В математике и физике солитон — это нелинейный, самоусиливающийся, локализованный волновой пакет , который очень стабилен , поскольку сохраняет свою форму при свободном распространении с постоянной скоростью и восстанавливает ее даже после столкновений с другими такими же локализованными волновыми пакетами . Его замечательную стабильность можно объяснить сбалансированным подавлением нелинейных и дисперсионных эффектов в среде. (Эффекты дисперсии являются свойством некоторых систем, в которых скорость волны зависит от ее частоты.) Впоследствии было обнаружено, что солитоны обеспечивают устойчивые решения широкого класса слабонелинейных дисперсионных уравнений в частных производных, описывающих физические системы.
Явление солитона было впервые описано в 1834 году Джоном Скоттом Расселом (1808–1882), который наблюдал уединенную волну в канале Юнион в Шотландии. Он воспроизвел это явление в волновом резервуаре и назвал его « Волна перевода ». Термин «солитон» был придуман Забуски и Краскалом для описания локализованных, сильно устойчивых распространяющихся решений уравнения Кортевега-де Фриза , которое моделирует волны того типа, который видел Рассел. Название должно было характеризовать уединенную природу волн, с суффиксом «on», напоминающим об использовании таких частиц, как электроны , барионы или адроны , что отражало их наблюдаемое поведение , подобное частицам . [1]
Трудно найти единое согласованное определение солитона. Дразин и Джонсон (1989, стр. 15) приписывают солитонам три свойства:
Существуют более формальные определения, но они требуют серьезных математических вычислений. Более того, некоторые ученые используют термин солитон для явлений, которые не совсем обладают этими тремя свойствами (например, « световые пули » нелинейной оптики часто называют солитонами, несмотря на потерю энергии при взаимодействии). [2]
Дисперсия и нелинейность могут взаимодействовать, создавая постоянные и локализованные формы волн . Рассмотрим импульс света, распространяющийся в стекле. Этот импульс можно рассматривать как состоящий из света нескольких разных частот. Поскольку стекло обладает дисперсией, эти разные частоты распространяются с разной скоростью, и поэтому форма импульса меняется со временем. Однако имеет место и нелинейный эффект Керра ; показатель преломления материала на данной частоте зависит от амплитуды или силы света. Если импульс имеет правильную форму, эффект Керра точно компенсирует эффект дисперсии, и форма импульса не меняется со временем. Таким образом, импульс представляет собой солитон. Более подробное описание см. в разделе « Солитон (оптика)» .
Многие точно решаемые модели имеют солитонные решения, включая уравнение Кортевега-де Фриза , нелинейное уравнение Шредингера , связанное нелинейное уравнение Шредингера и уравнение синус-Гордона . Солитонные решения обычно получаются с помощью обратного преобразования рассеяния и обязаны своей устойчивостью интегрируемости уравнений поля. Математическая теория этих уравнений представляет собой широкую и весьма активную область математических исследований.
Некоторые типы приливных волн , волновое явление нескольких рек, включая реку Северн , являются «волнистыми»: за волновым фронтом следует цепочка солитонов. Другие солитоны возникают как подводные внутренние волны , инициированные топографией морского дна и распространяющиеся по океаническому пикноклину . Также существуют атмосферные солитоны, такие как облако ипомеи в заливе Карпентария , где солитоны давления, перемещающиеся в слое температурной инверсии, создают огромные линейные рулонные облака . Недавняя и не получившая широкого распространения солитонная модель в нейробиологии предлагает объяснить проводимость сигнала внутри нейронов как солитоны давления.
Топологический солитон , также называемый топологическим дефектом, — это любое решение системы уравнений в частных производных , устойчивое к распаду до «тривиального решения». Устойчивость солитона обусловлена топологическими ограничениями, а не интегрируемостью уравнений поля. Ограничения возникают почти всегда, потому что дифференциальные уравнения должны подчиняться набору граничных условий , а граница имеет нетривиальную гомотопическую группу , сохраняемую дифференциальными уравнениями. Таким образом, решения дифференциальных уравнений можно разделить на гомотопические классы .
Никакое непрерывное преобразование не переводит решение из одного гомотопического класса в другой. Решения действительно различны и сохраняют свою целостность даже перед лицом чрезвычайно мощных сил. Примеры топологических солитонов включают винтовую дислокацию в кристаллической решетке , струну Дирака и магнитный монополь в электромагнетизме , Скирмион и модель Весса-Зумино-Виттена в квантовой теории поля , магнитный скирмион в физике конденсированного состояния, космические струны и Доменные границы в космологии .
В 1834 году Джон Скотт Рассел описывает свою волну переводов . [nb 1] Открытие описано здесь собственными словами Скотта Рассела: [nb 2]
Я наблюдал за движением лодки, которую пара лошадей быстро тащила по узкому каналу, когда лодка внезапно остановилась, а не масса воды в канале, которую она привела в движение; она скопилась вокруг носа судна в состоянии сильного волнения, затем внезапно оставив его позади, покатилась вперед с большой скоростью, приняв форму большого одинокого возвышения, округлой, гладкой и четко очерченной кучи воды, которая продолжала его ход по руслу, по-видимому, без изменения формы и уменьшения скорости. Я последовал за ним верхом на лошади и обогнал его, все еще катившегося со скоростью восемь или девять миль в час, сохранив свою первоначальную фигуру длиной около тридцати футов и высотой от фута до полутора. Высота его постепенно уменьшалась, и после погони в одну или две мили я потерял его в извилистом канале. Так в августе 1834 года произошла моя первая случайная встреча с тем необычным и прекрасным явлением, которое я назвал Волной Передачи. [3]
Скотт Рассел потратил некоторое время на практические и теоретические исследования этих волн. Он построил волновые резервуары у себя дома и заметил некоторые ключевые свойства:
Экспериментальная работа Скотта Рассела, казалось, противоречила теориям гидродинамики Исаака Ньютона и Даниэля Бернулли . Джордж Бидделл Эйри и Джордж Габриэль Стоукс с трудом приняли экспериментальные наблюдения Скотта Рассела, поскольку их нельзя было объяснить существующими теориями волн на воде. О дополнительных наблюдениях сообщил Анри Базен в 1862 году после экспериментов, проведенных на Бургундском канале во Франции. [4] Их современники потратили некоторое время, пытаясь расширить теорию, но только в 1870-х годах Джозеф Буссинеск [5] и лорд Рэлей опубликовали теоретическую трактовку и решения. [nb 3] В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Врис представили то, что сейчас известно как уравнение Кортевега – де Фриза , включая решения для уединенных волн и периодических кноидальных волн . [6] [№ 4]
В 1965 году Норман Забуски из Bell Labs и Мартин Крускал из Принстонского университета впервые продемонстрировали поведение солитонов в средах, подчиняющихся уравнению Кортевега – де Фриза (уравнение КдФ), в ходе вычислительного исследования с использованием подхода конечных разностей . Они также показали, как такое поведение объясняет загадочные ранние работы Ферми, Пасты, Улама и Цингоу . [1]
В 1967 году Гарднер, Грин, Краскал и Миура открыли обратное преобразование рассеяния , позволяющее аналитически решить уравнение КдВ. [8] Работа Питера Лакса о парах Лакса и уравнении Лакса с тех пор распространила это на решение многих связанных систем, генерирующих солитоны.
Обратите внимание, что солитоны по определению не изменяются по форме и скорости при столкновении с другими солитонами. [9] Итак, уединенные волны на поверхности воды являются почти -солитонами, но не совсем – после взаимодействия двух (сталкивающихся или догоняющих) уединенных волн они немного изменились по амплитуде и остался колебательный остаток. [10]
Солитоны также изучаются в квантовой механике благодаря тому, что они могли бы обеспечить ее новую основу посредством незавершенной программы де Бройля , известной как «Теория двойного решения» или «Нелинейная волновая механика». Эта теория, разработанная де Бройлем в 1927 году и возрожденная в 1950-х годах, является естественным продолжением его идей, разработанных между 1923 и 1926 годами, которые распространили корпускулярно -волновой дуализм, введенный Альбертом Эйнштейном для квантов света , на все частицы материи. . В 2019 году было продемонстрировано наблюдение ускоряющегося солитона поверхностной гравитационной волны воды с использованием внешнего гидродинамического линейного потенциала. Этот эксперимент также продемонстрировал возможность возбуждать и измерять фазы баллистических солитонов. [11]
Было проведено много экспериментов с использованием солитонов в приложениях волоконной оптики. Солитоны в волоконно-оптической системе описываются уравнениями Манакова . Присущая солитонам стабильность делает возможной передачу на большие расстояния без использования ретрансляторов , а также потенциально может удвоить пропускную способность передачи. [12]
Солитоны могут встречаться в белках [16] и ДНК. [17] Солитоны связаны с низкочастотным коллективным движением в белках и ДНК. [18]
Недавно разработанная модель в нейробиологии предполагает, что сигналы в форме волн плотности передаются внутри нейронов в форме солитонов. [19] [20] [21] Солитоны можно описать как перенос энергии практически без потерь в биомолекулярных цепях или решетках, как волнообразное распространение связанных конформационных и электронных возмущений. [22]
В материалах, например сегнетоэлектриках , солитоны могут встречаться в виде доменных стенок. Сегнетоэлектрические материалы обладают спонтанной поляризацией или электрическими диполями, которые связаны с конфигурациями структуры материала. Области противоположно полярных поляризаций могут присутствовать в одном материале, поскольку структурные конфигурации, соответствующие противоположным поляризациям, одинаково благоприятны при отсутствии внешних сил. Доменные границы, или «стены», разделяющие эти локальные структурные конфигурации, представляют собой области решеточных дислокаций . [23] Доменные границы могут распространяться как поляризации, и, таким образом, локальные структурные конфигурации могут переключаться внутри домена под действием приложенных сил, таких как электрическое смещение или механическое напряжение. Следовательно, доменные границы можно описать как солитоны, дискретные области дислокаций, способные скользить или распространяться и сохранять свою форму по ширине и длине. [24] [25] [26]
В недавней литературе сегнетоэлектричество наблюдалось в скрученных бислоях материалов Ван-дер-Ваала, таких как дисульфид молибдена и графен . [23] [27] [28] Муаровая сверхрешетка , возникающая из-за относительного угла закручивания между монослоями Ван-дер-Ваала, создает области с различным порядком укладки атомов внутри слоев. Эти области демонстрируют инверсионную симметрию, нарушающую структурные конфигурации, которые обеспечивают сегнетоэлектричество на границе раздела этих монослоев. Доменные границы, разделяющие эти области, состоят из частичных дислокаций , в которых решетка испытывает различные типы напряжений и, следовательно, деформаций. Было замечено, что распространение солитона или доменной стенки на умеренную длину образца (от порядка нанометра до микрометра) может быть инициировано приложенным напряжением со стороны иглы АСМ на фиксированной области. Распространение солитона переносит механические возмущения с небольшими потерями энергии по материалу, что позволяет переключать домены по принципу домино. [25]
Также было замечено, что тип дислокаций, обнаруженных на стенках, может влиять на параметры распространения, такие как направление. Например, измерения СТМ показали четыре типа деформаций различной степени сдвига, сжатия и растяжения на доменных границах в зависимости от типа локализованного порядка упаковки в скрученном двухслойном графене. Различные направления скольжения стенок достигаются за счет различных типов деформаций, обнаруженных в доменах, влияющих на направление распространения солитонной сети. [25]
Неидеальность, такая как нарушения в солитонной сети и поверхностные примеси, также может влиять на распространение солитона. Доменные границы могут встречаться в узлах и эффективно закрепляться, образуя треугольные домены, которые легко наблюдать в различных сегнетоэлектрических скрученных двухслойных системах. [23] Кроме того, замкнутые петли доменных стенок, охватывающие несколько доменов поляризации, могут препятствовать распространению солитона и, следовательно, переключению поляризаций через него. [25] Кроме того, доменные стенки могут распространяться и встречаться в складках и поверхностных неоднородностях внутри слоев Ван-дер-Ваала, которые могут выступать в качестве препятствий, препятствующих распространению. [25]
В магнетиках также существуют различные типы солитонов и других нелинейных волн. [29] Эти магнитные солитоны являются точным решением классических нелинейных дифференциальных уравнений — магнитных уравнений, например, уравнения Ландау–Лифшица , континуальной модели Гейзенберга , уравнения Ишимори , нелинейного уравнения Шрёдингера и других.
Атомные ядра могут проявлять солитонное поведение. [30] Здесь предсказывается, что вся ядерная волновая функция будет существовать в виде солитона при определенных условиях температуры и энергии. Предполагается, что такие условия существуют в ядрах некоторых звезд, в которых ядра не реагируют, а проходят друг через друга в неизмененном виде, сохраняя свои солитонные волны при столкновении ядер.
Модель Скирма — это модель ядер, в которой каждое ядро рассматривается как топологически стабильное солитонное решение теории поля с сохраняющимся барионным числом.
Связанное состояние двух солитонов известно как бион [ 31] [32] [33] [34] или в системах, где связанное состояние периодически колеблется, как бризер . Силы интерференционного типа между солитонами можно использовать при создании бионов. [35] Однако эти силы очень чувствительны к своим относительным фазам. Альтернативно, связанное состояние солитонов может быть сформировано путем одевания атомов высоковозбужденными уровнями Ридберга. [34] Полученный самогенерируемый потенциальный профиль [34] имеет внутреннее притягивающее мягкое ядро, поддерживающее трехмерный самозахваченный солитон, промежуточную отталкивающую оболочку (барьер), предотвращающую слияние солитонов, и внешний притягивающий слой (ямку), используемый для завершение связанного состояния приводит к образованию гигантских стабильных солитонных молекул. В этой схеме расстоянием и размером отдельных солитонов в молекуле можно управлять динамически с помощью лазерной регулировки.
В теории поля под бионом обычно понимают решение модели Борна-Инфельда . Название, по-видимому, было придумано Дж. В. Гиббонсом, чтобы отличить это решение от обычного солитона, понимаемого как регулярное решение дифференциального уравнения с конечной энергией (и обычно стабильное), описывающее некоторую физическую систему. [36] Слово «регулярный» означает гладкое решение, вообще не имеющее источников. Однако решение модели Борна–Инфельда все еще несет в начале координат источник в виде дельта-функции Дирака. Как следствие, в этой точке он обнаруживает сингулярность (хотя электрическое поле всюду регулярно). В некоторых физических контекстах (например, в теории струн) эта особенность может быть важной, что послужило причиной введения специального названия для этого класса солитонов.
С другой стороны, когда добавляется гравитация (т.е. при рассмотрении связи модели Борна-Инфельда с общей теорией относительности), соответствующее решение называется EBIon , где «E» означает Эйнштейна.
Эрик Ленц, физик из Геттингенского университета, предположил, что солитоны могут позволить генерировать пузыри деформации Алькубьерре в пространстве-времени без необходимости использования экзотической материи, то есть материи с отрицательной массой. [37]
{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ){{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ){{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ){{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )[ мертвая ссылка ]
