Скалярное произведение

Алгебраическая операция над координатными векторами

В математике скалярное произведение или скалярное произведение ^{[примечание 1]} — это алгебраическая операция , которая берет две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы ) и возвращает одно число. В евклидовой геометрии широко используется скалярное произведение декартовых координат двух векторов . Его часто называют внутренним произведением (или редко проекционным произведением ) евклидова пространства , хотя это не единственное внутреннее произведение, которое может быть определено в евклидовом пространстве ( подробнее см. Внутреннее произведение пространства ).

Алгебраически скалярное произведение является суммой произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат. В современной геометрии евклидовы пространства часто определяются с помощью векторных пространств . В этом случае скалярное произведение используется для определения длин (длина вектора является квадратным корнем скалярного произведения вектора на себя) и углов (косинус угла между двумя векторами является частным их скалярного произведения на произведение их длин).

Название «скалярное произведение» происходит от оператора точки «  ·  », который часто используется для обозначения этой операции; ^[1] альтернативное название «скалярное произведение» подчеркивает, что результатом является скаляр , а не вектор (как в случае векторного произведения в трехмерном пространстве).

Определение

Скалярное произведение может быть определено алгебраически или геометрически. Геометрическое определение основано на понятиях угла и расстояния (величины) векторов. Эквивалентность этих двух определений основана на наличии декартовой системы координат для евклидова пространства.

В современных представлениях евклидовой геометрии точки пространства определяются в терминах их декартовых координат , а само евклидово пространство обычно отождествляется с реальным координатным пространством . В таком представлении понятия длины и угла определяются посредством скалярного произведения. Длина вектора определяется как квадратный корень скалярного произведения вектора на себя, а косинус ( неориентированного) угла между двумя векторами длины один определяется как их скалярное произведение. Таким образом, эквивалентность двух определений скалярного произведения является частью эквивалентности классической и современной формулировок евклидовой геометрии. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Определение координат

Скалярное произведение двух векторов и , заданное относительно ортонормированного базиса , определяется как: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

где обозначает суммирование и является размерностью векторного пространства . Например, в трехмерном пространстве скалярное произведение векторов и равно: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [1,3,-5]}$ ${\displaystyle [4,-2,-1]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

Аналогично, скалярное произведение вектора на самого себя равно: ${\displaystyle [1,3,-5]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

Если векторы отождествляются с векторами-столбцами , скалярное произведение также можно записать как матричное произведение

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$где обозначает транспонирование . ​ ${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Выражая приведенный выше пример таким образом, матрица 1 × 3 ( вектор-строка ) умножается на матрицу 3 × 1 ( вектор-столбец ), чтобы получить матрицу 1 × 1, которая идентифицируется по ее уникальной записи: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

Геометрическое определение

Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения

Расчет углов связей симметричной тетраэдрической молекулярной геометрии с использованием скалярного произведения

В евклидовом пространстве евклидов вектор — это геометрический объект, обладающий как величиной, так и направлением. Вектор можно изобразить в виде стрелки. Его величина — это его длина, а направление — это направление, куда указывает стрелка. Величина вектора обозначается как . Скалярное произведение двух евклидовых векторов и определяется как ^{[3] [4] [1]} где — угол между и . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

В частности, если векторы и ортогональны (т.е. их угол равен или ), то , что означает, что ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$С другой стороны, если они сонаправлены , то угол между ними равен нулю при и Это означает, что скалярное произведение вектора на самого себя равно что дает формулу для евклидовой длины вектора. ${\displaystyle \cos 0=1}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$ $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

Скалярная проекция и первые свойства

Скалярная проекция

Скалярная проекция (или скалярная составляющая) евклидова вектора в направлении евклидова вектора определяется выражением, где — угол между и . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

С точки зрения геометрического определения скалярного произведения это можно переписать как , где — единичный вектор в направлении . $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$

Распределительный закон для скалярного произведения

Таким образом, скалярное произведение геометрически характеризуется следующим образом: ^[5] Скалярное произведение, определенное таким образом, однородно относительно масштабирования по каждой переменной, что означает, что для любого скаляра оно также удовлетворяет распределительному закону , что означает, что $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

Эти свойства можно суммировать, сказав, что скалярное произведение является билинейной формой . Более того, эта билинейная форма положительно определена , что означает, что никогда не бывает отрицательной, и равна нулю тогда и только тогда , когда , нулевой вектор. ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

Эквивалентность определений

Если — стандартные базисные векторы в , то мы можем записать Векторы являются ортонормированным базисом , что означает, что они имеют единичную длину и находятся под прямым углом друг к другу. Поскольку эти векторы имеют единичную длину и образуют друг с другом прямые углы, если , Таким образом, в общем случае можно сказать, что: где — дельта Кронекера . ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$ ${\displaystyle i\neq j}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Векторные компоненты в ортонормированном базисе

Также, по геометрическому определению, для любого вектора и вектора , заметим, что где - составляющая вектора в направлении . Последний шаг в равенстве можно увидеть из рисунка. ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Теперь, применяя дистрибутивность геометрической версии скалярного произведения, получаем , что является алгебраическим определением скалярного произведения. Таким образом, геометрическое скалярное произведение равно алгебраическому скалярному произведению. $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$

Характеристики

Скалярное произведение удовлетворяет следующим свойствам, если , , и являются действительными векторами , а , и являются скалярами . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Коммутативный

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$что следует из определения ( — угол между и ): ^[6] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$$

Распределение по векторному сложению

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

Билинейный

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}$$

Скалярное умножение

$${\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}$$

Не ассоциативный

потому что скалярное произведение между скаляром и вектором не определено, что означает, что выражения, участвующие в ассоциативном свойстве, или оба плохо определены. ^[7] Однако следует отметить, что ранее упомянутое свойство скалярного умножения иногда называют «ассоциативным законом для скалярного и скалярного произведения» ^[8] или можно сказать, что «скалярное произведение ассоциативно относительно скалярного умножения», потому что . ^[9] ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} )}$

Ортогональный

Два ненулевых вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

Нет отмены

В отличие от умножения обычных чисел, где если , то всегда равно, если только не равно нулю, скалярное произведение не подчиняется закону сокращения : ${\displaystyle ab=ac}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

Если и , то мы можем записать: по распределительному закону ; результат выше говорит, что это просто означает, что перпендикулярно , что по-прежнему допускает , и, следовательно, допускает . ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$

Правило продукта

Если и являются векторнозначными дифференцируемыми функциями , то производная ( обозначенная штрихом ) от задается правилом ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {}'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ $${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$

Применение к закону косинусов

Треугольник с векторными сторонами a и b , разделенными углом θ .

Даны два вектора и , разделенные углом (см. верхнее изображение ), они образуют треугольник с третьей стороной . Пусть , и обозначают длины , , и , соответственно. Скалярное произведение этого с самим собой равно: ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$ ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

что является законом косинусов .

Тройной продукт

Существуют две тернарные операции, включающие скалярное произведение и векторное произведение .

Скалярное тройное произведение трех векторов определяется как Его значение является определителем матрицы, столбцы которой являются декартовыми координатами трех векторов. Это знаковый объем параллелепипеда , определяемого тремя векторами, и изоморфен трехмерному частному случаю внешнего произведения трех векторов. $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

Тройное произведение векторов определяется как ^{[2] [3]} Это тождество, также известное как формула Лагранжа , можно запомнить как "ACB минус ABC", имея в виду, какие векторы соединены точками. Эта формула имеет применение в упрощении векторных вычислений в физике . $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$$

Физика

В физике скалярное произведение берет два вектора и возвращает скалярную величину. Оно также известно как «скалярное произведение». Скалярное произведение двух векторов можно определить как произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами. Таким образом, в качестве альтернативы оно определяется как произведение проекции первого вектора на второй вектор и величины второго вектора. $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$

Например: ^{[10] [11]}

• Механическая работа — это скалярное произведение векторов силы и перемещения ,
• Мощность — это скалярное произведение силы и скорости .

Обобщения

Комплексные векторы

Для векторов с комплексными записями использование данного определения скалярного произведения приведет к совершенно другим свойствам. Например, скалярное произведение вектора с самим собой может быть равно нулю без того, чтобы вектор был нулевым вектором (например, это произошло бы с вектором ). Это, в свою очередь, имело бы последствия для таких понятий, как длина и угол. Такие свойства, как положительно определенная норма, могут быть спасены ценой отказа от симметричных и билинейных свойств скалярного произведения с помощью альтернативного определения ^{[12] [2],} где — комплексно сопряженное число . Когда векторы представлены векторами-столбцами , скалярное произведение может быть выражено как матричное произведение, включающее сопряженное транспонирование , обозначаемое верхним индексом H: ${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$ ${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

В случае векторов с действительными компонентами это определение такое же, как и в действительном случае. Скалярное произведение любого вектора с самим собой является неотрицательным действительным числом, и оно отлично от нуля, за исключением нулевого вектора. Однако комплексное скалярное произведение является полуторалинейным , а не билинейным, поскольку оно сопряженно-линейно и нелинейно по . Скалярное произведение не является симметричным, так как Угол между двумя комплексными векторами тогда задается выражением ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$ $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Комплексное скалярное произведение приводит к понятиям эрмитовых форм и общих пространств скалярного произведения , которые широко используются в математике и физике .

Самоскалярное произведение комплексного вектора , включающее сопряженное транспонирование вектора-строки, также известно как квадрат нормы , , по названию евклидовой нормы ; это векторное обобщение абсолютного квадрата комплексного скаляра (см. также: квадрат евклидова расстояния ). ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$ ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$

Внутренний продукт

Скалярное произведение обобщает скалярное произведение на абстрактные векторные пространства над полем скаляров , являющимся либо полем действительных чисел , либо полем комплексных чисел . Обычно обозначается с помощью угловых скобок как . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

Скалярное произведение двух векторов над полем комплексных чисел, в общем случае, является комплексным числом и является полуторалинейным , а не билинейным. Скалярное произведение — это нормированное векторное пространство , а скалярное произведение вектора на себя является действительным и положительно-определенным.

Функции

Скалярное произведение определено для векторов, которые имеют конечное число элементов . Таким образом, эти векторы можно рассматривать как дискретные функции : вектор длины является, таким образом, функцией с областью определения , и является обозначением для изображения с помощью функции/вектора . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$

Это понятие можно обобщить на непрерывные функции : так же, как скалярное произведение векторов использует сумму по соответствующим компонентам, скалярное произведение функций определяется как интеграл по некоторому интервалу [ a ,  b ] : ^[2]

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{a}^{b}u(x)v(x)\,dx.}$$

Обобщение далее до комплексных функций и , по аналогии с комплексным скалярным произведением выше, дает ^[2] ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x)}$

$${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{a}^{b}\psi (x){\overline {\chi (x)}}\,dx.}$$

Весовая функция

Внутренние продукты могут иметь весовую функцию (т.е. функцию, которая взвешивает каждый член внутреннего продукта со значением). Явно, внутреннее произведение функций и относительно весовой функции равно ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle r(x)>0}$

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

Диадики и матрицы

Двойное скалярное произведение для матриц — это скалярное произведение Фробениуса , которое аналогично скалярному произведению векторов. Оно определяется как сумма произведений соответствующих компонентов двух матриц одинакового размера: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).}$$А для действительных матриц, $${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}$$

Записывая матрицу как диадическую , мы можем определить другое двойное произведение (см. Диадические матрицы § Произведение диадической и диадической матрицы ), однако это не внутреннее произведение.

Тензоры

Скалярное произведение тензора порядка и тензора порядка является тензором порядка , подробности см. в разделе Свертка тензора . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n+m-2}$

Вычисление

Алгоритмы

Прямолинейный алгоритм вычисления скалярного произведения векторов с плавающей точкой может страдать от катастрофического сокращения . Чтобы избежать этого, используются такие подходы, как алгоритм суммирования Кахана .

Библиотеки

Функция скалярного произведения включена в:

• BLAS уровень 1 действительный SDOT, DDOT; комплексный CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC,ZDOTC = X^H * Y
• Фортран как dot_product(A,B)илиsum(conjg(A) * B)
• Julia как   A' * Bили стандартная библиотека LinearAlgebra какdot(A, B)
• R (язык программирования) как sum(A * B)для векторов или, в более общем смысле, для матриц, какA %*% B
• Matlab как   A' * B  или   conj(transpose(A)) * B  или   sum(conj(A) .* B)  или  dot(A, B)
• Python (пакет NumPy ) как   np.matmul(A, B)  или   np.dot(A, B)  или  np.inner(A, B)
• GNU Octave как   sum(conj(X) .* Y, dim)и аналогичный код как Matlab
• Intel oneAPI Math Kernel Library действительный p?dot dot = sub(x)'*sub(y); комплексный p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

Смотрите также

• Неравенство Коши–Шварца
• Перекрестное произведение
• Представление графика в виде скалярного произведения
• Евклидова норма , квадратный корень из скалярного произведения
• Умножение матриц
• Метрический тензор
• Умножение векторов
• Внешний продукт

Примечания

1. Термин скалярное произведение буквально означает «произведение со скаляром в качестве результата». Он также иногда используется для других симметричных билинейных форм , например, в псевдоевклидовом пространстве . Не путать со скалярным умножением .

Ссылки

1. "Скалярное произведение". www.mathsisfun.com . Получено 2020-09-06 .
2. S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Линейная алгебра (Schaum's Outlines) (4-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Векторный анализ (Schaum's Outlines) (2-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
4. А. И. Борисенко; И. Е. Тапаров (1968). Векторный и тензорный анализ с приложениями . Перевод Ричарда Сильвермана. Довер. С. 14.
5. Arfken, GB; Weber, HJ (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . стр. 14–15. ISBN 978-0-12-059825-0.
6. Найкамп, Дуэйн. «Скалярное произведение». Math Insight . Получено 6 сентября 2020 г.
7. Weisstein, Eric W. «Скалярное произведение». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
8. T. Banchoff; J. Wermer (1983). Линейная алгебра через геометрию. Springer Science & Business Media. стр. 12. ISBN 978-1-4684-0161-5.
9. А. Бедфорд; Уоллес Л. Фаулер (2008). Инженерная механика: Статика (5-е изд.). Prentice Hall. стр. 60. ISBN 978-0-13-612915-8.
10. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Математические методы для физики и техники (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
11. М. Мэнсфилд; К. О'Салливан (2011). Понимание физики (4-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-47-0746370.
12. Берберян, Стерлинг К. (2014) [1992]. Линейная алгебра . Довер. стр. 287. ISBN 978-0-486-78055-9.

Внешние ссылки

• «Внутреннее произведение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Объяснение скалярного произведения, в том числе с комплексными векторами
• «Скалярное произведение» Брюса Торренса, Wolfram Demonstrations Project , 2007.