Градиент

Многомерная производная (математика)

Градиент, представленный синими стрелками, обозначает направление наибольшего изменения скалярной функции. Значения функции представлены в оттенках серого и увеличиваются в диапазоне от белого (низкий) до темного (высокий).

В векторном исчислении градиент скалярной дифференцируемой функции нескольких переменных представляет собой векторное поле (или векторную функцию ), значение которого в точке определяет направление и скорость наибольшего увеличения. Градиент преобразуется как вектор при изменении базиса пространства переменных . Если градиент функции отличен от нуля в точке , направление градиента — это направление, в котором функция увеличивается быстрее всего от , а величина градиента — это скорость увеличения в этом направлении, наибольшая абсолютная направленность. производная. ^[1] Кроме того, точка, где градиент равен нулевому вектору, называется стационарной точкой . Таким образом, градиент играет фундаментальную роль в теории оптимизации , где он используется для максимизации функции путем градиентного восхождения . В бескоординатных терминах градиент функции может быть определен как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} }$$

где - общее бесконечно малое изменение для бесконечно малого смещения , и считается максимальным, когда оно направлено в направлении градиента . Символ набла , написанный в виде перевернутого треугольника и произносимый как «дел», обозначает векторный дифференциальный оператор . ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle \nabla }$

Когда используется система координат, в которой базисные векторы не являются функциями положения, градиент задается вектором [ ^a] , компоненты которого являются частными производными at . ^[2] То есть для его градиент определяется в точке n -мерного пространства как вектор ^[b] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

Обратите внимание, что приведенное выше определение градиента определено только для функции , если она дифференцируема в точке . Могут существовать функции, у которых частные производные существуют во всех направлениях, но не дифференцируемы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Например, функция, если только она не находится в начале координат, где , не является дифференцируемой в начале координат, поскольку она не имеет четко определенной касательной плоскости, несмотря на наличие четко определенных частных производных в каждом направлении в начале координат. ^[3] В этом конкретном примере при вращении системы координат xy приведенная выше формула для градиента не может трансформироваться как вектор (градиент становится зависимым от выбора основы для системы координат), а также не может указывать на «самый крутой подъем» в некоторые ориентации. Можно показать, что для дифференцируемых функций, для которых справедлива формула градиента, она всегда преобразуется как вектор при преобразовании базиса, чтобы всегда указывать на наиболее быстрое увеличение. ${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle f(0,0)=0}$

Градиент двойственен полной производной : значение градиента в точке представляет собой касательный вектор – вектор в каждой точке; а значение производной в точке представляет собой кокасательный вектор – линейный функционал от векторов. ^[c] Они связаны тем, что скалярное произведение градиента в точке с другим касательным вектором равно производной по направлению от функции вдоль ; то есть, . Градиент допускает множественные обобщения на более общие функции на многообразиях ; см. § Обобщения. ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\textstyle \nabla f(p)\cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}(p)=df_{p}(\mathbf {v} )}$

Мотивация

Градиент двумерной функции f ( x , y ) = xe ^{− ( x 2 + y 2 )} отображается стрелками на псевдоцветном графике функции.

Рассмотрим комнату, где температура задается скалярным полем T , поэтому в каждой точке ( x , y , z ) температура равна T ( x , y , z ) , независимо от времени. В каждой точке комнаты градиент T в этой точке будет показывать направление, в котором температура повышается быстрее всего, удаляясь от ( x , y , z ) . Величина градиента будет определять, насколько быстро температура повысится в этом направлении.

Рассмотрим поверхность, высота которой над уровнем моря в точке ( x , y ) равна H ( x , y ) . Градиент H в точке представляет собой плоский вектор, указывающий в направлении самого крутого склона или уклона в этой точке. Крутизна склона в этой точке определяется величиной вектора градиента.

Градиент также можно использовать для измерения того, как скалярное поле изменяется в других направлениях, а не только в направлении наибольшего изменения, путем взятия скалярного произведения . Предположим, что самый крутой уклон холма составляет 40%. Дорога, идущая прямо в гору, имеет уклон 40%, но дорога, огибающая холм под углом, будет иметь более пологий уклон. Например, если дорога расположена под углом 60° к направлению подъема (когда оба направления проецируются на горизонтальную плоскость), то уклон вдоль дороги будет скалярным произведением вектора градиента и единичного вектора вдоль дороги. , поскольку скалярное произведение измеряет, насколько единичный вектор вдоль дороги совпадает с самым крутым уклоном ^[d] , который в 40% умножен на косинус 60°, или 20%.

В более общем смысле, если функция высоты холма H является дифференцируемой , то градиент H , отмеченный единичным вектором , дает наклон холма в направлении вектора, производную по направлению от H вдоль единичного вектора.

Обозначения

Градиент функции в точке обычно записывается как . Он также может обозначаться любым из следующих символов: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nabla f(a)}$

• ${\displaystyle {\vec {\nabla }}f(a)}$ : чтобы подчеркнуть векторность результата.
• ${\displaystyle \operatorname {grad} f}$
• ${\displaystyle \partial _{i}f}$и  : обозначения Эйнштейна . ${\displaystyle f_{i}}$

Определение

Градиент функции f ( x , y ) = −(cos ² x + cos ² y ) ² изображен как спроецированное векторное поле на нижнюю плоскость.

Градиент (или векторное поле градиента) скалярной функции f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , …, x _n ) обозначается ∇ f или ∇ → f , где ∇ ( nabla ) обозначает векторный дифференциальный оператор del . Обозначение grad f также часто используется для обозначения градиента. Градиент f определяется как уникальное векторное поле, скалярное произведение которого с любым вектором v в каждой точке x является производной f по направлению вдоль v . То есть,

$${\displaystyle {\big (}\nabla f(x){\big )}\cdot \mathbf {v} =D_{\mathbf {v} }f(x)}$$

где правая часть — это производная по направлению , и существует много способов ее представления. Формально производная двойственна градиенту ; см. связь с производной.

Когда функция также зависит от такого параметра, как время, градиент часто относится просто к вектору только ее пространственных производных (см. Пространственный градиент ).

Величина и направление вектора градиента не зависят от конкретного представления координат . ^{[4] [5]}

Декартовы координаты

В трехмерной декартовой системе координат с евклидовой метрикой градиент, если он существует, определяется выражением

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,}$$

где i , j , k — стандартные единичные векторы в направлениях координат x , y и z соответственно. Например, градиент функции

$${\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}$$

$${\displaystyle \nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .}$$

$${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.}$$

В некоторых приложениях градиент принято представлять как вектор-строку или вектор-столбец его компонентов в прямоугольной системе координат; эта статья следует соглашению, согласно которому градиент является вектором-столбцом, а производная — вектором-строкой.

Цилиндрические и сферические координаты

В цилиндрических координатах с евклидовой метрикой градиент определяется по формуле: ^[6]

$${\displaystyle \nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},}$$

где ρ — осевое расстояние, φ — азимут или азимутальный угол, z — осевая координата, а e _ρ , e _φ и e _z — единичные векторы, указывающие вдоль координатных направлений.

В сферических координатах градиент определяется по формуле: ^[6]

$${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },}$$

где r — радиальное расстояние, φ — азимутальный угол, а θ — полярный угол, а _er , e θ _и e φ _— это снова локальные единичные векторы, указывающие в координатных направлениях (то есть нормированный ковариантный базис ).

Информацию о градиенте в других ортогональных системах координат см. в разделе Ортогональные координаты (Дифференциальные операторы в трех измерениях) .

Общие координаты

Рассмотрим общие координаты , которые запишем как x ¹ , …, x ⁱ , …, x ⁿ , где n — количество измерений области. Здесь верхний индекс относится к положению координаты или компонента в списке, поэтому x ² относится ко второму компоненту, а не к величине x в квадрате. Индексная переменная i относится к произвольному элементу x ⁱ . Используя обозначения Эйнштейна , градиент можно записать как:

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$$

двойственно ${\textstyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} ^{i}}$

где и относятся к ненормализованным локальным ковариантным и контравариантным базам соответственно, — обратный метрический тензор , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает суммирование по i и j . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\partial \mathbf {x} /\partial x^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\mathrm {d} x^{i}}$ ${\displaystyle g^{ij}}$

Если координаты ортогональны, мы можем легко выразить градиент (и дифференциал ) через нормализованные основы, которые мы называем и , используя масштабные коэффициенты (также известные как коэффициенты Ламе )  : ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}$ ${\displaystyle h_{i}=\lVert \mathbf {e} _{i}\rVert ={\sqrt {g_{ii}}}=1\,/\lVert \mathbf {e} ^{i}\rVert }$

$${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}g^{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}{\sqrt {g_{jj}}}=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} _{i}}$$

${\textstyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}\,{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {1}{h_{i}}}\mathbf {\hat {e}} ^{i}}$

где мы не можем использовать обозначения Эйнштейна, так как невозможно избежать повторения более двух индексов. Несмотря на использование верхних и нижних индексов, , и не являются ни контравариантными, ни ковариантными. ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} ^{i}}$ ${\displaystyle h_{i}}$

Последнее выражение соответствует приведенным выше выражениям для цилиндрических и сферических координат.

Связь с производной

Связь с полной производной

Градиент тесно связан с полной производной ( полным дифференциалом ) : они транспонированы ( двойственны ) друг другу. Используя соглашение, согласно которому векторы в представлены векторами-столбцами , а ковекторы (линейные карты ) представлены векторами-строками , ^[a] градиент и производная выражаются как вектор-столбец и вектор-строка соответственно с одинаковыми компонентами, но транспонировать друг друга: ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle df}$

$${\displaystyle \nabla f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}};}$$

$${\displaystyle df_{p}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}.}$$

Хотя они оба имеют одинаковые компоненты, они различаются тем, какой математический объект они представляют: в каждой точке производная представляет собой котангенс -вектор , линейную форму ( ковектор ), которая выражает, насколько (скалярный) выходной сигнал изменяется для заданной бесконечно малой величины. изменение входного (векторного) сигнала, тогда как в каждой точке градиент представляет собой касательный вектор , который представляет бесконечно малое изменение входного (векторного) сигнала. В символах градиент — это элемент касательного пространства в точке, а производная — это отображение касательного пространства в действительные числа . Касательные пространства в каждой точке могут быть «естественно» отождествлены ^[e] с самим векторным пространством , и аналогичным образом кокасательное пространство в каждой точке может быть естественным образом отождествлено с двойственным векторным пространством ковекторов; таким образом, значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в оригинале , а не просто как касательный вектор. ${\displaystyle \nabla f(p)\in T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle df_{p}\colon T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В вычислительном отношении, учитывая касательный вектор, вектор можно умножить на производную (в виде матрицы), что равно скалярному произведению с градиентом:

$${\displaystyle (df_{p})(v)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)v_{i}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p)\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p)\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}=\nabla f(p)\cdot v}$$

Дифференциал или (внешняя) производная

Наилучшее линейное приближение дифференцируемой функции

$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$$

дифференциаломполной производнойполным дифференциаломвнешней производной1-формы ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle df_{x}}$ ${\displaystyle Df(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle df_{x}}$ ${\displaystyle f}$

Подобно тому, как производная функции одной переменной представляет собой наклон касательной к графику функции , [ ^7] производная по направлению функции нескольких переменных представляет собой наклон касательной гиперплоскости в направлении вектора.

Градиент связан с дифференциалом формулой

$${\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)}$$

произведение ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \cdot }$

Если рассматривать его как пространство векторов-столбцов (размерности) (действительных чисел), то его можно рассматривать как вектор-строку с компонентами ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle df}$

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right),}$$

умножением матриц ${\displaystyle df_{x}(v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=df_{i}^{\mathsf {T}}.}$$

Линейное приближение функции

Наилучшее линейное приближение функции можно выразить через градиент, а не через производную. Градиент функции из евклидова пространства в любую конкретную точку характеризует наилучшее линейное приближение к at . Приближение следующее: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}$$

для близких к , где – градиент, вычисленный при , а точка обозначает скалярное произведение на . Это уравнение эквивалентно первым двум слагаемым в разложении в ряд Тейлора при . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (\nabla f)_{x_{0}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$

В отношениях с.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Производная Фреше

Пусть U — открытое множество в Rn ^. Если функция f  : U → R дифференцируема, то дифференциал f является производной Фреше от f . Таким образом, ^∇ f — функция из U в пространство Rn такая, что

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-\nabla f(x)\cdot h|}{\|h\|}}=0,}$$

Как следствие, для градиента сохраняются обычные свойства производной, хотя градиент сам по себе не является производной, а скорее двойственен производной:

Линейность

Градиент является линейным в том смысле, что если f и g — две действительные функции, дифференцируемые в точке ^a ∈ Rn , а α и β — две константы, то αf + βg дифференцируема в точке a , и, более того,

$${\displaystyle \nabla \left(\alpha f+\beta g\right)(a)=\alpha \nabla f(a)+\beta \nabla g(a).}$$

Правило продукта

Если f и g — вещественные функции, дифференцируемые в точке a ∈ Rn , то правило произведения утверждает, что произведение fg дифференцируемо в точке ^a , и

$${\displaystyle \nabla (fg)(a)=f(a)\nabla g(a)+g(a)\nabla f(a).}$$

Правило цепи

Предположим, что f  : A → R — вещественная функция, определенная на подмножестве ^A множества Rn , и что f дифференцируема в точке a . К градиенту применяются две формы цепного правила. Предположим сначала, что функция g является параметрической кривой ; то есть функция g  : I → Rn отображает подмножество I ^⊂ R в Rn ^. Если g дифференцируема в точке c ∈ I такой, что g ( c ) = a , то

$${\displaystyle (f\circ g)'(c)=\nabla f(a)\cdot g'(c),}$$

где ∘ - оператор композиции : ( ж  ∘  г )( Икс ) знак равно ж ( г ( Икс )) .

В более общем смысле, если вместо этого ^I ⊂ Rk , то имеет место следующее:

$${\displaystyle \nabla (f\circ g)(c)={\big (}Dg(c){\big )}^{\mathsf {T}}{\big (}\nabla f(a){\big )},}$$

( Dg ) ^Tматрицу Якобиана

Для второй формы цепного правила предположим, что h  : I → R — вещественнозначная функция на подмножестве I из R и что h дифференцируема в точке f ( a ) ∈ I. Затем

$${\displaystyle \nabla (h\circ f)(a)=h'{\big (}f(a){\big )}\nabla f(a).}$$

Другие свойства и применение

Наборы уровней

Поверхность уровня, или изоповерхность , — это набор всех точек, в которых некоторая функция имеет заданное значение.

Если f дифференцируемо, то скалярное произведение (∇ f  ) _x ⋅ v градиента в точке x с вектором v дает производную по направлению от f в точке x в направлении v . Отсюда следует , что в этом случае градиент f ортогонален множествам уровня f . Например, поверхность уровня в трехмерном пространстве определяется уравнением вида F ( x , y , z ) = c . Тогда градиент F будет нормален к поверхности.

В более общем смысле, любая вложенная гиперповерхность в римановом многообразии может быть вырезана уравнением вида F ( P ) = 0 таким, что dF нигде не равен нулю. Тогда градиент F нормален к гиперповерхности.

Аналогично, аффинная алгебраическая гиперповерхность может быть определена уравнением F ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , где F — многочлен. Градиент F равен нулю в особой точке гиперповерхности (это определение особой точки). В неособой точке это ненулевой нормальный вектор.

Консервативные векторные поля и градиентная теорема

Градиент функции называется полем градиента. (Непрерывное) поле градиента всегда является консервативным векторным полем : его линейный интеграл вдоль любого пути зависит только от конечных точек пути и может быть оценен с помощью градиентной теоремы (фундаментальной теоремы исчисления для линейных интегралов). И наоборот, (непрерывное) консервативное векторное поле всегда является градиентом функции.

Обобщения

якобиан

Матрица Якоби является обобщением градиента для вектор-функций нескольких переменных и дифференцируемых отображений между евклидовыми пространствами или, в более общем плане, многообразиями . ^{[8] [9]} Дальнейшим обобщением функции между банаховыми пространствами является производная Фреше .

Предположим , f  : R ⁿ → R ^m — такая функция, что каждая из ее частных производных первого порядка существует на ℝ ⁿ . Тогда матрица Якоби функции f определяется как матрица размера m × n , обозначаемая или просто . ( i , j ) -я запись . Явно ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbb {f} }(\mathbb {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}}$

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}.}$$

Градиент векторного поля

Поскольку полная производная векторного поля представляет собой линейное отображение векторов в векторы, она является тензорной величиной.

В прямоугольных координатах градиент векторного поля f = (  f ¹ , f ² , f ³ ) определяется следующим образом:

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}{\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

(где используются обозначения суммирования Эйнштейна и тензорное произведение векторов ei _и ek является двоичным тензором типа (2,0) ) _. В целом это выражение эквивалентно транспонированию матрицы Якобиана:

$${\displaystyle {\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}={\frac {\partial (f^{1},f^{2},f^{3})}{\partial (x^{1},x^{2},x^{3})}}.}$$

В криволинейных координатах или, в более общем смысле, на искривленном многообразии , градиент включает в себя символы Кристоффеля :

$${\displaystyle \nabla \mathbf {f} =g^{jk}\left({\frac {\partial f^{i}}{\partial x^{j}}}+{\Gamma ^{i}}_{jl}f^{l}\right)\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{k},}$$

где g ^jk — компоненты обратного метрического тензора , а e _i — координатные базисные векторы.

Выражаясь более инвариантно, градиент векторного поля f может быть определен связностью Леви-Чивита и метрическим тензором: ^[10]

$${\displaystyle \nabla ^{a}f^{b}=g^{ac}\nabla _{c}f^{b},}$$

где ∇ _c — связь.

Римановы многообразия

Для любой гладкой функции f на римановом многообразии ( M , g ) градиент f — это векторное поле ∇ f такое, что для любого векторного поля X

$${\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,}$$

$${\displaystyle g_{x}{\big (}(\nabla f)_{x},X_{x}{\big )}=(\partial _{X}f)(x),}$$

g _x (, )скалярное произведениеxg,∂ _X  fx ∈ MfXxкоординатной карте φMR ⁿ∂ _X  f  )( x )

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}{\big (}\varphi (x){\big )}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Bigg |}_{\varphi (x)},}$$

X ^jj-X

Итак, локальная форма градиента принимает вид:

$${\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\textbf {e}}_{i}.}$$

Обобщая случай M = Rn , градиент функции связан с ее внешней производной, ^{поскольку}

$${\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=(df)_{x}(X_{x}).}$$

∇ fdfмузыкального изоморфизма

$${\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}$$

gR ⁿ

Смотрите также

• Curl  – Плотность циркуляции в векторном поле.
• Дивергенция  - векторный оператор в векторном исчислении
• Четырехградиентный
• Матрица Гессе  - (математическая) матрица вторых производных.
• Наклон градиента
• Пространственный градиент  - градиент, компоненты которого являются пространственными производными.

Примечания

1. В этой статье используется соглашение, согласно которому векторы-столбцы представляют векторы, а векторы-строки представляют ковекторы, но также распространено и противоположное соглашение.
2. Строго говоря, градиент — это векторное поле , а значение градиента в точке — это касательный вектор в касательном пространстве в этой точке, а не вектор в исходном пространстве . Однако все касательные пространства естественным образом отождествляются с исходным пространством , поэтому их не нужно различать; см. § Определение и связь с производной. ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to T\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{p}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
3. Значение градиента в точке можно рассматривать как вектор в исходном пространстве , а значение производной в точке можно рассматривать как ковектор в исходном пространстве: линейную карту . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$
4. скалярное произведение (наклон дороги вокруг холма) будет 40%, если угол между дорогой и самым крутым склоном равен 0 °, т. е. когда они полностью выровнены, и плоским, когда угол равен 90 °, т. е. когда дорога перпендикулярна самому крутому склону.
5. Неофициально «естественное» определение означает, что это можно сделать, не делая произвольного выбора. Это можно формализовать естественным преобразованием .

Рекомендации

1. • Бахман (2007, стр. 77)
   • Даунинг (2010, стр. 316–317).
   • Крейциг (1972, стр. 309)
   • МакГроу-Хилл (2007, стр. 196)
   • Мойзе (1967, стр. 684)
   • Проттер и Морри (1970, стр. 715)
   • Своковский и др. (1994, стр. 1036, 1038–1039)
2. • Бахман (2007, стр. 76)
   • Борегар и Фрели (1973, стр. 84)
   • Даунинг (2010, стр. 316)
   • Харпер (1976, стр. 15)
   • Крейциг (1972, стр. 307)
   • МакГроу-Хилл (2007, стр. 196)
   • Мойзе (1967, стр. 683)
   • Проттер и Морри (1970, стр. 714)
   • Своковский и др. (1994, стр. 1038)
3. «Недифференцируемые функции должны иметь разрывные частные производные - Math Insight». mathinsight.org . Проверено 21 октября 2023 г.
4. Крейциг (1972, стр. 308–309)
5. Стокер (1969, стр. 292)
6. Schey 1992, стр. 139–142.
7. Проттер и Морри (1970, стр. 21, 88)
8. Борегар и Фрели (1973, стр. 87, 248)
9. Крейциг (1972, стр. 333, 353, 496)
10. Дубровин, Фоменко и Новиков 1991, стр. 348–349.

• Бахман, Дэвид (2007), Демистификация продвинутого исчисления , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-148121-2
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-Х
• Даунинг, Дуглас, доктор философии. (2010), EZ Calculus Бэррона , Нью-Йорк: Barron's , ISBN 978-0-7641-4461-5{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Дубровин, Б.А.; Фоменко А.Т.; Новиков, СП (1991). Современная геометрия — методы и приложения: Часть I: Геометрия поверхностей, группы преобразований и поля . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-97663-1.
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 0-13-487538-9
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• «Энциклопедия науки и технологий Макгроу Хилла». Энциклопедия науки и технологий McGraw-Hill (10-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Мойс, Эдвин Э. (1967), Исчисление: полное , Чтение: Аддисон-Уэсли
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  76087042
• Шей, Х.М. (1992). Див, Град, Керл и все такое (2-е изд.). WW Нортон. ISBN 0-393-96251-2. ОСЛК  25048561.
• Стокер, Дж. Дж. (1969), Дифференциальная геометрия , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-82825-4
• Своковски, Эрл В.; Олиник, Майкл; Пенс, Деннис; Коул, Джеффри А. (1994), Исчисление (6-е изд.), Бостон: Издательская компания PWS, ISBN 0-534-93624-5

дальнейшее чтение

• Корн, Тереза ​​М .; Корн, Гранино Артур (2000). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Дуврские публикации. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. ОСЛК  43864234.

Внешние ссылки

• «Градиент». Ханская академия .
• Купцов, Л.П. (2001) [1994], «Градиент», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Вайсштейн, Эрик В. «Градиент». Математический мир .