Спираль

Кривая, обвивающая центральную точку

Разрез раковины наутилуса , показывающий камеры, расположенные примерно по логарифмической спирали.

В математике спираль — это кривая , исходящая из точки и удаляющаяся все дальше по мере вращения вокруг этой точки . ^{[1] [2] [3] [4]} Это подтип мутовчатых узоров, обширная группа, включающая также концентрические объекты .

Спирали

Спираль Архимеда (черная), спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

Два основных определения «спирали» в Словаре американского наследия : ^[5]

1. кривая на плоскости, которая обвивает фиксированную центральную точку на постоянно увеличивающемся или уменьшающемся расстоянии от этой точки.
2. трехмерная кривая, которая поворачивается вокруг оси на постоянном или непрерывно меняющемся расстоянии, двигаясь параллельно оси; спираль . _

Первое определение описывает плоскую кривую, простирающуюся в обоих перпендикулярных направлениях внутри своей плоскости; канавка на одной стороне граммофонной пластинки очень похожа на плоскую спираль (и именно из-за конечной ширины и глубины канавки, а не из-за большего расстояния между дорожками, чем внутри, она не может быть идеальным примером); Обратите внимание, что последовательные петли различаются по диаметру. В другом примере «центральные линии» рукавов спиральной галактики прокладывают логарифмические спирали .

Второе определение включает два вида трехмерных родственников спиралей:

• Коническая или спиральная пружина (включая пружину, используемую для удержания и контакта с отрицательными клеммами батарей типа АА или ААА в аккумуляторном ящике ), а также вихрь , который создается при сливе воды в раковине, часто описывается как спираль. или в виде конической спирали .
• Совершенно очевидно, что определение 2 также включает в себя цилиндрическую спиральную пружину и цепь ДНК , обе из которых весьма спиральны, так что «спираль» является более полезным описанием, чем «спираль» для каждого из них; вообще, «спираль» применяется редко, если последовательные «петли» кривой имеют одинаковый диаметр. ^[5]

На рисунке сбоку черная кривая внизу — это спираль Архимеда , а зеленая кривая — спираль. Кривая, показанная красным, представляет собой коническую спираль.

Двумерный

Двумерную или плоскую спираль легче всего описать с помощью полярных координат , где радиус является монотонной непрерывной функцией угла : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

Круг можно было бы рассматривать как вырожденный случай ( функция не строго монотонна, а скорее постоянна ).

В координатах - кривая имеет параметрическое представление: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

Примеры

Некоторые из наиболее важных видов двумерных спиралей включают:

• Архимедова спираль : ${\displaystyle r=a\varphi }$
• Гиперболическая спираль : ${\displaystyle r=a/\varphi }$
• Спираль Ферма : ${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• Литуус : _ ${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• Логарифмическая спираль : ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• Спираль Корню или клотоида
• Спираль Фибоначчи и золотая спираль.
• Спираль Теодора : приближение архимедовой спирали, состоящей из смежных прямоугольных треугольников.
• Эвольвента круга, используемая дважды на каждом зубе почти каждой современной шестерни .

• 
  Архимедова спираль
• 
  гиперболическая спираль
• 
  Спираль Ферма
• 
  Литуус
• 
  логарифмическая спираль
• 
  Спираль Корню
• 
  спираль Теодора
• 
  Спираль Фибоначчи (золотая спираль)
• 
  Эвольвента круга (черная) не идентична спирали Архимеда (красная).

Гиперболическая спираль как центральная проекция спирали

Например, при свертывании ковра образуется архимедова спираль . ^[6]

Гиперболическая спираль представляет собой изображение спирали со специальной центральной проекцией (см. схему). Гиперболическую спираль иногда называют обратной спиралью, потому что она представляет собой образ архимедовой спирали с инверсией окружности (см. Ниже). ^[7]

Название логарифмическая спираль связано с уравнением . Приближения к этому встречаются в природе. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$

Спирали, не вписывающиеся в данную схему первых 5 примеров:

Спираль Корню имеет две асимптотические точки.
Спираль Теодора представляет собой многоугольник.
Спираль Фибоначчи состоит из последовательности дуг окружностей.
Эвольвента круга выглядит как архимедова, но это не так: см. Эвольвента#Примеры .

Геометрические свойства

Следующие рассуждения касаются спиралей, которые могут быть описаны полярным уравнением , особенно для случаев (архимедова, гиперболическая, спирали Ферма, спирали Литууса) и логарифмической спирали . ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

Определение сектора (голубой) и угла полярного наклона ${\displaystyle \alpha }$

Угол полярного наклона

Угол между касательной спирали и соответствующим полярным кругом (см. схему) называется углом полярного наклона и полярным наклоном . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tan \alpha }$

Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

Следовательно, наклон спирали равен ${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

В случае архимедовой спирали ( ) полярный наклон равен ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

Логарифмическая спираль представляет собой особый случай из-за константы  ! ${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$

кривизна

Кривизна кривой с полярным уравнением равна ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

За спираль с единицей получается ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

В случае (спирали Архимеда) . Только у спирали есть точка перегиба . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$
${\displaystyle -1<n<0}$

Кривизна логарифмической спирали равна ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Площадь сектора

Площадь сектора кривой (см. схему) с полярным уравнением равна ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Для спирали с уравнением получаем ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

Формула логарифмической спирали : ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Длина дуги

Длина дуги кривой с полярным уравнением равна ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Длина спирали равна ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

Не все эти интегралы можно решить с помощью подходящей таблицы. В случае спирали Ферма интеграл может быть выражен только эллиптическими интегралами .

Длина дуги логарифмической спирали равна ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Инверсия круга

Инверсия на единичной окружности имеет в полярных координатах простое описание: . ${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$

• Изображение спирали при инверсии на единичной окружности представляет собой спираль с полярным уравнением . Например: обратная архимедова спираль – это гиперболическая спираль. ${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$

Логарифмическая спираль отображается на логарифмическую спираль. ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

Ограниченные спирали

Ограниченные спирали: (слева), (справа)
${\displaystyle r=a\arctan(k\varphi )}$
${\displaystyle r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)}$

Функция спирали обычно строго монотонна, непрерывна и неограниченна . Для стандартных спиралей это либо степенная функция, либо показательная функция. Если выбрать ограниченную функцию, спираль тоже будет ограничена . Подходящей ограниченной функцией является функция arctan : ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$

Пример 1

Настройка и выбор дают спираль, которая начинается в начале координат (как спираль Архимеда) и приближается к кругу по радиусу (диаграмма слева). ${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$ ${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$

Пример 2

Ибо и получается спираль, которая приближается к началу координат (как гиперболическая спираль) и приближается к кругу по радиусу (диаграмма справа). ${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$ ${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi \;}$

Трехмерный

Коническая спираль со спиралью Архимеда в качестве плана этажа

Две хорошо известные спиральные пространственные кривые — это конические спирали и сферические спирали , определенные ниже. Другим примером космических спиралей является тороидальная спираль . ^[8] Спираль, намотанная вокруг спирали, ^[9], также известная как спираль двойной закрутки , ^[10] представляет собой такие объекты, как скрученные в спираль нити .

Конические спирали

Если в -плоскости спираль с параметрическим представлением ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

задана, то можно добавить третью координату , такую, что кривая теперь в пространстве лежит на конусе с уравнением : ${\displaystyle z(\varphi )}$ ${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Спирали, основанные на этой процедуре, называются коническими спиралями .

Пример

Начиная с архимедовой спирали, получается коническая спираль (см. схему). ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Сферическая спираль с ${\displaystyle c=8}$

Сферические спирали

Если представить сферу радиуса : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}$

и задавая линейную зависимость для угловых координат, получаем сферическую кривую , называемую сферической спиралью ^[11] с параметрическим представлением (с равным удвоенному числу витков) ${\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;,}$ ${\displaystyle c}$

• ${\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos {\color {red}c\theta }\\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin {\color {red}c\theta }\\z&=&r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{array}}}$

Сферические спирали были известны и Паппу.

Примечание: в этом смысле прямая линия не является сферической спиралью.

• 
  Сферическая спираль
• 
  Локсодром

Румбическая линия (также известная как локсодром или «сферическая спираль») — это кривая сферы, очерчиваемая кораблем с постоянным пеленгом (например, путешествующим от одного полюса к другому, сохраняя при этом фиксированный угол по отношению к меридианам ). Локсодромия имеет бесконечное количество оборотов , причем расстояние между ними уменьшается по мере приближения кривой к любому из полюсов, в отличие от спирали Архимеда , которая сохраняет одинаковый межстрочный интервал независимо от радиуса.

В природе

Изучение спиралей в природе имеет давнюю историю. Кристофер Рен заметил, что многие оболочки образуют логарифмическую спираль ; Ян Сваммердам наблюдал общие математические характеристики широкого спектра раковин от Helix до Spirula ; и Генри Ноттидж Мозли описали математику одностворчатых раковин. В книге Д'Арси Вентворта Томпсона « О росте и форме» эти спирали подробно рассматриваются. Он описывает, как образуются оболочки путем вращения замкнутой кривой вокруг фиксированной оси: форма кривой остается фиксированной, но ее размер растет в геометрической прогрессии . В некоторых раковинах, таких как Наутилус и аммониты , образующая кривая вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и раковина образует плоскую дискоидную форму. В других случаях он следует по косой траектории, образуя спиральный узор. Томпсон также изучал спирали, возникающие в рогах , зубах , когтях и растениях . ^[12]

Модель рисунка цветков головки подсолнечника [ ^13] была предложена Х. Фогелем. Это имеет форму

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

где n — порядковый номер цветочка, а c — постоянный масштабный коэффициент и является формой спирали Ферма . Угол 137,5° — это золотой угол , который связан с золотым сечением и обеспечивает плотное расположение соцветий. ^[14]

Спирали у растений и животных часто называют мутовками . Это также название отпечатков пальцев спиралевидной формы .

• 
  Художественное изображение спиральной галактики.
• 
  Головка подсолнуха с соцветиями, расположенными по спирали по 34 и 55 штук снаружи.

Как символ

Спиралевидная форма была найдена в Мезине , Украина , как часть декоративного предмета, датируемого 10 000 годом до нашей эры. ^{[ нужна цитация ]} Спиральный и тройной спиральный мотив является символом неолита в Европе ( мегалитические храмы Мальты ). Кельтский символ — тройная спираль — на самом деле является докельтским символом. ^[15] Он высечен в скале на каменном ромбе возле главного входа в доисторический памятник Ньюгрейндж в графстве Мит , Ирландия . Ньюгрейндж был построен около 3200 г. до н.э., до появления кельтов, а тройные спирали были вырезаны по крайней мере за 2500 лет до того, как кельты достигли Ирландии, но уже давно вошли в кельтскую культуру. ^[16] Символ трискелион , состоящий из трех переплетенных спиралей или трех согнутых человеческих ног, появляется во многих ранних культурах, в том числе на микенских сосудах , на чеканке монет в Ликии , на статерах Памфилии (в Аспендосе , 370–333 гг. до н. э.) и Писидии , как а также на геральдической эмблеме на воинских щитах, изображенных на греческой керамике. ^[17]

Спирали можно встретить во всем доколумбовом искусстве Латинской и Центральной Америки. Более 1400 петроглифов (наскальных рисунков) в Лас-Пласуэласе, Гуанахуато , Мексика , датируемых 750-1200 годами нашей эры, преимущественно изображают спирали, точечные фигуры и масштабные модели. ^[18] В Колумбии фигуры, похожие на обезьян, лягушек и ящериц, изображенные на петроглифах или в виде золотых фигурок, часто включают в себя спирали, например, на ладонях рук. ^[19] В Нижней Центральной Америке спирали наряду с кругами, волнистыми линиями, крестами и точками являются универсальными символами петроглифов. ^[20] Спирали также можно найти среди линий Наска в прибрежной пустыне Перу, датируемые периодом с 200 г. до н.э. по 500 г. н.э. Геоглифы исчисляются тысячами и изображают животных, растения и геометрические мотивы, включая спирали . ^[21]

Спиральные формы, в том числе свастика , трискеле и т. д., часто интерпретировались как солярные символы . ^{[ нужна цитация ]} Черепица с этим символом, датируемая династией Тан, была найдена к западу от древнего города Чанъань (современный Сиань). ^{[ нужна ссылка ] [ нужен год ]}

Спирали также являются символом гипноза , происходящим от клише о людях и персонажах мультфильмов, которых загипнотизируют, глядя на вращающуюся спираль (одним из примеров является Каа в «Книге джунглей» Диснея ). Они также используются как символ головокружения , когда глаза персонажей мультфильмов, особенно в аниме и манге , превращаются в спирали, показывая, что у них кружится голова или они ошеломлены. Спираль также встречается в структурах размером с двойную спираль ДНК и размером с галактику . Из-за этого частого природного явления спираль является официальным символом Всемирного пантеистического движения . ^[22] Спираль также является символом диалектического процесса и диалектического монизма .

• 
  Спирали культуры Кукутени на чаше на подставке, сосуде на подставке и амфоре, 4300-4000 гг. до н. э., керамика, Дворец культуры , Яссы , Румыния.
• 
  Неолитические спирали на входной плите Ньюгрейнджа , неизвестный скульптор или архитектор, 3-е тысячелетие до нашей эры.
• 
  Микенские спирали на погребальной стеле, Могильный круг А, ок. 1550 г. до н.э., камень, Национальный археологический музей , Афины , Греция.
• 
  Мероитовые спирали на таране аллеи храма Амона в Наке , неизвестный скульптор, I век нашей эры, камень, in situ
• 
  Исламский спиральный дизайн Великой мечети Самарры , Самарра , Ирак , неизвестный архитектор, ок. 851
• 
  Спиральная колокольня в стиле готического возрождения Maison des Compagnons du Tour de France, Нант , неизвестный архитектор, ок. 1910 год

В искусстве

Спираль вдохновляла художников на протяжении веков. Среди самых известных произведений искусства, вдохновленных спиралью, — земляные работы Роберта Смитсона « Спиральная пристань » на Большом Соленом озере в штате Юта. ^[23] Спиральная тема также присутствует в «Спиральном резонансном поле» Дэвида Вуда в Музее воздушных шаров в Альбукерке, а также в получившем признание критиков концептуальном альбоме Nine Inch Nails 1994 года The Downward Spiral . Спираль также является важной темой в аниме «Гуррен Лаганн» , где она представляет собой философию и образ жизни. Это также занимает центральное место в творчестве Марио Мерца и Энди Голдсуорси. Спираль — центральная тема хоррор-манги «Узумаки» Дзюндзи Ито , в которой небольшой прибрежный городок поражен проклятием, связанным с спиралями. 2012 «Часть разума», Уэйн А. Бил также изображает большую спираль в этой книге снов и образов. ^{[24] [ необходима полная цитата ] [25] [ необходима проверка ]} Спиральная спираль является центральным изображением в иконографии пригородной готики австралийской художницы Тани Старк, которая включает в себя спиральные элементы верхней части электрической плиты как символы домашней алхимии и духовности. ^{[26] [27]}

Смотрите также

• Кельтский лабиринт (прямая спираль)
• Концентрические круги
• ДНК
• Число Фибоначчи
• Гипогей Хал-Сафлиени
• Мегалитические храмы Мальты
• Узоры в природе
• Поверхность ракушки
• Спирангл
• Спиральная овощерезка
• Винтовая лестница
• Трискелион

Рекомендации

1. "Спираль | математика" . Британская энциклопедия . Проверено 8 октября 2020 г.
2. «Определение спирали (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 8 октября 2020 г.
3. "спираль.htm". www.math.tamu.edu . Проверено 8 октября 2020 г.
4. «Математические закономерности в природе». Институт Франклина . 01.06.2017 . Проверено 8 октября 2020 г.
5. "Спираль", Словарь английского языка американского наследия , Houghton Mifflin Company, четвертое издание, 2009 г.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Архимедова спираль». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2020 г.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая спираль». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 октября 2020 г.
8. фон Зеггерн, DH (1994). Практическое руководство по проектированию и построению кривых. Тейлор и Фрэнсис. п. 241. ИСБН 978-0-8493-8916-0. Проверено 3 марта 2022 г.
9. "Слинки - из Wolfram MathWorld" . Вольфрам Математический мир . 13 сентября 2002 г. Проверено 3 марта 2022 г.
10. Угаджин, Р.; Ишимото, К.; Куроки, Ю.; Хирата, С.; Ватанабэ, С. (2001). «Статистический анализ многозакрученной спирали». Физика А: Статистическая механика и ее приложения . Эльзевир Б.В. 292 (1–4): 437–451. Бибкод : 2001PhyA..292..437U. дои : 10.1016/s0378-4371(00)00572-0. ISSN  0378-4371.
11. Куно Фладт: Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, S. 132 
12. Томпсон, Д'Арси (1942) [1917]. О росте и форме. Кембридж: Университетское издательство; Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 748–933.
13. Бен Спаркс. «Geogebra: подсолнухи иррационально красивы».
14. Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений. Спрингер-Верлаг. стр. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.
15. Энтони Мерфи и Ричард Мур, Остров заходящего солнца: в поисках древних астрономов Ирландии, 2-е изд., Дублин: The Liffey Press, 2008, стр. 168-169.
16. «Ньюгрейндж, Ирландия - Мегалитическая гробница прохода - объект всемирного наследия» . Знать.com. 21 декабря 2007 г. Архивировано из оригинала 26 июля 2013 г. Проверено 16 августа 2013 г.
17. Например, трислеле на круглом щите Ахилла на аттической гидрии конца шестого века в Бостонском музее изящных искусств , проиллюстрировано в книге Джона Бордмана, Джаспера Гриффина и Освина Мюррея, Греция и эллинистический мир (Оксфордская история классического мира). ) об. Я (1988), с. 50.
18. «Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна» (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 5. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 г. Проверено 4 января 2014 г.
19. «Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна» (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 99. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 года . Проверено 4 января 2014 г.
20. «Наскальное искусство Латинской Америки и Карибского бассейна» (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006. с. 17. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 года . Проверено 4 января 2014 г.
21. Джарус, Оуэн (14 августа 2012 г.). «Линии Наска: загадочные геоглифы в Перу». ЖиваяНаука. Архивировано из оригинала 4 января 2014 года . Проверено 4 января 2014 г.
22. Харрисон, Пол. «Пантеистическое искусство» (PDF) . Мировое пантеистическое движение . Проверено 7 июня 2012 г.
23. Израиль, Нико (2015). Спирали: закрученный образ в литературе и искусстве двадцатого века . Издательство Нью-Йоркского Колумбийского университета. стр. 161–186. ISBN 978-0-231-15302-7.
24. 2012 Часть разума Уэйна Била
25. http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (требуется подписка)
26. Старк, Таня (4 июля 2012 г.). «Спиральные путешествия: поворот и возвращение». tanjastark.com .
27. Старк, Таня. «Лекция: Спиралевидные подводные течения: архетипические символы боли, надежды и исцеления». Общество Юнга в Мельбурне .

Похожие публикации

• Кук Т., 1903. Спирали в природе и искусстве . Природа 68 (1761), 296.
• Кук Т., 1979. Кривые жизни . Дувр, Нью-Йорк.
• Хабиб З., Сакаи М., 2005. Спиральные кривые перехода и их приложения . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195–206.
• Димульо, Сарпоно; Хабиб, Зульфикар; Сакаи, Манабу (2009). «Честный кубический переход между двумя кругами, один из которых находится внутри или касается другого». Численные алгоритмы . 51 (4): 461–476. Бибкод : 2009NuAlg..51..461D. doi : 10.1007/s11075-008-9252-1. S2CID  22532724.
• Харари Г., Таль А., 2011. Естественная трехмерная спираль . Форум компьютерной графики 30 (2), 237–246 [1]. Архивировано 22 ноября 2015 г. на Wayback Machine .
• Сюй Л., Молд Д., 2009. Магнитные кривые: эстетические кривые, контролируемые кривизной с использованием магнитных полей . В: Деуссен О., Холл П. (ред.), Вычислительная эстетика в графике, визуализации и визуализации. Ассоциация еврографики [2].
• Ван, Юлин; Чжао, Бинъянь; Чжан, Лузоу; Сюй, Цзячуань; Ван, Канчан; Ван, Шучунь (2004). «Проектирование плавных кривых с использованием частей монотонной кривизны». Компьютерное геометрическое проектирование . 21 (5): 515–527. дои : 10.1016/j.cagd.2004.04.001.
• Курносенко, А. (2010). «Применение инверсии для построения плоских рациональных спиралей, удовлетворяющих двухточечным данным Эрмита G2». Компьютерное геометрическое проектирование . 27 (3): 262–280. arXiv : 0902.4834 . дои : 10.1016/j.cagd.2009.12.004. S2CID  14476206.
• А. Курносенко. Двухточечная интерполяция G2 Эрмита со спиралями путем обращения гиперболы . Компьютерное геометрическое проектирование, 27 (6), 474–481, 2010.
• Миура, К.Т., 2006. Общее уравнение эстетических кривых и его самосродство . Компьютерное проектирование и приложения 3 (1–4), 457–464 [3]. Архивировано 28 июня 2013 г. в Wayback Machine .
• Миура К., Соне Дж., Ямашита А., Канеко Т., 2005. Вывод общей формулы эстетических кривых . В: 8-я Международная конференция по людям и компьютерам (HC2005). Айдзу-Вакамутсу, Япония, стр. 166–171 [4]. Архивировано 28 июня 2013 г. в Wayback Machine .
• Мик, Д.С.; Уолтон, диджей (1989). «Использование спиралей Корню для рисования плоских кривых контролируемой кривизны». Журнал вычислительной и прикладной математики . 25 : 69–78. дои : 10.1016/0377-0427(89)90076-9 .
• Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия при растворении в растворе образует спиральную структуру». Российский журнал физической химии Б . 11 (1): 195–198. Бибкод : 2017RJPCB..11..195T. дои : 10.1134/S1990793117010328. S2CID  99162341.
• Фарин, Джеральд (2006). «Класс кривых Безье». Компьютерное геометрическое проектирование . 23 (7): 573–581. дои : 10.1016/j.cagd.2006.03.004.
• Фаруки, RT, 1997. Кривые перехода пятой степени пифагора-годографа монотонной кривизны . Компьютерное проектирование 29 (9), 601–606.
• Ёсида Н., Сайто Т., 2006. Интерактивные сегменты эстетических кривых . The Visual Computer 22 (9), 896–905 [5]. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine .
• Йошида Н., Сайто Т., 2007. Квазиэстетические кривые в рациональных кубических формах Безье . Компьютерное проектирование и приложения 4 (9–10), 477–486 [6]. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine .
• Зиатдинов Р., Йошида Н., Ким Т., 2012. Аналитические параметрические уравнения логарифмических кривых в терминах неполных гамма-функций . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (2), 129–140 [7].
• Зиатдинов Р., Йошида Н., Ким Т., 2012. Подбор многоспиральной переходной кривой G2, соединяющей две прямые линии , Компьютерное проектирование 44 (6), 591–596 [8].
• Зиатдинов Р., 2012. Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданное через гипергеометрическую функцию Гаусса . Компьютерное геометрическое проектирование 29 (7): 510–518, 2012 [9].
• Зиатдинов Р., Миура К.Т., 2012. О разнообразии плоских спиралей и их применении в системах автоматизированного проектирования . Европейский исследователь 27(8-2), 1227—1232 [10].

Внешние ссылки

• [11] Архивировано 2 июля 2021 г. в Wayback Machine.
• Спираль Архимеда превращается в спираль Галилея. Михаил Гайченков, ОЭИС