: в этом случае будет предложение F(F(fx)) , в котором внешняя функция F и внутренняя функция F должны иметь разные значения, поскольку внутренний имеет форму O(fx) , а внешний имеет форму Y(O(fx)) . Только буква «F» является общей для этих двух функций, но сама по себе буква ничего не означает. Это сразу станет понятно, если вместо F(Fu) написать (do): F(Ou) . Оу = Фу . Это устраняет парадокс Рассела. ( Логико-философский трактат , 3.333)

Рассел и Альфред Норт Уайтхед написали свои трехтомные Principia Mathematica , надеясь достичь того, чего не смог сделать Фреге. Они стремились устранить парадоксы наивной теории множеств , используя теорию типов, которую они разработали для этой цели. Хотя им удалось в некотором роде обосновать арифметику, совсем не очевидно, что они сделали это чисто логическими средствами. Хотя Principia Mathematica избежала известных парадоксов и позволила вывести значительную часть математических знаний, ее система породила новые проблемы.

В любом случае Курт Гёдель в 1930–31 годах доказал, что, хотя логика большей части Principia Mathematica , теперь известной как логика первого порядка, является полной , арифметика Пеано обязательно неполна, если она непротиворечива . Очень широко (хотя и не повсеместно) это рассматривается как доказательство невозможности завершения логистской программы Фреге.

В 2001 году в Мюнхене была проведена столетняя международная конференция, посвященная первому столетию парадокса Рассела, и ее материалы были опубликованы. ^[12]

Прикладные версии

Есть несколько версий этого парадокса, которые ближе к ситуациям из реальной жизни и могут быть проще для понимания нелогиками. Например, парадокс парикмахера предполагает, что парикмахер бреет всех мужчин, которые не бреются сами, и только тех мужчин, которые не бреются сами. Когда задумываешься о том, должен ли парикмахер бриться сам или нет, начинает вырисовываться аналогичный парадокс. ^[25]

Кажется, что легкое опровержение «версий непрофессионала», таких как парадокс парикмахера, заключается в том, что такого парикмахера не существует или что парикмахер не является человеком и поэтому может существовать без парадокса. Вся суть парадокса Рассела в том, что ответ «такое множество не существует» означает, что определение понятия множества в рамках данной теории неудовлетворительно. Обратите внимание на разницу между утверждениями «такое множество не существует» и «это пустое множество ». Это похоже на разницу между словами «Ведро нет» и «Ведро пусто».

Заметным исключением из вышесказанного может быть парадокс Греллинга-Нельсона , в котором элементами сценария являются слова и значения, а не люди и стрижка. Хотя парадокс цирюльника легко опровергнуть, сказав, что такого цирюльника не существует (и не может ), невозможно сказать нечто подобное о содержательно определенном слове.

Один из способов драматизировать парадокс заключается в следующем: предположим, что каждая публичная библиотека должна составить каталог всех своих книг. Поскольку каталог сам по себе является одной из книг библиотеки, некоторые библиотекари включают его в каталог для полноты картины; в то время как другие опускают ее, поскольку это одна из библиотечных книг, что само собой разумеется. А теперь представьте, что все эти каталоги отправлены в национальную библиотеку. Некоторые из них включают себя в свои списки, другие — нет. Национальный библиотекарь составляет два генеральных каталога — один из всех каталогов, в которых они указаны, и один из всех тех, в которых нет.

Вопрос в том, должны ли эти генеральные каталоги указывать себя? «Каталог всех каталогов, которые сами себя перечисляют», не является проблемой. Если библиотекарь не включает его в свой список, он остается настоящим каталогом тех каталогов, которые включают сами себя. Если он и включит его, то это останется настоящим каталогом тех, кто внес себя в список. Однако так же, как библиотекарь не может ошибиться с первым генеральным каталогом, он обречен на неудачу со вторым. Когда дело доходит до «каталога всех каталогов, которые не включают себя в список», библиотекарь не может включить его в свой собственный список, потому что тогда он будет включать себя и, таким образом, будет принадлежать другому каталогу, каталогу каталогов, которые включают себя. Однако, если библиотекарь пропустит это, каталог окажется неполным. В любом случае, это никогда не будет настоящим генеральным каталогом каталогов, в которых нет самих себя.

Приложения и связанные темы

Парадоксы Рассела

Как показано выше на примере парадокса парикмахера, парадокс Рассела нетрудно расширить. Брать:

• Переходный глагол ⟨V⟩ , который можно применить к его существительной форме.

Сформируйте предложение:

Тот ⟨V⟩ , что ⟨V⟩ — это все (и только те), кто не ⟨V⟩ сами,

Иногда «все» заменяется на «все ⟨V⟩ ers».

Примером может быть «краска»:

Художник , который рисует, — это все ( и только те), кто не рисует себя.

или «избрать»

Избранный или ( представитель ), который избирает , — это все , кто не избирает себя.

В эпизоде ​​8-го сезона «Теории большого взрыва » «Вторжение Скайуокера» Шелдон Купер анализирует песню « Play That Funky Music » и приходит к выводу, что тексты представляют собой музыкальный пример парадокса Рассела. ^[26]

Парадоксы, подпадающие под эту схему, включают:

• Парикмахер с «бритьем» .
• Исходный парадокс Рассела с «содержанием»: контейнер (Set), содержащий все (контейнеры), которые не содержат самих себя.
• Парадокс Греллинга -Нельсона с «дескриптором»: дескриптор (слово), который описывает все слова, которые не описывают себя.
• Парадокс Ричарда с «обозначающим»: обозначатель (число), обозначающий все обозначающие (числа), которые не обозначают самих себя. (В этом парадоксе все описания чисел получают присвоенный номер. Термин «который обозначает все денотаты (числа), которые не обозначают самих себя», здесь называется рихардианским .)
• «Я лгу», а именно парадокс лжеца и парадокс Эпименида , происхождение которых древнее.
• Парадокс Рассела-Майхилла

Связанные парадоксы

• Парадокс Бурали-Форти о типе порядка всех хорошо упорядоченных
• Парадокс Клини -Россера , показывающий, что исходное лямбда-исчисление несовместимо, с помощью самоотрицающего утверждения.
• Парадокс Карри (названный в честь Haskell Curry ), не требующий отрицания
• Самый маленький неинтересный целочисленный парадокс
• Парадокс Жирара в теории типов

Смотрите также

• Основной закон V
• Диагональный аргумент Кантора  - Доказательство в теории множеств
• Теоремы Гёделя о неполноте  - Ограничительные результаты в математической логике
• Первая проблема Гильберта  - Предложение математической логикиPages displaying short descriptions of redirect targets
• « Об обозначении »
• Парадоксы теории множеств
• Парадокс Куайна
• Самоссылка
• Странная петля  - циклическая структура, проходящая через несколько уровней иерархической системы.
• Универсальный набор  - математический набор, содержащий все объекты.

Примечания

1. Далее, с. 17 относится к странице оригинального Begriffsschrift , а страница 23 относится к той же странице в van Heijenoort 1967.
2. Примечательно, что это письмо не публиковалось до ван Хейеноорта 1967 г. - оно появляется вместе с комментарием ван Хейеноорта в van Heijenoort 1967: 124–125.

Рекомендации

1. Рассел, Бертран, «Переписка с Фреге». В « Философской и математической переписке Готтлоба Фреге ». Перевод Ганса Каала, University of Chicago Press, Чикаго, 1980.
2. Рассел, Бертран. Принципы математики . 2д. ред. Перепечатка, Нью-Йорк: WW Norton & Company, 1996. (Впервые опубликовано в 1903 году.)
3. Ирвин, AD, Х. Дойч (2021). «Парадокс Рассела». Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск весной 2021 г.), EN Zalta (редактор), [1]
4. Бернхард Ранг, Вольфганг Томас: Открытие Цермело «парадокса Рассела», Historia Mathematica 8.
5. Вальтер Пуркерт , Ханс Дж. Ильгаудс: Vita Mathematica - Георг Кантор , Биркхойзер, 1985, ISBN  3-764-31770-1
6. А. А. Френкель; Й. Бар-Гилель; А. Леви (1973). Основы теории множеств . Эльзевир. стр. 156–157. ISBN 978-0-08-088705-0.
7. Ирвин, Эндрю Дэвид; Дойч, Гарри (2014). «Парадокс Рассела». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
8. Р. Банн, Бесконечные множества и числа (1967), стр. 176–178. Докторская диссертация, Университет Британской Колумбии
9. П. Мэдди, «Веря в аксиомы I» (1988). Ассоциация символической логики.
10. Хосе Феррейрос (2008). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике (2-е изд.). Спрингер. § Совокупная иерархия Цермело, стр. 374-378. ISBN 978-3-7643-8350-3.
11. Автобиография Бертрана Рассела , Джорджа Аллена и Анвина Ltd., 1971, стр. 147: «В конце Великого поста [1901] я вернулся в Фернхерст, где приступил к работе, чтобы записать логический вывод математики. которая впоследствии стала Principia Mathematica . Я думал, что работа почти закончена, но в мае [курсив добавлен] у меня произошла интеллектуальная неудача [...]. У Кантора было доказательство того, что не существует наибольшего числа, и мне казалось, что что число всех вещей в мире должно быть максимально возможным. Соответственно, я рассмотрел его доказательство с некоторой подробностью и попытался применить его к классу всех существующих вещей. Это побудило меня рассмотреть те классы, которые не являются членами самих себя, и спросить, является ли класс таких классов членом самого себя. Я обнаружил, что любой ответ подразумевает его противоречивость».
12. Godehard Link (2004), Сто лет парадокса Рассела, с. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, получено 22 февраля 2016 г.
13. Рассел 1920:136
14. Готтлоб Фреге, Майкл Бини (1997), Читатель Фреге, стр. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, получено 22 февраля 2016 г.. Также ван Хейеноорт 1967: 124–125.
15. Рассел 1903:101
16. см. комментарий ван Хейеноорта перед письмом Фреге Расселу в van Heijenoort 1964:126.
17. комментарий ван Хейеноорта, см. van Heijenoort 1967:126; Фреге начинает свой анализ с этого исключительно честного комментария: «Вряд ли что-то более прискорбное может случиться с писателем-ученым, чем когда один из фундаментов его здания пошатнется после завершения работы. В такое положение меня поставило письмо г-на Бертран Рассел, как раз тогда, когда издание этого тома приближалось к завершению» (Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, т. II , в The Frege Reader , стр. 279, перевод Майкла Бини
18. см. комментарий ван Хейеноорта, см. ван Хейеноорт 1967:126. Добавленный текст гласит следующее: « Примечание . Второй том Гг., появившийся слишком поздно, чтобы быть замеченным в Приложении, содержит интересное обсуждение противоречия (с. 253–265), предполагающее, что решение должно быть найдено. найдено путем отрицания того, что две пропозициональные функции , определяющие равные классы, должны быть эквивалентными. Поскольку весьма вероятно, что это истинное решение, читателю настоятельно рекомендуется изучить аргумент Фреге по этому вопросу» (Рассел 1903: 522); Аббревиатура Гг. означает «Grundgezetze der Arithmetik» Фреге . Begriffsschriftlich abgeleitet. Том. И. Йена, 1893. Том. II. 1903.
19. Ливио заявляет, что «Хотя Фреге и предпринял несколько отчаянных попыток исправить свою систему аксиом, ему это не удалось. Вывод оказался катастрофическим…» Ливио 2009:188. Но ван Хейеноорт в своем комментарии к «Письму Фреге к Расселу» ​​(1902) довольно подробно описывает предложенный Фреге «выход» — речь идет о «превращении обобщения равенства в равенство курсов ценностей». Для Фреге функция есть нечто неполное, «ненасыщенное » »; это, кажется, противоречит современному понятию «функции в расширении»; см. формулировку Фреге на стр. 128: «Между прочим, мне кажется, что выражение «предикат высказывается о самом себе» не точно. ...Поэтому я предпочел бы сказать, что «понятие высказывается о своем собственном расширении» [ и т. д]". Но в конце своего предположения о том, что функция-как-концепция-в-расширении может быть записана как предикат ее функции, он колеблется. ван Хейеноорт цитирует Куайна: «Позднее и тщательное исследование «выхода Фреге» см. Куайн 1956 »: «На выходе Фреге», Mind 64 , 145–159; перепечатано в Quine 1955b : Приложение. Полнота количественной теории. Теорема Левенхайма , приложенная в виде брошюры с частью третьего издания (1955 г.) Куайна 1950 г. и включенная в исправленное издание (1959 г.), 253–260» (см. ССЫЛКИ в van Heijenoort 1967: 649).
20. Рассел упоминает об этом факте Фреге, см. комментарий ван Хейеноорта перед письмом Фреге (1902) Расселу в van Heijenoort 1967:126.
21. Комментарий ван Хейеноорта перед Цермело (1908a) Исследования по основам теории множеств I в ван Хейеноорте 1967:199
22. ван Хейеноорт 1967: 190–191. В предыдущем разделе он решительно возражает против понятия непредикативности , определенного Пуанкаре (которое вскоре будет принято и Расселом в его «Математической логике» 1908 года, основанной на теории типов, см. van Heijenoort 1967:150–182).
23. Эрнст Цермело (1908) Новое доказательство возможности хорошего порядка у ван Хейеноорта 1967: 183–198. Ливио 2009:191 сообщает, что Цермело «независимо открыл парадокс Рассела еще в 1900 году»; Ливио, в свою очередь, цитирует Ewald 1996 и van Heijenoort 1967 (ср. Livio 2009:268).
24. Б. Ранг и В. Томас, «Открытие Цермело «парадокса Рассела»», Historia Mathematica , т. 8 n. 1, 1981, стр. 15–22. дои : 10.1016/0315-0860(81)90002-1
25. "Парикмахерский парадокс". Оксфордский справочник . дои : 10.1093/oi/authority.20110803095446216 . Проверено 4 февраля 2024 г.
26. «Воспроизведите эту фанк-музыку, которая была номером 1 40 лет назад» . Общественное радио Миннесоты . 27 сентября 2016 года . Проверено 30 января 2022 г.

Источники

• Поттер, Майкл (15 января 2004 г.), Теория множеств и ее философия , Clarendon Press ( Oxford University Press ), ISBN 978-0-19-926973-0
• ван Хейеноорт, Жан (1967), От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931, (третье издание 1976 г.) , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета , ISBN 0-674-32449-8
• Ливио, Марио (6 января 2009 г.), Бог — математик? , Нью-Йорк: Саймон и Шустер , ISBN. 978-0-7432-9405-8

Внешние ссылки

• Каплан, Джеффри (2022). «Парадокс Рассела – простое объяснение глубокой проблемы». YouTube . Проверено 25 ноября 2023 г.

• «Парадокс Рассела». Интернет-энциклопедия философии .
• Ирвин, Эндрю Дэвид (2016). «Парадокс Рассела». В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Вайсштейн, Эрик В. «Антиномия Рассела». Математический мир .
• «Парадокс Рассела». Разрезать узел . Проверено 25 ноября 2023 г.
• «Объяснение парадокса Рассела (Барбера) на Python» . Проверено 25 ноября 2023 г.