В геометрии , скашивание или усечение ребра — это топологический оператор, который преобразует один многогранник в другой. Он похож на расширение : он раздвигает грани (наружу) и добавляет новую грань между каждыми двумя соседними гранями; но в отличие от расширения, он сохраняет исходные вершины . (Эквивалентно: он разделяет грани, уменьшая их, и добавляет новую грань между каждыми двумя соседними гранями; но он только перемещает вершины внутрь.) Для многогранника эта операция добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра .
В нотации многогранников Конвея снятие фаски обозначается буквой «c». Многогранник с e ребрами будет иметь скошенную форму, содержащую 2 e новых вершин, 3 e новых ребра и e новых шестиугольных граней.
В главах ниже подробно описаны фаски пяти Платоновых тел . Каждая из них показана в равносторонней версии, где все ребра имеют одинаковую длину, и в канонической версии, где все ребра касаются одной и той же средней сферы . (Они выглядят заметно по-разному только для тел, содержащих треугольники.) Показанные двойственные многогранники являются двойственными к каноническим версиям.
Тетраэдр с фаской или альтернативно усеченный куб представляет собой выпуклый многогранник, построенный:
При определенной глубине скоса/усечения все (конечные) ребра cT имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники являются равносторонними , но не правильными .
Двойственным тетраэдру с фаской является чередующийся триакистетраэдр.
cT — многогранник Голдберга GP III (2,0) или {3+,3} 2,0 , содержащий треугольные и шестиугольные грани.
Куб с фаской строится как фаска куба : квадраты уменьшаются в размере, а новые грани, шестиугольники, добавляются вместо всех исходных ребер. cC — это выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 ребрами и 18 гранями: 6 конгруэнтных (и правильных) квадратов и 12 конгруэнтных сплющенных шестиугольников.
Для определенной глубины фаски все (конечные) ребра куба с фаской имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники являются равносторонними , но не правильными . Они являются конгруэнтными попеременно усеченными ромбами , имеют 2 внутренних угла и 4 внутренних угла, в то время как правильный шестиугольник имел бы все внутренние углы.
cC также неточно называют усеченным ромбическим додекаэдром , хотя это название скорее предполагает ромбокубооктаэдр . cC можно более точно назвать тетраусеченным ромбическим додекаэдром , поскольку усечены только вершины (6) порядка 4 ромбического додекаэдра .
Двойственным кубу с фаской является тетракискубооктаэдр .
Поскольку все грани cC имеют четное число сторон и центрально симметричны , он является зоноэдром :
Куб с фаской также является многогранником Голдберга GP IV (2,0) или {4+,3} 2,0 , содержащим квадратные и шестиугольные грани.
cC — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной ребра 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра третьего порядка находятся в , а его шесть вершин четвертого порядка находятся в перестановках
Топологический эквивалент скошенного куба , но с пиритоэдрической симметрией и прямоугольными гранями, может быть построен путем скашивания осевых ребер пиритоэдра . Это происходит в кристаллах пирита .
В геометрии октаэдр с фаской — это выпуклый многогранник, образованный усечением 8 вершин порядка 3 ромбического додекаэдра . Эти усеченные вершины становятся конгруэнтными равносторонними треугольниками, а исходные 12 ромбических граней становятся конгруэнтными сплющенными шестиугольниками.
Для определенной глубины усечения все (конечные) ребра cO имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники являются равносторонними , но не правильными .
Скошенный октаэдр можно также назвать триусеченным ромбическим додекаэдром .
Двойственным к cO является триакискубооктаэдр.
Фасованный додекаэдр — это выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 ребрами и 42 гранями: 12 конгруэнтных правильных пятиугольников и 30 конгруэнтных сплющенных шестиугольников.
Он построен как фаска правильного додекаэдра . Пятиугольники уменьшены в размере, и новые грани, сплющенные шестиугольники, добавлены на место всех исходных ребер. Для определенной глубины скашивания все (конечные) ребра cD имеют одинаковую длину; тогда шестиугольники являются равносторонними , но не правильными.
cD также неточно называют усеченным ромбическим триаконтаэдром , хотя это название скорее предполагает ромбоикосододекаэдр . cD может быть более точно назван пентаусеченным ромбическим триаконтаэдром , потому что усечены только вершины (12) порядка 5 ромбического триаконтаэдра.
Двойственным к додекаэдру с фаской является пентакисикосододекаэдр .
cD — многогранник Голдберга GP V (2,0) или {5+,3} 2,0 , содержащий пятиугольные и шестиугольные грани.
В геометрии скошенный икосаэдр — это выпуклый многогранник, образованный усечением 20 вершин порядка 3 ромбического триаконтаэдра . Шестиугольные грани cI можно сделать равносторонними , но не правильными , с определенной глубиной усечения.
Скошенный икосаэдр можно также назвать триусеченным ромбическим триаконтаэдром .
Двойственным к cI является триакисикосододекаэдр.
Операция фаски, применяемая последовательно, создает все большие многогранники с новыми гранями, шестиугольными, заменяющими ребра текущего. Оператор фаски преобразует GP(m,n) в GP(2m,2n).
Правильный многогранник GP(1,0) создает последовательность многогранников Голдберга : GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...
Усеченный октаэдр или усеченный икосаэдр , GP(1,1), создает последовательность Голдберга: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)...
Усеченный тетракисгексаэдр или пентакисдодекаэдр , GP(3,0) , создает последовательность Голдберга: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...
Как и операцию расширения, фаску можно применить к любому размеру.
Для многоугольников это утроит количество вершин. Пример:
Для полихоры новые ячейки создаются вокруг исходных краев. Ячейки — это призмы, содержащие две копии исходной грани, с пирамидами, добавленными к сторонам призмы. [что-то может быть не так в этом отрывке]
