Спиновый угловой момент света

Угловой момент, возникающий из спина фотона

Спиновый угловой момент света ( SAM ) — это компонент углового момента света , который связан с квантовым спином и вращением между степенями свободы поляризации фотона.

Введение

Спин — фундаментальное свойство, отличающее два типа элементарных частиц: фермионы с полуцелыми спинами; и бозоны с целыми спинами. Фотоны , являющиеся квантами света , уже давно признаны калибровочными бозонами со спином 1 . Поляризация света обычно принимается как его «внутренняя» спиновая степень свободы . Однако в свободном пространстве допускаются только две поперечные поляризации. Таким образом, спин фотона всегда связан только с двумя круговыми поляризациями. Чтобы построить полный квантовый спиновый оператор света, необходимо ввести продольно поляризованные фотонные моды.

Левая и правая круговая поляризация и связанные с ними угловые моменты.

Говорят, что электромагнитная волна имеет круговую поляризацию , когда ее электрическое и магнитное поля непрерывно вращаются вокруг оси луча во время распространения. Круговая поляризация бывает левая ( ) или правая ( ) в зависимости от направления вращения поля и, согласно принятому условию: либо с точки зрения источника, либо с точки зрения приемника. Оба соглашения используются в науке в зависимости от контекста. ${\displaystyle \mathrm {L} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$

Когда световой луч циркулярно поляризован, каждый из его фотонов несет спин-угловой момент (SAM) , где - приведенная постоянная Планка, а знак положительный для левой и отрицательный для правой круговой поляризации (это принятие соглашения с точки зрения зрения приемника, наиболее часто используемого в оптике ). Этот САМ направлен вдоль оси луча (параллельно, если положительно, антипараллельно, если отрицательно). На рисунке выше показана мгновенная структура электрического поля левого ( ) и правого ( ) циркулярно поляризованного света в пространстве. Зеленые стрелки указывают направление распространения . ${\displaystyle \pm \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \mathrm {L} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$

Математические выражения, приведенные под рисунками, дают три компоненты электрического поля плоской волны с круговой поляризацией, распространяющейся в направлении , в комплексных обозначениях. ${\displaystyle z}$

Математическое выражение

Общее выражение для спинового углового момента имеет вид ^[1]

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\mathbf {\pi } \times \mathbf {A} ,}$$

где – скорость света в свободном пространстве, – сопряженный канонический импульс векторного потенциала . Общее выражение для орбитального углового момента света имеет вид ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\pi ^{\mu }\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\mu },}$$

где обозначает четыре индекса пространства -времени , и применено соглашение Эйнштейна о суммировании . Чтобы квантовать свет, необходимо постулировать основные коммутационные соотношения равного времени: ^[2] ${\displaystyle \mu =\{0,1,2,3\}}$

$${\displaystyle [A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=i\hbar cg^{\mu \nu }\delta ^{3}(\mathbf {x} -\mathbf {x} '),}$$

$${\displaystyle [A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),A^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=[\pi ^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=0,}$$

где – приведенная постоянная Планка , – метрический тензор пространства Минковского . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }={\rm {{diag}\{1,-1,-1,-1\}}}}$

Затем можно проверить, что оба и удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям углового момента ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

$${\displaystyle [S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k},}$$

$${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k},}$$

и они ездят друг с другом . ${\displaystyle [S_{i},L_{j}]=0}$

После плосковолнового расширения спин фотона может быть повторно выражен в простой и интуитивной форме в пространстве волновых векторов.

$${\displaystyle \mathbf {S} =\hbar \int d^{3}k{\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }^{\dagger }\mathbf {\hat {s}} {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }}$$

где вектор-столбец — это оператор поля фотона в пространстве волновых векторов, а матрица ${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }=[{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,3}]^{T}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {s}} =\sum _{\lambda =1}^{3}{\hat {s}}_{\lambda }\mathbf {\epsilon } (\mathbf {k} ,\lambda )}$$

- оператор фотона со спином 1 с генераторами вращения SO (3)

$${\displaystyle {\hat {s}}_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{3}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},}$$

и два единичных вектора обозначают две поперечные поляризации света в свободном пространстве, а единичный вектор обозначает продольную поляризацию. ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,1)\cdot \mathbf {k} ={\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,2)\cdot \mathbf {k} =0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,3)=\mathbf {k} /|\mathbf {k} |}$

Поскольку здесь задействованы продольно поляризованный фотон и скалярный фотон, оба они не являются калибровочно-инвариантными. Чтобы включить калибровочную инвариантность в угловые моменты фотонов, необходимо выполнить повторное разложение полного углового момента КЭД и калибровочное условие Лоренца. Наконец, непосредственно наблюдаемая часть спинового и орбитального угловых моментов света определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

$${\displaystyle \mathbf {S} ^{\rm {obs}}=i\hbar \int d^{3}k({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}x\mathbf {E} _{\perp }\times \mathbf {A} _{\perp },}$$

$${\displaystyle \mathbf {L} _{M}^{\rm {obs}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}xE_{\perp }^{j}\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\perp }^{j}}$$

которые восстанавливают угловые моменты классического поперечного света. ^[3] Здесь ( ) — поперечная часть электрического поля ( векторный потенциал ), — диэлектрическая проницаемость вакуума , и мы используем единицы СИ . ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\perp }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Мы можем определить операторы аннигиляции для поперечных фотонов с круговой поляризацией:

$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {L} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}\right),}$$

$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {R} }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}+i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}\right),}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {L} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)+i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right],}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)-i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right].}$$

Тогда спин фотона в поперечном поле можно выразить как

$${\displaystyle \mathbf {S} ^{\rm {obs}}=\int d^{3}k\hbar \left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}\right){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}},}$$

Для одного фотона плоской волны спин может иметь только два значения , которые являются собственными значениями оператора спина . Соответствующие собственные функции, описывающие фотоны с четко определенными значениями SAM, описываются как волны с круговой поляризацией: ${\displaystyle \pm \hbar }$ ${\displaystyle {\hat {s}}_{3}}$

$${\displaystyle |\pm \rangle ={\begin{pmatrix}1\\\pm i\\0\end{pmatrix}}.}$$

Смотрите также

• Уравнение Гельмгольца
• Орбитальный угловой момент света
• Поляризация (физика)
• Поляризация фотонов
• Спиновая поляризация

Рекомендации

1. Ян, Л.-П.; Хосрави, Ф.; Джейкоб, З. (2020). «Квантовый спиновый оператор фотона». arXiv : 2004.03771 [квант-ph].
2. Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (29 июня 2013 г.). «Глава 7». Квантование поля . ISBN 9783642614859.
3. Коэн-Таннуджи, К.; Дюпон-Рок, Ж.; Гринберг, Г. (1997). «Глава 1». Фотоны и атомы. Введение в квантовую электродинамику . Вайли-ВЧ. ISBN 9780471184331.

дальнейшее чтение

• Борн М. и Вольф Э. (1999). Принципы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (7-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-64222-4.
• Аллен, Л.; Барннет, Стивен М. и Пэджетт, Майлз Дж. (2003). Оптический угловой момент . Бристоль: Институт физики. ISBN 978-0-7503-0901-1.
• Торрес, Хуан П. и Торнер, Луис (2011). Закрученные фотоны: применение света с орбитальным угловым моментом . Бристоль: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40907-5.